专题10：立体几何中的体积问题(原卷版)
专题10：立体几何中的体积问题（原卷版）
⑴圆柱侧面积；l r S ??=π2侧面 ⑵圆锥侧面积：l r S ??=π侧面 ⑶圆台侧面积：l R l r S ??+??=ππ侧面
h S V ?=柱体h
S V ?=31
锥体()
13
V h S S S S =+?+下下台体上上 球的表面积和体积 32344R V R S ππ==球球，. 正三棱锥是底面是等边三角形，三个侧面是全等的等腰三角形的三棱锥。 正四面体是每个面都是全等的等边三角形的三棱锥。
1．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，3AC =，4BC =，5AB =，点D 是AB 的中点.
（1）求证：1AC BC ⊥；
（2）若1CC BC =，求三棱锥1B BCD -的体积.
2．如图所示：在三棱锥V ABC -中，平面VAB ⊥平面ABC ，VAB ?为等边三角形，AC BC ⊥且2AC BC ==，,O M 分别为,AB VA 的中点.
（1）求证：平面MOC ⊥平面VAB ；
（2）求三棱锥V ABC -的体积.
3．如图所示，四棱锥的底面ABCD 是一个矩形，AC 与BD 交于点M ，VM 是四棱锥的高.若4VM cm =，4cm AB =，5VC cm =，求四棱锥的体积.
4．如图，四棱锥P ABCD -的底面是边长为2的菱形，PD ⊥底面ABCD .
（1）求证：AC ⊥平面PBD ；
（2）若2PD =，直线PB 与平面ABCD 所成的角为45，求四棱锥P ABCD -的体积.
5．如图，在边长为2的菱形ABCD 中，60ADC ∠=?，现将ADC 沿AC 边折到APC △的位置．
（1）求证：PB AC ⊥；
（2）求三棱锥P ABC -体积的最大值．
6．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA PD ⊥，1PA PD ==，E 为AD 的中点.
（1）求证：PE ⊥平面ABCD ；
（2）求四棱锥P ABCD -的体积.
7．如图所示，在长方体ABCD A B C D ''''-中，求棱锥D A CD ''-的体积与长方体的体积之比.
8．如图，过圆柱的两条母线1AA 和1BB 的截面11A ABB 的面积为S ，母线1AA 的长为l ，
111
90AO B ?∠=，求此圆柱的体积.
9．如图所示的多面体中,四边形ABCD 是菱形、BDEF 是矩形，ED ⊥面ABCD ，3BAD π∠=.
（1）求证：平面//BCF 平面AED ；
（2）若BF BD a ==，求四棱锥A BDEF -的体积.
10．在三棱锥S ABC -中，
090,2,13,29.SAB SAC ACB AC BC SB ∠=∠=∠====
（1）证明：SC BC ⊥ ；
（2）求三棱锥的体积S ABC V -.
11．如图，四边形PCBM 是直角梯形，∠PCB ＝90°，PM ∥BC ，PM ＝1，BC ＝2，又AC ＝1，∠ACB ＝120°，AB ⊥PC ，直线AM 与直线PC 所成的角为60°. （1）求证：平面PAC ⊥平面ABC ；
（2）求三棱锥P MAC -的体积.
12．如图，有一个水平放置的无盖正方体容器，容器高8cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm ，若不计容器的厚度，如何求出球的体积？
(1)求出球的半径；
(2)求球的体积.
走进高考
1，2018年全国卷Ⅲ文数高考试题
如图，矩形ABCD 所在平面与半圆弧CD 所在平面垂直，M 是CD 上异于C ，D 的点．
（1）证明：平面AMD ⊥平面BMC ；
（2）在线段AM 上是否存在点P ，使得MC ∥平面PBD ？说明理由．
2，2018年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标I 卷）
如图，在平行四边形ABCM 中，3AB AC ==，90ACM ∠=?，以AC 为折痕将△ACM 折起，使点M 到达点D 的位置，且AB DA ⊥．
（1）证明：平面ACD ⊥平面ABC ；
（2）Q 为线段AD 上一点，P 为线段BC 上一点，且23
BP DQ DA ==，求三棱锥Q ABP -的体积．
3．2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ）
如图，长方体ABCD –A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形，点E 在棱AA 1上，BE ⊥EC 1.
（1）证明：BE ⊥平面EB 1C 1；
（2）若AE =A 1E ，AB =3，求四棱锥11E BB C C -的体积．
4．2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标2卷）
四棱锥P ABCD -中，侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ,01,90.2
AB BC AD BAD ABC ==∠=∠= （1）证明：直线//BC 平面PAD ;
（2）若△PCD 面积为27，求四棱锥P ABCD -的体积.
