常见函数的图像及函数不等式
常见函数的图像及函数不等式
图像图像
图像图像
2 / 2
图像图像2 / 2
图像图像
2 / 2
图像图像2 / 2
2 / 2
1 2 / 2
常用的放缩公式
对数放缩
1.放缩成一次函数
2 / 2
()
ln1
x x
+≤ln x x
≤2.放缩成双撇函数
()
ln1
x x
<>
()
ln01
x x
><<()
11
ln,01
2
x x x
x
??
>-<<
?
??
()
11
ln,1
2
x x x
x
??
<->
?
??
3.放缩成二次函数
2
ln x x x
≤-()()
2
1
ln1,10
2
x x x x
+≤--<<()()
2
1
ln1,0
2
x x x x
+≥->
4.放缩成反比例函数
1
ln1
x
x
≥-()1
ln1
1
x
x
+≥
+
()
()
21
ln,1
1
x
x x
x
-
>>
+
()
()
21
ln,01
1
x
x x
x
-
<<<
+
()()
2
ln1,10
1
x
x x
x
+<-<<
+
()()
2
ln1,0
1
x
x x
x
+>>
+
指数放缩
1.放缩成一次函数1
x
e x
≥+x e ex
≥x e x
>
2.放缩成反比例函数
()
1
,0
1
x
e x
x
≤≤
-
()
1
,0
x
e x
x
<-<
3.放缩成二次函数
()
2
1
1,0
2
x
e x x x
≥++>23
11
1
26
x
e x x x
≥+++
指对数放缩
()()
ln112
x
e x x x
-≥+--=
三角函数放缩
tan sin,0
2
x x x x
π
??
>><<
?
??
2
1
sin
2
x x x
≥-22
11
1cos1sin
22
x x x
-≤≤-
以直线1
y x
=-为切线的函数
ln
y x
=11
x
y e-
=-2
y x x
=-
1
1
y
x
=-ln
y x x
=
对数平均值不等式链
a b
>>
若
,则
22
11ln ln2
ab a b a b
a b
a b a b
a b
-+
<=<<<<
+-
+
裂项放缩
2 / 2
2 / 2
分式放缩
姐妹不等式,即
()0,0b b m a b m a a m +<>>>+;()0,0b b m b a m a a m
+>>>>+; 记忆口诀:“小者小,大者大”;
解释:看字母b ,b 小,则不等式的符号是小于号,反之大于号。
对数平均值不等式链
0 a
b
>>
若,则
22 22
11ln ln22
ab a b a b a b
a a
b b
a b a b
a b
-++
<=<<<<<
+-
+
2 / 2
2 /
2
2
/ 2
2
/ 2
2
/ 2
2 / 2
2
/ 2
2
/ 2
2 /
2
2
/ 2