抽样技术课后习题参考答案金勇进

第二章习题

2.1判断下列抽样方法是否是等概的：

（1）总体编号1~64，在0~99中产生随机数r ，若r=0或r>64则舍弃重抽。

（2）总体编号1~64，在0~99中产生随机数r ，r 处以64的余数作为抽中的数，若余数为0则抽中64.

（3）总体20000~21000，从1~1000中产生随机数r 。然后用r+19999作为被抽选的数。 解析：等概抽样属于概率抽样，概率抽样具有一些几个特点：第一，按照一定的概率以随机原则抽取样本。第二，每个单元被抽中的概率是已知的，或者是可以计算的。第三，当用样本对总体目标进行估计时，要考虑到该样本被抽中的概率。 因此（1）中只有1~64是可能被抽中的，故不是等概的。（2）不是等概的【原因】（3）是等概的。

2.2抽样理论和数理统计中关于样本均值y 的定义和性质有哪些不同？

300户进行，现得到其日用电平均值=y 9.5（千瓦时），=2s 206.试估计该市居民用电量的95%置信区间。如果希望相对误差限不超过10%，则样本量至少应为多少？

解：由已知可得，N=50000，n=300，5.9y =，2062=s 该市居民用电量的95%置信区间为

[])(y [2

y V z N α±=[475000±1.96*41308.19]

即为（394035.95，555964.05） 由相对误差公式

y

)

(v u 2y α≤10%

可得%10*5.9206*n

50000

n 1*96.1≤- 即n ≥862

欲使相对误差限不超过10%，则样本量至少应为862

2.4某大学10000名本科生，现欲估计爱暑假期间参加了各类英语培训的学生所占的比例。随机抽取了两百名学生进行调查，得到P=0.35，是估计该大学所有本科生中暑假参加培训班的比例的95%置信区间。

解析：由已知得：10000=N 200=n 35.0=p 02.0==N

n

f

又有：35.0)()(===∧p p E p E 0012.0)1(11)(=---=∧p p n f

p V

该大学所有本科学生中暑假参加培训班的比例95%的置信区间为：])()([2

∧

∧

±P V Z P E α

代入数据计算得：该区间为[0.2843，0.4157]

2.5研究某小区家庭用于文化方面（报刊、电视、网络、书籍等）的支出，N=200，现抽取一个容量为20的样本，调查结果列于下表：

编号 文化支出 编号 文化支出 1 200 11 150 2 150 12 160 3 170 13 180 4 150 14 130 5 160 15 100 6 130 16 180 7 140 17 100 8 100 18 180 9 110 19 170 10

240

20

120

估计该小区平均的文化支出Y ,并给出置信水平95%的置信区间。 解析：由已知得：200=N 20=n

根据表中数据计算得：5.14420120

1

==∑=i i y y

∴ 该小区平均文化支出Y 的95%置信区间为：])(y [2

y V z

α

±即是：[132.544

,156.456] 故估计该小区平均的文化支出Y =144.5,置信水平95%的置信区间为[132.544 ,156.456]。

2.6某地区350个乡为了获得粮食总产量的估计，调查了50个乡当年的粮食产量，得到

y =1120（吨），225600S =，据此估计该地区今年的粮食总产量，并给出置信水平95%的

置信区间。

解析：由题意知：y =1120 1429.0350

50

n ===

N f 225600S =?160=s

置信水平95%的置信区间为：]1y [2

s n

f

z -±α

代入数据得： 置信水平95%的置信区间为：[1079.872，1160.872]*350 2.7某次关于1000个家庭人均住房面积的调查中，委托方要求绝对误差限为2平方千米，置信水平95%，现根据以前的调查结果，认为总体方差682=S ，是确定简单随机抽样所需的样本量。若预计有效回答率为70%，则样本量最终为多少?

