中考数学压轴题动点

中考专题——动点问题详细分层解析（一）

所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题.

关键:动中求静.

函数揭示了运动变化过程中量与量之间的变化规律,是初中数学的重要内容.动点问题反映的是一种函数思想,由于某一个点或某图形的有条件地运动变化,引起未知量与已知量间的一种变化关系,这种变化关系就是动点问题中的函数关系.那么,我们怎样建立这种函数解析式呢?下面结合中考试题举例分析.

一、应用勾股定理建立函数解析式

例1如图1,在半径为6,圆心角为90°的扇形OAB 的弧AB 上,有一个动点P,PH ⊥OA,垂足为H,△OPH 的重心为G.

(1)当点P 在弧AB 上运动时,线段GO 、GP 、GH 中,有无长度保持不变的线段?如果有,请指出这样的线段,并求出相应的长度.

(2)设PH x =,GP y =,求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域(即自变量x 的取值范围). (3)如果△PGH 是等腰三角形,试求出线段PH 的长. 解:(1)当点P 在弧AB 上运动时,OP 保持不变,于是线段GO 、GP 、GH 中,有长度保持不变的线段，这条线段是

GH=32NH=2132?OP=2. (3)△PGH 是等腰三角形有三种可能情况:

①GP=PH 时,x x =+23363

1,解得6=x .经检验, 6=x 是原方程的根,且符合题意. ②GP=GH 时, 23363

12=+x ,解得0=x .经检验,0=x 是原方程的根,但不符合题意. ③PH=GH 时,2=x .

综上所述,如果△PGH 是等腰三角形,那么线段PH 的长为6或2.

二、应用比例式建立函数解析式

例2 如图2,在△ABC 中,AB=AC=1,点D,E 在直线BC 上运动.设BD=,x CE=y .

(1)如果∠BAC=30°,∠DAE=105°,试确定y 与x 之间的函数解析式；

(2)如果∠BAC 的度数为α,∠DAE 的度数为β,当α,β满足怎样的关系式时,(1)中y 与x 之间的函数解析式还成立?试说明理由.

H M N G P

O A B

图1 x y

例3(2005年·上海)如图3(1),在△ABC 中,∠ABC=90

°

,AB=4,BC=3. 点O 是边AC 上的一个动点,以点O 为圆

心作半圆,与边AB 相切于点D,交线段OC 于点E.

作EP ⊥ED,交射线AB 于点P,交射线CB 于点F.

(1)求证: △ADE ∽△AEP. (2)设OA=x ,AP=y ,求y 关于x 的函数解析式,并写出它的定义域. (3)当BF=1时,求线段AP 的长.

三、应用求图形面积的方法建立函数关系式

例3 如图,在△ABC 中,∠BAC=90°,AB=AC=22,⊙A 的半径为1.若点O 在BC 边上运动(与点B 、C 不重合),设BO=x ,△AOC 的面积为y .

(1)求y 关于x 的函数解析式,并写出函数的定义域.

(2)以点O 为圆心,BO 长为半径作圆O,求当⊙O 与⊙A 相切时,

△AOC 的面积.

解:(1)过点A 作AH ⊥BC,垂足为H.

∵∠BAC=90°,AB=AC=22, ∴BC=4,AH=2

1BC=2. ∴OC=4-x . ∵AH OC S AOC ?=?2

1, ∴4+-=x y (40<

在Rt △AOH 中,OA=1+x ,OH=x -2, ∴222)2(2)1(x x -+=+. 解得67=

x . 此时,△AOC 的面积y =617674=-

. ②当⊙O 与⊙A 内切时,

在Rt △AOH 中,OA=1-x ,OH=2-x , ∴222)2(2)1(-+=-x x . 解得27=

x . 此时,△AOC 的面积y =2

1274=-. 综上所述,当⊙O 与⊙A 相切时,△AOC 的面积为

617或21.

