导数高考常见题型

导数的应用常见题型

一、常用不等式与常见函数图像

1、1+≥x e x x x ≤+)1ln( 1-ln 1-1x x x

≤≤ 2、常见函数图像

二、选择题中的函数图像问题 (一)新型定义问题 对与实数,a b ，定义运算“*”：a *b=22,,a ab a b b ab a b

ì-??í?->?,设()(21)*(1)f x x x =--且关于x 的方程()()f x m m R =?恰有三个互不相等的实数根123,,x x x ，则123x x x 的取值范围为

（二）利用导数确定函数图像

①已知函数32()31f x ax x =-+，若()f x 存在唯一的零点0x ，且00x >，则a 的取值范围为（ ）

A 、(2,)+?

B 、(,2)-?

C 、(1,)+?

D 、(,1)-? ②设函数()f x =(21)x e x ax a --+,其中a 1，若存在唯一的整数0x ，使得0()f x 0，则a 的取值范围是（ ）

(A)[-32e ，1） (B)[-32e ，34） (C)[32e ，34） (D)[32e

，1） 三、导数与单调性

实质：导数的正负决定了原函数的单调性

处理思路：①求导,解不等式[0)('0)('<>x f x f 或]

②求解0)('=x f ，分段列表

③根据)('x f y =的图像确定

(一)分段列表

①已知函数()f x =2x x e e x ---

（Ⅰ）讨论()f x 的单调性；

（Ⅱ）设()()()24g x f x bf x =-，当0x >时，()0g x >,求b 的最大值；

②已知函数x x xe e x x f -+-=2)2()(，讨论函数的单调性

③设函数mx x e x f mx -+=2)(

（Ⅰ）证明：)(x f 在(-∞，0)单调递减，在(0,+∞+)单调递增；

（Ⅱ）若对于任意]1,0[,21∈x x ，都有1)()(21-≤-e x f x f ，求m 的取值范围

（二）根据导函数图像确定 ①已知函数x x a ax x f ln )1(2

1)(2+-+-=，试讨论函数的单调性 ②已知函数a a ax x x a x x f +--++-=2222ln )(2)(，其中0>a .设)(x g 是)(x f 的导函数，讨论)(x g 的单调性

