2016北京市海淀区高三(一模)数学(文)

2016北京市海淀区高三（一模）

数学（文）

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．

1．已知集合A={x∈z|﹣2≤x＜3}，B={x|﹣2≤x＜1}，则A∩B=（）

A．{﹣2，﹣1，0} B．{﹣2，﹣1，0，1} C．{x|﹣2＜x＜1} D．{x|﹣2≤x＜1}

2．已知向量，若，则t=（）

A．1 B．3 C．±3 D．﹣3

3．某程序的框图如图所示，若输入的z=i（其中i为虚数单位），则输出的S 值为（）

A．﹣1 B．1 C．﹣i D．i

4．若x，y 满足，则z=x+y的最大值为（）

A．B．3 C．D．4

5．某三棱锥的三视图如图所示，则其体积为（）

A．B．C．D．

6．已知点P（x0，y0）在抛物线W：y2=4x上，且点P到W的准线的距离与点P到x轴的距离相等，则x0的值为（）A．B．1 C．D．2

7．已知函数f（x）=，则“α=”是“函数f（x）是偶函数“的（）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

8．某生产基地有五台机器，现有五项工作待完成，每台机器完成每项工作后获得的效益值如表所示．若每台机器只完成一项工作，且完成五项工作后获得的效益值总和最大，则下列叙述正确的是（）

工作

一二三四五

效益

机器

甲 15 17 14 17 15

乙 22 23 21 20 20

丙 9 13 14 12 10

丁 7 9 11 9 11

戊 13 15 14 15 11

A．甲只能承担第四项工作 B．乙不能承担第二项工作

C．丙可以不承担第三项工作D．获得的效益值总和为78

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．

9．函数f（x）=的定义域为______．

10．已知数列{a n}的前n项和为S n，且，则a2﹣a1=______．

11．已知l为双曲线C：﹣=1的一条渐近线，其倾斜角为，且C的右焦点为（2，0），则C的右顶点为______，

C的方程为______．

12．在2这三个数中，最小的数是______．

13．已知函数f（x）=sin（2x+φ），若，则函数f（x）的单调增区间为______．

14．给定正整数k≥2，若从正方体ABCD﹣A1B1C1D1的8个顶点中任取k个顶点，组成一个集合M={X1，X2，…，X k}，均满足?X i，X j∈M，?X l，X t∈M，使得直线X i X j⊥X l X t，则k的所有可能取值是______．

三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．

15．在△ABC 中，∠C=，a=6．

（Ⅰ）若c=14，求sinA的值；

（Ⅱ）若△ABC的面积为3，求c的值．

16．已知数列{a n}是等比数列，其前n项和为S n，满足S2+a1=0，a3=12．

（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；

（Ⅱ）是否存在正整数n，使得S n＞2016？若存在，求出符合条件的n的最小值；若不存在，说明理由．

17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，点M，N分别为线段PB，PC 上的点，MN ⊥PB．

（Ⅰ）求证：平面PBC⊥平面PAB；

（Ⅱ）求证：当点M 不与点P，B 重合时，MN∥平面ABCD；

（Ⅲ）当AB=3，PA=4时，求点A到直线MN距离的最小值．

18．一所学校计划举办“国学”系列讲座．由于条件限制，按男、女生比例采取分层抽样的方法，从某班选出10人参加活动，在活动前，对所选的10名同学进行了国学素养测试，这10名同学的性别和测试成绩（百分制）的茎叶图如图所示．

（Ⅰ）根据这10名同学的测试成绩，分别估计该班男、女生国学素养测试的平均成绩；

（Ⅱ）这10名同学中男生和女生的国学素养测试成绩的方差分别为，，试比较与的大小（只需直接写

出结果）；

（Ⅲ）若从这10名同学中随机选取一男一女两名同学，求这两名同学的国学素养测试成绩均为优良的概率．（注：成绩大于等于75分为优良）

19．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，椭圆C与y轴交于A、B两点，|AB|=2．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）已知点P是椭圆C上的动点，且直线PA，PB与直线x=4分别交于M、N两点，是否存在点P，使得以MN为直径的圆经过点（2，0）？若存在，求出点P的横坐标；若不存在，说明理由．