A E D C

B 图2 A 3(2) A 3(1 A B C

O 图8

H

C A B C

D

E O l A ′ 中考专题——动点问题（二）

所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题.

关键:动中求静.

动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。）动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值。下面就此问题的常见题型作简单介绍，解题方法、关键给以点拨。

一、以动态几何为主线的压轴题

（一）点动问题．

1．如图，ABC ?中，10==AC AB ，12=BC ，点D 在边BC 上，且4=BD ，以点D 为顶点作B EDF ∠=∠，分别交边AB 于点E ，交射线CA 于点F ．

（1）当6=AE 时，求AF 的长；

（2）当以点C 为圆心CF 长为半径的⊙C 和以点A 为圆心AE 长为半径的⊙A 相切时，

求BE 的长；

（3）当以边AC 为直径的⊙O 与线段DE 相切时，求BE 的长．

[题型背景和区分度测量点] 本题典型的一线三角(三等角)问题,试题在原

题的基础上改编出第一小题,当E 点在AB 边上运动

时，渗透入圆与圆的位置关系(相切问题)的存在性的研究形成了第二小题,加入直线与圆的位置关系

(相切问题)的存在性的研究形成了第三小题．区分

度测量点在直线与圆的位置关系和圆与圆的位置关系,从而利用方程思想来求解． [区分度性小题处理手法]

1．直线与圆的相切的存在性的处理方法：利用d=r 建立方程．

2．圆与圆的位置关系的存在性(相切问题)的处理方法：

利用d=R ±r(r R >)建立方程． 3．解题的关键是用含x 的代数式表示出相关的线段. （二）线动问题

在矩形ABCD 中，AB ＝3，点O 在对角线AC 上，直线l 过点O ，且与AC 垂直交AD 于点E.(1)若直线l 过点B ，把△ABE

沿直线l 翻折，点A 与矩形ABCD 的对称中心A ＇重合，求

BC 的长； (2)若直线l 与AB 相交于点F ，且AO ＝4

1AC ，设AD 的长为x ，五边形BCDEF 的面积为S.①求S 关于x 的函数关系式，并指出x 的取值范围；

A B C D E O l F ②探索：是否存在这样的x ，以A 为圆心，以-x 4

3长为半径的圆与直线l 相切，若存在，请求出x 的值；若不存在，请说明理由．

[题型背景和区分度测量点] 本题以矩形为背景,结合轴对称、相似、三角等相关知

识编制得到．第一小题考核了学生轴对称、矩形、勾股定理三小块知识内容；当直线l 沿AB 边向上平移时，探求面积

函数解析式为区分测量点一、加入直线与圆的位置关系(相切问题)的存在性的研究形成了区分度测量点二． [区分度性小题处理手法]

1．找面积关系的函数解析式，规则图形套用公式或用割补法，不规则图形用割补法．

2．直线与圆的相切的存在性的处理方法：利用d=r 建立方程．

3．解题的关键是用含x 的代数式表示出相关的线段.

例1：已知⊙O 的弦AB 的长等于⊙O 的半径，点C 在⊙O 上变化（不与A 、B ）重合，求∠ACB 的大小 .

分析：点C 的变化是否影响∠ACB 的大小的变化呢?我们不妨将点C 改变一下,如何变化呢？可能在优弧AB 上，也可能在劣弧AB 上变化，显然这两者的结果不一样。那么，当点C 在优弧AB 上变化时，∠ACB 所对的弧是劣弧AB ，它的大小为劣弧AB 的一半，因此很自然地想到它的圆心角，连结AO 、BO ，则由于AB=OA=OB ，即三角形ABC 为等边三角形，则∠AOB=600，则由同弧所对的圆心角与圆周角的关系得出： ∠ACB= ∠AOB=300， 当点C 在劣弧AB 上变化时，∠ACB 所对的弧是优弧AB ，它的大小为优弧AB 的一半，由∠AOB=600得，优弧AB 的度数为3600-600=3000，则由同弧

所对的圆心角与圆周角的关系得出：∠ACB=1500，

因此，本题的答案有两个，分别为300或1500.