③已知函数),(ln )(2R b a x bx ax x f ∈-+=，0≥a ，求)(x f 的单调区间

（三）已知单调性，求参数取值范围

①已知函数ax x x x f -+=ln )(2在)1,0(∈x 是增函数,求a 的取值范围; ②已知函数23)2(2161)(x a x x g -+=

，h （x ）=2alnx ，)()()(x h x g x f -'=。 （1）当a∈R 时，讨论函数()f x 的单调性．

（2）是否存在实数a ，对任意的12,(0,)x x ∈+∞，且12x x ≠，都有2112

()()f x f x a x x ->- 恒成立，若存在，求出a 的取值范围；若不存在，说明理由。

四、极值与零点问题

实质：第一种说法：导函数或原函数对应方程的根

第二种说法：导函数或原函数图像与x 轴的交点

处理方法：

根源：利用讨论导函数和原函数的图像处理极值点与零点问题

①利用导数对函数图像的三个影响要素，数形结合

I.单调性

II.极值

III.某些特殊点的函数值，两端的趋势

②代入法

将极值点或零点满足的等式带入求解表达式进行后续处理

代入后目前似乎有三种处理思路

I.保留两个横坐标，利用替换法（通常令2

1x x t =）构建新函数 II.保留一个坐标，另一个坐标被替换，构建新函数

III 不保留坐标，坐标全用参数替换构建新函数

③构建对称函数

④构建比较函数

⑤利用对数不等式、指数不等式放缩

（一）数形结合

①已知函数),()(23R b a b ax x x f ∈++=

(1)试讨论函数的单调性

（2）若a b -=1，函数有三个零点，求实数a 的取值范围

②知函数31(),()ln 4

f x x ax

g x x =++=-

（1）当a 为何值时，x 轴为()y f x =的切线；

（2）用min{,}m n 表示m,n 中的最小值，设函数()min{(),()}(0)h x f x g x x =>，讨论()h x 的零点个数

（二）代入法 ①a x x x f -3

4)(34-=有两个零点21,x x (1)求实数a 的取值范围 (2)证明221<+x x

②已知常数0>a ,函数2

2)1ln()(+-+=x x ax x f （1）讨论)(x f 在(∞+，0)上的单调性

（2）若)(x f 存在两个极值点21,x x ，且0)()(21>+x f x f ，求实数a 的取值范围 ③设函数x a x

x x f ln 1)(--=(R a ∈) (I)讨论)(x f 的单调性；（II ）若)(x f 有两个极值点1x 和2x ，记过点1122(,()),(,())A x f x B x f x 的直线的斜率为k ，问：是否存在a ，使得a k -2=若存在，求出a 的值，若不存在，请说明理由．

（三）构建比较函数

已知函数ax e x f x -=)(有两个零点21,x x

(1)求实数a 的取值范围 (2)证明:a x x ln 221<+

(3)证明：221>+x x ，121

（四）构建对称函数 已知函数x x a ax x f ln )1(2

1)(2+-+-=，若函数有两个零点21,x x （1）求实数a 的取值范围

（2）比较)2

('21x x f +与0的大小，并证明你的结论 （五）利用对数不等式、指数不等式放缩

①已知函数x xe x f -=)(

（1）求函数的单调性及极值 （2）如果21x x ≠，且)()(21x f x f =，证明221>+x x ②设函数)()(R a a ax e x f x ∈+-=，其图像与x 轴交于A(0,1x ),B(0,2x )两点，且21x x <

（1）求实数a 的取值范围 （2）证明：a x x ln 221<+ （3）证明：0)('21

③已知函数x a ax x x f )2(ln )(2-+-=

（1）讨论)(x f 的单调性 （2）若函数)(x f y =的图像与x 轴交于A 、B 两点，线段 AB 的中点的横坐标为0x ，求证：0)('0

四、导数与最值、恒成立、存在问题

实质：恒成立问题

存在问题

处理思路：①数形结合

②分离函数

③分离参数

④主元思想

例：的最大值恒成立，求对于b a b a a b 1032-≤?≥--?）

（一）不含参数类

1.直接翻译成最值

①已知函数()x f x e ax b =--，若()0f x ≥恒成立，求ab 的最大值 ②已知函数21()ln 2f x x x =

+，求证：在区间[1,)+∞上，函数()f x 的图象在函数32()3

g x x =图象的下方 2、分离函数，数形结合分别讨论 设函数1

()ln x x

be f x ae x x -=+，曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线为(1)2y e x =-+ （1）求,a b （2）证明()1f x >

3、某点处函数值相等，利用函数变化快慢

①已知函数f()ln(1)x x =+，(),(k ),g x kx R =?

(Ⅰ)证明：当0x x x ><时，f()；

(Ⅱ)证明：当1k <时，存在00x >,使得对0(0),x x ?任意，恒有f()()x g x >；

②已知函数()1ln 1x f x x

+=-． （Ⅰ）求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；

（Ⅱ）求证：当()0,1x ?时，()323x f x x 骣琪>+琪桫

； （Ⅲ）设实数k 使得()33

x f x k x 骣琪>+琪桫对()0,1x ?恒成立，求k 的最大值 ③已知函数2()1

ax b f x x +=+在点(1,(1))f --处的切线方程为30x y ++= （1）求函数()f x 的解析式

（2）设()ln g x x =，求证：()()g x f x 3在[1,)x ??恒成立

4、利用常用函数、基本不等式放缩 已知函数2()1ax b f x x +=

+在点(1,(1))f --处的切线方程为30x y ++= （1）求函数()f x 的解析式（2）设()ln g x x =，求证：()()g x f x 3在[1,)x ??恒成立

5、构建关于最值点的新函数

①讨论函数x x 2f (x)x 2

-=+e 的单调性，并证明当x >0时，(2)20;x x e x -++> (II)证明：当[0,1)a ∈ 时，函数2x =(0)x e ax a g x x

-->（） 有最小值.设g （x ）的最小值为()h a ，求函数()h a 的值域.

