第四章电力系统潮流计算

第四章 电力系统潮流分析与计算

电力系统潮流计算是电力系统稳态运行分析与控制的基础，同时也是安全性分析、稳定性分析电磁暂态分析的基础（稳定性分析和电磁暂态分析需要首先计算初始状态，而初始状态需要进行潮流计算）。其根本任务是根据给定的运行参数，例如节点的注入功率，计算电网各个节点的电压、相角以及各个支路的有功功率和无功功率的分布及损耗。

潮流计算的本质是求解节点功率方程，系统的节点功率方程是节点电压方程乘以节点电压构成的。要想计算各个支路的功率潮流，首先根据节点的注入功率计算节点电压，即求解节点功率方程。节点功率方程是一组高维的非线性代数方程，需要借助数字迭代的计算方法来完成。简单辐射型网络和环形网络的潮流估算是以单支路的潮流计算为基础的。

本章主要介绍电力系统的节点功率方程的形成，潮流计算的数值计算方法，包括高斯迭代法、牛顿拉夫逊法以及PQ 解藕法等。介绍单电源辐射型网络和双端电源环形网络的潮流估算方法。

4-1 潮流计算方程--节点功率方程

1. 支路潮流

所谓潮流计算就是计算电力系统的功率在各个支路的分布、各个支路的功率损耗以及各个节点的电压和各个支路的电压损耗。由于电力系统可以用等值电路来模拟，从本质上说，电力系统的潮流计算首先是根据各个节点的注入功率求解电力系统各个节点的电压，当各个节点的电压相量已知时，就很容易计算出各个支路的功率损耗和功率分布。 假设支路的两个节点分别为k 和l ，支路导纳为kl y ，两个节点的电压已知，分别为k

V 和l V ，如图4-1所示。

图4-1 支路功率及其分布

那么从节点k 流向节点l 的复功率为（变量上面的“－”表示复共扼）：

)]([l

k kl k kl k kl V V y V I V S (4-1) 从节点l 流向节点k 的复功率为：

)]([k l kl l lk l lk V V y V I V S (4-2)

功率损耗为：

2)()(kl

kl l k kl l k lk kl kl V y V V y V V S S S (4-3)

因此，潮流计算的第一步是求解节点的电压和相位，根据电路理论，可以采用节点导纳方程求解各个节点的电压。

2. 节点功率方程

根据电路理论，要想求系统各个节点的电压，需要利用系统的节点导纳方程。

图4-2 电网络示意图

如图4-2所示的电网络，有N 个节点，假如已知各个节点的注入电流源的电流，以及各个支路的支路导纳，那么可以根据节点导纳方程求出电网各个节点的电压：

S I Y V (4-4)

其中

NN N N N N Y Y Y Y Y Y Y Y Y 212222111211Y 为电网络的节点导纳矩阵，kk Y （N k ,2,1 ）为自导纳，是与k 节点所有连接支路导纳之和，kl Y （l k ）为互导纳，等于负的连接k 和l 节点的所有支路导纳之和。

T 21],,,[N V V V V 为各个节点的电压相量，T ,21],,,[N S S S S I I I I 为注入到各个节点的总电流。

2.1 节点复功率方程

要想计算各个节点电压，除了需要知道系统参数及节点导纳矩阵以外，还需要知道节点的注入电流源的电流。然而电力系统中，节点的注入电流是不知道的，已知的是各个节点的注入功率。这就需要将节点电压方程转化为节点功率方程。

方程4-4中第k （N k ,,2,1 ）个节点的方程可以写作：

Sk N kN k kk k k N l l

kl I V Y V Y V Y V Y

V Y 22111 (4-5) 在方程4-5两端乘以k V ，得到： Sk Sk Sk Sk k N l l kl k jQ P S I V V Y V 1

(4-6)