反思：本题通过点C 在圆上运动的不确定性而引起结果的不唯

一性。从而需要分类讨论。这样由点C 的运动变化性而引起的分类讨论在解题中经常出现。

变式1：已知△ABC 是半径为2的圆内接三角形，若32=AB ，求

∠C 的大小.

本题与例1的区别只是AB 与圆的半径的关系发生了一些变化,其解题方法与上面一致,在三角形AOB 中

, , 则 ,即0120=∠AOB , 从而当点C 在优弧AB 上变化时，∠C 所对的弧是劣弧AB ，它

的大小为劣弧AB 的一半，即060=∠C , 当点C 在劣弧AB 上变化时，∠C 所对的弧是优弧AB ，它的大

小为优弧AB 的一半，由∠AOB=1200得，优弧AB 的度数为

3600-1200=2400，则由同弧所对的圆心角与圆周角的关系得出：2123

2121sin ==∠OB AB AOB 06021

=∠AOB

∠C=1200，

因此060=∠C 或∠C=1200.

变式2: 如图,半经为1的半圆O 上有两个动点A 、B ，若AB=1，

判断∠AOB 的大小是否会随点A 、B 的变化而变化，若变化，

求出变化范围，若不变化，求出它的值。

四边形ABCD 的面积的最大值。

解：（1）由于AB=OA=OB ，所以三角形AOB 为等边三角形，则∠AOB=600，即∠AOB 的大小不会随点A 、B 的变化而变化。 （2）四边形ABCD 的面积由三个三角形组成，其中三角形AOB 的面积为43

，而三角

形AOD 与三角形BOC 的面积之和为)(212121BG AF BG OC AF OD +=?+?，又由梯形

的中位线定理得三角形AOD 与三角形BOC 的面积之和EH BG AF =+)(21，要四边形

ABCD 的面积最大，只需EH 最大，显然EH ≤OE=23

，当AB ∥CD 时，EH=OE ，因此

四边形ABCD 的面积最大值为43+23=43

3. 对于本题同学们还可以继续思考:四边形ABCD 的周长的变化

范围.

变式3: 如图,有一块半圆形的木板,现要把它截成三角形板块.三角形的两个顶点分

别为A 、B ，另一个顶点C 在半圆上，问怎样截取才能使截出的三角形的面积最大？要求说明理由（广州市2000年考

题）

分析：要使三角形ABC 的面积最大，而三角形ABC 的底

边AB 为圆的直径为常量，只需AB 边上的高最大即可。过点C 作CD ⊥AB 于点D ，连结CO ，

由于CD ≤CO ，当O 与D 重合，CD=CO ，因此，当CO 与AB 垂

直时，即C 为半圆弧

的中点时，其三角形ABC 的面积最大。

本题也可以先猜想，点C 为半圆弧的中点时，三角形ABC 的面积最大，故只需另选一个位置C1（不与C 重合），，证明三角形ABC 的面积大于三角形ABC1的面积即可。如图

显然三角形 ABC1的面积=21AB ×C1D ，而C1D< C1O=CO,则三角形 ABC1的面积=21

AB ×

C1D<21

AB ×C1O=三角形 ABC 的面积,因此,对于除点C 外的任意点C1,都有三角形 ABC1的面积小于三角形三角形 ABC 的面积,故点C 为半圆中点时,三角形ABC 面积最大. 本题还可研究三角形ABC 的周长何时最大的问题。

提示：利用周长与面积之间的关系。要三角形ABC 的周长最

大，AB 为常数，只需AC+BC 最大，而（AC+BC ）2=AC2+CB2+2AC

×BC=AB2+4×ΔABC 的面积，因此ΔABC 的面积最大时，AC+BC

最大，从而ΔABC 的周长最大。

从以上一道题及其三个变式的研究我们不难发现,解决动态几何问题的常见方法有:

