东南大学计算力学习题及答案汇总(2011版)汇总

第三章

1如图所示一三角形钢板，两个结点固定，对第三个结点施以单位水平位移，测出所施加的力，从而得出相应的刚度系数。其他点依此类推，这样测得的刚度系数所组成的刚度矩阵，是否与按照常规三角形单元刚度矩阵计算公式所得结果一样？用这样实测所得的刚度矩阵能否进行有限元分析？为什么？

解：不一样。单元刚度矩阵中每个元素的物理意义：ij k 表示单元第j 个自由度产生单位位移，其它自由度固定时，第i 个自由度产生的节点力。单元刚度矩阵是在单元处于平衡状态的前提下得出的，单元作为分离体看待，作用在它上面的外力（单元力）必是平衡力系，然而研究单元平衡时没有引入约束承受平衡力系作用的无约束单元，其变形是确定，但位移是不能确定的，即单元可发生任意的刚体位移。

不能。因为与有限元中单元与单元之间的约束情况不一样，不能进行有限元分析。 2以位移为基本未知量的有限元法其解具有下限性质，试证明之。 解：系统总位能的离散形式{}{}{}{}12

T T

p a K a a P ∏=

- 将求解的方程[]{}{}K a P =带入可得

{}[]{}{}[]{}{}[]{}1122

T T T

p a K a a K a a K a U ∏=

-=-=- 在平衡情况下，系统总位能等于负的应变能。在有限元解中，由于假定的近似位移模式一般来说总与精确解有差别

的。

设近似解为p ∏、U 、[]K 、{}a 、{}{}K a P ??=??，真实解为p ∏、U 、[]K 、{}a 、[]{}{}K a P = 且根据最小势能原理，得到的系统的总位能总会比真正的总位能要大，故p p ∏≥∏则U U ≤

{}

{}{}[]{}{}

{}{}{}T

T T

T

a K a a K a a P a P ??≤?≤??

则近似解的位移总体上小于精确解的位移

解释如下：单元原是连续体的一部分，具有无限多个自由度，在假定了单元的位移函数后，自由度限制为只有以结点位移表示的有限自由度，引入了更多的约束和限制，使得单元刚度较实际连续体加强了，连续体的整体刚度随之增加，所以有限元解整体上较真实解偏小。

3 请分别阐述单元刚度矩阵和整体刚度矩阵中任一元素的物理意义。

解：在单刚[]e

K 中，e

ij k 表示单元第j 个位移产生一单位位移，其它位移为零时，第i 个位移方向上引起的节点力。

在整体刚度中，ij K 表示第j 个自由度产生一单位位移，其它自由度为零时，第i 个自由度上引起的节点力。

4 简述虚功原理，且使用虚功原理导出外荷载与节点荷载的等效关系式。

解:虚功原理：变形体中任意满足平衡的力系在任意满足协调条件的变形状态上作的虚功等于零，即体系外力的虚

功与内力的虚功之和等于零。

设{}e

q 为外荷载（此处为体力），{}e

p 为节点荷载，{}e

w 为单元内位移场，{}e

δ为结点位移场 根据虚功原理{}

{}{}{}{}{}T

T

e e

e e

V

p w q dV δ=?

由于{}{}[]e e

w N δ=故

{}{}{}

{}

{}

{}{}

{}

{}[][]T

T

T

e e

e e

e e

T

T

V

V

V

w q dV N q dV N q dV δδ==???

则

{}{}{}{}{}

{}{}{}[][]T

T

e e

e e

e

e

T T V

V

p N q dV p N q dV δδ=?=??

5 试述弹性力学中按位移求解与有限单元法中按位移求解之间的异同点。 解：

6 如果三节点三角形单元绕其中某一个节点作小的刚体转动，其转角为，证明单元内所有的应力均为零。 解：在三角形单元中{}[][]{}D B σδ=

[]000000

1100000022i

j m j m m i

i j

i j m j m m i i j i i

j

j

m

m j m j m

m i

m i

i j

i j b b b y y y y y y B c c c x x x x x x A

A

c b c b c b x x y y x x y y x x y y ??

??

---????

==-+-+-+????????-+--+--+-?

??

? 由于三角形单元绕其中某一个节点作小的刚体转动，各节点的位移可表示为：00u u y

v v x θθ=-??=+?

则可知节点位移向量{}{}

0,0,,,,T

T

j j m m

y x y x δθθθθ=--

故应变{}[]{}000000110000220i m m i i j j j m m i i j j j m i m

m i

m i

i j

i j m

m y y y y y y y B x x x x x x x A

A x x y y x x y y x x y y y x θεδθθθ????