20．已知函数f（x）=．

（1）求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；

（2）求函数f（x）的零点和极值；

（3）若对任意x1，x2∈[a，+∞），都有f（x1）﹣f（x2）≥﹣成立，求实数a的最小值．

数学试题答案

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．

1．【考点】交集及其运算．

【分析】由A与B，求出两集合的交集即可．

【解答】解：∵A={x∈Z|﹣2≤x＜3}={﹣2，﹣1，0，1，2}，B={x|﹣2≤x＜1}，

∴A∩B={﹣2，﹣1，0}，

故选：A．

2．【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．

【分析】由向量共线可得t的方程，解方程可得．

【解答】解：∵向量，且，

∴1×9﹣t2=0，解得t=±3

故选：C

3．【考点】程序框图．

【分析】由已知中的程序框图及已知中输入z=i，可得：进入循环的条件为n≤5，即n=1，2，…，5，模拟程序的运行结果，即可得到输出的S值．

【解答】解：模拟执行程序，可得

z=i，n=1

不满足条件n＞5，S=i1，n=2

不满足条件n＞5，S=i2，n=3

不满足条件n＞5，S=i3，n=4

不满足条件n＞5，S=i4，n=5

不满足条件n＞5，S=i5，n=6

满足条件n＞5，退出循环，输出S=i5=i．

故选：D．

4．【考点】简单线性规划．

【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义进行求解即可．

【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：

由z=x+y得y=﹣x+y，

平移y=﹣x+y，

由图象知当直线y=﹣x+y经过点A直线的截距最大，

此时z最大，

由得，即A（1，3），

则z=+3=，

故选：C．

5．【考点】由三视图求面积、体积．

【分析】由三视图知该几何体是一个三棱锥，由三视图之间的关系求出几何元素的长度，由锥体的体积公式求出几何体的体积．

【解答】解：根据三视图可知几何体是一个三棱锥，

底面是一个三角形：即俯视图：底是2、高是侧视图的底边，

三棱锥的高是侧视图和正视图的高1，

∴几何体的体积V==，

故选：A．

6．【考点】抛物线的简单性质．

【分析】求得抛物线的焦点和准线方程，运用抛物线的定义可得点P到W的准线的距离即为P到W的焦点F的距离，由题意可得|PF|=|y0|，即可得到x0=1．

【解答】解：抛物线W：y2=4x的焦点为（1，0），准线方程为x=﹣1，

由抛物线的定义可得点P到W的准线的距离即为P到W的焦点F的距离，

由题意可得|PF|=|y0|，

则PF⊥x轴，可得x0=1，

故选：B．

7．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．

【分析】函数f（x）是偶函数，则sin（x+α）=cos（﹣x+α），可得sin（x+α）=，化简解出即可判断出结论．

【解答】解：函数f（x）是偶函数，则sin（x+α）=cos（﹣x+α），可得sin（x+α）=，

∴x+α+2kπ=+x﹣α，或π﹣（x+α）+2kπ=+x﹣α，

解得，（k∈Z）．

∴α=”是“函数f（x）是偶函数”的充分不必要条件．

故选：A．

8．【考点】进行简单的合情推理．

【分析】由表知道，五项工作后获得的效益值总和最大为17+23+14+11+15=80，但不能同时取得，再分类讨论，得出乙若不承担第二项工作，承担第一项，甲承担第二项工作，则戊承担第四项工作，即可得出结论．

