高三物理涉及弹簧的力学问题

涉及弹簧的力学问题

1．弹簧的作用力分析

弹簧在弹性限度内，产生的弹力遵从胡克定律f=kx ，式中x 指相对原长的形变量。当形变量变化Δx 时，弹力也发生相应的变化Δf ，且Δf=k Δx 。

例1 如图1，轻弹簧上端固定，下端挂一质量为m o 的平盘，盘内放一质量为m 的物体。当盘静止时，弹簧的长度比其自然长度伸长了L 。今向下拉盘，使弹簧再伸长ΔL 后停止，然后松手放开。设弹簧总处在弹性限度内，则刚松开手时，盘对物体的支持力等于

(A)(1十ΔL ／L)mg

(B)(1十ΔL ／L)(m 十m 。)g

(C) ΔL(m 十m 。)g/L

(D) ΔL ·mg ／L

解析：对系统，静止时

kL ＝(m 十m o )g ①

再下拉ΔL 后松手瞬间，有

k(L+ΔL)—(m+m 。)g ＝(m+m 。)a ②

由①②得k ΔL ＝(m 十m 。)a ③ 图1

此时系统所受的合外力为k ΔL ，也可直接用Δf=k Δx 得出。

对物体m ：N 一mg ＝ma ④

联立③④得N ＝(1十ΔL/L)·mg

本题也可用特殊值验证：令ΔL ＝0，N ＝mg 只有选项(A)正确。

2．弹簧振子的运动分析

例2 一弹簧振子作简谐振动，周期为T 。

(A)若t 时刻和(t 十Δt)时刻振子运动的位移大小相等、方向相同，则Δt 一定等于T 的整数倍。

(B)若t 时刻和(t 十Δt)时刻振子运动速度大小相等、方向相反，则一Δt 定等于T ／2的整数倍

(C)若Δt ＝T ，则t 时刻和(t 十Δt)时刻振子运动的加速度一定相等

(D)若Δt ＝T ／2，则T 时刻和(t 十Δt)时刻弹簧的长度一定相等

解析 (1)弹簧振子作简谐振动，其位移x 一时间t 关系图线

应是正弦或余弦曲线。设为正弦曲线，如图2，并在图上找出t 和

(t 十Δt)两个时刻及其对应的a 、b 两点。

(2)从x 一t 图上可看出，虽然t 和(t 十Δt)两时刻振子位移x

大小相等、方向相同，但时间Δt 可不等于T 的整数倍，故选项(A)错。

(3)已知过x 一t 图线上某点的切线斜率表示速度。由图可看出，过a 、b 两点所作切线的斜率大小相等、符号相反(表示速度方向相反)，但Δt 不等于T ／2的整数倍，故选项(B)错。

(4)若Δt ＝T ，由简谐振动的周期性可知，和(t 十Δt)两时刻振子的位移一定等大同向，故两时刻的受力完全相同，振子的加速度一定相等，故选项(C)正确。

(5)若Δt ＝T ／2，则可从x 一t 图明确看出，若t 时刻弹簧被拉伸，则(t 十Δt)时刻弹簧被压缩，二者的长度不等，故选项(D)错。

3．弹簧储能变化分析

例3 质量为m 的钢板与直立轻弹簧上端连结，弹簧下端固定在地上。平衡时，弹簧的压缩量为x 0，如图3。一物体从钢板正上方距离为3x 0的A 处自由落下，打在钢板上并立刻与钢板一起向下运动，但不粘连。它们到达最低点后又向上运动。已知物体质量也为m 时，它们恰能回到O 点。若物块质量为2m ，仍从A 处自由落下，则物块和钢板回到O 点时，还具有向上的速度，求物块向上运动到达的最高点与O 点的距离。

解析 物块与钢板相碰前的速度 ①

006gx V

设V1表示质量为m的物块与钢板碰撞后一起向下运动的速度，因碰撞时间极短

mV0 = 2mv1②

刚碰完时弹簧储存弹性势能Ep，当它们一起回到O点时，

弹性势能为零。题设此时物块和钢板速度也变为零，则

E p+(2m)V12/2=2mgx0 ③

设V2表示质量为2m的物块与钢板碰撞后一起向下运动

的速度，则有：

2mV。＝3mV2④

刚碰完时弹簧储存的弹性势能仍为Ep，它们回到O点时

弹性势能为零，但物块和钢板有向上的速度V，则有

Ep+(3m)V22/2 = 3mgx0+(3m)V2/2 ⑤

过O点后，钢板受弹簧向下的拉力，加速度大于g。物块与钢板不粘连，物块不可能受到钢板拉力，其加速度为g。故物块与钢板分离后，物块以速度V竖直上抛，向上到达最高点与O点距离为：