????---????-?

?????==-+-+-+=????????????-+--+--+-???

???

-??????

由于弹性矩阵[]D 为常量矩阵，应变向量{}ε为零向量，故{}[]{}D σε=为零向量，即单元内所有的应力为零。 7 二维单元在,x y 坐标内平面平移到不同位置，单元刚度矩阵相同吗？在平面内旋转时又怎样？试证明之。

解：二维单元在,x y 坐标内平面移到不同位置时，刚度矩阵相同。在平面内旋转时，刚度矩阵也相同。

刚度矩阵[][][][]2112

2

114(1)2

2r s r s

r s r s T rs r s r s r s r s r s b b c c b c c b EhA k B D B hA c b b c c c b b μμμμμμμ--??

++

??==??---?

?

++????

单元平移或旋转时，,i i b c 不变，故单元刚度矩阵不变。

8 判断有限元网格离散合理性

a) 对图1(a)所示的有限元网格，评论网格的优劣性，指出模型中的错误，并加以改正。 b) 评论图1(b)的网格划分合理吗?为什么?请加以改正。

图1 解：（a ）网格划分不合理。 1）无过渡单元 2）无边界条件

3）夹角区应力集中，应适当加密风格 4）对称结构网格应对称划分 （b ）不合理。

1）左部网格应适当加密

2）由于三角形单元会造成局部精度不够，过渡区可采用其它单元划分 3）右部单元的长宽比较大，就进行适当调整。

9 如图2所示，平面三角形构件以x-y 坐标系表示的刚度矩阵方程如下：

?????????????

?=???????????????????????

???------2211221145.25.25.25.25.25.25.45.25.20.55.283.15.283.15.21010y x y x y x y x P P P P v u v u

试建立以1x u ,1y u ,,2x u (与图中,2x P 同向的位移)及1x P ,1y P ,'

2x P

来表示的刚度矩阵方程。

解：用坐标变换{}[]{}'

T δδ=则[]111111''222''222cos sin x x x y y y x x x y x x u u u v v v T u u u v u u αα??????

????????????==????????????

???

?????????

其中[]1

0000

1

000cos 00

0sin 0T αα

?????

?=??????

， 由[]{}{}[][]{}{}'K P K T P δδ=?=

[][]1

00

010 2.5 1.83 2.510 2.5 2.964001001.83 2.5 5.0 2.5 1.83 2.5 2.5040002.5 4.5 2.5 2.5 2.5 4.50.5052.5 2.5 2.5 2.53 2.5 2.50.500

05K T ??

??--?????

????

?-???

???==??

????---??????

----??????????

11411''2210 2.5 2.96410 1.83 2.5 2.5020x x y y x x u P v P u P -??????

??????=????

??????????????

10 某平面结构采用四节点矩形单元和三节点三角形单元建立有限元计算模型，其如图3所示。试求结点2的等效荷载列阵{}2R 。 荷载作用于12-边上，故等效节点力只与12、号节点有关

解：单元①，

形函数12,(1)N N ξηηξ==-，在1η=边上，

121,1N N

ξξ

??==-?? 12120,0N N N N x y l l m m ξξξξξξ??????=+==+=??????

则ds ld ξξ== 线性分布面力{}0q q ξ??

=?

???

则1

2

110

3

y y l

ql

P N q ds ql

d ξξ===?

?

图5

形函数1231,,0s s N N N l l =-== 在1-2边上，{}0s q s q l ??

??

=??????

单元③，

{}{}010000[]010

001

20

00023

3T

T

S S l l T

s

s l l F N q ds ds s s s

q l l l ql ??

-??

??

??==?

?

????

-

??

????

??=

????

??

故节点2的等效荷载列阵{}2023R ql ????

=??

????

11 试求如图4所示的有限元网格的整体刚度矩阵，假设每个节点的自由度数为1，且设e

K 表示第e 个单元的单元 刚度矩阵（注意：结果应该用e

ij k 表示）。

解：单元刚度矩阵{}

(1)(1)(1)(1)11

12

1415

(1)(1)(1)(1)(1)

21222425(1)(1)(1)(1)41424445

(1)(1)(1)(1)515254

55k k k k k k k k K k k k k k k k k ??????=????????，{}(2)(2)(2)(2)

22232625(2)(2)(2)(2)(2)32

333635

(2)(2)(2)(2)52636665(2)(2)(2)(2)62

53

56

55k k k k k k k k K k k k k k k k k ??????=????????

