(人教版)高中数学必修四优秀教案

第一章三角函数

1.1任意角和弧度制

1.1.1任意角

一、教学目标：

1、知识与技能

（1）推广角的概念、引入大于360?角和负角；（2）理解并掌握正角、负角、零角的定义；（3）理解任意角以及象限角的概念；(4)掌握所有与α角终边相同的角（包括α角）的表示方法；（.

二、教学重、难点

重点: 理解正角、负角和零角的定义，掌握终边相同角的表示法.

难点: 终边相同的角的表示.

三、学法

回忆-观察-讲解-归纳-推广.

四、教学设想

【创设情境】

思考:你的手表慢了5分钟，你是怎样将它校准的？假如你的手表快了1.25

小时，你应当如何将它校准？当时间校准以后，分针转了多少度？

[取出一个钟表,实际操作]我们发现，校正过程中分针需要正向或反向旋转，有时转不到一周，有时转一周以上,这就是说角已不仅仅局限于0360

??

~之间，这正是我们这节课要研究的主要内容——任意角.

【探究新知】

1．初中时，我们已学习了0360

??

~角的概念，它是如何定义的呢？

角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.如图1.1-1，一条射线由原来的位置OA，绕着它的

端点O 按逆时针方向旋转到终止位置OB ，就形成角α.旋转开始时的射线OA 叫做角的始边，OB 叫终边，射线的端点O 叫做叫α的顶点.

2.如上述情境中所说的校准时钟问题以及在体操比赛中我们经常听到这样的术语：“转体720?” （即转体2周），“转体1080?”（即转体3周）等,都是遇到大于360?的角以及按不同方向旋转而成的角.同学们思考一下:能否再举出几个现实生活中“大于360?的角或按不同方向旋转而成的角”的例子,这些说明了什么问题?又该如何区分和表示这些角呢?

如自行车车轮、螺丝扳手等按不同方向旋转时成不同的角, 这些都说明了我们研究推广角概念的必要性. 为了区别起见，我们规定:按逆时针方向旋转所形成的角叫正角,按顺时针方向旋转所形成的角叫负角如果一条射线没有做任何旋转,我们称它形成了一个零角.

如教材图1.1.3(1)中的角是一个正角,它等于750?；图1.1.3(2)中，正角210α?=，负角150,660βγ??=-=-；这样，我们就把角的概念推广到了任意角,包括正角、负角和零角. 为了简单起见，在不引起混淆的前提下，“角α”或“α∠”可简记为α.

3.在今后的学习中，我们常在直角坐标系内讨论角，为此我们必须了解象限角这个概念.

角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合。那么，角的终边（除端点外）在第几象限，我们就说这个角是第几象限角.

如教材图1.1-4中的30?角、

210?-角分别是第一象限角和第三象限角.要特别注意:如果角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何一

个象限,称为非象限角.

4.练习:

(1)(口答)锐角是第几象限角?第一象限角一定是锐角吗?再分别就直角、钝角来回答这两个问题.

(2)(回答)今天是星期三那么7()k k Z ∈天后的那一天是星期几? 7()k k Z ∈天前的那一天是星期几?100天后的那一天是星期几?

5.探究:将角按上述方法放在直角坐标系中后,给定一个角,就有唯一的一条终边与之对应.反之,对于直角坐标系中任意一条射线OB (如图1.1-5),以它为终边的角是否唯一?如果不惟一,那么终边相同的角有什么关系?请结合4.(2)口答加以分析.

[展示课件]不难发现,在教材图1.1-5中,如果32?-的终边是OB ,那么328,392??-角的终边都是OB ,而328321360???=-+?,39232(1)360???-=-+-?.

设{|32360,}S k k Z ββ??==-+?∈,则328,392??-角都是S 的元素,32?-角也是S 的元素.因此,所有与32?-角终边相同的角,连同32?-角在内,都是集合S 的元素；反过来，集合S 的任一元素显然与32?-角终边相同.

