高考数学总复习直线和平面的位置关系练习题

2010高考数学总复习直线和平面的位置关系练习题

一、选择题：

1．已知直线的位置关系是与则若与平面a l a l l l ,,//,//,,=?βαβαβα （）

A ．异面

B ．相交

C ．平行

D ．不确定

2．过空间一点作平面，使其同时与两条异面直线平行，这样的平面（）

A ．只有一个

B ．至多有两个

C ．不一定有

D ．有无数个

3．如果直角三角形的斜边与平面α平行，两条直角边所在直线与平面α所成的角分别为

21θθ和，则

（）

A ．1sin sin 22

≥+θθ B ．1sin sin 22

≤+θθ

C ．1sin sin 22

>+θθ

D ．1sin sin 22

<+θθ

4．设E 、F 、G 分别是四面体的棱BC 、CD 、DA 的中点，则此四面体中与过E 、F 、G 的截

面平行的棱有（）

A ．0条

B ．1条

C ．2条

D ．3条

5．用α表示一个平面，l 表示一条直线，则平面α内至少有一条直线与l （）

A ．平行

B ．相交

C ．异面

D ．垂直

6．如图Rt △ABC 中，∠ACB=90°，直线l 过点A 且垂直于平面ABC ，动点P ∈l ，当点P

逐渐远离点A 时，∠PCB 的大小

（）

A ．变大

B ．变小

C ．不变

D ．有时变大有时变小

7．设a ,b 是平面α外的任意两条线段，则“a ，b 的长相等”是a ,b 在平面α内的射影长相等”

的

（）

A ．充分条件

B ．必要条件

C ．充要条件

D ．既非充分也非必要条件

8．设PA ，PB ，PC 是从点P 引出的三条射线，每两条的夹角都等于60°，则直线PC 与平

面APB 所成角的余弦值是（）

A ．

B ．

23 C ．

3 D ．

6 9．已知△ABC 中，AB=9，AC=15，∠BAC=120°，△ABC 所在平面外一点P 到此三角形

三个顶点的距离都是14，则点P 到平面ABC 的距离是（）

A ．7

B ．9

C ．11

D ．13

10．已知a ,b ,c ,d 是四条不重合的直线，其中c 为a 在平面α上的射影，d 为b 在平面α上的

射影，则

（）

A ．a ∥d ?a ∥b

B ．a ⊥b ?c ⊥d

C ．a ∥b ?c ∥d

D ．c ⊥d ?a ⊥b

二、填空题

11．平面α外的一侧有一个三角形，三个顶点到α的距离分别是7，9，13。则这个三角形

的重心到α的距离为 .

12．已知矩形ABCD 中，AB=1，BC=a ，PA ⊥平面ABCD 。若在BC 上有且仅有一个点Q ，

满足PQ ⊥QD ，则a 的值为 .

13．空间一个角的两边分别垂直于另一角的两边是这两个角相等或互补的条件. 14．在正方体AC 1中，过顶点A 及另两个顶点且与该正方体的12条棱所在直线成相等的角

的平面是（将所有可能结果都填上）.

三、解答题

15．已知PA ⊥矩形ABCD 所在平面，M 、N 分别是AB 、PC 的中点. （1）求证：MN ⊥CD ；（2）若∠PDA=45°，求证MN ⊥面PCD.(12分)

16．设P 、Q 是单位正方体AC 1的面AA 1D 1D 、面A 1B 1C 1D 1的中心。如图：（1）证明：PQ ∥平面AA 1B 1B ；（2）求线段PQ 的长。

17．如图，已知.,,,,AB a a B EB A EA l ⊥?⊥⊥=?αβαβα于于求证a ∥l

18．如图，ABCD 为正方形，过A 作线段SA ⊥面ABCD ，又过A 作与SC 垂直的平面交

SB 、SC 、SD 于E 、K 、H ，求证：E 、H 分别是点A 在直线SB 和SD 上的射影。

19．在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1，G 为CC 1的中点，O 为底面ABCD 的中心。求证：A 1O ⊥平面GBD

20．如图，已知a 、b 是两条相互垂直的异面直线，其公垂线段AB 的长为定值m ，定长为

n （n>m ）的线段PQ 的两个端点分别在a 、b 上移动，M 、N 分别是AB 、PQ 的中点。（1）求证：AB ⊥MN ；（2）求证：MN 的长是定值

参考答案

一、选择题1．C 2．C 3．B 4．C 5．D 6．C 7．D 8．C 9．A 10．C 二、填空题11．3

29 12．2 13．既非充分又非必要 14．平面AD 1B 1或平面ACD 1。

三、解答题（本题考查证明线线垂直、线面垂直的基本方法） 15．证明：

,:.(//,//,2

,//.2

,//,,,)1(或直接用三垂线定理

注平面平面面平面为平行四边形

四边形又则连中点为又中点取AE CD ADP AE ADP CD AD CD PA CD ABCD CD ABCD PA AE MN AMNE NE AM CD AM CD AM CD NE CD NE NE PC N E PD ⊥??

?⊥????⊥⊥?????⊥∴∴∴===

,,//,,45)2(PCD MN D CD PD PD MN AE MN PD AE PAD Rt PDA 平面又则为等腰直角三角形时当⊥∴=?⊥∴⊥?=∠ 16．（本题考查证明线面平行的方法）

221:2

2:)2(//,2

,//,,,,,://,////2

,//,21,//,,,,,:)1(1212111111111

1111111111111111111a AB PQ a N A M A MN PQ B B AA PQ B B AA AB B B AA PQ AB PQ AB PQ B D AD Q P D AB AB AD B

B AA PQ B B AA PQ B B AA MN MN

PQ PQNM ND MP ND MP D A NQ D A NQ AD MP AD MP MP NQ MN N M B A AA ==

+==∴??∴?∴??∴∴=∴==

方法二方法一面面面且的中点分别是显然中在连结证法二面面面为平行四边形四边形且连结的中点取证法一

评注：本题提供了两种解法，方法一，通过平行四边形的对边平行得到“线线平行”，从而证得“线面平行”；方法二，通过三角形的中位线与底边平行得到“线线平行”，从而证得“线面平行”。本题证法较多。 17．证明：

//,,,l a EAB a AB a EA

a EA a EAB

l EB l EA l l EB EA ∴⊥∴⊥⊥∴⊥?⊥????