【解答】解：由表知道，五项工作后获得的效益值总和最大为17+23+14+11+15=80，但不能同时取得．

要使总和最大，甲可以承担第一或四项工作，丙只能承担第三项工作，丁则不可以承担第三项工作，

所以丁承担第五项工作；乙若承担第四项工作；戊承担第一项工作，

此时效益值总和为17+23+14+11+13=78；

乙若不承担第二项工作，承担第一项，甲承担第二项工作，则戊承担第四项工作，

此时效益值总和为17+22+14+11+15=79，所以乙不承担第二项工作，

故选：B．

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．

9．【考点】函数的定义域及其求法．

【分析】根据函数f（x）的解析式，列出使解析式有意义的不等式，求出解集即可．

【解答】解：∵函数f（x）=，

∴2x﹣2≥0，

即2x≥2；

解得x≥1，

∴f（x）的定义域为[1，+∞）．

故答案为：[1，+∞）．

10．【考点】数列递推式．

【分析】通过，利用a2﹣a1=S2﹣2S1计算即得结论．

【解答】解：∵，

∴a2﹣a1=（a1+a2）﹣2a1

=S2﹣2S1

=（4﹣8）﹣2（1﹣4）

=2，

故答案为：2．

11．【考点】双曲线的简单性质．

【分析】由题意可得c=2，求出渐近线方程，解方程可得a，b，即可得到右顶点和双曲线的方程．【解答】解：由题意可得c=2，即a2+b2=4，

一条渐近线的斜率为k==tan=1，

解得a=b=，

则双曲线的右顶点为（，0），

C的方程为﹣=1．

故答案为：（，0），﹣=1．

12．【考点】对数值大小的比较．

【分析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．

【解答】解：∵=＞1，

log32＞=，

∴在2这三个数中，最小的数是．

故答案为：．

13．【考点】正弦函数的图象．

【分析】由条件可得+φ=2kπ+，且﹣+φ=2kπ﹣，k∈Z，求得φ的值，可得f（x）的解析式，再利用正弦函数的单调性得出结论．

【解答】解：∵函数f（x）=sin（2x+φ），若，

则函数的周期为π，f（）=sin（+φ）=1，f（﹣）=sin（﹣+φ）=﹣1，

故+φ=2kπ+，且﹣+φ=2kπ﹣，k∈Z，即φ=2kπ+，k∈Z．

故取φ=，f（x）=sin（2x+）．

令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，求得kπ﹣≤x≤kπ+，

故答案为：[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．

14．【考点】棱柱的结构特征．

【分析】由题意，?X i，X j∈M，?X l，X t∈M，使得直线X i X j⊥X l X t，则k至少要取6，可以保证由四点共面，即可得出结论．

【解答】解：由题意，?X i，X j∈M，?X l，X t∈M，使得直线X i X j⊥X l X t，

则k至少要取6，即可保证有四点共面，

由正方形的性质，四点共面时，?X l，X t∈M，使得直线X i X j⊥X l X t，

∴k的所有可能取值是6，7，8．

故答案为：6，7，8．

三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．

15．【考点】正弦定理；余弦定理．

【分析】（I）利用正弦定理解出；

（II）根据面积计算b，再利用余弦定理解出c．

【解答】解：（Ⅰ）在△ABC中，由正弦定理得：

，即，

∴．

（Ⅱ）∵=．

∴b=2．

由余弦定理得：c2=a2+b2﹣2a?b?cosC=4+36﹣2×=52．

∴．

16．【考点】数列的求和；等比数列的通项公式．

【分析】（Ⅰ）通过设数列{a n}的公比为q，利用2a1+a1q=0及a1≠0可知q=﹣2，进而通过a3=12可知首项a1=3，计算即得结论；

（Ⅱ）通过（I）、利用等比数列的求和公式计算可知S n＞2016等价于（﹣2）n＜﹣2015，分n为奇数、偶数两种情况讨论即可．

【解答】解：（Ⅰ）设数列{a n}的公比为q，

因为S2+a1=0，所以2a1+a1q=0，

因为a1≠0，所以q=﹣2，

又因为，所以a1=3，

所以；

（Ⅱ）结论：符合条件的n的最小值为11．

理由如下：

由（I）可知，

令S n＞2016，即1﹣（﹣2）n＞2016，整理得（﹣2）n＜﹣2015，

当n为偶数时，原不等式无解；

当n为奇数时，原不等式等价于2n＞2015，解得n≥11；

综上所述，所以满足S n＞2016的正整数n的最小值为11．

17．【考点】点、线、面间的距离计算；直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定．

【分析】（Ⅰ）通过证明BC⊥平面PAB，即可证明平面PBC⊥平面PAB；

（Ⅱ）在△PBC中，BC⊥PB，MN⊥PB，所以MN∥BC，利用线面平行的判定定理，证明MN∥平面ABCD；

（Ⅲ）AM的长就是点A到MN的距离，A到直线MN距离的最小值就是A到线段PB的距离．

【解答】证明：（Ⅰ）在正方形ABCD中，AB⊥BC．…．

因为PA⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，

所以PA⊥BC．…．

又AB∩PA=A，AB，PA?平面PAB，…．

所以BC⊥平面PAB．…．

因为BC?平面PBC，

所以平面PBC⊥平面PAB．…．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，BC⊥平面PAB，PB?平面PAB，

所以BC⊥PB．…．

在△PBC中，BC⊥PB，MN⊥PB，

所以MN∥BC，…．

又BC?平面ABCD，MN?平面ABCD，…．

所以MN∥平面ABCD．…．

解：（Ⅲ）因为MN∥BC，

所以MN⊥平面PAB，…．

而AM?平面PAB，

所以MN⊥AM，…．

所以AM的长就是点A到MN的距离，…．

而点M在线段PB上

所以A到直线MN距离的最小值就是A到线段PB的距离，

在Rt△PAB中，AB=3，PA=4，

所以A到直线MN的最小值为．…．

18．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；极差、方差与标准差．

【分析】（Ⅰ）设这10名同学中男女生的平均成绩分别为．利用茎叶图能求出该班男、女生国学素养测试

的平均成绩．

（Ⅱ）女生国学素养测试成绩的方差大于男生国学素养成绩的方差．

（Ⅲ）设“两名同学的成绩均为优良”为事件A，男生按成绩由低到高依次编号为a1，a2，a3，a4，女生按成绩由低到高依次编号为b1，b2，b3，b4，b5，b6，由此利用列举法能求出这两名同学的国学素养测试成绩均为优良的概率．