一般地,我们有:所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集合

{|360,}S k k Z ββα?==+?∈,即任一与角α终边相同的角,都可以表示成角α与整数个周角的和.

6例题讲评

例1. 例1在0360??~范围内，找出与95012'?－角终边相同的角，并判定它是第几象限角.（注：0360??－是指0360β??≤<）

例2.写出终边在y 轴上的角的集合.

例3.写出终边直线在y x =上的角的集合S ,并把S 中适合不等式360α?-≤

720?<的元素β写出来.

7.练习 教材6P 第3、4、5题.

注意: （1）k Z ∈；（2）α是任意角（正角、负角、零角）；（3）终边相同的角不一定相等；但相等的角，终边一定相同；终边相同的角有无数多个，它们相差360?的整数倍.

8.学习小结

(1) 你知道角是如何推广的吗?

(2) 象限角是如何定义的呢?

(3) 你熟练掌握具有相同终边角的表示了吗?会写终边落在x 轴、

y 轴、直

线y x =上的角的集合.

五、评价设计

作业：习题1.1 A 组第1,2,3题．

1.1.2弧度制

一、教学目标：

（1）理解并掌握弧度制的定义；（2）领会弧度制定义的合理性；（3）掌握并运用弧度制表示的弧长公式、扇形面积公式；（4）熟练地进行角度制与弧度制的换算；（5）角的集合与实数集R之间建立的一一对应关系.(6) 使学生通过弧度制的学习，理解并认识到角度制与弧度制都是对角度量的方法，二者是辨证统一的，而不是孤立、割裂的关系.

二、教学重、难点

重点: 理解并掌握弧度制定义；熟练地进行角度制与弧度制地互化换算；弧度制的运用.

难点: 理解弧度制定义，弧度制的运用.

三、教学设想

【创设情境】

有人问：海口到三亚有多远时，有人回答约250公里，但也有人回答约160英里，请问那一种回答是正确的？（已知1英里=1.6公里）

显然，两种回答都是正确的，但为什么会有不同的数值呢？那是因为所采用的度量制不同，一个是公里制，一个是英里制.他们的长度单位是不同的，但是，他们之间可以换算：1英里=1.6公里.

在角度的度量里面，也有类似的情况，一个是角度制，我们已经不再陌生,另外一个就是我们这节课要研究的角的另外一种度量制---弧度制.

【探究新知】1．角度制规定：将一个圆周分成360份，每一份叫做1度，故一周等于360度，平角等于180度，直角等于90度等等.

弧度制是什么呢？1弧度是什么意思？一周是多少弧度？半周呢？直角等于多少弧度？弧度制与角度制之间如何换算？请看课本67P P ~，自行解决上述问题.

2.弧度制的定义

长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角，记作1rad ，或1弧度，或1(单位可以省略不写).

3.探究:如图,半径为r 的圆的圆心与原点重合,

角α的终边与x 轴的正半轴重合,交圆于点A ,终边与

圆交于点B .请完成表格.

我们知道，角有正负零角之分，它的弧度数也应该有正负零之分，如-π，-2π等等，一般地, 正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0,角的正负主要由角的旋转方向来y x A αO B

决定.

4.思考:如果一个半径为r 的圆的圆心角α所对的弧长是l ,那么a 的弧度数是多少?

角α的弧度数的绝对值是：r

l =α，其中，l 是圆心角所对的弧长，r 是半径. 5.根据探究中180rad π?=填空:

1___rad ?=,1___rad =度

显然,我们可以由此角度与弧度的换算了.

6.例题讲解

例1.按照下列要求,把'6730?化成弧度:

(1) 精确值；

(2) 精确到0.001的近似值.

例2.将3.14rad 换算成角度(用度数表示,精确到0.001).

注意:角度制与弧度制的换算主要抓住180rad π?=,另外注意计算器计算非特殊角的方法.

