2020年广东省佛山市顺德区中考数学模拟试卷

中考数学模拟试卷

题号一二三总分

得分

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）

1.下列计算正确的是（）

A. -|-3|=-3

B. 30=0

C. 3-1=-3

D. =±3

2.如图，AB∥CD，∠CDE=140°，则∠A的度数为（）

A. 140°

B. 60°

C. 50°

D. 40°

3.估计+1的值在（）

A. 2 到3 之间

B. 3 到4 之间

C. 4 到5 之间

D. 5 到6 之间

4.一元二次方程x2-6x-5=0配方后可变形为（）

A. （x-3）2=14

B. （x-3）2=4

C. （x+3）2=14

D. （x+3）2=4

5.点P（2，-3）关于原点对称的点的坐标是（）

A. （-2，-3）

B. （2，3）

C. （-2，3）

D. （-3，2）

6.下列运算正确的是（）

A. x2?x3=x6

B. （-2x2）2=-4x4

C. （x3）2=x6

D. x5÷x=x5

7.将抛物线y=3x2向左平移2个单位，再向下平移1个单位，所得抛物线为（）

A. y=3（x-2）2-1

B. y=3（x-2）2+1

C. y=3（x+2）2-1

D. y=3（x+2）2+1

8.在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13，AC=5，则sin A的值为（）.

A. B. C. D.

9.如图是反比例函数y=在第二象限内的图象，若图中的矩形

OABC的面积为2，则k的值为（）

A. -2

B. 2

C. 4

D. -4

10.如图，在边长为2的正方形ABCD中，M为边AD的中点，延

长MD至点E，使ME＝MC，以DE为边作正方形DEFG，点

G在边CD上，则DG的长为( )

A. －1

B. 3－

C. ＋1

D. －1

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11.若3a=5b，则=______．

12.太阳半径约为696 000千米，数字696 000用科学记数法表示为______．

13.分解因式：x3y-xy3=______．

14.不等式2x-1＞3的解集是______．

15.已知α是锐角，且tan（90°-α）=，则α=______．

16.抛物线y=2（x-3）2+4的顶点坐标是______．

三、解答题（本大题共9小题，共67.0分）

17.方程x2-4=0的解是______．

18.解方程：x2-4x+1=0．

19.计算：tan60°-|-2sin30°|-2cos245°

20.在△ABC中，AB=AC

（1）求作一点P，使点P为△ABC的外接圆圆心．（保留作图痕迹，不写作法）

（2）若∠A=50°，求∠PBC的度数．

21.“六?一”前夕，质检部门从某超市经销的儿童玩具、童

车和童装中共抽查了300件儿童用品．以下是根据抽查

结果绘制出的不完整的统计表和扇形图：

类别儿童玩具童车童装

抽查件数90______ ______

请根据上述统计表和扇形图提供的信息，完成下列问题：

（1）补全上述统计表和扇形图；

（2）已知所抽查的儿童玩具、童车、童装的合格率分别为90%、88%、80%，若从该超市的这三类儿童用品中随机购买一件，买到合格品的概率是多少？

22.如图，在扇形OAB中，∠AOB=90°，半径OA=2，将扇形OAB

沿过点B的直线折叠，使点O恰好落在弧AB上的点D处，折

痕为BC，求图中阴影部分的面积．

23.如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y1=ax+b（a，b为常数，且a≠0）与反

比例函数y2=（m为常数，且m≠0）的图象交于点A（-2，1）、B（1，n）．

（1）求反比例函数和一次函数的解析式；

（2）连结OA、OB，求△AOB的面积；

（3）直接写出当y1＜y2＜0时，自变量x的取值范围．

24.如图，在?ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于点E，BF平分∠ABC，交AD于点F，

AE与BF交于点P，连接EF，PD．

（1）求证：四边形ABEF是菱形；

（2）若AB=4，AD=6，∠ABC=60°，求tan∠ADP的值．

25.矩形OABC在直角坐标系中的位置如图所示，A、C两点的坐标分别为A（10，0）、

C（0，3），直线与BC相交于点D，抛物线y=ax2+bx经过A、D两点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）连接AD，试判断△OAD的形状，并说明理由．

（3）若点P是抛物线的对称轴上的一个动点，对称轴与OD、x轴分别交于点M、N，问：是否存在点P，使得以点P、O、M为顶点的三角形与△OAD相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】A