{}

(3)(3)(3)555758

(3)

(3)(3)(3)75

7778(3)(3)(3)8587

88

k k k K k k k k k k ????=?????

?，{}(4)

(4)

(4)

555658(4)(4)(4)(4)65

6668

(4)(4)(4)8586

88

k k k K k k k k k k ????=??????

整体刚度矩阵：[](1)(1)

(1)(1)11121415(1)(1)(2)(2)(1)(1)(2)(2)

212222

23242525

26(2)(2)(2)(2)32333536(1)(1)(1)(1)41

424445

(1)(1)(2)(2)(1)(1)(2)(3)(4)(515252

5354

55555555

560

00

000000

000

0k k k k k k k k k k k k k k k k k

k k k K k k k k k k k k k k ++=++++2)(4)(3)(3)(4)5657

5858

(2)

(2)(2)(4)

(2)(4)(4)

62636565

6666

68(3)(3)(3)757778

(3)(4)(4)(3)(3)(4)8585

86

87

8888000000000

k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k ??????

????????++??++??????

??++??

12 图5中两个三角形单元组成平行四边形，已知单元①按局部编码,,i j m 的单元刚度矩阵K ①和应力矩阵S ①

是

(1)

806

626166126413.597.5313.53 1.59.535.5K ---?? ?

--- ? ?--= ?-- ? ?

- ? ???

对称(1)00303004

030120 1.5-1.5-0.5 1.5S ?? ?

= ? ?

-??－－－

按图5示单元②的局部编码写出K ②，S ②

。 解：由图可知(1)

(2)(1)(2)(1)(2),,m

i i j j m →→→

则由ii ij im jj

jm ij jj

jm mm

mi mm ii K K K K K K K K K K K K ????

????????

??????

??

?

得到(2)

9.53267.535.5643 1.580661661213.5913.5K -----??

?

-- ? ?--= ?-- ? ? ? ???

对称

(2)

3

000-300-1040-3-0.5 1.520-1.5-1.5S ?? ?= ? ???

13如图6所示8结点矩形单元(每边中点为结点), 3点为坐标原点，a=b=2，单元厚为t 。

①求该单元的位移函数和形函数和并检验其是否满足收敛性条件。 ②求在2-6-3边作用均布水平荷载q 时的等效结点荷载。 解：(1)位移函数：

2222

123456782222

910111213141516u x y x xy y x y xy v x y x xy y x y xy αααααααααααααααα?=+++++++?=+++++++?

引入无量纲的局部坐标,x y

a b

ξη=

=

则1313223,,22x x y y

n x y ++==

= 故12312311

0,,1,0,,122ξξξηηη======

1231231111

2()(1),4(1),2(),2()(1),4(1),2()2222

l l l p p p ξξξξξξηηηηηη=--=--=-=--=--=-

则2n =时，12120,1,0,1ξξηη====

12121,,1,l l p p ξξηη=-==-=

则角节点的形函数为

121111

4()(),4()()(1)2222N N ξηξηηξηξ=--=---

341111

4()(1)()(1),4()()(1)2222

N N ηηξξξξηη=----=---

边中节点的形函数为

56784(1),4(1)(1),4(1)(1),4(1)N N N N ξηξηηξξξηξηη=--=---=---=--

证明收敛性：

位移函数中

2222

123456782222

910111213141516u x y x xy y x y xy v x y x xy y x y xy

αααααααααααααααα?=+++++++?=+++++++? 19,αα表示刚体位移，23,αα和910,αα表示常应变，故位移函数具有完备性

设相邻单元公共边界上的直线方程是y b =（或x a =），代入位移函数中

222

136********

911141013161215()()()()u b b b b x b x v b b b b x b x

αααααααααααααααα?=+++++++?=+++++++? 为x （或y ）的2次函数，而边界上三点确定的位移函数为也为二次曲线，故单元在公共边界连续，

故位移函数收敛

(2)荷载作用在23-边上，故等效节点力只与263，，号节点有关

2631111

4()()(1)4(1)(1)4()(1)()(1)2222

N N N ηξηξηηξηηξξ=---=---=----，，

在0ξ=边上计算

i

N η

?? 632

41,4(12),43N N N ηηηηηη

???=-=-=-??? 3620,022N N N x y b b ηηηηη?????==++=?????

2ds d ηη== 1333023x x s qt P t N q ds qt N d η===?? 16660423x x s P t N q ds qt N d qt η===?? 1

2220

23x x s qt P t N q ds qt N d η===??