解析：简单随机抽样所需的样本量2

2

22

2

12

2

S Z Nd S NZ n αα+=

%

701

2n n =

由题意知：1000=N 2=d 682

=S 96

.12

=αZ

代入并计算得：613036.611≈=n

87142.87%701

2≈==

n n

故知：简单随机抽样所需的样本量为61，若预计有效回答率为70%，则样本量最终为87

2.8某地区对本地100家化肥生产企业的尿素产量进行调查，一直去年的总产量为2135吨，抽取10个企业调查今年的产量，得到25=y ，这些企业去年的平均产量为22=x 。试估计今年该地区化肥总产量。 解析：由题可知22x =，

35.211002135===

N X X ,25y =

则，该地区化肥产量均值Y 的比率估计量为

26

.242425

35.21===∧

x y X

Y

该地区化肥产量总值Y 的比率估计量为 242626.24*100??===R Y N Y 所以，今年该地区化肥总产量的估计值为2426吨。

2.9如果在解决习题2.5的问题时可以得到这些家庭月总支出，得到如下表：

全部家庭的总支出平均为1600元，利用比估计的方法估计平均文化支出，给出置信水平95%的置信区间，并比较比估计和简单估计的效率。

解析：由题可知1580

130017002300201

x n 1x n 1i i =+++==∑=）（Λ

又

329.14615805

.144*1600x y y ===X

R

故平均文化支出的95%的置信区间为

代入数据得（146.329±1.96*1.892） 即为[142.621,150.037]

2.10某养牛场购进了120头肉牛，购进时平均体重100千克。现从中抽取10头，记录重量，3个月后再次测量，结果如下：

进行比较。

解：由题可知，6.1021059510

1

x n 1x n 1i i =++==∑=）

（Λ 故有368.1933

.106333

.1462

0==

=

x

xy S S β

所以总体均值Y 的回归估计量为 其方差估计为：

)2(1)(?02202xy

x lr S S S n f y V ββ-+-=

=)333.146*368.1*2933.106*368.1222.212(101201012-+-

=1.097 而2

1y (?S n

f V -=）

=

222.212*1012010

1- =19.454

显然)(?)(?y V y V lr

< 所以，回归估计的结果要优于简单估

第三单元习题答案（仅供参考） 1解：（1）不合适

（2）不合适 （3）合适 （4）不合适

2．将800名同学平均分成8组，在每一组中抽取一名“幸运星”。

∴Y ?st =1N

∑N h y ?h 3h=1=20.1

V （y ??st ）=∑W h 2s h 2n h

L h=1-∑W h s h 2N

L h=1

=9.7681-0.2962

=9.4719

∴√V （y ?

?st ）=3.0777 （2）置信区间为95%相对误差为10%，则有

按比例分配的总量：n=

∑W h s h

2

L h=1V+N V ∑W h s

h

2L h=1=185.4407≈185

∴n 1=n W 1=56，n 2=92，n 3=37

按内曼分配：n=

(∑W h s h 2)