一、 特殊探路，一般推证

例2： 如图，⊙O1和⊙O2内切于A ，⊙O1的半径为3，⊙O2的半径为2，点P 为⊙O1上的任一点（与点A 不重合），直线PA 交⊙O2于点C ，PB 切⊙O2于点B ，则PC BP

的值为求其变化范围，

若不变化，求它的值。

（A ）2 （B ）3

（C ）23

（D ）26

分析：本题结论很难发现，先从特殊情况入手。最特殊情况为E 、F 分别为AB 、AC 中

点，显然有ΔEOF 为等腰直角三角形。还可发现当点E 与A 无限接近时，点F 与点C 无限接近，此时ΔEOF 无限接近Δ

AOC ，而ΔAOC 为等腰直角三角形，几种特殊情况都可以得出Δ

EOF 为等腰直角三角形。一般情况下成立吗？OE 与OF 相等吗？∠EOF 为直角吗？能否证明。如果它们成立，便可

以推出三角形OFC 与三角形OEA 全等，一般情况下这两个三

角形全等吗？

不难从题目的条件可得：OA=OC ，∠OCF=∠OAE ，而AE=CF ，

则ΔOEA ≌ΔOFC ，则OE=OF ，且∠FOC=∠EOA ，所以∠EOF=

∠EOA+∠AOF=∠FOC+∠FOA=900，则∠EOF 为直角，故ΔEOF 为等腰直角三角形。

A A

中考专题——动点问题详细分层解析（三）

所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题.

1 以双动点为载体，探求函数图象问题

例1在直角梯形ABCD中，∠C=90°，高CD=6cm(如图1). 动点P，Q同时从点B

出发，点P沿BA，AD，DC运动到点C停止，点Q沿BC运动到点C停止，两点运动时的速度都是1cm/s. 而当点P到达点A时，点Q正好到达点C. 设P，Q同时从点B出发，经过的时间为t(s)时，△BPQ的面积为y(cm)2(如图2). 分别以t，y为横、纵坐标建立直角坐标系，已知点P在AD边上从A到D运动时，y与t的函数图象是图3中的线段MN.

(1)分别求出梯形中BA，AD的长度；

(2)写出图3中M，N两点的坐标；

(3)分别写出点P在BA边上和DC边上运动时，y与t的函数关系式(注明自变量的取值范围)，并在图3中补全整个运动中y关于x的函数关系的大致图象.

评析本题将点的运动过程中形成的函数解析式与其相应的函数图象有机的结合在一起，二者相辅相成，给人以清新、淡雅之感. 本题彰显数形结合、分类讨论、函数建模与参数思想在解题过程中的灵活运用. 解决本题的关键是从函数图象中确定线段AB、梯形的高与t的函数关系式，建立起y与t的函数关系式，进而根据函数关系式补充函数图象.

2 以双动点为载体，探求结论开放性问题

例2 如图5，Rt△ABC中，∠B=90°，∠CAB=30°.它的顶点A的坐标为(10，0)，顶点B的坐标为(5，53)，AB=10，点P从点A出发，沿A→B→C的方向匀速运动，同时点Q从点D(0，2)出发，沿y轴正方向以相同速度运动，当点P到达点C时，两点同时停止运动，设运动的时间为t秒.

(1)求∠BAO的度数.

(2)当点P在AB上运动时，△OPQ的面积S(平方单位)与时间t(秒)之间的函数图象为抛物线的一部分，(如图6)，求点P的运动速度.

(3)求(2)中面积S与时间t之间的函数关系式及面积S取最大值时点P的坐标.

(4)如果点P，Q保持(2)中的速度不变，那么点P沿AB边运动时，∠OPQ的大小随着时间t的增大而增大；沿着BC边运动时，∠OPQ的大小随着时间t的增大而减小，当点P沿这两边运动时，使∠OPQ=90°的点P有几个?请说明理由.

解 (1)∠BAO=60°.

(2)点P的运动速度为2个单位/秒.

