2015高考数学广东卷(理科)及解析

2015数学广东卷(理科)

参考公式:样本数据x1,x2,…,x n的方差s2=[(x1-)2+(x2-)2+…+(x n-)2],其中表示样本均值.

一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,满分40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1.(2015高考广东卷,理1)若集合M={x|(x+4)(x+1)=0},N={x|(x-4)(x-1)=0},则M∩N等于( D )

(A){1,4} (B){-1,-4} (C){0} (D)○

解析:化简集合得M={-4,-1},N={1,4},

显然M∩N=?,故选D.

2.(2015高考广东卷,理2)若复数z=i(3-2i)(i是虚数单位),则等于( A )

(A)2-3i (B)2+3i (C)3+2i (D)3-2i

解析:因为i(3-2i)=3i-2i2=2+3i,所以z=2+3i,

所以=2-3i,故选A.

3.(2015高考广东卷,理3)下列函数中,既不是奇函数,也不是偶函数的是( D )

(A)y=(B)y=x+

(C)y=2x+(D)y=x+e x

解析:易知y=与y=2x+是偶函数,y=x+是奇函数,故选D.

4.(2015高考广东卷,理4)袋中共有15个除了颜色外完全相同的球,其中有10个白球,5个红球.从袋中任取2个球,所取的2个球中恰有1个白球,1个红球的概率为( B )

(A)(B)(C)(D)1

解析:从15个球中任取2个球,取法共有种,其中恰有1个白球,1个红球的取法有×种,所以所求概率为P==,故选B.

5.(2015高考广东卷,理5)平行于直线2x+y+1=0且与圆x2+y2=5相切的直线的方程是( A )

(A)2x+y+5=0或2x+y-5=0

(B)2x+y+=0或2x+y-=0

(C)2x-y+5=0或2x-y-5=0

(D)2x-y+=0或2x-y-=0

解析:切线平行于直线2x+y+1=0,故可设切线方程为2x+y+c=0(c≠1),结合题意可得=,解得c=±5.故选A.

6.(2015高考广东卷,理6)若变量x,y满足约束条件则z=3x+2y的最小值为( B )

(A)4 (B)(C)6 (D)

解析:由约束条件画出可行域如图.

由z=3x+2y得y=-x+,

易知目标函数在直线4x+5y=8与x=1的交点A1,处取得最小值,故z min=,故选B.

7.(2015高考广东卷,理7)已知双曲线C:-=1的离心率e=,且其右焦点为F2(5,0),则双曲线C的方程为( C )

(A)-=1 (B)-=1

(C)-=1 (D)-=1

解析:由已知得解得

故b=3,从而所求的双曲线方程为-=1,故选C.

8.(2015高考广东卷,理8)若空间中n个不同的点两两距离都相等,则正整数n的取值( B )

(A)至多等于3 (B)至多等于4

(C)等于5 (D)大于5

解析:首先我们知道正三角形的三个顶点满足两两距离相等,于是可以排除C,D.又注意到正四面体的四个顶点也满足两两距离相等,于是排除A,故选B.

二、填空题:本大题共7小题,考生作答6小题,每小题5分,满分30分.

(一)必做题(9~13题)

9.(2015高考广东卷,理9)在(-1)4的展开式中,x的系数为.

解析:(-1)4的展开式通项为T r+1=()4-r(-1)r=(-1)r··,令=1,得r=2,从而x的系数为(-1)2=6.答案:6

10.(2015高考广东卷,理10)在等差数列{a n}中,若a3+a4+a5+a6+a7=25,则a2+a8= .

解析:利用等差数列的性质可得a3+a7=a4+a6=2a5,

从而a3+a4+a5+a6+a7=5a5=25,故a5=5,

所以a2+a8=2a5=10.

答案:10

11.(2015高考广东卷,理11)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若a=,sin B=,C=,则

b= .

解析:在△ABC中,由sin B=可得B=或B=,结合C=可知B=.从而A=π,利用正弦定理=,可得b=1.

答案:1

12.(2015高考广东卷,理12)某高三毕业班有40人,同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言,那么全班共写了条毕业留言.(用数字作答)

解析:因为同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言,且全班共有40人,所以全班共写了40×39=1560(条)毕业留言.

答案:1560

13.(2015高考广东卷,理13)已知随机变量X服从二项分布B(n,p).若E(X)=30,D(X)=20,则p= .

解析:因为X~B(n,p),所以E(X)=np=30,

D(X)=np(1-p)=20,解得n=90,p=.