假如在电力系统中，各个节点的注入复功率都已知，那么就可以用方程4-6组成的方程组求解各个节点的电压。然而实际情况并非如此，已知的条件是：有的节点的注入复功率S 是已知的，有的节点的电压幅值和注入有功功率是已知的，有的节点的电压和相角是已知的。根据这三种不同的情况，电力系统中各个节点分为三种类型：PQ 节点、PV 节点和V 节点。

所谓PQ 节点，就是该节点的注入复功率S 是已知的，这样的节点一般为中间节点或者是负荷节点。

PV 节点，指该节点已知的条件是注入节点的有功功率P 和该节点的电压幅值V ，这样的节点通常是发电机节点。

V 节点指的是该节点的电压幅值和相角是已知的，这样的节点通常是平衡节点，在每个局部电网中只有一个这样的节点。

当然，PQ 节点和PV 节点在一定条件下还可以互相转化，例如，当发电机节点无法维持该节点电压时，发电机运行于功率极限时，发电机节点的有功和无功变成了已知量，而电压幅值则未知，此时，该节点由PV 节点转化为PQ 节点。再比如某个负荷节点，运行要求电压不能越限，当该节点的电压幅值处于极限位置，或者电力系统调压要求该节点的电压恒定，此时该负荷节点就由PQ 节点转化为PV 节点。

假如全系统有N 个节点，其中有M 个PQ 节点，N-M-1个PV 节点，1个平衡节点，每个节点有四个参数：电压幅值V 、相位角 （用极坐标表示电压，如果用直角坐标表示电压相量则是e 和f ）注入有功功率S P 和无功功率S Q ，任何一个节点的四个参数中总有两个是已知的，因此N 个节点，有2N 个未知变量，N 个复数方程（即2N 个实数方程，实部和虚部各一个），通过解这个复数方程就可得到另外2N 个参数。这就是潮流计算的本质。

但在实际求解过程中，由于我们求解的对象是电压，因此，实际上不需要2N 个功率方程，对于M 个PQ 节点，有2M 个功率方程（M 个实部有功功率方程，M 个虚部无功功率方程）；对于N-M-1个PV 节点，由于电压有效值V 已知，因此只有N-M-1个有功功率方程；对于平衡节点，由于电压和相角已知，不需要功率方程。因此总计有2M+N-M-1=N+M-1个

功率方程。如果电压相量用极坐标表示，即k

k k V V ，则M 个PQ 节点有2M 个未知数（M 个电压有效值，M 个电压相角），N-M-1个PV 节点有N-M-1个未知数（电压有效值已知，未知数为电压相角），平衡节点没有未知数，因此未知数的个数也是N+M-1个，与方程

数一致。如果复电压用直角坐标表示，k

k k jf e V ，则有2(N-1)个未知数，还需要增加N-M-1个电压方程，即222k k k f e V 。

2.2 用直角坐标表示的电力系统节点功率方程

对于PQ 节点，已知的是注入节点的功率P 和Q ，将km km km jB G Y 和k

k k jf e V 带入节点功率方程的复数表示式中，可以得到有功功率和无功功率两个方程：

11111111)()()()(N m m km m km k N m m km m km k Lk Gk Sk N m m km m km k N m m km m km k Lk Gk Sk e B f G e f B e G f Q Q Q e B f G f f B e G e P P P (4-7) 上式中Sk P 和Sk Q 为注入到节点k 的净功率，即注入和消耗的代数和。Gk P 、Gk Q 表示注入的功率，Lk P 和Lk Q 为消耗的功率。

对于PV 节点，除了有功功率方程外，因为已知该节点的电压幅值，还有一个电压方程：

222k k k f e V （4-8）

方程4-7可以抽象的表示为：

0),,,,(0),,,,(111

11111N N k N N k f e f e Q f e f e P (4-9) 方程4-8可以抽象的表示为

0),,,,(1111 N N k f e f e V (4-10)

因此，对于一个具有N 个节点的电力系统，其中M 个PQ 节点，N-M-1个PV 节点，1个平衡节点，有方程如下：

节点的方程个PQ 2M 0),,,,(0),,,,(0),,,,(0),,,,(111111111111111111

N N M N N M N N N N f e f e Q f e f e P f e f e Q f e f e P 节点方程个PV 1)-M -2(N 0),,,,(0),,,,(0),,,,(0),,,,(11111111111111111111