评析本题是以双点运动构建的集函数、开放、最值问题于一体的综合题. 试题有难度、有梯度也有区分度，是一道具有很好的选拔功能的好题. 解决本题的关键是从图象中获取P的速度为2，然后建立S与t的函数关系式，利用函数的性质解得问题(3).本题的难点是题(4)，考生要从题目的信息中确定建立以B为直角顶点的三角形，以B 为临界点进行分类讨论，进而确定点的个数问题.

3 以双动点为载体，探求存在性问题

例3 如图8，矩形ABCD中，AD=3厘米，AB=a厘米(a>3).动点M，N同时从B点

出发，分别沿B→A，B→C运动，速度是1厘米/秒.过M作直线垂直于AB，分别交AN，CD于P，Q.当点N到达终点C时，点M也随之停止运动.设运动时间为t秒.

(1)若a=4厘米，t=1秒，则PM=厘米；

(2)若a=5厘米，求时间t，使△PNB∽△PAD，并求出它们的相似比；

(3)若在运动过程中，存在某时刻使梯形PMBN与梯形PQDA的面积相等，求a的取值范围；

(4)是否存在这样的矩形：在运动过程中，存在某时刻使梯形PMBN，梯形PQDA，

梯形PQCN的面积都相等?若存在，求a的值；若不存在，请说明理由.

评析本题是以双动点为载体，矩形为背景创设的存在性问题.试题由浅入深、层

层递进，将几何与代数知识完美的综合为一题，侧重对相似和梯形面积等知识点的考查，本题的难点主要是题(3)，解决此题的关键是运用相似三角形的性质用t的代数式表示PM，进而利用梯形面积相等列等式求出t与a的函数关系式，再利用t的范围确

定的a取值范围. 第(4)小题是题(3)结论的拓展应用，在解决此问题的过程中，要有

全局观念以及对问题的整体把握.

4 以双动点为载体，探求函数最值问题

例4 )如图9，在边长为82cm的正方形ABCD中，E、F是对角线AC上的两个动点，它们分别从点A、C同时出发，沿对角线以1cm/s的相同速度运动，过E作EH垂直AC 交Rt△ACD的直角边于H；过F作FG垂直AC交Rt△ACD的直角边于G，连结HG、EB.设HE、EF、FG、GH围成的图形面积为S1，AE、EB、BA围成的图形面积为S2(这里规定：线段的面积为0).E到达C，F到达A停止.若E的运动时间为x(s)，解答下列问题：

(1)当0

(2)①若y是S1与S2的和，求y与x之间的函数关系式； (图10为备用图)

②求y的最大值.

解 (1)以E、F、G、H为顶点的四边形是矩形，因为正方形ABCD的边长为82，所以AC=16，过B作BO⊥AC于O，则OB=89，因为AE=x，所以S2=4x，因为HE=AE=x，

=0(舍去)，EF=16-2x，所以S1=x(16-2x)，当S1=S2时， 4x=x(16-2x)，解得x

1

=6，所以当x=6时， S1=S 2.

x

2

(2)①当0≤x<8时，y=x(16-2x)+4x=-2x2+20x，

当8≤x≤16时，AE=x，CE=HE=16-x，EF=16-2(16-x)=2x-16，

所以S1=(16-x)(2x-16)，所以y=(16-x)(2x-16)+4x=-2x2+52x-256.

②当0≤x<8时，y=-2x2+20x=-2(x-5)2+50，所以当x=5时，y的最大值为50.

当8≤x≤16时，y=-2x2+52x-256=-2(x-13)2+82，

所以当x=13时，y的最大值为82.

综上可得，y的最大值为82.

评析本题是以双动点为载体，正方形为背景创设的函数最值问题.要求学生认真读题、领会题意、画出不同情况下的图形，根据图形建立时间变量与其它相关变量的关系式，进而构建面积的函数表达式. 本题在知识点上侧重对二次函数最值问题的考查，要求学生有扎实的基础知识、灵活的解题方法、良好的思维品质；在解题思想上着重对数形结合思想、分类讨论思想、数学建模等思想的灵活运用.