⊥⊥????=?⊥⊥平面又又平面 ααβαβα

18．证明：.

,.,,,上的射影在是点用理可证上的射影在为即平面又平面平面又平面平面SD A H SB A E SB AE SBC

AE C SC BC AE SC AHKE

SC AE

BC SAB BC A AB SA BC AB BC

SA ABCD BC ABCD SA ⊥∴⊥∴=?⊥∴⊥⊥∴⊥∴=?⊥⊥??

?⊥

19．证明：

GBD

O A OG BD OG

O A G A OG O A a a a G C C A G A a a a CG OC OG a a a AO A A O A O

A BD AO A O A AD A BD BD AC BD A A 平面又又面平面⊥=?⊥∴=+∴=+=+==+=+==+=+=⊥??

?⊥????⊥⊥112

12212

22212

11212

222222

2222121111110

9)2()2(4

)2()22(23)22(

20．证明：

)(2

1)2()2(

90,)2(),1()2(,)1(,.

)2(//,,)1(22

22222

2222222222222定值两式相加中在中在平面平面平面同理又则连结中点取m n BQ PA NH MH MN MHN b a m n BQ PA m PB AB PB PA PBA Rt PB n PB PQ BQ PBQ Rt PB b PAB b a b AB b MN AB MNH AB MNH AB MH AB HN AB b AB b HN HN H PB -=+=+=∴=∠∴⊥-=+-=-=?-=-=?⊥∴⊥??

⊥⊥⊥∴⊥∴⊥∴⊥⊥∴⊥

点、直线、平面之间的位置关系知识点总结

点、直线、平面之间的位置关系一、线、面之间的平行、垂直关系的证明书中所涉及的定理和性质可分为以下三类： 1、平行关系与平行关系互推； 2、垂直关系与垂直关系互推；线面垂直判定定理线面垂直的定义两平面的法线垂直则两平面垂直面面垂直判定定理线面平行判定定理线面平行性质定理线面平行转化面面平行判定定理面面平行性质定理

3、平行关系与垂直关系互推。以线或面为元素，互推的本质是以某一元素为中介，通过另外两元素与中介元素的垂直或平行关系，推导出该两元素的关系，总共有21种情况，能得出结论的有以下9种情况。线线平行传递性：b c c a b a //////?? ??；面面平行传递性：γαβγβα//////?? ??；线面垂直、线面垂直?线面平行： ααββα//a a a ??? ????⊥⊥；线面垂直?线线平行（线面垂直性质定理）：b a b a //?? ??⊥⊥αα；线面垂直?面面平行：βαβα//?? ??⊥⊥a a ；线面垂直、面面平行?线面垂直：βαβα⊥?? ??⊥a a //；线线平行、线面垂直?线面垂直：αα⊥?? ??⊥b a b a //；线面垂直、线面平行?面面垂直：βααβ⊥?? ??⊥a a //。备注：另外证明平行关系时可以从最基本的定义交点入手，证明垂直关系时可以从最基本的定义角度入手。符号化语言一览表 ①线面平行ααα////a a b b a ????????；αββα////a a ?????；ααββα//a a a ??? ????⊥⊥； ②线线平行:////a a a b b α βαβ??????=?；b a b a //????⊥⊥αα；////a a b b αβαγβγ??=???=? ；b c c a b a //////????； ③面面平行:,////,//a b a b O a b αααβββ????=????；βαβα//????⊥⊥a a ；γαβγβα//////????；

平面与平面地位置关系

平面和平面的位置关系一、知识梳理 1.两个平面的位置关系（1）两个平面平行：如果两个平面没有公共点，我们就说这两个平面互相平行．（2）两个平面相交：如果两个平面有公共点，它们就相交于一条过该公共点的直线，称这两个平面相交．（3）两个平面的位置关系只有两种：①两个平面平行：没有公共点；②两个平面相交：有一条公共直线．（4）两个平面平行的画法：画两个互相平行的平面时，要注意使表示平面的两个平行四边形的对应边平行（图1，而不应画成图2那样）．平面α和β平行，记作βα//．图1 图2 2.两个平面平行的判定工人师傅将水平仪在桌面上交叉放置两次，如果水平仪的气泡都在中央，就能判断桌面是水平的。该检测原理就是：（1）[两个平面平行的判定定理]：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．用符号表示为：若,,a b a b A αα??=I ，且//,//,a b ββ则//αβ。（线线平行，则线面平行）。（2）垂直直于同一直线的两平面平行。（3）平行于同一平面的两平面平行。 3.两个平面平行的性质（1）两平行平面被第三个平面所截，则交线互相平行。（2）直线垂直于两平行平面中的一个，必垂直于另一个。（3）过平面外一点，有且只有一个平面与之平行。（4）两平面平行，则在其中一个平面内的所有直线必平行于另一个平面。