【解析】解：A、-|-3|=-3，此选项正确；

B、30=1，此选项错误；

C、3-1=，此选项错误；

D、=3，此选项错误．

故选：A．

A、根据绝对值的定义计算即可；

B、任何不等于0的数的0次幂都等于1；

C、根据负整数指数幂的法则计算；

D、根据算术平方根计算，直接求9的算术平方根即可．

再比较结果即可．

本题考查了绝对值、零指数幂、算术平方根、负整数指数幂，解题的关键是掌握这些运算的运算法则．

2.【答案】D

【解析】解：∵∠CDE=140°，

∴∠ADC=180°-140°=40°，

∵AB∥CD，

∴∠A=∠ADC=40°．

故选：D．

先求出∠CDE的邻补角，再根据两直线平行，内错角相等解答．

本题考查了两直线平行，内错角相等的性质，熟记性质是解题的关键．

3.【答案】B

【解析】解：∵2＜3，

∴3＜+1＜4，

故选：B．

首先确定在整数2和3之间，然后可得+1的值在3 到4 之间．

此题主要考查了估算无理数，关键是掌握用有理数逼近无理数，求无理数的近似值．4.【答案】A

【解析】解：x2-6x-5=0，

x2-6x=5，

x2-6x+9=5+9，

（x-3）2=14，

故选：A．

先把方程的常数项移到右边，然后方程两边都加上32，这样方程左边就为完全平方式．本题考查了利用配方法解一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）：先把二次系数变为1，即方程两边除以a，然后把常数项移到方程右边，再把方程两边加上一次项系数的一半．5.【答案】C

【解析】解：已知点P（2，-3），

则点P关于原点对称的点的坐标是（-2，3），

故选：C．

根据平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（-x，-y），即关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数．

本题主要考查了关于原点的对称点的性质，正确把握横纵坐标的关系是解题关键．6.【答案】C

【解析】解：A、原式=x5，故本选项错误；

B、原式=4x4，故本选项错误；

C、原式=x6，故本选项正确；

D、原式=x4，故本选项错误．

故选：C．

分别根据同底数幂的除法，熟知同底数幂的除法及乘方法则、合并同类项的法则、幂的乘方与积的乘方法则对各选项进行计算即可．

本题考查的是同底数幂的除法，熟知同底数幂的除法及乘方法则、合并同类项的法则、幂的乘方与积的乘方法则是解答此题的关键．

7.【答案】C

【解析】解：抛物线y=3x2向左平移2个单位，再向下平移1个单位后的抛物线顶点坐标为（-2，-1），

所得抛物线为y=3（x+2）2-1．

故选：C．

先求出平移后的抛物线的顶点坐标，再利用顶点式写出抛物线解析式即可．

本题考查了二次函数图象与几何变换，求出平移后的抛物线的顶点坐标是解题的关键．8.【答案】B

【解析】【分析】

本题考查的是锐角三角函数的定义及勾股定理，掌握锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦是解题的关键．

根据勾股定理求出BC，根据正弦的定义计算即可．

【解答】

解：在Rt△ABC中，由勾股定理得，BC==12，

∴sin A==，

故选B．

9.【答案】A

【解析】解：因为反比例函数y=，且矩形OABC的面积为2，

所以|k|=2，即k=±2，

又反比例函数的图象y=在第二象限内，k＜0，

所以k=-2．

故选：A．

过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的矩形面积S 是个定值|k|，再由反比例的函数图象所在象限确定出k的值．

本题主要考查了反比例函数中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得三角形面积为|k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，

做此类题一定要正确理解k的几何意义．

10.【答案】D

【解析】解：∵四边形ABCD是正方形，M为边DA的中点，

∴DM=AD=DC=1，

∴CM==，

∴ME=MC=，

∵ED=EM-DM=-1，

∵四边形EDGF是正方形，

∴DG=DE=-1．

故选：D．

利用勾股定理求出CM的长，即ME的长，有DE=DG，可以求出DE，进而得到DG的长．

本题考查了正方形的性质和勾股定理的运用，属于基础题目．

11.【答案】

【解析】解：∵3a=5b，

∴=．

故答案为．

根据=，则有ac=bd求解．

本题考查了比例的性质：若=，则ac=bd．

12.【答案】6.96×105

【解析】解：696000=6.96×105．

故答案为：6.96×105．

科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．本题中696 000有6位整数，n=6-1=5．

此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|

＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

13.【答案】xy（x+y）（x-y）

【解析】解：x3y-xy3，

=xy（x2-y2），

=xy（x+y）（x-y）．

首先提取公因式xy，再对余下的多项式运用平方差公式继续分解．

本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式，要首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．