L=V2/2g=x o／2。

4．弹簧连结物的位置变化分析

例4 如图4，劲度系数为k1的轻弹簧两端分别与质量为m l、m 2的物块1、2拴接。劲度系数为k2的轻弹簧上端与物体2拴接，下端压在桌面上(不拴接)，整个系统处于平衡状态。现施力将物块1缓慢竖直上提，直到下面那个弹簧的下端刚脱离桌面。在此过程中物块2的重力势能增加了，物块1的重力势能增加了。

解析要求物块的重力势能变化ΔEp=mg.Δh，关键是求两物块各自上升的高度Δh1、Δh2。

系统最初静止，下部弹簧压缩量为

ΔL

2=（m1+m2）g/k2①

最后下部弹簧恢复原长，物块2上升高度

Δh2＝ΔL2②

故物块2重力势能增加

ΔEp2＝m2g·Δh2＝m2·(m1十m2)g2／k2

上部弹簧最初的压缩量为

ΔL1＝m1g／k l③

最后上部弹簧还要提住物块2，变为伸长态，伸长量为图4

ΔL1’＝m2g／k l ④

因此，物块1上升的高度为

Δh1＝ΔL l十ΔL2十ΔL l’＝(m l十m2)g2(1／k l十1／k2)

物块1重力势能增加了

ΔEp1＝m1g·Δh1＝m l(m l十m2)g2(1／k l十1／k2)

5．弹簧与“两个守恒”条件的分析

例5 如图5所示装置中，木块B与水平桌面间的接触是光滑的，子弹沿水平方向射入木块并留在木块内，将弹簧压缩到最短。现将子弹、木块和弹簧合在一起作为研究对象(系统)，则此系统在子弹开始射入木块到弹簧压缩至最短的整个过程中：

(A)动量和机械能都守恒、

(B)动量和机械能都不守恒

(C)动量守恒，机械能不守恒

(D)动量不守恒，机械能守恒图5

解析本题研究对象是整个系统，研究过程是从子弹开始射入到弹簧压缩到最短的整个

过程。此过程中，竖直墙对系统有向右的力，故系统水平方向合外力不为零，动量不守恒。子弹打入木块的过程中，要克服摩擦阻力做功，且做功有一部分机械能变为内能，故系统的机械能不守恒。

综上所述，选项(B)是正确的。

链接高考：

1.（2004年，全国卷Ⅱ，吉林等八省，理综）如图6所示，四个完全相同的弹簧都处于水平位置，它们的右端受到大小皆为F的拉力作用，而左端的情况各不相同：①中弹簧的左端固定在墙上，②中弹簧的左端受到大小也为F的拉力作用，③中弹簧的左端拴一小物块，物块在光滑的桌面上滑动，④中弹簧的左端拴一小物块，物块在有摩擦的桌面上滑动。若认为弹簧的质量都为零，以L1、L2、L3、L4依次表示四个弹簧的伸长量，则有：（）

A．L2>L1

B．L4>L3

C．L1>L3

D．L2=L4

图6

2．(2004年，广东省)图中，轻弹簧的一端固定、另一端与滑块B相连，B静止在水平直导轨上，弹簿处在原长状态。另一质量与B相同的滑块A，从导轨上的P点以某一初速度向B滑行。当A滑过距离L1时，与B相碰，碰撞时间极短，碰后A、B紧贴在一起运动，但互不粘连。已知最后A恰好返回到出发点P并停止。滑块A和B与导轨的滑动摩擦因数都为μ，运动过程中弹簧最大形变量为L2，重力加速度为g。求A从P点出发时的初速度Vo。

3．(2003年，全国新课程卷) (1) 如图8，在光滑水平长直轨道上，放着一个静止的弹簧振子，它由一轻弹簧两端各联结一个小球构成，两小球质量相等．现突然给左端小球一个向右的速度u o，求弹簧第一次恢复到自然长度时，每个小球的速度．

(2) 如图9，将N个这样的振于放在该轨道上．最左边的振子1被压缩至弹簧为某一长度后

锁定，静止在适当位置上，这时它的弹性势能为E0．其余各振子间都有一定的距离．现解除对振子l的锁定，任其自由运动，当它第一次恢复到自然长度时，刚好与振子2碰撞，此后，继续发生一系列碰撞，每个振子被碰后刚好都是在弹簧第一次恢复到自然长度时与下一个振子相碰。求所有可能的碰撞都发生后，每个振子弹性势能的最大值。已知本题中两球发生碰撞时，速度交换，即一球碰后的速度等于另一球碰前的速度．

图8

图9

4．(2001年，全国)惯性制导系统已广泛应用于弹道式导弹工程中，这个系统的重要元件之

一是加速度计。加速度计的构造原理的示意图如图所示：沿导弹长度方向安装的固定光滑杆上套

一质量为m 的滑块，滑块两侧分别与劲度系数均为K 的弹簧相连；两弹簧的另一端与固定壁相连。滑块原来静止，弹簧处于自然长度。滑块上有指针，可通过标尺测出滑块的位移，然后通过控制