（5）两平行平面中的一个垂直于一个平面，则另一个也垂直于这个平面。 4.两个平行平面的距离（1）两个平面的公垂线及公垂线段：直线a 与两个平面α、β都垂直，我们把与两个平行平面都垂直的直线称作两个平行平面的公垂线。公垂线夹在两个平行平面之间的线段称为这两个平行平面的公垂线段。注意：两个平面不平行时，由于不可能存在同时与它们垂直的直线，因此此时没有公垂线可言，换句话说，当论及公垂线时，就隐含着两个平面平行。（2）两个平行平面的距离我们把公垂线段的长度叫做两个平行平面的距离．说明：两个平行平面的公垂线段都相等． 5、二面角半平面：平面内的一条直线把这个平面分成两部分，其中的每一部分都叫做半平面。（1）二面角的定义：一条直线和由这条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面．棱为AB ，面为,αβ的二面角，记作二面角AB αβ-- （2）、二面角的画法：分直立式与平卧式两种 ①直立式 ②平卧式（3）、二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角．如图，二面角l αβ--， AOB ∠是二面角的平面角．注意： i ）二面角的平面角的范围是[]0,π，当两个半平面重合时，平面角为0o ；当两个半平面合成一个平面时，

(精心整理)直线与平面的关系

第二章直线与平面的位置关系一、平面的基本性质公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内符号表示为 A ∈L ， B ∈ L =>L α A ∈α，B ∈α 公理1作用：判断直线是否在平面内公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。推论1: 经过一条直线及直线外一点，有且只有一个平面。推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面。推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面。公理2作用：确定一个平面的依据。公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。符号表示为：P ∈α∩β =>α∩β=L ，且P ∈L 公理3作用：判定两个平面是否相交的依据二、空间中直线与直线之间的位置关系 1 空间的两条直线有如下三种关系：相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点。 2 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。 3 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补 4 异面直线：不在同一个平面内的两条直线。异面直线既不相交也不平行。异面直线判定定理：过平面外一点与平面内一点的直线和平面内不经过这点的直线是异面直线。这个定理是判定空间两条直线是异面直线的理论依据。 5 注意点：（1）直线所成的角θ∈(0， ]。（2）条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a ⊥b ；（3）直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形；（4）计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。三、空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系 1、直线与平面有三种位置关系：（1）直线在平面内 —— 有无数个公共点（2）直线与平面相交 —— 有且只有一个公共点（3）直线在平面平行 —— 没有公共点指出：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用a α来表示 L A · α C · B · A · α P · α L β 共面直线 2

平面之间的位置关系

第二章点、直线、平面之间的位置关系 2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系 2.1.1 平面 1．以下是一些命题的叙述语言 ① 点αα平面点平面??B A ,，∴ 直线α平面?AB ； ② 点αα平面点平面∈∈B A ,，∴ 直线α平面∈AB ； ③ 点βα平面点平面∈∈B A ,，∴ 平面AB =βα ； ④ 直线βα平面直线平面∈∈a a ,，∴ 平面a =βα ；则其中命题和叙述方法都正确的个数是【】 A.1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2.给定下面四个命题： (1)如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合； (2)两条直线可以确定一个平面； (3)若b M M =∈∈βαβα ,,,则b M ∈； (4)空间中，相交于同一点的三条直线在同一个平面内；其中真命题的个数是【】 A.1 B.2 C.3 D.4 3.空间三条直线交于同一点，它们中的两条确定的平面个数记为n ，则n 的可值可能为【】 A.1 B.1,3 C.1,2,3 D.1,2,3,4 4．ABC ?在平面α外，AB P α=，BC Q α=，AC R α=，求证：P ，Q ，R 三点共线. 2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系 1．正方体1111D C B A ABCD -的各面的对角线中，与1AB 成?60角的异面直线有【】 A.4条 B.6条 C.8条 D.12条 2．空间四边形ABCD 中AB BC CD ,,的中点分别是P Q R ,,，且3,5,2===PR QR PQ ，那么异面直线AC 和BD 所成的角是【】 A ．?90 B ．?60 C ．?45 D ．?30 3.已知异面直线a ，b 所成的角为60°，直线l 与a ，b 所成的角都为θ，那么θ的取值范围是什么？ 4.Ｐ是△ＡＢＣ所在平面外一点，Ｄ，Ｅ分别是△ＰＡＢ和△ＰＢＣ的重心. 求证：ＤＥ∥ＡＣ.

高考数学总复习直线和平面的位置关系练习题

2010高考数学总复习直线和平面的位置关系练习题一、选择题： 1．已知直线的位置关系是与则若与平面a l a l l l ,,//,//,,=?βαβαβα （） A ．异面 B ．相交 C ．平行 D ．不确定 2．过空间一点作平面，使其同时与两条异面直线平行，这样的平面（） A ．只有一个 B ．至多有两个 C ．不一定有 D ．有无数个 3．如果直角三角形的斜边与平面α平行，两条直角边所在直线与平面α所成的角分别为 21θθ和，则（） A ．1sin sin 22 12 ≥+θθ B ．1sin sin 22 12 ≤+θθ C ．1sin sin 22 12 >+θθ D ．1sin sin 22 12 <+θθ 4．设E 、F 、G 分别是四面体的棱BC 、CD 、DA 的中点，则此四面体中与过E 、F 、G 的截面平行的棱有（） A ．0条 B ．1条 C ．2条 D ．3条 5．用α表示一个平面，l 表示一条直线，则平面α内至少有一条直线与l （） A ．平行 B ．相交 C ．异面 D ．垂直 6．如图Rt △ABC 中，∠ACB=90°，直线l 过点A 且垂直于平面ABC ，动点P ∈l ，当点P 逐渐远离点A 时，∠PCB 的大小（） A ．变大 B ．变小 C ．不变 D ．有时变大有时变小 7．设a ,b 是平面α外的任意两条线段，则“a ，b 的长相等”是a ,b 在平面α内的射影长相等” 的（） A ．充分条件 B ．必要条件 C ．充要条件 D ．既非充分也非必要条件 8．设PA ，PB ，PC 是从点P 引出的三条射线，每两条的夹角都等于60°，则直线PC 与平