第四章

1经典梁理论和Timoshenko 梁理论有哪些相同点和哪些不同点?基于以上两种理论的梁单元各有何特性？ 解：

2 写出杆件的应变能计算公式，并给出推导过程。

解：将只考虑轴向变形的杆件划分成n 个单元，节点坐标为011,,,,,,i i n x x x x x +

单元的位移函数12()u x x αα=+ （1i i x x x -≤≤）

用形函数近似位移函数得11()()e e i i i i u x N x u N u --=+，其中1

111

(),()e

e i i i i i i i i x x x x N x N x x x x x ------=

=--

单元的应变{}{}1

1

[11][]e e i i i i du u B u dx x x ε-=

=-=- 单元的应力{}

[]e

i E E B u σε==

单元应变能{}{}{}{}1

11

11([][])2

22i i i

i x x

T T T

e T e e e e

i i i i i x x U Adx u B EA B dx u u K u εσ++??=

==???

? 其中1

111[][]11i i

x e

T i

i i

x EA

K B EA

B dx x x ++-????=

=????--??

? 3在杆系系统中,除了采用凝聚自由度的方法实现铰接端条件， 还有什么方法可以实现以上条件，并比较这几种方

法的优缺点。 解：

4利用最小势能原理，推导图1所示弹性基础上梁单元方程，其中该梁的势能为：

2

2

001(")22

L

L L f p k v EI v dx dx wvdx ∏=+-?

??

图1

解：根据最小势能原理可知0p δ∏=

故有0

('')''0l

l

l

p f EIv v dx k v vdx w vdx δδδδ∏=+-=???

由于v δ的任意性故控制微分方程为('')''0f EIv k v w +-=

此梁的位移函数{}11213344()()()()()[]h

e

e

e

e

v x N x v N x N x v N x N d θθ=+++=，则{}{}[]v N d δ=

由于物理关系可知[]{}''()v x B d =则{}{}''[]v B d δδ=

由0

('')''0l

l

l

f EIv v dx k v vdx w vdx δδδ+-=???

得

{}{}

{}{}

{

}

{}{}

{

}

{}1

1

1

11

1

([][])([][])([])

([][][][])[]

i i i i

i

i

i i i i

i

i

x x x T

T

T

e e

e e

e T T T

f x x x x x x e

T T

T

f x x x d B EI B dx d d N k N dx d d N wdx B EI B dx N k N dx d N wdx

δδδ+++++++-+

=??????

则梁单元刚度方程为[]{}{}e e e

k d F = 其中[]1

1

[][][][]i i i

i

x x e

T

T

f

x x k EI

B B dx k N N dx ++=+?? {}1

[]i i

x e

T x F N wdx +=

? 5 图2所示刚架

1) 如何进行节点编号使整体刚度矩阵[K]的带宽最小？

2) 刚架的整体刚度矩阵中a 节点的总刚度矩阵K aa 和的总刚度矩阵K bc 各由哪些单元的哪些分块矩阵叠加组成

（自行确定单元局部坐标方向）

3) 试按照二维等带宽存储和一维变带宽存储方式确定K aa 中对角元素的在相应存储数组中的位置。

图2 有铰点的刚架

解：1）考虑每个节点有两个自由度

由于半带宽d=（相邻结点码的最大差值+1）*2

故节点编号如图所示可使单元内节点编码相差3，使得带宽d=8

2）(2)(3)(4)(5)22221111aa K K K K K =+++ (6)

12bc K K =

3）考虑单元①节点1自由度的凝聚

可知aa K 中对角线元素在原整体刚度矩阵中第6行第7列和第7行第8列 则用二维等带宽存储后在矩阵中的第6行第2列和第7行第2列

用一维变带宽存储后在aa K 中对角线元素在数组中的位置为9和10 (1)(1)000000000

1112(1)(1)(2)(2)00000000212211

12(3)

(3)00

1112(2)(3)

2222

(2)

(3)(4)(5)

00

000

021

21

1212

(4)(5)1111

(4)(4)(6)

(6)

00000000

212211

12(7)(7)00

01112(5)(000021

21

K K K K

K K K K K

K K

K

K K K K K K

K K K K K

K

+++++(5)(7)

2222

7)(8)00

12(8)(9)1111

(6)(8)(6)(8)(10)

(10)00000002121222211

12(11)(11)000000000

1112

(9)(11)(9)(11)(12)

(12)

00000002121222211

12

(10)

(12)

(10)(12)00

21

21

2222K

K K K K K

K K

K K K K K K K K

K K K K K K K ++++++++??????