2

L h=1V+1

N

∑W h s h h=1=175

∴n 1=33，n 2=99，n 3=43

P st =∑W h P h L h=1=0.924

根据各层层权W h 及抽样比f h 的结果，可得

V ?（P st ）=1N

∑N h

2(1?f h )p n q n n h ?1

4h=1=0.000396981 ∴√V

?（P st ）=1.99% ∴估计量的标准差为1.99%，比例为9.24%

按比例分配：n=2663

∴n 1=479，n 2=559，n 3=373，n 4=240，n 5=426，n 6=586

内曼分配：n=2565

∴n 1=536，n 2=520，n 3=417，n 4=304，n 5=396，n 6=392

5．解：由题意，有

Y ?=∑y

?W n L h=1=75.79 ∴购买冷冻食品的平均支出为75.79元

又由V （y ?）=

1?f n

∑W h s h 2L h=1+1

n 2∑(1?W h )s h 2

L h=1

又n=∑n h /W h L h=1

∴V （y ?）=53.8086 √V （y ?）=7.3354

∴95%的置信区间为[60.63，90.95]。

7．解：（1）对

（2）错 （3）错 （4）错 （5）对

8．解：（1）差错率的估计值y ?=

143

×70%+

257

×30%=0.027

估计的方差v （y ?）=∑W h

2L h=11?f h n h s h

2

=3.1967×10?4

标准差为S(y ?)=0.0179。

（2）用事后分层的公式计算差错率为y ?=∑W h (1m h

∑y hi )m h

i=1L h=1=0.03

估计的方差为；v （y ?）=∑W h 2S h 2

m h

h

-1

N

∑W h S h 2

h =2.5726×10?4

（2）用分别比估计，有r 1=0.4，r 2=0.65，所以用分别比估计可计算得Y ?=6.4。 用联合比估计，有r 1=0.5，r 2=0.625

，所以用联合比估计可计算得Y ?=6.5。

第四章习题

4.1 邮局欲估计每个家庭的平均订报份数，该辖区共有4000户，划分为400个群，每群

解：由题意得到400=N ，4=n ，10=M ，01.0400

4===

N n f 故875.14

1020

1620191?1

=?+++=

=

=∑

=n

i i y Mn

y Y （份）

75.18875.110=?=?=y M y （份） 750040010?=?=??=y N M Y

（份） 于是由以上的计算结果得到平均每户的订报份数为 1.875，估计量方差为

0.00391875。该辖区总的订阅份数为7500，估计量方差为62700。

4.2 某工业系统准备实行一项改革措施。该系统共有87个单位，现采用整群抽样，用简

单随机抽样抽取15个单位做样本，征求入选单位中每个工人对政策改革措施的意

（2） 在调查的基础上对方案作了修改，拟再一次征求意见，要求估计比例的允许误差

不超过8%，则应抽取多少个单位做样本?

解：题目已知87=N ，15=n ，87

15

=

=N n f 1）由已知估计同意改革的比例 此估计量的标准差为

4.3 某集团的财务处共有48个抽屉，里面装有各种费用支出的票据。财务人员欲估计办

公费用支出的数额，随机抽取了其中的10个抽屉，经过清点，整理出办公费用的票

）。

解：已知N=48, n=10, f=4810

=N n , 由题意得7361=∑=n i i y ，3651

=∑=n

i i M ，

则办公费用的总支出的估计为8.353273610

48

?1

=?=

=∑=n

i i y n

N Y

（元） 群总和均值6.7373610

1

11=?==∑=n i i y n y （元）

=9

)6.7380(...)6.7362()6.7383(10)

48101(482222-++-+-?

-

? = 182.4?9

1

?3590.4

= 72765.44 )?(Y

v =269.7507 则Y

?的置信度为95%的置信区间为3532.8±1.96?269.7507，即[3004.089，4061.511].

4.4 为了便于管理，将某林区划分为386个小区域。现采用简单随机抽样方法，从中抽

解：由已知得386=N ，20=n ，0518.038620===

N n f 整体的平均高度909.51046

8

.6180y Y ?

1

-i n

1i ==

=

=∑∑=n i

i

i

M

y M

方差估计值1

)(1)()?

(1

2

2

---=

=∑=n y M y

M n f y v Y v n

i i i

标准方差1644.002706.0)?

()?

(===Y v Y s

在置信度95%下，该林区的树木的平均高度的置信区间为

4.5 某高校学生会欲对全校女生拍摄过个人艺术照的比例进行调查。全校共有女生宿舍

200间，每间6人。学生会的同学运用两阶段抽样法设计了抽样方案，从200间宿舍中抽取了10间样本宿舍，在每间样本宿舍中抽取3位同学进行访问，两个阶段的

解：题目已知200=N ，10=n ，6M =，3=m ，05.0200101===

N n f ，5.02==M

m

f 在置信度95%下，p 的置信区间为

))?(?(2/p v t p

α±=）0.448568,0.151432()0758.096.13.0(=?±

4.6 上题中，学生会对女生勤工助学月收入的一项调查中，根据以往同类问题的调查，

宿舍间的标准差为1S =326元，宿舍内同学之间的标准差为2S =188元。以一位同学进行调查来计算，调查每个宿舍的时间1c 为1分钟，为了调查需要做各方面的准备及数据计算等工作，所花费的时间为0c 是4小时，如果总时间控制在8小时以内，则最优的样本宿舍和样本学生是多少？ 解：由已知条件得到以下信息：