空间中直线和平面之间的位置关系

空间中直线与平面之间的位置关系知识点一直线与平面的位置关系 1、直线和平面平行的定义如果一条直线和一个平面没有公共点，那么这条直线和这个平面平行。 2、直线与平面位置关系的分类（1）直线与平面位置关系可归纳为

(2)在直线和平面的位置关系中，直线和平面平行，直线和平面相交统称直线在平面外，我们用记号α?a 来表示a ∥α和A a =α 这两种情形． (3)直线与平面位置关系的图形画法： ①画直线a 在平面α内时，表示直线α的直线段只能在表示平面α的平行四边形内，而不能有部分在这个平行四边形之外，这是因为这个用来表示平面的平行四边形的四周应是无限延伸而没有边界的，因而这条直线不可能有某部分在某外； ②在画直线a 与平面α相交时，表示直线a 的线段必须有部分在表示平面a 的平行四边形之外，这样既能与表示直线在平面内区分开来，又具有较强的立体感； ③画直线与平面平行时，最直观的画法是用来表示直线的线在用来表示平面的平行四边形之外，且与某一边平行。例1、下列命题中正确的命题的个数为。 ①如果一条直线与一平面平行，那么这条直线与平面内的任意一条直线平行；②如果一条直线与一平面相交，那么这条直线与平面内的无数条直线垂直；③过平面外一点有且只有一条直线与平画平行；④一条直线上有两点到一个平面的距离相等，则这条直线平行于这个平面。变式1、下列说法中正确的是。 ①直线l 平行于平面α内无数条直线，则l αααα?b αα?b α.1 C ?答案：B 变式3、若直线l 上有两个点到平面α的距离相等，讨论直线l 与平面α的位置关系. 图3 解：直线l 与平面α的位置关系有两种情况（如图3），直线与平面平行或直线与平面相交. 例2、若两条相交直线中的一条在平面α内，讨论另一条直线与平面α的位置关系.

平面与平面之间地位置关系(附问题详解)

平面与平面之间的位置关系 [学习目标] 1.了解直线与平面之间的三种位置关系，会用图形语言和符号语言表示.2.了解平面与平面之间的两种位置关系，会用符号语言和图形语言表示. 知识点一直线与平面的位置关系 1.直线与平面的位置关系 2.直线与平面的位置关系的分类 (1)按公共点个数分类 ?? ? 有无公共点??? ?? 直线和平面相交——有且只有一个公共点直线在平面内——有无数个公共点无公共点——直线和平面平行 (2)按直线是否在平面分类 ??? 直线在平面内——所有点在平面内直线在平面外? ?? ?? 直线与平面相交直线与平面平行思考 “直线与平面不相交”与“直线与平面没有公共点”是相同的意义吗？答不是.前者包括直线与平面平行及直线在平面这两种情况；而后者仅指直线与平面平行. 知识点二两个平面的位置关系

思考分别位于两个平行平面的两条直线有什么位置关系？答这两条直线没有公共点，故它们的位置关系是平行或异面. 题型一直线与平面的位置关系例1下列命题中，正确命题的个数是() ①如果a，b是两条直线，a∥b，那么a平行于经过b的任何一个平面； ②如果直线a和平面α满足a∥α，那么a与平面α的任何一条直线平行； ③如果直线a，b满足a∥α，b∥α，那么a∥b； ④如果平面α的同侧有两点A，B到平面α的距离相等，那么AB∥α. A.0 B.2 C.1 D.3 答案 C 解析如图，在长方体ABCD－A′B′C′D′中， AA′∥BB′，AA′却在过BB′的平面AB′，故命题①不正确；AA′∥平面B′C，BC?平面B′C，但AA′不平行于BC，故命题②不正确；AA′∥平面B′C，A′D′∥平面B′C，但AA′与A′D′相交，所以③不正确；④显然正确.故答案为C. 跟踪训练1以下命题(其中a，b表示直线，α表示平面)，①若a∥b，b?α，则a∥α；②若a∥α，b∥α，则a∥b；③若a∥b，b∥α，则a∥α；④若a∥α，b?α，则a∥b.其中正确命题的个数是() A.0 B.1 C.2 D.3 答案A 解析如图所示在长方体ABCD－A′B′C′D′中，AB∥CD，AB?平面 ABCD，但CD?平面ABCD，故①错误； A′B′∥平面ABCD，B′C′∥平面ABCD，但A′B′与B′C′相交，故②错误； AB∥A′B′，A′B′∥平面ABCD，但AB?平面ABCD，故③错误； A′B′∥平面ABCD，BC?平面ABCD，但A′B′与BC异面，故④错误.

