RS编译码原理

1 RS码字

RS码(Reed-solomon codes)一种低速率的前向纠错的信道编码，是一类具有强纠错能力的多进制BCH码，在线性分组码中，它的纠错能力和编码效率是最高的。相比于其他线性分组码而言，在同样的效率下，RS的纠错能力是特别强的，特别是在短的中等码长下，其性能接近于理论值，它不但可以纠正随机错误，突发错误及两者的结合，而且可以用来构造其他码型，如级联码。

其编码过程首先在多个点上对这些多项式求冗余，然后将其传输或者存储。对多项式的这种超出必要值的采样使得多项式超定（过限定）。当接收器正确的收到足够的点后，它就可以恢复原来的多项式，即使接收到的多项式上有很多点被噪声干扰失真。

1.1RS编码

RS码是一类纠错能力很强的特殊的非二进制BCH码。对于任选正整数S 可构造一个相应的码长为n=q S-1的q进制BCH码，而q作为某个素数的幂。当S=1，q>2时所建立的码长n=q-1的q进制BCH码，称它为RS码。当q=2m(m>1)，其码元符号取自于GF(2m)的二进制RS码可用来纠正突发差错，它是最常用的RS码。

一个RS码有以下几个参数：

码长：n=2^m-1个符号或者m(2m-1)比特

信息段：k个符号或者mk个比特

监督段：2t=n-k个符号2mt=m(n-k)个比特

最小码距：d min=n-k+1个符号或者md min=m(n-k+1)

例如，对RS（204,188）码来说，源数据被分割为188个符号为一组，经过编码变换后，成为204个符号长度的码字。长度为16个符号的监督为可以纠正码字中出现的最多8个符号错误。

RS编码的框图如图所示：

RS编码器的结构

RS码的基本思想就是选择一个合适的生成多项式g(x)，并且使得对每个信息段计算得到的码字多项式都是g(x)的倍式，即使得码字多项式除以g(x)的余式为0。这样，如果接收到的码字多项式除以g(x)的余式不是0，则知道接收码字的余式存在错误；而且通过进一步可以纠正最多t=(n-k)/2个错误。

RS码生成多项式一般按照如下公式选择，即

g(x)=(x-a)(x-a2)(x-a3)···(x-a2t-1)(x-a2t)

式中，a i是GF(2m)中的一个元素。如果用d(x)表示信息段多项式，则可以按照如下方法构造码字多项式c(x)。首先计算商式h(x)和余式r(x)，得

x n-k d(x)/ g(x)= h(x) g(x)+ r(x)

取余式r(x)作为校验字，然后令

c(x)=x n-k d(x)+r(x)

即将信息位放置于码字的前半部分，监督位码字放在后半部分，则

c(x)/g(x)= x n-k d(x)/ g(x)+r(x)/g(x)

=h(x)g(x)+r(x)+r(x)= h(x)g(x)

因此，码字多项式c(x)，必可以被生成多项式g(x)整除。如果在接收端检测不到余式为0，则可判断接收到的码字有错误。由于这种RS能纠正t个m进制的错误码字，所以，RS码特别适用于突发错误的信道

以RS（7,3）码为例介绍RS码的编码过程。RS（7,3）码利用3个信息符号得到长度为7的编码，码元符号取自GF（23）.即m=3。域GF（23）的本原多项式为a3+a+1，RS码的生成多项式为g(x)=x4+3x3+x2+2x+3。假如输入符号为[4 0 6]，则信息多项式d(x)=4x2+6。生成码字的过程如下：

(1)由于码元符号取自域GF（23），所以一个符号可以由3比特表示，x4d(x)的二进制比特表示为[100 000 110 000 000 000 000]；

(2)g(x)的二进制比特表示为[001 011 001 010 011]；

(3)计算x n-k d(x)/ g(x)得到的余式r(x)的二进制比特表示为[100 010 010 000]，因此校验位为[4 2 2 0]；

(4)生成的码字即为[4 0 6 4 2 2 0].

1.2RS译码

RS码的译码算法是从BCH码的译码算法演变而来的。与编码算法相比，译码算法比较复杂，需要的运算量也比较大。其中，比较有代表性的算法是Berlekamp-Messay算法(简称BM算法)和Euclid算法。在这两种算法的基础上，后来又派生出了一些修正算法或陕速算法。

RS码的译码可以按照下面的步骤来进行:

1.由接收多项式计算伴随式；

2.用BM算法或Euclid算法，由伴随式，求出错误位置多项式；

3.用Chien搜索法求伴随式的根，其倒数为错误位置数;

4.计算错误值；

5.接收多项式减去错误多项式，完成纠错。

如图所示

RS译码器原理框图

译码最关键和最复杂的一个步骤是求出错位置多项式，求取关键方程组的常用算法Berlekamp-Massey算法、Euclid算法。以下是BM的算法流程