例题 如图1，已知抛物线的顶点为A （2，1），且经过原点O ，与x 轴的另一个交点为B 。

⑴求抛物线的解析式；（用顶点式求得抛物线的解析式为x x 41y 2+-=）

⑵若点C 在抛物线的对称轴上，点D 在抛物线上，且以O 、C 、D 、B 四点为顶点的四边形为平行四边形，求D 点的坐标；

⑶连接OA 、AB ，如图2，在x 轴下方的抛物线上是否存在点P ，使得△OBP 与△OAB 相似？若存在，求出P 点的坐标；若不存在，说明理由。

分析:1.当给出四边形的两个顶点时应以两个顶点的连线．．．．．．．为四边形的边和对角线来考虑问题以O 、C 、D 、B 四点为顶点的四边形为平行四边形要分类讨论:按OB 为边和对角线两种情况

2. 函数中因动点产生的相似三角形问题一般有三个解题途径

① 求相似三角形的第三个顶点时，先要分析已知三角形的边．和角．

的特点，进而得出已知三角形是否为特殊三角形。根据未知三角形中已知边与已知三角形的可能对应边分类讨论。 ②或利用已知三角形中对应角，在未知三角形中利用勾股定理、三角函数、对称、旋转等知识来推导边的大小。 ③若两个三角形的各边均未给出，则应先设所求点的坐标进而用函数解析式来表示各边的长度，之后利用相似来列方程求解。

练习1、已知抛物线2

y ax bx c =+

+

经过0P E ?????及原点(00)O ，

． （1）求抛物线的解析式．（由一般式．．．

得抛物线的解析式为2233

y x x =-+）

（2）过P 点作平行于x 轴的直线PC 交y 轴于C 点，在抛物线对称轴右侧且位于直线PC 下方的抛物线上，任取一点Q ，过点Q 作直线QA 平行于y 轴交x 轴于A 点，交直线PC 于B 点，直线QA 与直线PC 及两坐标轴围成矩形OABC ．是否存在点Q ，使得OPC △与PQB △相似？若存在，求出Q 点的坐标；若不存在，说明理由．

（3）如果符合（2）中的Q 点在x 轴的上方，连结OQ ，矩形内的四个三角形OPC PQB OQP OQA ，，，△△△△系？为什么？

练习2、如图，四边形OABC 上，点C 在y 轴上，将边BC 折叠，使点B 落在边OA 的点D

处。已知折叠CE =且3tan 4

EDA ∠=。 （1）判断OCD △与ADE △是否相似？请说明理由；

（2）求直线CE 与x 轴交点P 的坐标；

（3）是否存在过点D 的直线l ，使直线l 、直线CE 与x 轴所围成的三角形和直线l 、直线CE 与y 轴所围成的三角形相似？如果存在，请直接写出其解析式并画出相应的直线；如果不存在，请说明理由。 练习3、在平面直角坐标系xOy 中，已知二次函数

2(0)y ax bx c a =++≠的图象与x 轴交于A B ，两点（点A 在点B 的左边），与y 轴交于点C ，其顶点的横坐标为1，且过点

(23)，和(312)--，． （1）求此二次函数的表达式；（由一般式．．．

得抛物线的解析式为223y x x =-++） （2）若直线:(0)l y kx k =≠与线段BC 交于点D （不与点B C ，重合），则是否存在这样的直线l ，使得以B O D ，，为顶点的三角形与BAC △相似？若存在，求出该直线

的函数表达式及点D 的坐标；若不存在，请说明理由；(10)(30),(03)A B C -，，

，， （3）若点P 是位于该二次函数对称轴右边图象上不与顶点重合的任意一点，试比较

锐角PCO ∠与ACO ∠的大小（不必证明），并写出此时点P 的横坐标p x 的取值范围．

练习4 (2009广东湛江市) 如图所示，已知抛物线21y x =-与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ．