答案:

(二)选做题(14~15题,考生只能从中选做一题)

14.(2015高考广东卷,理14)(坐标系与参数方程选做题)已知直线l的极坐标方程为2ρsinθ-=,点A的

极坐标为A2,,则点A到直线l的距离为.

解析:将直线l的极坐标方程2ρsinθ-=化为直角坐标方程为x-y+1=0.

由A2,得A点的直角坐标为(2,-2),从而点A到直线l的距离d==.

答案:

15.(2015高考广东卷,理15)(几何证明选讲选做题)如图,已知AB是圆O的直径,AB=4,EC是圆O的切线,切点为C,BC=1.过圆心O作BC的平行线,分别交EC和AC于点D和点P,则OD= .

解析:易得AC==,由OP∥BC,且O为AB的中点可知CP=AC=,OP=BC=,∠APO=∠ACB=90°.所以∠CPD=90°.

因为EC是切线,所以∠DCP=∠B,

从而△CPD∽△BCA,故=,

所以DP=.故OD=DP+OP=+=8.

答案:8

三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.

16.(本小题满分12分)

(2015高考广东卷,理16)在平面直角坐标系xOy中,已知向量m=,-,n=(sin x,cos x),x∈.

(1)若m⊥n,求tan x的值;

(2)若m与n的夹角为,求x的值.

解:(1)因为m⊥n,所以m·n=sin x-cos x=0.

即sin x=cos x,又x∈0,,所以tan x==1.

(2)易求得|m|=1,|n|==1.

因为m与n的夹角为,

所以cos==.

则sin x-cos x=sin x-=.

又因为x∈0,,所以x-∈-,.

所以x-=,解得x=.

17.(本小题满分12分)

(1)用系统抽样法从36名工人中抽取容量为9的样本,且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为44,列出样本的年龄数据;

(2)计算(1)中样本的均值和方差s2;

(3)36名工人中年龄在-s与+s之间有多少人?所占的百分比是多少?(精确到0.01%)?

解:(1)由系统抽样知识知,将36名工人分为9组(4人一组),每组抽取一名工人.

因为在第一分段里抽到的是年龄为44的工人,即编号为2的工人,故所抽样本的年龄数据为

44,40,36,43,36,37,44,43,37.

(2)均值==40;

方差s2=×[(44-40)2+(40-40)2+(36-40)2+(43-40)2+(36-40)2+(37-40)2+(44-40)2+(43-40)2+(37-40)2]=.

(3)由(2)可知s=.由题意,年龄在-s与+s之间,即在区间[37,43]内的工人共有23人,所占的百分比为

×100%≈63.89%.

18.(本小题满分14分)

(2015高考广东卷,理18)

如图,三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直,PD=PC=4,AB=6,BC=3.点E是CD边的中点,点F,G分别在线段AB,BC上,且AF=2FB,CG=2GB.

(1)证明:PE⊥FG;

(2)求二面角P AD C的正切值;

(3)求直线PA与直线FG所成角的余弦值.

(1)证明:因为PD=PC,点E为DC中点,

所以PE⊥DC.

又因为平面PDC⊥平面ABCD,

平面PDC∩平面ABCD=DC,

所以PE⊥平面ABCD.

又FG?平面ABCD,所以PE⊥FG.

(2)解:由(1)可知PE⊥AD.

因为四边形ABCD为长方形,所以AD⊥DC.

又因为PE∩DC=E,所以AD⊥平面PDC.

而PD?平面PDC,所以AD⊥PD.

由二面角的平面角的定义可知∠PDC为二面角P AD C的一个平面角.

在Rt△PDE中,PE==,

所以tan∠PDC==.

从而二面角P AD C的正切值为.

(3)解:连接AC.因为==,

所以FG∥AC.

易求得AC=3,PA==5.

所以直线PA与直线FG所成角等于直线PA与直线AC所成角,即∠PAC,

在△PAC中,cos∠PAC==.

所以直线PA与直线FG所成角的余弦值为.

19.(本小题满分14分)

(2015高考广东卷,理19)设a>1,函数f(x)=(1+x2)e x-a.

(1)求f(x)的单调区间;

(2)证明:f(x)在(-∞,+∞)上仅有一个零点;

(3)若曲线y=f(x)在点P处的切线与x轴平行,且在点M(m,n)处的切线与直线OP平行(O是坐标原点),证明:m

≤-1.

(1)解:函数f(x)的定义域为R.

因为f'(x)=2x·e x+(1+x2)e x=(x2+2x+1)e x=(x+1)2e x≥0,

所以函数f(x)在R上单调递增,即f(x)的单调递增区间为(-∞,+∞),无单调递减区间.