14.【答案】x＞2

【解析】解：2x-1＞3，

移项得：2x＞3+1，

合并同类项得：2x＞4，

不等式的两边都除以2得：x＞2，

故答案为：x＞2．

移项后合并同类项得出2x＞4，不等式的两边都除以2即可求出答案．

本题主要考查对不等式的性质，解一元一次不等式等知识点的理解和掌握，能根据不等式的性质正确解不等式是解此题的关键．

15.【答案】30°

【解析】解：∵tan（90°-α）=，

∴90°-α=60°，

∴α=30°．

故答案为：30°．

先求出90°-α的度数，然后求出α 的度数．

本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值．16.【答案】（3，4）

【解析】解：抛物线y=2（x-3）2+4的顶点坐标是（3，4），

故答案为：（3，4）．

直接根据二次函数的顶点式进行解答即可．

本题考查的是二次函数的性质，熟知二次函数的顶点式是解答此题的关键．

17.【答案】±2

【解析】解：x2-4=0，

移项得：x2=4，

两边直接开平方得：x=±2，

故答案为：±2．

首先移项可得x2=4，再两边直接开平方即可．

此题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成x2=a（a≥0）的形式，利用数的开方直接求解．

18.【答案】解：x2-4x+1=0

x2-4x+4=3

（x-2）2=3

x-2=

∴x1=2+，x2=2-；

【解析】根据配方法可以解答此方程．

本题考查解一元二次方程-配方法，解答本题的关键是会用配方法解方程的方法．19.【答案】解：原式=×-|-2×|-2×，

=3-|-1|-2×，

=3-1-1，

=1．

【解析】首先代入特殊角的三角函数值，然后再计算绝对值和乘方，再算乘法，后算加减即可．

此题主要考查了实数的运算，关键是掌握特殊角的三角函数值．

20.【答案】解：（1）如图，点P即为△ABC的外接圆圆心；

（2）∵AB=AC，∠BAC=50°，

∴AD⊥BC，∠BAD=BAC=25°，

∵PA=PB，

∴∠BPD=2∠BAP=50°，

∵∠BDP=90°，

∴∠PBD=90°-50°=40°．

即∠PBC=40°

答：∠PBC的度数为40°．

【解析】（1）根据三角形外心是三角形三条边的垂直平分线的交点即可求得点P；（2）根据等腰三角形的性质，∠A=50°，即可求∠BPD的度数，进而求得∠PBC的度数．本题考查了作图-复杂作图，解决本题的关键是掌握等腰三角形的性质、三角形的外接圆与外心．

21.【答案】（1)75；135;

（2）根据题意得出：

=0.85．

答：从该超市这三类儿童用品中随机购买一件买到合格品的概率是0.85．

【解析】解：（1）解：（1）童车的数量是300×25%=75，

童装的数量是300-75-90=135，

儿童玩具占得百分比是×100%=30%，

童装占得百分比1-30%-25%=45%，

如图；

类别儿童玩具童车童装

抽查件数9075135

（2）见答案．

（1）根据童车的数量是300×25%，童装的数量是300-75-90，儿童玩具占得百分比是×100%，童装占得百分比1-30%-25%=45%，即可补全统计表和统计图；

（2）先分别求出儿童玩具、童车、童装中合格的数量之和，再根据概率公式计算即可．本题考查的是统计表和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键，扇形统计图能够清楚地表示各部分所占的百分比．

22.【答案】解：连接OD．

根据折叠的性质，CD=CO，BD=BO，∠DBC=∠OBC，

∴OB=OD=BD，

即△OBD是等边三角形

∴∠DBO=60°，

∴∠CBO=∠DBO=30°，

∵∠AOB=90°，

∴OC=OB?tan∠CBO=2×=，

∴S△BDC=S△OBC=×OB×OC=×2×=，

S扇形AOB==π，

∴阴影部分的面积为：S扇形AOB-S△BDC-S△OBC=π---=．

【解析】首先连接OD，由折叠的性质，可得CD=CO，BD=BO，∠DBC=∠OBC，则可得△OBD是等边三角形，继而求得OC的长，即可求得△OBC与△BCD的面积，又在扇形OAB中，∠AOB=90°，半径OA=2，即可求得扇形OAB的面积，继而求得阴影部分面积．

此题考查了折叠的性质、扇形面积公式以及直角三角形的性质．此题难度适中，注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法．