（二）含参数类

1.直接讨论最值

①]1,0(,ln (2∈-=x ax x x f ）

，求)(x f 在区间（0,1]上的最大值． ②设函数)1ln(2)1((2x x x f +-+=）

，若定义域内存在0x ，使得不等式0-)(0≤m x f 成 立，求实数m 的最小值；

③已知函数x ax x f ln 1)(--=()a ∈R ，若函数)(x f 在1=x 处取得极值，对x ?∈),0(+∞,2)(-≥bx x f 恒成立，求实数b 的取值范围；

④已知函数()ln f x x a x =-，1(), (R).a g x a x

+=-∈ （1）若1a =，求函数()f x 的极值；（2）设函数()()()h x f x g x =-，求函数()h x 的单调区间；

（3）若在[]1,e 上存在一点0x ，使得0()f x <0()g x 成立，求a 的取值范围.

⑥设函数mx x e x f mx -+=2)(

（Ⅰ）证明：)(x f 在(-∞，0)单调递减，在(0,+∞+)单调递增；

（Ⅱ）若对于任意]1,0[,21∈x x ，都有1)()(21-≤-e x f x f ，求m 的取值范围

⑦设函数1()ln 1a f x x ax x

-=-+-． (Ⅰ)当1a =时，求曲线()f x 在1x =处的切线方程；(Ⅱ)讨论函数()f x 的单调性； (Ⅲ)当31=a 时，设函数25()212

g x x bx =--，若对于[]11,2x ?∈，[]20,1x ?∈，使12()()f x g x ≥成立，求实数b 的取值范围.

⑨已知函数()()0≠++=x b x

a x x f ，其中R

b a ∈,. （1）若曲线()x f y =在点()()2,2f P 处的切线方程为13+=x y ,求函数()x f 的解析式；

（2）若对于任意的??????∈2,21a ,不等式()10≤x f 在??

????1,41上恒成立,求b 的取值范围. ⑩已知函数.)(,)2(),2](,2[)33()(2n t f m f t t e x x x f x ==-->-?+-=设定义域为

（1）试确定t 的取值范围，使得函数],2[)(t x f -在上为单调函数； （2）求证：m n >；

（3）求证：对于任意的200)1(32)(),,2(,20-='-∈->t e

x f t x t x 满足总存在，并确定这 样的0x 的个数.

2、分离参数

①分离参数直接求最值

已知函数()2ln f x x ax =+，若()f x x <恒成立，求实数的取值范围

②分离参数多次求导

已知函数()f x 是奇函数，()f x 的定义域为(,)-∞+∞．当0x <时，()f x ln()ex x

-= (1)若函数()f x 在区间1(,)(0)3

a a a +>上存在极值点，求实数a 的取值范围； (2)如果当x ≥1时，不等式()1

k f x x ≥+恒成立，求实数k 的取值范围. ③分离参数多次求导，洛必达法则

设函数f(x)=21x e x ax ---.

（Ⅰ)若a=0,求f(x)的单调区间;

（Ⅱ）若当x ≥0时f(x)≥0，求a 的取值范围.

④分离参数后，构建关于新函数极值点的函数

已知函数()ln f x x x =，若k 为正整数，且()()1f x k x k >--对任意1x >恒成立，求k 的最大值．

3、某点处函数值相等，利用函数变化快慢

设函数()()()

2ln 1f x x a x x =++-，其中a R ?.

（Ⅰ）讨论函数()f x 极值点的个数，并说明理由；

（Ⅱ）若()0,0x f x ">?成立，求a 的取值范围.

4、分离出一次函数，利用切线数形结合 ①已知函数()ln ()f x ax x x a R =+?

(1)若函数()f x 在[,)e +?上为增函数，求实数a 的取值范围

（2）当1a =且k Z ?时，不等式(1)()k x f x -<在(1,)x ??上恒成立，求k 的最大值 ②若对任意,[0,)x y ??,不等式222x y x y ax e e +---?+恒成立，求实数a 的取值范围

5、分离函数，利用数形结合 ①已知函数)0(2

1)(2<-+=x e x x f x 与)ln()(2a x x x g ++=图象上存在关于y 轴对称的点，求a 的取值范围

6、构建关于极值点的函数

已知函数()ln f x x x =，若k 为正整数，且()()1f x k x k >--对任意1x >恒成立，求k 的最大值．