N N N N N N N N M N N M f e f e V f e f e P f e f e V f e f e P （4-11） N 个节点，平衡节点的电压幅值和相角已知，即其横分量和纵分量已知，因此平衡节点不参与计算。N-1个节点的电压的横分量和纵分量为未知数，共2N-2个未知数。2M 个PQ 节点方程，2(N-M-1)个PV 节点方程，共计2N-2个方程。

解这个方程组，就可以得到电力系统N 个节点的电压相量，根据各个节点的电压相量和已知的注入功率，就可以计算出各个支路的潮流分布，及各个支路的功率损耗。

2.3 极坐标表示的节点功率方程

对于PQ 节点，已知的是注入节点的功率P 和Q ，将km km km jB G Y 和k

k k V V 带入节点功率方程的复数表示式中，可以得到实部和虚部两个方程：

N m km km km km m k Lk Gk Sk N m km km km km m k Lk Gk Sk B G V V Q Q Q B G V V P P P 11)cos sin ()sin cos ( (4-12) 上式中，V 代表电压幅值，m k km 。

对于PV 节点，由于节点的电压幅值已知，因此只有有功功率方程而没有无功功率方程。 同样，方程4-12可以抽象的表示为：

0),,,,(111 N M k V V P (4-13a)

0),,,,(111 N M k V V Q (4-13b)

因此，对于一个具有N 个节点的电力系统，其中M 个PQ 节点，N-M-1个PV 节点，1个平衡节点，有方程如下：

节点方程个PQ 2M 0),,,,,(0),,,,,(0),,,,,(0),,,,,(11111111111111

N M M N M M N M N M V V Q V V P V V Q V V P 节点方程个PV 10),,,,,(0),,,,,(1111-N 1111M

M N V V P V V P N M N M (4-14)

除了平衡节点外，N-1个节点中，有M 个PQ 节点的电压幅值和相角都是未知数，N-M-1个PV 节点的相角为未知数，因此共有2M+N-M-1=N+M-1个未知数，2M+N-M-1=N+M-1个方程。

在方程4-14中，可以把N-1个有功功率方程放在一起，M 个无功功率方程放在一起： 个有功功率方程1N 0),,,,,(0),,,,,(11111111

N M N N M V V P V V P

个无功功率方程M V V Q V V N M M N M

0),,,,,(0),,,,,(Q 1111111 (4-15)

解上述方程组，就可以得到电力系统中各个节点的电压幅值和相角，进而可以计算出各个支路的潮流分布和损耗。

3. 小结

潮流计算是计算电力网各个支路的功率潮流分布和功率损耗，同时也计算各个支路的电压损耗。首先要求电力网各个节点的电压相量。根据电网络理论，节点电压通常采用节点导纳方程来求解，即已知电网络的节点导纳矩阵和各个节点的注入电流源的电流，求解节点导纳方程。然而通常电力系统各个节点的注入电流是未知的，已知的是各个节点的注入功率，因此需要将节点电压方程转化为节点功率方程。

实际电力系统的节点注入功率并非都已知，有的已知注入有功功率P 和无功功率Q 称为PQ 节点；有的已知注入有功功率P 和节点电压有效值V ，称为PV 节点；有的已知节点电压V 和相角d ，称为平衡节点或V 节点。无论哪种类型节点，每一个节点均含有4个参量P 、Q 、V 、 （或e 、f ）已知的是其中的两个，故而可以利用节点功率方程（4-6）求解出另外两个参量。假设系统有N 个节点，必然有2N 个未知数，同样有2N 个节点功率方程（4-17中的实部和虚部各一个）。