【解答】解：（Ⅰ）设这10名同学中男女生的平均成绩分别为．

则…．

…．

∴该班男、女生国学素养测试的平均成绩分别为73.75，76．

（Ⅱ）女生国学素养测试成绩的方差大于男生国学素养成绩的方差．…．

（Ⅲ）设“两名同学的成绩均为优良”为事件A，…．

男生按成绩由低到高依次编号为a1，a2，a3，a4，

女生按成绩由低到高依次编号为b1，b2，b3，b4，b5，b6，

则从10名学生中随机选取一男一女两名同学共有24种取法…．

（a1，b1），（a1，b2），（a1，b3），（a1，b4），（a1，b5），（a1，b6），（a2，b1），

（a2，b2），（a2，b3），（a2，b4），（a2，b5），（a2，b6），（a3，b1），（a3，b2），

（a3，b3），（a3，b4），（a3，b5），（a3，b6），（a4，b1），（a4，b2），（a4，b3），

（a4，b4），（a4，b5），（a4，b6），

其中两名同学均为优良的取法有12种取法…．

（a2，b3），（a2，b4），（a2，b5），（a2，b6），（a3，b3），（a3，b4），（a3，b5），

（a3，b6），（a4，b2），（a4，b3），（a4，b4），（a4，b5），（a4，b6），

所以，

即两名同学成绩均为优良的概率为．…．

19．【考点】椭圆的简单性质．

【分析】（Ⅰ）运用椭圆的离心率公式，以及a，b，c的关系，计算即可得到所求椭圆方程；

（Ⅱ）设P（m，n），可得+n2=1，可得A（0，1），B（0，﹣1），设M（4，s），N（4，t），运用三点共线的条件：

斜率相等，求得M，N的坐标，再由直径所对的圆周角为直角，运用垂直的条件：斜率之积为﹣1，计算即可求得m，检验即可判断是否存在．

【解答】解：（Ⅰ）由题意可得e==，2b=2，即b=1，

又a2﹣c2=1，解得a=2，c=，

即有椭圆的方程为+y2=1；

（Ⅱ）设P（m，n），可得+n2=1，

即有n2=1﹣，

由题意可得A（0，1），B（0，﹣1），设M（4，s），N（4，t），

由P，A，M共线可得，k PA=k MA，即为=，

可得s=1+，

由P，B，N共线可得，k PB=k NB，即为=，

可得s=﹣1．

假设存在点P，使得以MN为直径的圆经过点Q（2，0）．

可得QM⊥QN，即有?=﹣1，即st=﹣4．

即有[1+][﹣1]=﹣4，

化为﹣4m2=16n2﹣（4﹣m）2=16﹣4m2﹣（4﹣m）2，

解得m=0或8，

由P，A，B不重合，以及|m|＜2，可得P不存在．

20．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．

【分析】（1）求出f（x）的导数，求得切线的斜率和切点，即可得到所求切线的方程；

（2）令f（x）=0，可得零点；由导数大于0，可得增区间；导数小于0，可得减区间，进而得到极小值，无极大值；（3）结合单调性，当a≥2时，f（x）在[a，+∞）递增，即有f（x）≥f（a）≥f（2）=﹣，运用不等式的性质，即可得到a的最小值为2．

【解答】解：（1）函数f（x）=的导数为f′（x）=，

可得在点（0，f（0））处的切线斜率为﹣2，切点为（0，1），

即有切线的方程为y=﹣2x+1；

（2）由f（x）=0，可得x=1，即零点为1；

由x＞2时，f′（x）＞0，f（x）递增；当x＜2时，f′（x）＜0，f（x）递减．

可得x=2处，f（x）取得极小值，且为﹣，无极大值；

（3）由（2）可得f（2）取得极小值﹣，

当a≥2时，f（x）在[a，+∞）递增，即有f（x）≥f（a）≥f（2）=﹣，

由﹣≤f（x1）＜0，0＜﹣f（x2）＜，

可得＞f（x1）﹣f（x2）≥﹣恒成立．

即有a的最小值为2．