7. 填写特殊角的度数与弧度数的对应表:

角的概念推广以后,在弧度制下,角的集合与实数集R 之间建立了一一对应关系:即每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角（即弧度数等于

这个实数的角）与它对应.

8.例题讲评 例3.利用弧度制证明下列关于扇形的公式:

(1)l R α=; (2)212S R α=; (3)12

S lR =.

其中R 是半径,l 是弧长,(02)ααπ<<为圆心角,S 是扇形的面积. 例4.利用计算器比较sin1.5和sin85?的大小.

注意:弧度制定义的理解与应用,以及角度与弧度的区别.

9.练习 教材10P .

五、作业：习题1.1 A 组第7,8,9题．

1.2 任意角的三角函数

1.2.1任意角的三角函数(一)

一、教学目标：

（1）掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号）；（2）理解任意角的三角函数不同的定义方法；（3）了解如何利用与单位圆有关的有向线段，将任意角α的正弦、余弦、正切函数值分别用正弦线、余弦线、正切线表示出来；（4）掌握并能初步运用公式一；

二、教学重、难点

重点: 任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号）；终边相同的角的同一三角函数值相等（公式一）.

难点: 任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号）；三角函数线的正确理解.

三、教学设想

第一课时 任意角的三角函数（一）

【创设情境】

提问：锐角O

借助右图直角三角形，复习回顾. 引入：

锐角三角函数就是以锐角为自变量，以比值为函数值的函数。

数,你能用直角坐标系中角的终边上点的坐标来表示锐角三角函数吗?

如图,设锐角α的顶点与原点O 重合,始边与x 轴的正半轴重合,那

么它的终边在第一象限.在α的终边上任

取一点(,)P a b ,它与原点的距离

0r =>.过P 作x 轴的垂线,垂足为M ,则线段OM 的长度为a ,线段MP 的长

度为b .则sin MP b OP r α=

=; cos OM a OP r α==; tan MP b OM a

α==. 思考：对于确定的角α，这三个比值是否会随点P 在α的终边上的位置的改变而改变呢？

显然，我们可以将点取在使线段OP 的长1r =的特殊位置上，这样就可以得到用直角坐标系内的点的坐标表示锐角三角函数：

sin MP b OP α==; cos OM a OP α==; tan MP b OM a

α==. 思考：上述锐角α的三角函数值可以用终边上一点的坐标表示.那

么,角的概念推广以后，我们应该如何对初中的三角函数的定义进行修改，以利推广到任意角呢？本节课就研究这个问题――任意角的三角函数.

【探究新知】1.探究:结合上述锐角α的三角函数值的求法,我们应如何求解任意角的三角函数值呢?

显然,我们只需在角的终边上找到一个点,使这个点到原点的距离为1,然后就可以类似锐角求得该角的三角函数值了.所以,我们在此引入单位圆的定义:在直角坐标系中,我们称以原点O为圆心,以单位长度为半径的圆.

2.思考:如何利用单位圆定义任意角的三角函数的定义?

如图,设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点(,)

P x y,那么:

(1)y叫做α的正弦(sine),记做sinα,即sin y

α=；

（2）x叫做α的余弦(cossine),记做cosα,即cos x

α=；

（3）y

x 叫做α的正切(tangent),记做tanα,即tan(0)

y

x

x

α=≠.

注意:当α是锐角时，此定义与初中定义相同（指出对边，邻边，斜边所在）；当α不是锐角时，也能够找出三角函数，因为，既然有角，就必然有终边，终边就必然与单位圆有交点(,)

P x y，从而就必然能够最终算出三角函数值.

3.思考:如果知道角终边上一点,而这个点不是终边与单位圆的交点,该如何求它的三角函数值呢?

前面我们已经知道,三角函数的值与点P在终边上的位置无关，仅

与角的大小有关.我们只需计算点到原点的距离r=,那么