????

???????????

????????????

????????????????

?????????????

第五章

1根据以下形函数表达式

323

3223123332322343311(23)(2)11(23)()

N x x L L N x L x L xL L L

N x x L N x L x L L L =

-+=-+=-+=-

画出形函数N 1和N 3以及导数(dN 2/dx)和(dN 4/dx),它们代表梁单元整个长度上形状变化。

2、对于图1中给出的四节点二次应变一维等参单元，试确定： a) 形函数N 1，N 2,N 3，N 4； b) 单元刚度矩阵[k]。

图1

解：（a ）由拉格朗日插值函数可知

2111()()(1)2122()(1)1134(1)(1)(11)22N ξξξξξ+--==---+----，221

(1)()(1)

412(1)()111132(1)()(1)2222

N ξξξξξ+--==---+----

231(1)()(1)412(1)()111132(1)()(1)2222N ξξξξξ++-==--+++-， 2411

(1)()()

2122()(1)1134(11)(1)(1)22

N ξξξξξ++-=

=-+++- （b ）一维问题中，单元刚度矩阵1

1

1

1

[][][][][][]T

T k B D B J d E B B J d ξξ--==?

?

211(8121)6N ξξξ?=-+?，224(31)3N ξξξ?=--?，234(31)3N ξξξ?=-+-?，241

(8121)6

N ξξξ?=++? 123124344,,,3

x x N N N N J x x ξξξξ??

??

????????==????????????????

2

21

2

222212

1(8121)64(31)414

4

13[](8121)

(31)(31)(8121)436

33

6(31)31(8121)6k E d ξξξξξξξξξξξξξξξξξ-??-+??????--????=-+--+-++??????

??+-????

??++??

?

3试利用变节点数法构造插值函数的，构造出图2所示的三次三角形单元的形函数及相应的位移函数。

3

2

图2

解：位移函数：

223223

12345678910223223

11121314151617181920u x y x xy y x x y xy y v x y x xy y x x y xy y

αααααααααααααααααααα?=+++++++++?=+++++++++? （1）构造不考虑边节点和内部节点的角节点的插值函数：112233

???,,N L N L N L === （2）构造不考虑内部节点的边节点的插值函数：

4122272?()23N L L L =-，5121272?()23N L L L =-，6233

272?()23N L L L =- 7232272?()23N L L L =-，8131272?()23N L L L =-，9133

272?()23

N L L L =- （3）内部节点插值函数：123

1012327111(0)(0)(0)333

L L L N L L L ==---

（4）修正边中点的插值函数：

4410122123121

1272279?()(31)22322N N N L L L L L L L L L =-=--=- 同理得551012219?(31)22N N N L L L =-=-，6610232

19?(31)22N N N L L L =-=- 771023319?(31)22N N N L L L =-=-，8810133

19?(31)22N N N L L L =-=- 9910131

19?(31)22

N N N L L L =-=- （4）修正角节点的插值函数：

11495810

1121131122133123111211?()()3332991991

[(31)(31)][(31)(31)]2732232231

(31)(32)2

N N N N N N N L L L L L L L L L L L L L L L L L L L =-+-+-=-?-+--?-+--?=--

22564710

2122232121233123222211?()()3332991991

[(31)(31)][(31)(31)]2732232231

(31)(32)2

N N N N N N N L L L L L L L L L L L L L L L L L L L =-+-+-=-?-+--?-+--?=--

33786910

3233133232131123333211?()()3332991991

[(31)(31)][(31)(31)]2732232231

(31)(32)2

N N N N N N N L L L L L L L L L L L L L L L L L L L =-+-+-=-?-+--?-+--?=--

4试构造如图3所示的15结点三棱柱体单元的插值函数，并判断其构造的位移函数是否收敛。 解：（1）不考虑边中点构造三角形角节点的插值函数：

11111?(1)112N L L ζζ+==++，222

11?(1)112N L L ζζ+==++ 33311?(1)112N L L ζζ+==++，411

11?(1)112N L L ζζ-==--- 52211?(1)112N L L ζζ-==---，633

11?(1)112

N L L ζζ-==--- （2）构造三角形边中点的插值函数：

1210121

2(1)

1111(0)(0)22L L N L L ζζ+=

=++--2311231

2(1)

11

11(0)(0)22

L L N L L ζζ+==++--1312131

2(1)

11

11(0)(0)22L L N L L ζζ+==++--，

1213121

2(1)1111(0)(0)22L L N L L ζζ-==-----

2314231

2(1)