（1）求A 、B 、C 三点的坐标．

（2）过点A 作AP ∥CB 交抛物线于点P ，求四边形ACBP 的面积．

（3）在x 轴上方的抛物线上是否存在一点M ，过M 作MG ⊥x 轴于点G ，使以A 、M 、G 三点为顶点的三角形与?PCA 相似．若存在，请求出M 点的坐标；否则，请说明理由．

练习5、已知：如图，在平面直角坐标系中，ABC △是直角三角形，

90ACB ∠=o ，点A C ，的坐标分别为(30)A -，，(10)C ，，3tan 4BAC ∠=． （1）求过点A B ，的直线的函数表达式；点(30)A -，，(10)C ，，B (13)，，3944

y x =+ （2）在x 轴上找一点D ，连接DB ，使得ADB △与

ABC △相似（不包括全等），并求点D 的坐标；

（3）在（2）的条件下，如P Q ，分别是AB 和AD 上的

动点，连接PQ ，设AP DQ m ==，问是否存在这样的m 使

得APQ △与ADB △相似，如存在，请求出m 的值；如不存在，请说明理由．

例1如图，已知△ABC 是边长为6cm 的等边三角形，动点P 、Q 同时从A 、B 两点出发，分别沿AB 、BC 匀速运动，其中点P 运动的速度是1cm/s ，点Q 运动的速度是2cm/s ，当点Q 到达点C 时，P 、Q 两点都停止运动，设运动时间为t （s ），解答下列问题：

（1）当t ＝2时，判断△BPQ 的形状，并说明理由；

（2）设△BPQ 的面积为S （cm 2），求S 与t 的函数关系式；

（3）作QR //BA 交AC 于点R ，连结PR ，当t 为何值时，△APR ∽△PRQ ？

分析:由t ＝2求出BP 与BQ 的长度,从而可得△BPQ 的形状;

作QE⊥BP 于点E,将PB,QE 用t 表示,由BPQ S ?=2

1×BP×QE 可得 S 与t 的函数关系式;先证得四边形EPRQ 为平行四边形,得PR=QE, 再由△APR ∽△PRQ ,对应边成比例列方程,从而t 值可求.

解:(1)△BPQ 是等边三角形,

当t=2时,AP=2×1=2,BQ=2×2=4,所以BP=AB-AP=6-2=4,

即BQ=BP.又因为∠B=600,所以△BPQ 是等边三角形.

(2)过Q 作QE⊥AB,垂足为E,由QB=2t ,得QE=2t·sin600=3t,

A C

O B x y

由AP=t,得PB=6-t,所以BPQ S ?=21×BP×QE=2

1(6-t)×3t=－23t 2+33t ； (3)因为QR∥BA,所以∠QRC=∠A=600，∠RQC=∠B=600，又因为∠C=600,

所以△QRC 是等边三角形,这时BQ=2t,所以QR=RC=QC=6-2t.

因为BE=BQ·cos600=2

1×2t=t,AP=t,所以EP=AB-AP-BE=6-t-t=6-2t, 所以EP=QR,又EP∥QR,所以四边形EPRQ 是平行四边形,所以PR=EQ=3t, 由△APR∽△PRQ,得到RQ PR PR AP =,即t

t t t 2633-=,解得t=56, 所以当t=5

6时, △APR∽△PRQ . 点评: 本题是双动点问题.动态问题是近几年来中考数学的热点题型.这类试题信息量大,对同学们获取信息和处理信息的能力要求较高;解题时需要用运动和变化的眼光去观察和研究问题,挖掘运动、变化的全过程,并特别关注运动与变化中的不变量、不变关系或特殊关系,动中取静,静中求动.