系统进行制导。设某段时间内导弹沿水平方向运动，指针向左偏离0点的距离为S ，则这段时间

内导弹的加速度 ( )

(A) 方向向左，大小为

m ks (B) 方向向右，大小为m

ks (C) 方向向左，大小为m ks 2 (D) 方向向右，大小为m ks 2

5．(2001年，上海市)一升降机在箱底装有若干个弹簧如图11，设在某次事故中，升降机吊

索在空中断裂，忽略摩擦力，则升降机在从弹簧下端触地后直到最低点的一段运动过程中，

( )

(A) 升降机的速度不断减小

(B) 升降机的加速度不断变大

(C) 先是弹力做的负功小于重力做的正功，

然后是弹力做的负功大于重力做的正功

(D) 到最低点时，升降机加速度的值一定大于重才加速度的值 图11

5．(2001年，京、蒙、皖，春季)如图12所示，两根相同的轻弹簧S l 、S 2，劲度系数皆为K

＝4×102N ／m 。悬挂的重物的质量分别为m l ＝2kg 和m 2＝4kg 。若不计弹簧质量，取g ＝10m ／s 2，

则平衡时弹簧S l 、S 2的伸长量分别为 ( )

(A) 5cm 、100cm

(B) 10cm 、5cm

(C) 15cm 、10cm

(D) 10cm 、15cm

图12

6．(2001年，全国，理综)如图13所示，在一粗糙水平面上有两个质量分别为m 1和m 2的木

块l 和2，中间用一原长为L ，劲度系数为K 的轻弹簧连结起来，木块与地面间的滑动摩擦因数

为μ。现用一水平力向右拉木块2，当两木块一起匀速运动时两木块之间的距离是

( )

图13

7．(2001年，上海市)如图(a)所示，一质量为m的物体系于长度分别为L l、L2的两根细线上，L l 的一端悬挂在天花板上，与竖直方向夹角为θ，L2水平拉直，物体处于平衡状态。现将L2线剪断，求剪断瞬时物体的加速度。

(1)下面是某同学对该题的一种解法：

解：设L1线上拉力为T1，L2线上拉力

为T2，重力为mg，物体在三力作用下保持

平衡T l conθ＝mg，T l sinθ＝T2，T2＝mg tanθ，

剪断线的瞬间，T2突然消失，物体即在T2反方

向获得加速度。因为mg tanθ＝ma，所以加速度

a=g tanθ，方向在T2反方向。

你认为这个结果正确吗?请对该解法作出评价并说明理由。

(2)若将图(a)中的细线L l改为长度相同、质量不计的轻弹簧，如图（b）所示，其他条件不变，求解的步骤和结果与（1）完全相同，即a=g tanθ,你认为这个结果正确吗？请说明理由。

8．(2000年，京、皖，春季) 一轻质弹簧，上端悬挂于天花板。下端系一质量为m’的平板，处在平衡状态。一质量为m的均匀环套在弹簧外，距平板的距离为h，如图所示，让环自由下落，撞击平板。已知碰后环与板以相同的速度向下运动，使弹簧伸长。 ( )

(A) 若碰撞时间极短，则碰撞过程中环与板的总动量守恒

(B) 若碰撞时间极短，则碰撞过程中环与板的总机械能守恒

(C) 环撞击板后，板的新的平衡位置与A的大小无关

(D) 在碰后板和环一起下落的过程中，它们减少的动能

等于克服弹簧力所做的功

9．(2000年，全国)在原子核物理中，研究核子与核子关联的最有效途径是“双电荷交换反应”。这类反应的前半部分过程和下述力学模型类似。两个小球A和B用轻质弹簧相连，在光滑的水平直轨道上处于静止状态。在它们左边有一垂直于轨道的固定挡板P，右

边有一小球C沿轨道以速度v o射向B球，如图表示。C与B发生碰撞并立即结成一个整体D。在它们继续向左运动的过程中，当弹簧长度变得最短时，长度突然被锁定，不再改变，然后，A球与挡板P发生碰撞，碰后A、D都静止不动，A与P接触而不粘连。过一段时间，突然解除锁定(锁定及解除锁定均无机械能损失)。已知A、B、C三球的质量均为m 。

(1)求弹簧长度刚被锁定后A球的速度；

(2)求在A球离开挡板P之后的运动过程中，弹簧的最大弹性势能。

10．(1999年，全国)如图所示，两木块的质量分别为m l和m2，两轻质弹簧的劲度系数分别为K l和K2，上面木块压在上面的弹簧上(但不拴接)，整个系统处于平衡状态。现缓慢向上提上面的木块，直到它刚离开上面弹簧。在这过程中下面木块移动的距离为( )