11

11(0)(0)22L L N L L ζζ-==-----，

1315131

2(1)1111(0)(0)22L L N L L ζζ-==-----

（3）构造四边形边中点的插值函数：

271

1(1)(1)(1)(01)(01)N L L ζζζ-+==--+，2822(1)(1)(1)(01)(01)N L L ζζζ-+==--+，2933(1)(1)

(1)(01)(01)

N L L ζζζ-+==--+

（4）修正角节点的插值函数：

2111012711213112311111?()(1)[2(1)2(1)](1)22222

1

(1)(22)2

N N N N N L L L L L L L L L ζζζζζζ=-+-=+-+++--=+--

22210118212232

21311111?()(1)[2(1)2(1)](1)22222

1

(1)(22)2

N N N N N L L L L L L L L L ζζζζζζ=-+-=+-+++--=+--

23311129323133

31211111?()(1)[2(1)2(1)](1)22222

1

(1)(22)2

N N N N N L L L L L L L L L ζζζζζζ=-+-=+-+++--=+--

24413157112131

12311111?()(1)[2(1)2(1)](1)22222

1

(1)(22)2

N N N N N L L L L L L L L L ζζζζζζ=-+-=---+---=-++

25513148212232

21311111?()(1)[2(1)2(1)](1)22222

1

(1)(22)2

N N N N N L L L L L L L L L ζζζζζζ=-+-=---+---=-++

26614159323133

31211111?()(1)[2(1)2(1)](1)22222

1

(1)(22)2

N N N N N L L L L L L L L L ζζζζζζ=-+-=---+---=-++

第六章

1 等参元的收敛性证明。 证明：

（1）协调性：考察单元之间的公共边，为了保证协调性，相邻单元在这些公共边（或面）上应有完全相同的结点，

同时每一单元沿这些边的坐标和未知函数应采用相同的插值函数加以确定。

（2）完备性： 三维等参元中1

n i i

i x N x ==

∑，1

n i i

i y N y ==∑， 1

n

i i

i z N z ==∑

有限元中，将场函数离散为各个单元局部场函数的集合体1

n

i i

i N φφ==∑

单元内场函数为i i i i a bx cy dz φ=+++ 则1

1

1

1

1

1

1

()n n n

n n n n

i i

i

i

i

i

i

i i i i i i i i i i i i i i N N a bx cy dz a N

b N x

c N y

d N z a N bx cy dz φφ========

=+++=+++=+++∑∑∑∑∑∑∑

当

1

1n

i

i N

==∑时，表明单元能够表示线性变化的场函数，满足了完备性的要求。

2 等参元的优点是什么？

解：1）等参单元为协调元，满足有限元解收敛的充要条件 2）将不规则单元转换为规则母单元后，容易构造位移函数和形函数 3）当单元边界呈二次以上的曲线时，容易用很少的单元去逼近曲线边界

3 什么是位移的零能模式，在什么条件下会发生？如何检验它是否存在和如何防止它的出现。

解：（1）由于采用减缩积分方案导致其应变能为零，而自身有别于刚体运动的位移模式称为位移的零能模式。 （2）通过检查K 的非奇异性条件是否得到满足来验证是否存在零能模式。

（3）高斯积分点提供应变分量的数目g M n d ??大于系统独立自由度数目N ，是保证系统刚度矩阵K 非奇异性

的必要条件。系统不出现对应于除刚体运动以外位移模式的零特征值，是保证系统刚度矩阵K 非奇异性的充分条件。

4 请阐说减缩积分概念,并分析其优缺点.

解:在数值积分中，能够保证不降低收敛速度的条件下求解各种条件有限元问题的最小阶次，比精确积分低阶的积分可称为减缩积分。

一维问题刚度矩阵的积分中，如果插值函数N 中的多项式阶数为P ，微分算子L 中的导数的阶次是m ，则有限元得到的被积函数是2()p m -次多项式。为了保证原积分的精度，选择高斯积分的阶次1n p m =-+，可精确积分至2()1p m -+次多项式，可达到精确积分刚度矩阵的要求。在二维单元和三维单元中仍按1n p m =-+来确定积分阶次，即高斯积分阶数低于被积函数所有项次精确积分所需要阶数的积分方案，称为减缩积分。

优缺点：

（1）精确积分是由插值函数中非完全项的最高方次所要求，而决定有限元精度的通常是完全多项式的方次。这些非完全的最高方次项往往不能提高精度，反而带来不好影响。取较低阶的高斯积分，使积分精度正好保证完全多项式方次的要求，而不包括更高次的非完全多项式的要求，在一定情况下改善了单元的精度。