326S 1=（元）188S 2=（元）10c 1=（分钟）1c 2=（分钟）240604c 0=?=（分钟） 由此得到

106276S 2

1

=，

35344S 22

=，

33.1003856

35344106276S 2

212u

=-=-=M S S

因而取最优的2m =，进一步计算opt n 由于总时间的限制480C =，由关系式

nm c n c c C 210++=得到opt opt 2n 10n 240480++=

计算方程得到20n opt =，因而取20n =

则最优的样本宿舍数为20间，最优样本学生数为2。

4.7 某居委会欲了解居民健身活动情况，如果一直该居委会有500名居民，居住在10个

单元中。现先抽取4个单元，然后再样本单元中分别抽出若干居民，两个阶段的抽样都是简单随机抽样，调查了样本居民每天用于健身锻炼的时间结果如下（以10分

（1） 简单估计量 （2） 比率估计量

（3） 对两种估计方法及结果进行评价。 解：（1）简单估计

=)17.4545.4364.34575.332(4

10

?+?+?+??

=1650，

则3.3500

1650

?Y ?0u ===M Y u ，

又1656604

1?1Y ?1u =?==∑=n i i Y n ， 所以∑∑==-+---=n

i i i

i i n

i u

i

m s f M n

N

n Y Y f 1

2

2221

2

1

2

u )1(1

)??(n 1(N

)Y ?v(）

分别计算

所以，162

.0046285.011556.0)1(1)??(n 1(N 1)?(1

2

22212120≈+=?????

?

?????

?-+

---=∑∑==n

i i i i i n

i u

i u m s f M n

N

n Y Y f M Y v ） 所以标准差402.0)?

()?(==u u Y v Y s (2) 比率估计

其中∑∑===

=n i i

i

n

i i

R R M

y M

M Y Y 1

10

??

（3）Θ简单估计标准差402.0)?

(=u Y s ，比率估计标准差2647.0)?(=R y

s

∴比率估计更好

第五章不等概抽样习题答案

5.1解：

分析题目可知“代码法”与“拉希里法”都是PPS 抽样（放回的与规模大小成比例的不等概抽样）的实施方法，而此题需要用此两种方法进行不放回抽样，故需进一步进行改进：即采用重抽法抽取，如果抽到重复单元，则放弃此样本单元，重新抽取，直到抽到规定的样本量且所有样本党员不重复： （1） 代码法：由i Z =

∑==N 1

i i

i 0

i M M

M M 可假设0M =1000000，则M i =i Z M 0列成数据表为：

为444703， 615432， 791937， 921813 ， 738207， 176266， 405706 935470， 916904， 57891按照范围我们可以知道抽取的PSU9, PSU16, PSU19, PSU24, PSU18, PSU2, PSU8 PSU24 PSU23 PSU2,我们看到第2组和24组重复抽取了，故进行重新抽取，抽到4组和6组；

综上所述，抽取的样本为2，4，6，8，9，16，18，19，23，24组

（2）拉希里法：M ?=78216，N=25，在[1, 25]和[1, 78216]中分别产生（n,m ）： （13，38678），M 13=40654≥38678,入样； （8， 57764），M 8=38981<57764，舍弃，重抽； （23，13365），M 23=9066<13365,舍弃，重抽； （19，38734），M 19=69492≥38734，入样；

以此类推，当得到重复入样情况时，同上重新抽取，得到抽取结果为： 2，3，5，6，7，12 ，13，16， 19，24组 5.2解：

由数据可得：

t 1=∑=i

M j j y 1

1=20， t ∑===2

1

2225M j j y ，t 3=38， t 4=24， t 5=21；

结合t 值数据，我们可以推得Z 的值 Z 1=

2.025

5

01==M M ,Z 2=0.16，Z 3=0.32，Z 4=0.2，Z 5=0.12，

由公式()

()()???