直线与平面、平面与平面的位置关系知识点

//a b a b α α??//a α//a b 直线与平面、平面与平面的位置关系【知识梳理】【直线与平面平行的判定方法和性质定理】 1．判定方法（1）定义法：直线与平面无公共点．（2）判定定理：（3）其他方法：//a αββ? 2．性质定理：//a a b α βαβ??= 【平面与平面平行的判定方法和性质定理】 1．判定方法（1）定义法：两平面无公共点．（2）判定定理：////a b a b a b P β β αα ???= //αβ （3）其他方法：a a α β⊥⊥ //αβ； ////a γ βγ //αβ 2．性质定理：//a b αβ γαγβ?=?= //a α //a b

【直线与平面垂直的判定方法和性质定理】 1．判定方法（1）用定义：如果一条直线与一个平面内的所有直线都垂直，则这条直线和这个平面垂直．（2）判定定理：a b a c b c A b c α α ⊥⊥?=?? a α⊥ （3）推论：//a a b α ⊥ b α⊥ （3）性质① a b α α⊥? a b ⊥ ② a b α α⊥⊥ 【平面与平面垂直的判定方法和性质定理】（1）定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．（2）判定定理 a a αβ?⊥ αβ⊥ （3）性质：①性质定理 l a a l αβ αβα ⊥?=?⊥ αβ⊥ ② l P PA A αβαβαβ⊥?=∈⊥垂足为 A l ∈ ③ l P PA αβ αβα β⊥?=∈⊥ PA α? 【转化思想】面面平行线面平行线线平行面面垂直线面垂直线线垂直 //a b

点直线平面之间的位置关系知识点总结

点直线平面之间的位置关系知识点总结 SANY标准化小组 #QS8QHH-HHGX8Q8-GNHHJ8-HHMHGN#

点、直线、平面之间的位置关系一、线、面之间的平行、垂直关系的证明书中所涉及的定理和性质可分为以下三类： 1、平行关系与平行关系互推； 2、垂直关系与垂直关系互推；线面垂直判定定线面垂直的定面面垂直性质定理（需加线线两平面的法线垂面面垂直判定定垂直的两平面的法线互相线面平行判定定线面平行性质定面面平行定义（交线面平行转面面平行判定定面面平行性质定两平面内分别垂直于交线的直线互相两平面内分别垂直于交线的直线互相垂直，则两面面垂直定

点直线平面之间的位置关系知识点归纳

第二章点、直线、平面之间的位置关系知识点总结 1、平面的性质一、空间点、直线、平面之间的位置关系四个公理：公理1 文字语言：符号语言：公理2：文字语言：符号语言：公理3：文字语言：符号语言：推论：（1）过一条直线及直线外一点，有且只有一个平面。（2）过两条相交直线，有且只有一个平面。（3）过两条相互平行的直线，有且只有一个平面。 2、空间中直线与直线之间的位置关系异面直线：空间中两条直线有且只有三种位置关系（它们的特征）：相交直线：

平行直线：异面直线：公理4 ：（平行线的传递性）文字语言：符号语言：等角定理：异面直线所成的角： 3、空间中直线与平面与直线间的位置关系（1）直线在平面内：（2）直线与平面相交：（3）直线与平面平行： 4、平面与平面之间的位置关系（1）两个平面平行：（2）两个平面相交：二、直线、平面平行的判定的判定及其性质 1、直线与平面平行的判定及其性质（1）直线与平面平行的判定（线线平行，则线面平行）：符号语言：（2）直线与平面平行的性质（线面平行，则线线平行）：

符号语言： 2、平面与平面平行的判定及其性质（1）平面与平面平行的判定（线线平行，则面面平行）: 符号语言：（2）平面与平面平行的性质（面面平行，则线线平行）：符号语言：三、直线、平面垂直的判定及其性质 1、直线平面垂直的的判断及其性质（1）直线与平面垂直的定义：（2）直线与平面垂直的判定2、2（线线垂直，则线面垂直）：符号语言：（3）直线与平面垂直的性质：符号语言：（4）平面与直线所成角的角：

空间平面与平面的位置关系教案

（1）空间平面与平面的位置关系一、教学内容分析二面角是我们日常生活中经常见到的一个图形，它是在学生学过空间异面直线所成的角、直线和平面所成角之后，研究的一种空间的角，二面角进一步完善了空间角的概念.掌握好本节课的知识，对学生系统地理解直线和平面的知识、空间想象能力的培养，乃至创新能力的培养都具有十分重要的意义. 二、教学目标设计理解二面角及其平面角的概念；能确认图形中的已知角是否为二面角的平面角；能作出二面角的平面角，并能初步运用它们解决相关问题. 三、教学重点及难点二面角的平面角的概念的形成以及二面角的平面角的作法. 四、教学流程设计五、教学过程设计一、新课引入 1.复习和回顾平面角的有关知识. 平面中的角定义从一个顶点出发的两条射线所组成的图形，叫做角图形复习回顾引入新课类比引导提出问题定理证明会用反证法例题选讲定理应用巩固练习小结方法课堂总结作业布置

结构射线—点—射线表示法∠AOB,∠O等 2.复习和回顾异面直线所成的角、直线和平面所成的角的定义，及其共同特征.（空间角转化为平面角） 3.观察：陡峭与否，跟山坡面与水平面所成的角大小有关，而山坡面与水平面所成的角就是两个平面所成的角.在实际生活当中，能够转化为两个平面所成角例子非常多，比如在这间教室里，谁能举出能够体现两个平面所成角的实例？（如图1，课本的开合、门或窗的开关.）从而，引出“二面角”的定义及相关内容. 二、学习新课（一）二面角的定义平面中的角二面角定义从一个顶点出发的两条射线所组成的图形，叫做角课本P17 图形结构射线—点—射线半平面—直线—半平面表示法∠AOB,∠O等二面角α—a—β或α-AB-β （二）二面角的图示 1.画出直立式、平卧式二面角各一个，并分别给予表示. 2.在正方体中认识二面角. （三）二面角的平面角平面几何中的“角”可以看作是一条射线绕其端点旋转而成，它有一个旋转量，它的大