实际上，我们求解的目标是电压，对于PV 节点和V 节点来说，前者电压有效值已知，

后者电压相量已知，因此不存在2N 个未知数，当然也不需要2N 个方程。假设系统有N 个节点，M 个PQ 节点，1个平衡节点，对于直角坐标表示的节点电压来说，有2(N-1)个未知数，2M+N-M-1个功率方程，只需要再补充N-M-1个电压方程就可以了；对于极坐标表示的电压来说，只有N-1个 未知数，M 个V 的未知数，因此只需要N+M-1个功率方程就足够了。

无论怎样，潮流计算是解决这样的一组非线性代数方程组：

0),,( U C X F (4-16)

其中，X 代表系统状态，包括电压V 和相角 ；C 代表参数，包括电导G 和电纳B ；U 表示系统激励，即注入的功率。

求解这样的多维非线性代数方程组，需要利用计算机进行辅助迭代计算，即先给定一个初值，然后不断迭代，逼近真实解。方法有：高斯-赛德尔迭代法，牛顿-拉夫逊法和PQ 解耦法。

4-2 高斯－赛德尔叠代法

1．基本原理

为了方便理解这个n 维方程组的叠代求解方法，先从一元非线性方程的求解开始。假设有一维方程0)( x f ，高斯法的基本原理是，先将方程转化为：

)(x g x （4-17）

那么给定一个初值]0[x ，代入就可以得到一个新值)(]0[]1[x g x ，第k 次叠代的值为： )(][]1[k k x g x （4-18）

一直叠代到误差满足要求为止，即

]1[][N N x x （4-19）

其中 为事先设定的允许误差。其计算流程如图4-3所示。

图4-3 高斯迭代法的计算流程

这个解方程的方法称为高斯叠代法。这个叠代求解的过程可以这样来理解：)(x g x 的解可以认为是两个曲线x y 和)(x g y 的交点的横坐标 x ，首先给定一个初值]0[x ，)(]0[x g 与斜线x y 的交点的横坐标即为叠代后的新解]1[x ，)(]1[x g 与斜线x y 的交点的横坐标即为叠代后的新解]2[x

，如此围绕交点往复循环，不断地逼近方程的解，如图4-4

所示。

图4-4 高斯迭代法的几何解释

高斯迭代法可以推广到n 维非线性代数方程组，假设n 为方程组为：

),,(0),,(0),,(21212211n n n n x x x f x x x f x x x f （4-20） 首先将方程组4-20转化为：

)

,,,(),,,(),,,(21212211n n n n x x x g x x x x g x x x x g x （4-21） 给定一组初始值T ]0[]0[2]0[1]0[],,,[n x x x X

，带入上式，得到一组新值)(]0[]1[X g X ，不断叠代，循环往复，第k 次叠代为：

)(][]1[k k X g X （4-22）

其中第j 个方程为

),,,(][][2][1]1[

k n k k j k j x x x g x （4-23）

直到叠代前后的解的最大误差不超过允许的误差为止，即

}{m ax ][

]1[

N j N j j

x x （4-24） 为了提高高斯叠代法的收敛速度，赛德尔提出将已经叠代出的新值代替旧值参与叠代计算，如在第k 次叠代中，第j 个方程为

),,,,,(][][]1[

1]1[1]1[

k n k j k j k j k j x x x x g x （4-25）

第1至j-1个元素已经叠代出k+1次的值，因此代替第k 次的值参与第j 个元素的叠代，就可以提高收敛速度。

2. 电力系统潮流计算的高斯－赛德尔迭代法

电力系统潮流计算需要求解节点功率方程，其中第m （m =1,2,…,N ）个节点功率方程为：

Sm Sm N m

l l l ml m m mm N l l ml m jQ P V Y V V Y V Y V 121 (4-26)

如上式变换为)(x g x 的形式，可以得到如下的方程：

)(11 N m

l l l ml m Sm Sm mm m V Y V jQ P Y V （4-27） 根据高斯－赛德尔迭代法，首先给定电压相量的初值，对于PQ 节点，不仅需要给定电压幅值的初值，还要给出相角的初值（设为零）。