(2)证明:因为a>1,所以f(0)=1-a<0,f(ln a)=(1+ln2a)e ln a-a=aln2a>0,

所以f(0)·f(ln a)<0,

由零点存在性定理可知f(x)在(0,ln a)内存在零点.

又由(1)知f(x)在R上单调递增,

故f(x)在(-∞,+∞)上仅有一个零点.

(3)证明:设点P(x0,y0),由题意知,

f'(x0)=(x0+1)2=0,

解得x0=-1.

所以y0=(1+)-a=-a,

所以点P的坐标为-1,-a.

所以k OP=a-.

由题意可得f'(m)=(m+1)2e m=a-.

要证明m≤-1,只需要证明m+1≤,

只需要证明(m+1)3≤a-=(m+1)2e m,

只需要证明m+1≤e m.

构造函数:h(x)=e x-x-1(x∈R),则h'(x)=e x-1.

当x<0时,h'(x)<0,即h(x)在(-∞,0)上单调递减;

当x>0时,h'(x)>0,即h(x)在(0,+∞)上单调递增;

所以函数h(x)有最小值,为h(0)=0,则h(x)≥0.

所以e x-x-1≥0,故e m-m-1≥0,即m+1≤e m,故原不等式成立.

20.(本小题满分14分)

(2015高考广东卷,理20)已知过原点的动直线l与圆C1:x2+y2-6x+5=0相交于不同的两点A,B.

(1)求圆C1的圆心坐标;

(2)求线段AB的中点M的轨迹C的方程;

(3)是否存在实数k,使得直线L:y=k(x-4)与曲线C只有一个交点?若存在,求出k的取值范围;若不存在,说明理由.

解:(1)圆C1的方程x2+y2-6x+5=0可化为(x-3)2+y2=4,所以圆心坐标为(3,0).

(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0),

则x0=,y0=.

由题意可知直线l的斜率必存在,设直线l的方程为y=tx.

将上述方程代入圆C1的方程,

化简得(1+t2)x2-6x+5=0.

由题意可得Δ=36-20(1+t2)>0(*),x1+x2=,

所以x0=,代入直线l的方程得y0=.

因为+=+

===3x0,

所以x0-2+=.

由(*)解得t2<,又t2≥0,所以

所以线段AB的中点M的轨迹C的方程为x-2+y2=

(3)由(2)知,曲线C是在区间,3上的一段圆弧.

如图,D,,E,-,F(3,0),直线L过定点G(4,0).

于是k GD=-,k GE=.

当直线L与圆C相切时,=,

解得k=±,由图可知,当k∈-,∪-,时直线L与曲线C只有一个交点.

21.(本小题满分14分)

(2015高考广东卷,理21)数列{a n}满足:a1+2a2+…+na n=4-,n∈N*.

(1)求a3的值;

(2)求数列{a n}的前n项和T n;

(3)令b1=a1,b n=+1+++…+a n(n≥2),证明:数列{b n}的前n项和S n满足S n<2+2ln n.

(1)解:当n=1时,a1=1;当n=2时,a1+2a2=2,

解得a2=;

当n=3时,a1+2a2+3a3=,解得a3=.

(2)解:当n≥2时,a1+2a2+…+(n-1)a n-1+na n=4-,①

a1+2a2+…+(n-1)a n-1=4-,②

由①-②得na n=,所以a n=(n≥2),

经检验,a1=1也适合上式,所以a n=(n∈N*).

所以数列{a n}是以1为首项,为公比的等比数列.

所以T n==2-.

(3)证明:b1=1,b n=-·+1+++…+·(n≥2).

当n=1时,S1=1<2+2ln 1.

当n≥2时,b n=+1+++…+·a n

=+1+++…+·(T n-T n-1)

=+1+++…+·T n-1+++…+·T n-1

=1+++…+·T n-1+++…+·T n-1,

所以S n=1+1+·T2-1·T1+1++·T3-1+·T2+…+1+++…+·T n-1+++…+·T n-1=1+++…

+·T n<21+++…+

=2+2++…+,

以下证明++…+

构造函数h(x)=ln x-1+(x>1),

则h'(x)=-=>0(x>1),

所以函数h(x)在区间(1,+∞)上单调递增,

即h(x)>h(1)=0.

所以ln x>1-(x>1),

分别令x=2,,,…,得

ln 2>1-=,

ln >1-=,

ln >1-=,

…

ln>1-=.

累加得ln 2+ln +…+ln>++…+,

即ln 2+(ln 3-ln 2)+…+[ln n-ln(n-1)]>++…+,

所以++…+

综上,S n<2+2ln n,n∈N*.