（2）在最小位能原理基础上建立的位移有限元，位移解具有下限性质。有限元的计算模型具有较实际结构偏大的整体刚度。选取减缩积分方案使有限元计算模型的刚度有所降低，有助于提高计算精度。 （3）采用减缩积分可能使系统刚度矩阵K 奇异，出现有别于刚体运动的位移零能模式。

5 如需要对二维三次Serendipity 单元进行精确积分，试讨论所需的Gauss 积分的阶次（假定J 为常数）。 解：插值函数N 中的多项式阶数为4，微分算子L 中的导数的阶次是1

被积函数是非完全次项的最高次为6次多项式，完全项的最高次为4次多项式

若为精确积分，需要高斯积分点61

3.52

n +≥=故积分点数目为44? 若为减缩积分，需要高斯积分点4113n =-+=故积分点数目为33?

6 求图1所示单元的节点等效荷载；

图1

解：14(1)(1),(1)N N ξηηξ=--=- 在0ξ=上

141,1N N

ηη

??=-=?? 则

1414033,044N N N N x y ηηηηηη

??????=+==+=??????

5ds d ηη== {}0500(1)q η??=??-?? {}[]T e

x y s

q P N ds q ??

=????

? 1

2

110

2500

2500(1)3

y y s

P N q ds d ηη==-=??

1

440

2500

2500(1)6

y y s

P N q ds d ηηη==-=

??

7如图2所示12节点正方形单元，求其Jacobi 行列式J ;

图2

解：求形函数：

（1） 构造角节点形函数：

1234

1111????(2)(2),(2),,(2)4444

N N N N ξηξηξηηξ=--=-==- （2） 构造边节点的形函数：

56()(2)(2)

()(2)(2)

,2()(2)

2()(2)

b a N N a a b a b b a b ξξξηξξξη------=

=

----，910()(2)

()(2)

,2()(2)

2()(2)

b a N N a a b a b b a b ξηξξξηξξ----=

=

----

78()(2)

()(2)

,2()(2)

2()(2)

b a N N a a b a b b a b ξηηηξηηη----=

=

----，1112()(2)(2)

()(2)(2)

,2()(2)

2()(2)

b a N N a a b a b b a b ηηηξηηηξ------=

=

----

（3） 修正角节点形函数：

2211510611

211?(2)()(2)()44

1()(2)(2)()(2)

(1)(1)(2)[]

42()(2)2()(2)

N N a N N b N N b a a a a b a b b a b ξξξηξηξξξη=--+--+-----=----+----

8试构造如图3所示的6结点斜三棱柱体等参单元的插值函数，并证明其合理性。

图3

解：对图中6结点斜三棱柱体进行等参变换

11

122

233

311

11

11

(1),(1),(1)112112112N L L N L L N L L ζζζζζζ+++==

+==

+==

++++

411222333111111

(1),(1),(1)112112112

N L L N L L N L L ζζζζζζ---==-==-==-------

9空间八结点等参数单元各边与坐标轴x,y,z 平行，在y 方向作用有线性变化体力，若用高斯积分法分析结点荷载

{}[]{}{}ζηξd d d J p N R T e ???---=11111

1的精确值，试求所需要的最少积分点数。

解：空间八结点等参单元中形函数的阶次为1，且y 方向作用有阶次为1的线性变化体力，由于单元各边与坐标轴x,y,z 平行，故J 为常数，故被积函数的阶次为2

精确积分所需要高斯积分点121

1.522

P n ++≥

==，积分点数为222?? 第七章

1 采用矩形薄板单元计算薄壳问题时，其单刚方程有何特点？

解：采用矩形薄板单元计算薄壳时，为了简单计算，平板的面内变形与弯曲变形可认为是互不影响的，即板内变形和受力可看成是平面应力和平板弯曲两状态的迭加，结点未知数为,,,,,x y z u v w θθθ 单刚方程{}[]{}F k δ=中{}

e p e

b δδδ??=????，{}e

p e

b F F F ??=????

其中{}{},e

e x p b y z w u v θδδθθ??

??????==????????????，{}{},e

e x p b

y z W M U F F M V M θθθ????????==????????

????