? ?

?

-+----=

∑

=N

i i

i

j i j i j i ij Z Z Z Z Z Z Z Z 1211212114π

设：0M =1，则有：i i Z M =，得到下表：

103，最后在[1,1000]中产生第三个随机数为982，则它们所对应的第7、1、10号单元被抽中。 5.4 解：

利用汉森-赫维茨估计量对总体总值进行估计：

()

9.322877.792543.1037061]006.2217121.0290006.2217062.0120006.2217138.0320[61111006.2217]121

.0290062.0120138.0320[3112

2

2

2

11++?=??

?

??-+??? ??-+??? ??-?=???

? ??--=??? ??=++?==∑∑=∧∧

=∧

n

i HH i i HH n i i i HH

Y Z y n n Y v Z y n Y =20318.8

5.5解：由题可知

∑∑====6

1

1

0i i N

i i X X X =2+9+3+2+1+6=23

由0

X X n

i

i =π得下表：

由上表显然有i Z ＜1/2，于是我们可以采用布鲁尔方法：

附注:

另外：

代入数据，经计算得到：

6=Y ()

∑=--=N

i i Y

Y N S 1

2

2

11=11.5

所以有：()

2

1S n

f y V -==10.0625 （2）

由定义有：

结合题目已知条件，我们选择的包含概率与i X 成正比： P Z i i ==π（第

i 项被选中） =?+?+?+?+?=??

?

??-=??? ??∴∧=∧∑183623610376.5549.1872

1Y Y Z Y V HH N i i 254.71

由以上计算结果可以看出：??

?

??>??? ??>??? ??∧∧∧Y V Y V Y V HH R ，比估计在样本量很小的情况下即

使是最小的方差也远比另外两种估计的方差大，而简单估计又比PPS 汉森-赫维茨估计略

好。

5.7 解：已知 n=2 m=5 34011=∑∑==n

i m

j ij y 设公司总人数为0M

由于这个样本是自加权的，所以有：

00

11

3434010

M M y nm

M

Y n i m

j ij =?=

=∑∑==∧

（分钟） 340

==

∴∧

M Y

y （分钟） 所以该公司职工上班交通平均所需时间为34分钟。 ()()

62.15==∴y y s ν（分钟） 5.8 说明:25616=-

y 解:由题可知:4.495299186101101110

1

1011====∑∑∑=-==∧

∧

i i i i i n

i i i HH

y Z y Z Y n Y (吨) 所以,全集团季度总运量为495299.4吨.

??

?

??∧HH Y V 的一个无偏估计为: 因为?2/αt =2.306 所以?2/αt 95183360=22497.8 所以置信度95%的置信区间为[472894.6 , 517890.2]

第6章

第2题

⑴证明：将总体平方和按照全部可能的系统样本进行分解，可以得到 ∑∑==-=-k

r n

j rj Y y S N 11

2

__

2

)()1(∑∑==-=k

r n

j r rj y y 11

2

__

)(+∑∑==-k

r n

j r Y Y 11

2__

__

)(

∑=-=k r r Y y n 1

2

____)(+∑∑==-k r n

j r rj y y 11

2__

)(

∑=-=k r r Y y k nk 12____)(+∑∑==-k r n

j r rj y y 11

2__

)( 根据)(__

sy y V 的定义，且N nk =，有 令=2

wsy

S

∑∑==--k r n j r rj y y n k 11

2__

)()1(1

则有)(__

sy y V =

--2)1(S N N 2)1(wsy S N

n k - ⑵证明：在样本量相同的情况下 立即可得到当且仅当22

S S wsy >时，系统抽样优于简单随机抽样。

第3题