1.2.4 平面与平面的位置关系

1.2.4 平面与平面的位置关系重难点：了解直线与平面的位置关系，在判定和证明直线与平面的位置关系时，除了能熟练运用判定定理和性质定理外，还要充分利用定义；线面关系的判定和证明，要注意线线关系、线面关系的转化．经典例题：如图,在四面体S-ABC中, SA⊥底面ABC,AB⊥BC．DE垂直平分SC, 且分别交AC、SC于D、E. 又SA＝AB,SB＝BC.求以BD为棱, 以BDE与BDC为面的二面角的度数．当堂练习： 1．下列命题中正确的命题是（） ①平行于同一直线的两平面平行; ②平行于同一平面的两平面平行; ③垂直于同一直线的两平面平行; ④与同一直线成等角的两平面平行. A．①和②B．②和③C．③和④D．②和③和④ 2．设直线,m,平面,下列条件能得出的是（） A．,且B．,且 C．,且 D．,且 3．命题：①与三角形两边平行的平面平行于是三角形的第三边; ②与三角形两边垂直的直线垂直于第三边；③与三角形三顶点等距离的平面平行这三角形所在平面．其中假命题的个数为（） A．0 B．1 C．2 D．3 4．已知a,b是异面直线，且a平面，b平面，则与的关系是（） A．相交 B．重合 C．平行 D．不能确定 5．下列四个命题：①分别在两个平面内的两直线平行；②若两个平面平行，则其中一个平面内的任何一条直线必平行于另一平面；③如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，则这两个平面平行;④如果一个平面内的任何一条直线都平行另一个平面，则这两个平面平行. 其中正确命题是（） A．①、② B．②、④ C．①、③ D．②、③

6．设平面，A，C是AB的中点，当A、B分别在内运动时，那么所有的动点C （） A．不共面B．当且仅当A、B分别在两条直线上移动时才共面 C．当且仅当A、B分别在两条给定的异面直线上移动时才共面D．不论A、B如何移动，都共面 7．是两个相交平面，a,a与b之间的距离为d1，与之间的距离为d2，则（） A．d1=d2 B．d1>d2 C．d1

直线与平面的关系

第二章直线与平面的位置关系一、平面的基本性质公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内符号表示为 A∈L,B∈L =>L α A∈α,B ∈α 公理1作用:判断直线就是否在平面内公理2:过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面。推论1: 经过一条直线及直线外一点,有且只有一个平面。推论2:经过两条相交直线,有且只有一个平面。推论3:经过两条平行直线,有且只有一个平面。公理2作用:确定一个平面的依据。公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线。符号表示为:P∈α∩β =>α∩β=L,且P∈L 公理3作用:判定两个平面就是否相交的依据二、空间中直线与直线之间的位置关系 1 空间的两条直线有如下三种关系: 相交直线:同一平面内,有且只有一个公共点; 平行直线:同一平面内,没有公共点; 异面直线: 不同在任何一个平面内,没有公共点。 2 公理4:平行于同一条直线的两条直线互相平行。强调:公理4实质上就是说平行具有传递性,在平面、空间这个性质都适用。公理4作用:判断空间两条直线平行的依据。 3 等角定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补 4 异面直线:不在同一个平面内的两条直线。异面直线既不相交也不平行。异面直线判定定理:过平面外一点与平面内一点的直线与平面内不经过这点的直线就是异面直线。这个定理就是判定空间两条直线就是异面直线的理论依据。 5 注意点:(1)直线所成的角θ∈(0, ]。 (2)条异面直线所成的角就是直角时,我们就说这两条异面直线互相垂直,记作a⊥b; (3)直线互相垂直,有共面垂直与异面垂直两种情形; (4)计算中,通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。三、空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系 1、直线与平面有三种位置关系: (1)直线在平面内——有无数个公共点(2)直线与平面相交——有且只有一个公共点(3)直线在平面平行——没有公共点指出:直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外,可用a α来表示 a αa∩α=A a∥α L A · α C · B · A · α P · αL β 共面直线 2

空间直线与平面的位置关系(夹角)

§14.3空间直线与平面的位置关系（夹角）【知识解读】 1、线面平行的判定定理：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行． 2、线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行． 3、平行平面：如果两个平面没有公共点，那么这两个平面互相平行． 4、推论：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面互相平行． 5、平行平面的性质定理：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行． 6、面面平行的另一性质：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线都平行于另一个平面． 7、线面角--直线l与其在平面上的射影所成的锐角称为直线与平面所成的角

F E D C B A 【例题讲解】例1、简述下列问题的结论，并画图说明：（1）直线?a 平面α，直线A a b = ，则b 和α的位置关系如何？（2）直线α?a ，直线a b //，则直线b 和α的位置关系如何？例2、已知：空间四边形A B C D 中，,E F 分别是,AB AD 的中点，求证：//EF BCD 平面．例3、两个全等的正方形ABCD 和ABEF 所在平面相交于AB ，M ∈AC ，N ∈FB ，且AM =FN ，求证MN ∥平面BCE _ C _ B

B M H S C A A 例4、在正方体中,棱长为a .求：(1)直线1AB 与面1111D C B A 所成的角；(2)直线1DB 与面1111D C B A ；例5、四面体ABCS 中，SA,SB,SC 两两垂直，∠SBA=45°, ∠SBC=60°, M 为 AB 的中点，求（1）BC 与平面SAB 所成的角。（2）SC 与平面ABC 所成的角。例6、如图，几何体ABCDE 中，△ABC 是正三角形，EA 和DC 都垂直于平面ABC ，且 a AB EA 2==，a DC =，F 、G 分别为EB 和AB 的中点.（1）求证：FD ∥平面ABC ；（2）求证：AF ⊥BD ； 1111D C B A ABCD -