假如第m 号节点为PQ 节点，第k 次叠代公式为（第m 个节点以前的节点第k 次叠代已经完毕，因此用k +1次的值取代k 次的值，而在第m 个节点以后的节点尚未进行第k 次叠代）：

)(11

][11]1[][]1[ N m l k l ml m l k l ml k m Sm Sm mm k m V Y V Y V jQ P Y V （4-28） 对于PV 节点，给定的初值的电压幅值为给定的电压，相角初值设为零。可是对于PV 节点来说，注入该节点的无功功率未知，因此第k 次叠代时，首先按照下式计算注入PV 节点（假设第m 个节点是PV 节点）的无功功率：

])(Im[]Im[][11]1[][][][]

[ N

m l k l

ml m l k l ml k m k Sm k m k Sm V Y V Y V I V Q （4-29） 如果在叠代计算过程中，任意节点的电压和无功功率必须满足不等约束条件：

max ][min m k m m V V V

max ][min m k m m Q Q Q

如果在叠代过程中，PQ 节点的电压幅值超出允许的范围，则该节点的电压幅值就固定为允许电压的上限（如果超出上限）或下限（如果越过下限），PQ 节点就变为PV 节点继续进行叠代。同样，对于PV 节点来说，如果在叠代过程中，无功功率Q 超出了允许的范围，则PV 节点就变为PQ 节点继续参与叠代。高斯－赛德尔叠代法的计算过程如下：

（1）第一步：设置初始值，对于PQ 节点，由于其电压相量的幅值和相角都未知，因此初始的电压相量的幅值可以设定为各个点的额定电压，相角选择为零；对于PV 节点，由于其电压相量的幅值已知，因此幅值用已知的设定电压，初始相角设定为零。

（2）第二步：对于PQ 节点，直接将设定的初始值代入，用4-28求得下一次迭代的电压值，然后判断是否电压越限，如果越限，则用其限值（越过上限用上限值，越过下限则用

下限值），该节点在下一次迭代过程中转化为PV 节点；对于PV 节点，则首先利用式4-29求出注入的无功功率，然后校验无功功率是否越限，如果越限则采用上限值或者下限值，下一次迭代时该节点转化为PQ 节点，将求得的注入无功功率和已知的有功功率代入4-28求解下一次迭代的电压相量值。

（3）第三步：判断误差是否满足要求，用第k 次迭代的结果和k-1次迭代的结果进行比较，如果其最大的误差满足事先设定的误差要求，则输出计算结果，如果不满足要求，则返回第二步继续迭代。其计算流程图如图4-5所示。

图4-5 高斯赛德尔迭代法求解电力系统潮流的计算流程图

4-3 牛顿－拉夫逊法

1. 牛顿－拉夫逊法的基本原理

先考虑一个一元非线性方程0)( x f 的求解问题，假设0x 是该方程的近似解，与真实解之间的误差为x ，那么有：

0)(0 x x f （4-30）

将之展开成一阶泰勒级数：

0)()()(000 x x f x f x x f （4-31）

可以计算出近似解0x 与真实解之间的误差近似为：

)

()(00x f x f x （4-32）

因此，可以得到这个一元非线性方程的求解步骤为：首先给定解的初值]0[x

，然后根据公式4-32求出初始值的修正值]0[x ，由此可以得到该方程的新的解]0[]0[]1[x x x ，如此反复叠代，直到误差满足要求 ][N x 。迭代计算流程如图4-6所示。

图4-6 牛顿拉夫逊法计算流程

其迭代求解过程的几何意义如图4-7所示。

图4-7 牛顿拉夫逊法的几何解释

可以把上述求解一元非线性代数方程的方法推广到n 维非线性代数方程（如4-20）的求解。非线性代数方程组4-20可以表示为矩阵形式：

0X F )( （4-33）

同样假定0X 是该方程组的近似解，与真实解之间的误差为X ，在0X 处展开一阶泰勒级数：

0)()(00 X J X F X X F （4-34）

其中：