例2如图，在Rt ABC △中，90A ∠=o ，6AB =，8AC =，D E ，分别是边AB AC ，的中点，点P 从点D 出发沿DE 方向运动，过点P 作PQ BC ⊥于Q ，过点Q 作QR BA ∥交AC 于R ，当点Q 与点C 重合时，点P 停止运动．设BQ x =，QR y =．（1）求点D 到BC 的距离DH 的长；

（2）求y 关于x

（3）是否存在点P ，使PQR △满足要求的x 的值；若不存在，请说明理由．

分析:由△BHD∽△BAC ,可得DH;由△RQC ∽△A BC,可得 y 关于x 的函数关系式;由腰相等列方程可得x 的值;注意需分类讨论

中考专题——动点问题详细分层解析（四）

所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题. 四、以圆为载体的动点问题

动点问题是初中数学的一个难点，中考经常考察，有一类动点问题，题中未说到圆，却与圆有关，只要巧妙地构造圆，以圆为载体，利用圆的有关性质，问题便会迎刃而解；此类问题方法巧妙，耐人寻味。

例1. 在Rt ABC ?中，AC ＝5，BC ＝12，∠ACB ＝90°，P 是AB 边上的动点（与点A 、B 不重合），Q 是BC 边上的动点（与点B 、C 不重合），当PQ 与AC 不平行时，△CPQ 可能为直角三角形吗？若有可能，请求出线段CQ 的长的取值范围；若不可能，请说明理由。（03年广州市中考）

分析：不论P 、Q 如何运动，∠PCQ 都小于∠ACB 即小于90°，又因为PQ 与AC 不平行，所以∠PQC 不等于90°，所以只有∠CPQ 为直角，△CPQ 才可能是直角三角形，而要判断△CPQ 是否为直角三角形，只需构造以CQ 为直径的圆，根据直径所对的圆周角为直角，若AB 边上的动点P 在圆上，∠CPQ 就为直角，否则∠CPQ 就不可能为直角。 以CQ 为直径做半圆D 。

①当半圆D 与AB 相切时，设切点为M ，连结DM ，则

DM ⊥AB ，且AC ＝AM ＝5

所以 MB AB AM =-=-=1358

设CD x =，则DM x DB x ==-，12

在Rt DMB ?中，DB DM MB 222=+，即

()1282

22-=+x x 解得：x =

103

，所以CQ x ==2203 即当CQ =203

且点P 运动到切点M 的位置时，△CPQ 为直角三角形。 ②当203

12<

③当0203

<

所以，当203

12≤

例2. 如图2，直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B ＝90°，AD ＋BC ＜DC ，若腰DC 上有

动点P，使AP⊥BP，则这样的点有多少个？

分析：由条件AP⊥BP，想到以AB为直径作圆，若CD与圆相交，根据直径所对的圆周角是90°，两个交点即为点P；若CD

与圆相切，切点即是点P；若CD与圆相离，则DC上不存在动点P，使AP⊥BP。

例3. 如图5，△ABC的外部有一动点P（在直线BC上方），分别连结PB、PC，试确定∠BPC与∠BAC的大小关系。（02年广

州市中考）

分析：∠BPC与∠BAC之间没有联系，要确定∠BPC与∠BAC 的大小关系，必须找恰当的载体，作为它们之间的桥梁，这道桥梁就是圆，通过构造△ABC的外接圆，问题就会迎刃而解。

（1）当点P在△ABC外接圆外时，

如图5，连结BD，根据外角大于任何一个与它不相邻的内角，∠BPC＜∠BDC

又因为∠BDC＝∠BAC，

所以∠BPC＜∠BAC；

（2）当点P在△ABC外接圆上时，如图6，根据同弧

所对的圆周角相等，∠BPC＝∠BAC；

（3）当点P在△ABC外接圆内时，如图7，延长BP

交△ABC外接圆于点D，连结CD，则∠BPC＞∠BDC，

又∠BDC＝∠BAC，故∠BPC＞∠BAC。

综上，知当点P在△ABC外接圆外时，

∠BPC＜∠BAC；

当点P在△ABC外接圆上时，

∠BPC＝∠BAC；

当点P在△ABC外接圆内时，

∠BPC＞∠BAC。