机械制图教案-点、直线和平面的投影

教学设计

教学过程教学环节教师讲授、指导（主导）内容学生学习、操作（主体）活动时间分配一、二、三、组织教学与引入前言问候同学，组织课堂教学，强调课堂纪律。复习、提问 1、绘图工具的使用方法 2、草图如何绘制导入新课任何物体都是由点、线、面等几何元素构成的，只有学习和掌握了几何元素的投影规律和特征，才能透彻理解机械图样所表示物体的具体结构形状。本次课先来学习点的投影。（一）点的投影及其标记当投影面和投影方向确定时，空间一点只有唯一的一个投影。如图2－11（a）所示，假设空间有一点A，过点A分别向H面、V面和W面作垂线，得到三个垂足a、a′、a″，便是点A在三个投影面上的投影。规定用大写字母（如A）表示空间点，它的水平投影、正面投影和侧面投影，分别用相应的小写字母（如a、a′和a″）表示。根据三面投影图的形成规律将其展开，可以得到如图2 －11（b）所示的带边框的三面投影图，即得到点A两面投影；省略投影面的边框线，就得到如图2－11（c）所示的A点的三面投影图，（注意：要与平面直角坐标系相区别。）（a）（b）师生问好，强调课堂纪律。提问学生到黑板完成练习题详细讲解点在实际中的应用详细讲解点的投影及标记 3 5 10 15

教学过程教学环节教师讲授、指导（主导）内容学生学习、操作（主体）活动时间分配（c）图2－11 点的两面投影（二）点的三面投影规律 1、点的投影与点的空间位置的关系从图2－11（a）、（b）可以看出，Aa、A a′、A a″分别为点A到H、V、W面的距离，即： A a = a′a x = a″a y (即a″a YW)，反映空间点A到H面的距离； A a′=a a x= a″a z ，反映空间点A到V面的距离； A a″= a′a z = a a y (即a YH)，反映空间点A到W面的距离；上述即是点的投影与点的空间位置的关系，根据这个关系，若已知点的空间位置，就可以画出点的投影。反之，若已知点的投影，就可以完全确定点在空间的位置。 2、点的三面投影规律由图2－11中还可以看出： a a YH = a′a z 即a′a⊥OX a′a x= a″a YW即a′a″⊥OZ a a x= a″a z 这说明点的三个投影不是孤立的，而是彼此之间有一定的位置关系。而且这个关系不因空间点的位置改变而改变，因此可以把它概括为普遍性的投影规律：（1）点的正面投影和水平投影的连线垂直OX轴，即a′a ⊥OX；（2）点的正面投影和侧面投影的连线垂直OZ轴，即a′a″ ⊥OZ；（3）点的水平投影a和到OX轴的距离等于侧面投影a″ 到OZ轴的距离，即a a x = a″a z 。（可以用45°辅助线或以原点为圆心作弧线来反映这一投影关系）小结：总结本节课内容并布置课后作业。学生练习，教师指导详细讲解点的投影和空间位置关系详细讲解点的三面投影学生练习，教师讲解总结并不知作业 10 15 15 15 2

空间平面与平面的位置关系沪教版高三上教案

14.4（1）空间平面与平面的位置关系一、教学内容分析二面角是我们日常生活中经常见到的一个图形，它是在学生学过空间异面直线所成的角、直线和平面所成角之后，研究的一种空间的角，二面角进一步完善了空间角的概念.掌握好本节课的知识，对学生系统地理解直线和平面的知识、空间想象能力的培养，乃至创新能力的培养都具有十分重要的意义. 二、教学目标设计理解二面角及其平面角的概念；能确认图形中的已知角是否为二面角的平面角；能作出二面角的平面角，并能初步运用它们解决相关问题. 三、教学重点及难点二面角的平面角的概念的形成以及二面角的平面角的作法. 四、教学流程设计五、教学过程设计一、新课引入 1.复习和回顾平面角的有关知识. 平面中的角定义从一个顶点出发的两条射线所组成的图形，叫做角图形复习回顾引入新课类比引导提出问题定理证明会用反证法例题选讲定理应用巩固练习小结方法课堂总结作业布置

直线和平面的关系

直线与平面平行的判定一、教学思想：本节课的设计遵循从具体到抽象的原则，适当运用多媒体辅助教学手段，借助实物模型，让学生在观察分析、自主探索，发展学生的空间观念和空间想象力，提高学生的数学逻辑思维能力。二、学生学习情况分析：学生基础差，学习积极性不高，学习方面有一定困难。三，教学目标：本节课是在前面已学空间点、线、面位置关系的基础作为学习的出发点，结合有关的实物模型，通过直观感知、操作确认(合情推理，不要求证明)归纳出直线与平面平行的判定定理。本节课的学习对培养学生空间感与逻辑推理能力起到重要作用，特别是对线线平行、面面平行的判定的学习作用重大。四、教学重点与难点重点是判定定理的引入与理解，难点是判定定理的应用及立几空间感、空间观念的形成与逻辑思维能力的培养。五、教学过程设计（一）知识准备、新课引入提问1：根据公共点的情况，空间中直线a和平面有哪几种位置关系？并完成下表：(多媒体幻灯片演示) 提问2：根据直线与平面平行的定义(没有公共点)来判定直线与平面平行你认为方便吗？谈谈你的看法，并指出是否有别的判定途径。（二）判定定理的探求过程 1、直观感知提问：根据同学们日常生活的观察，你们能感知到并举出直线与平面平行的具体事例吗？生1：例举日光灯与天花板，树立的电线杆与墙面。生2：门转动到离开门框的任何位置时，门的边缘线始终与门框所在的平面平行(由学生到教室门前作演示)，然后教师用多媒体动画演示。 2、动手实践教师取出预先准备好的直角梯形泡沫板演示：当把互相平行的一边放在讲台桌面上并转动，观察另一边与桌面的位置给人以平行的感觉，而当把直角腰放在桌面上并转动，观察另一边与桌面给人的印象就不平行。又如老师直立讲台，则大家会感觉到老师（视为线）与四周墙面平行，如老师向前或后倾斜则感觉老师(视为线)与左、右墙面平行，如老师向左、右倾斜，则感觉老师(视为线)与前、后墙面平行(老师也可用事先准备的木条放在讲台桌上作上述情形的演示)。 3、探究思考 (1)上述演示的直线与平面位置关系为何有如此的不同？关键是什么因素起了作用呢？通过观察感知发现直线与平面平行，关键是三个要素：①平面外一条线②平面内一条直线③这两条直线平行 (2)如果平面外的直线a与平面内的一条直线b平行，那么直线a与平面平行吗？ 4、归纳确认：（多媒体幻灯片演示）直线和平面平行的判定定理：平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则该直线和这个平面平行。简单概括：（内外）线线平行，线面平行