23.【答案】解：（1）∵A（-2，1），

∴将A坐标代入反比例函数解析式y2=中，得m=-2，

∴反比例函数解析式为y=-；

将B坐标代入y=-，得n=-2，

∴B坐标（1，-2），

将A与B坐标代入一次函数解析式中，得

，

解得a=-1，b=-1，

∴一次函数解析式为y1=-x-1；

（2）设直线AB与y轴交于点C，

令x=0，得y=-1，

∴点C坐标（0，-1），

∴S△AOB=S△AOC+S△COB=×1×2+×1×1=；

（3）由图象可得，当y1＜y2＜0时，自变量x的取值范围x＞1．

【解析】（1）将A坐标代入反比例函数解析式中求出m的值，即可确定出反比例函数解析式；将B坐标代入反比例解析式中求出n的值，确定出B坐标，将A与B坐标代入一次函数解析式中求出a与b的值，即可确定出一次函数解析式；

（2）设直线AB与y轴交于点C，求得点C坐标，S△AOB=S△AOC+S△COB，计算即可；（3）由图象直接可得自变量x的取值范围．

本题属于反比例函数与一次函数的交点问题，涉及的知识有：待定系数法求函数解析式，三角形面积的求法，坐标与图形性质，利用了数形结合的思想，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．

24.【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边

形，

∴AD∥BC．

∴∠DAE=∠AEB．

∵AE是角平分线，

∴∠DAE=∠BAE．

∴∠BAE=∠AEB．

∴AB=BE．

同理AB=AF．

∴AF=BE．

∴四边形ABEF是平行四边形．

∵AB=BE，

∴四边形ABEF是菱形．

（2）解：作PH⊥AD于H，

∵四边形ABEF是菱形，∠ABC=60°，AB=4，

∴AB=AF=4，∠ABF=∠AFB=30°，AP⊥BF，

∴AP=AB=2，

∴PH=，DH=5，

∴tan∠ADP==．

【解析】（1）根据平行四边形和角平分线的性质可得AB=BE，AB=AF，AF=BE，从而证明四边形ABEF是菱形；

（2）作PH⊥AD于H，根据四边形ABEF是菱形，∠ABC=60°，AB=4，得到AB=AF=4，∠ABF=∠ADB=30°，AP⊥BF，从而得到PH=，DH=5，然后利用锐角三角函数的定义求解即可．

本题考查了菱形的判定及平行四边形的性质，解题的关键是牢记菱形的几个判定定理，

难度不大．

25.【答案】解：（1）由题意得，点D的纵坐标为3，

∵点D在直线y=x上，

∴点D的坐标为（9，3），

将点D（9，3）、点A（10，0）代入抛物线可得：，

解得：，

故抛物线的解析式为：y=-x2+x．

（2）∵点D坐标为（9，3），点A坐标为（10，0），

∴OA=10，OD==3，AD==，

从而可得OA2=OD2+AD2，

故可判断△OAD是直角三角形．

（3）①由图形可得当点P和点N重合时能满足△OPM∽△ODA，

此时∠POM=∠DOA，∠OPM=∠ODA，

故可得△OPM∽△ODA，OP=OA=5，

即可得此时点P的坐标为（5，0）．

②过点O作OD的垂线交对称轴于点P′，此时也可满足△P′OM∽△ODA，

由题意可得，点M的横坐标为5，代入直线方程可得点M的纵坐标为，

故可求得OM=，

∵∠OP′M+∠OMN=∠DOA+∠OMN=90°，

∴∠OP′M=∠DOA，

∴△P′OM∽△ODA，

故可得=，即=，

解得：MP′=，

又∵MN=点M的纵坐标=，

∴P′N=-=15，

即可得此时点P′的坐标为（5，-15）．

综上可得存在这样的点P，点P的坐标为（5，0）或（5，-15）．

【解析】（1）根据题意可得出点D的纵坐标为3，代入直线解析式可得出点D的横坐标，从而将点D和点A的坐标代入可得出抛物线的解析式．

（2）分别求出OA、OD、AD的长度，继而根据勾股定理的逆定理可判断出△OAD是直角三角形．

（3）①由图形可得当点P和点N重合时能满足△OPM∽△ODA，②过点O作OD的垂线交对称轴于点P′，此时也可满足△P′OM∽△ODA，利用相似的性质分别得出点P的坐标即可．

此题考查了二次函数的综合题，解答本题的关键是结合直线解析式求出点D的坐标，得出抛物线的解析式，在第三问的解答中要分类讨论，不要漏解．