特点：（1）基于（克希霍夫假设）中面无伸缩假设，可知,u v 与,,,x y z w θθθ无关。

（2）由于平行于中面的各层相互不挤压，不拉伸，沿z 方向不会引起翘曲，故,U V 与,,,x y z W M M M θθθ无关 （3）z θ对结点力不起作用，但为了计算不共面的相邻单元的弯扭应力，必须考虑。 （4）z θ和z M θ对应的刚度系数设定为零。 2设薄板矩形单元，节点的位移未知数为：{}i i xi yi xyi w δθθθ??=??

若位移模式取

2232233322123456789101112132

3

3

2

3

3

141516(,)w x y x y x xy y x xy x y y x y xy x y x y x y x y

αααααααααααααααα=+++++++++++++++

试判断该位移模式是否收敛？

解：位移函数：

2232233322123456789101112132

3

3

2

3

3

141516(,)w x y x y x xy y x xy x y y x y xy x y x y x y x y

αααααααααααααααα=+++++++++++++++

2232222332356891011121314151622332323x w

x y xy x y x xy x y x y x y x y y

θαααααααααααα?=

=+++++++++++?2223232223245789111213141516(23232233)y w

x y x y xy x y y xy xy x y x y x

θαααααααααααα?=-

=-+++++++++++?222222258911121314151622334669xy w y x x y xy xy x y x y x y

θααααααααα?==++++++++??

完备性：挠度位移曲线中123x y ααα++代表薄板的刚体位移，其中1α代表薄板在z 方向的移动，2α和3α分别代表薄板单元绕y 轴和x 轴的刚体转动。

22456x xy y ααα++代表薄板弯曲的常应变（常曲率和常扭率）

{}{}22246522,,22,2,2T

T

w w w x

y x y χααα?????=---=---????????

则挠度位移曲线(,)w x y 满足完备性要求

连续性：当x=常数(或y=常数)的边界上，挠度位移曲线(,)w x y 是三次变化的曲线，可由两端节点的挠度值和转角值可唯一确定，故在单元交界面上(,)w x y 是连续的。x θ和y θ也分别是x 和y 的三次曲线，由两端节点的转角和扭率可唯一确定，则xy θ也可唯一确定，故转角位移函数连续。 所以，该位移模式收敛。

3 论证矩形4节点12自由度薄板单元是完备的非协调单元。

解：由于薄板弯曲变形时，可由中面的挠度(,)w x y 表示，故4节点12自由度薄板单元的位移函数

22322333123456789101112(,)w x y x y x xy y x x y xy y x y xy αααααααααααα=+++++++++++

2232356891011122233x w

x y x xy y x xy y

θαααααααα?=

=+++++++? 22232457891112(2323)y w

x y x xy y x y y x

θαααααααα?=-

=-+++++++? 完备性：挠度位移曲线中123x y ααα++代表薄板的刚体位移，其中1α代表薄板在z 方向的移动，2α和3α分别代表薄板单元绕y 轴和x 轴的刚体转动。

22456x xy y ααα++代表薄板弯曲的常应变（常曲率和常扭率）

{}{}222465

22,,22,2,2T

T

w w w x

y x y χααα?????=---=---???????? 则挠度位移曲线(,)w x y 满足完备性要求

连续性：当x=常数或y=常数的边界上，挠度位移曲线(,)w x y 是三次变化的曲线，可由两端节点的挠度值和转角值

唯一确定，故在单元交界面上(,)w x y 是连续的。x θ和y θ分别是x 和y 的三次曲线，但是由两端节点的转角不能唯一确定，故转角位移函数不连续。 所以，薄板矩形单元是非协调单元。

4. 四边固定的正方形薄板，边长为4m ，板厚为0.1m ，弹性模量E 为常量，6

1=μ。在板中心还联结有4根弹性

杆件支承，杆长均为4m ，所有杆与地面的夹角都为45o

,弹性模量也为E ，截面积为0.04m 2

。图4(1)为结构示意图，其中A-A,B-B 剖面见图4(2)，当板上受均匀分布荷载q 0作用时，试求单元○1中点1的挠度（见图4(1)）

图4(1) 图4 (2) A-A 、B-B 剖面

解：分析单元①，14

l

a b === （1） 等效节点荷载:

{}

011

1111

111

1114412

124121241212

41212T

e

R q ??

=-

---????

（2） 引入边界条件后

{}{}100000000000e

T

w δ=

（3） 考虑弹性支承杆的刚度

0.044cos 4540.007074442

EA E E l ?

?=??=? （4） 在单刚方程中引入边界条件，并叠加弹性支承杆的刚度

3102[(816)4cos 45]360(1)4Et EA w q l

μμ-+??=- 代入数据得0

1137.013

q w E

=