点、直线、平面之间的位置关系知识点

点、直线、平面之间的位置关系 1、空间点、直线、平面的位置关系公理1：如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线是所有的点都在这个平面内。应用：判断直线是否在平面内。用符号语言表示公理1：,,,A l B l A B l ααα∈∈∈∈?? 公理2：如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线符号：平面α和β相交，交线是a ，记作α∩β＝a 。符号语言：,P A B A B l P l ∈?=∈ 公理2的作用：①它是判定两个平面相交的方法。 ②它说明两个平面的交线与两个平面公共点之间的关系：交线必过公共点。 ③它可以判断点在直线上，即证若干个点共线的重要依据。公理3：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。推论：一直线和直线外一点确定一平面；两相交直线确定一平面；两平行直线确定一平面。公理3及其推论作用：①它是空间内确定平面的依据 ②它是证明平面重合的依据公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行 2、空间直线与直线之间的位置关系 ① 异面直线定义：不同在任何一个平面内的两条直线 ② 异面直线性质：既不平行，又不相交。 ③ 异面直线判定：过平面外一点与平面内一点的直线与平面内不过该点的直线是异面直线 ④ 异面直线所成角：作平行，令两线相交，所得锐角或直角，即所成角。两条异面直线所成角的范围是（0°，90°]，若两条异面直线所成的角是直角，我们就说这两条异面直线互相垂直。 3、求异面直线所成角步骤： A 、利用定义构造角，可固定一条，平移另一条，或两条同时平移到某个特殊的位置，顶点选在特殊的位置上。 B 、证明作出的角即为所求角 C 、利用三角形来求角 4、等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两角相等或互补。 5、空间直线与平面之间的位置关系直线在平面内——有无数个公共点．三种位置关系的符号表示：a ?α a ∩α＝A a ∥α 6、平面与平面之间的位置关系平行——没有公共点；α∥β。相交——有一条公共直线。α∩β＝b

高中数学必修二《平面与平面之间的位置关系》优秀教学设计

2.1.4 平面与平面之间的位置关系整体设计教学分析空间中平面与平面之间的位置关系是立体几何中最重要的位置关系，平面与平面的相交和平行是本节的重点和难点.空间中平面与平面之间的位置关系是根据交点个数来定义的，要求学生在公理3的基础上会判断平面与平面之间的位置关系.本节重点是结合图形判断空间中平面与平面之间的位置关系. 三维目标 1.结合图形正确理解空间中平面与平面之间的位置关系. 2.进一步熟悉文字语言、图形语言、符号语言的相互转换. 3.培养学生全面思考问题的能力. 重点难点平面与平面的相交和平行. 课时安排 1课时教学过程复习 1.直线与直线的位置关系:相交、平行、异面. 2.直线与平面的位置关系： ①直线在平面内——有无数个公共点, ②直线与平面相交——有且只有一个公共点, ③直线与平面平行——没有公共点. 导入新课思路1.(情境导入) 拿出两本书，看作两个平面，上下、左右移动和翻转，它们之间的位置关系有几种？思路2.(事例导入) 观察长方体（图1），围成长方体ABCD—A′B′C′D′的六个面，两两之间的位置关系有几种？图1 推进新课新知探究提出问题 ①什么叫做两个平面平行？ ②两个平面平行的画法. ③回忆两个平面相交的依据. ④什么叫做两个平面相交? ⑤用三种语言描述平面与平面之间的位置关系. 活动:先让学生思考，后再回答，经教师提示、点拨，对回答正确的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路. 问题①引导学生回忆直线与平面平行的定义.

问题②怎样体现两个平面平行的特点. 问题③两个平面有一个公共点,两平面是否相交. 问题④回忆公理三. 问题⑤鼓励学生自我训练. 讨论结果： ①两个平面平行——没有公共点. ②画两个互相平行的平面时，要注意使表示平面的平行四边形的对应边平行，如图2. 图2 图3 ③如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线.此时，就说两平面相交，交线就是公共点的集合，这就是公理3.如图3，用符号语言表示为：P ∈α且P ∈β?α∩β=l,且P ∈l. ④两个平面相交——有一条公共直线. ⑤如果两个平面没有公共点，则两平面平行?若α∩β=,则α∥β. 如果两个平面有一条公共直线，则两平面相交?若α∩β=AB,则α与β相交. 两平面平行与相交的图形表示如图4. 图4 应用示例思路1 例1 已知平面α,β,直线a,b,且α∥β,a ?α,b ?β,则直线a 与直线b 具有怎样的位置关系? 活动：学生自己思考或讨论，再写出正确的答案.教师在学生中巡视，发现问题及时纠正,并及时评价. 解：如图5,直线a 与直线b 的位置关系为平行或异面. 图5 例2 如果三个平面两两相交，那么它们的交线有多少条？画出图形表示你的结论. 解：三个平面两两相交，它们的交线有一条或三条,如图 6. ?