立体几何中体积与距离的问题
………………………………………………最新资料推荐……………………………………… 1 / 1 B A C D 1A 1B C D 1C 1 B 1 A 1 E D C B A 立体几何中体积与距离的问题 考点一：两条异面直线间的距离 例1如图，在空间四边形ABCD 中，AB =BC =CD =DA =AC =BD =a ，E 、F 分别是AB 、CD 的中点.求证：(1)EF 是AB 和CD 的公垂线；(2)求AB 和CD 间的距离； 考点二：点到平面的距离 例2如图，在长方体AC 1中，AD=AA 1=1，AB=2，当E 为AB 的中点时， （1）证明：D 1E ⊥A 1D ；（2）求点E 到面ACD 1的距离； 例3正三棱柱111C B A ABC -的底面边长为8，对角线101=C B ，D 是AC 的中点。 （1）求点1B 到直线AC 的距离.（2）求直线1AB 到平面BD C 1的距离． 考点三：几何体的体积 1、如图所示，在三棱锥ABC P -中，6AB BC == ，平面⊥PAC 平面ABC ，AC PD ⊥于点D ，1AD =，3CD =，2=PD ．求三棱锥ABC P -的体积； 2、已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是边长为4的正方形，PD ABCD ⊥平面，6,,PD E F =分别为,PB AB 中点。 (1)证明：BC PDC ⊥平面;(2)求三棱锥P DEF -的体积。 3.已知在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是边长为4的正方形， PAD ?是正三角形，平面PAD ⊥平面ABCD ，G F E ,,分别是 BC PC PD ,,的中点． 1）求平面EFG ⊥平面PAD ；2）若M 是线段CD 上一点，求三棱锥EFG M -的体积． 练习1、如图，三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，CA=CB ，AB=A A 1，∠BA A 1=60°. （Ⅰ）证明AB ⊥A 1C;（Ⅱ）若AB=CB=2,A 1C=6，求三棱柱ABC-A 1B 1C 1的体积 练习2如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中侧棱垂直底面，∠ACB=90°，AC=BC=1 2AA 1，D 是棱AA 1的中点。(Ｉ) 证明平面BDC 1⊥平面BDC （Ⅱ）平面BDC 1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比。 A B C C 1 A 1 B 1 B 1 C B A D C 1 A 1 图5 B P A D
立体几何体积问题
立体几何体积问题 1、在如图所示的五面体ABCDEF 中，四边形ABCD 为菱形，且 60DAB ∠=， //EF 平面ABCD ， 22EA ED AB EF ====， M 为BC 中 点. （1）求证 //FM 平面BDE ； （2）若平面ADE ⊥平面ABCD ，求F 到平面BDE 的距离. 【答案】（1）见解析；（2试题解析 （2）由（1）得//FM 平面BDE ，所以F 到平面BDE 的距离等于M 到平面BDE 的距离． 取AD 的中点H ，连接,EH BH ， 因为四边形ABCD 为菱形，且60DAB ∠=， 2EA ED AB EF ===， 所以EH AD ⊥， BH AD ⊥， 因为平面ADE ⊥平面ABCD ，平面ADE ?平面ABCD AD =， 所以EH ⊥平面ABCD ， EH BH ⊥， 因为EH BH ==，所以BE = 所以12BDE S ?==， 设F 到平面BDE 的距离为h ，又因为1 142 2 BDM BCD S S ??=== ， 所以由 E BDM M BDE V V --=，得113 3h =? 解得h = .学
即F到平面BDE的距离为15 ． 5 2、如图，在五面体ABCDEF中，底面ABCD为正方形，EF DC，平面ABCD⊥平面CDEF，AE CF ⊥. (1)求证CF DE ⊥； (2)若CF DE ==，求五面体ABCDEF的体积. =，24 DC EF 【答案】(1)见解析(2) 20 3 （Ⅱ）连接FA，FD，过F作FM⊥CD于M， 因为平面ABCD⊥平面CDEF且交线为CD，FM⊥CD， 所以FM⊥平面ABCD． 因为CF＝DE，DC＝2EF＝4，且CF⊥DE， 所以FM＝CM＝1，学
2020高考数学专题复习----立体几何专题
空间图形的计算与证明 一、近几年高考试卷部分立几试题 1、（全国 8）正六棱柱 ABCDEF －A 1B 1C 1D 1E 1F 1 底面边长为 1， 侧棱长为 2 ，则这个棱柱的侧面对角线 E 1D 与 BC 1 所成的角是 （ ） A 、90° B 、60° C 、45° D 、30° [评注]主要考查正六棱柱的性质，以及异面直线所成角的求法。 2、（全国 18）如图，正方形ABCD 、ABEF 的边长都是 1，而且 平面 ABCD 、ABEF 互相垂直，点 M 在 AC 上移动，点 N 在 BF C 上移动，若 CM=NB=a(0 的底面是边长为a的正方形，PB⊥面ABCD。 （1）若面PAD与面ABCD所成的二面角为60°， 求这个四棱锥的体积； （2）证明无论四棱锥的高怎样变化，面PAD与面 PCD所成的二面角恒大于90°。 [评注]考查线面关系和二面角概念，以及空间想象力和逻辑推理能力。 4、（02全国文22）（一）给出两块面积相同的正三角形纸片，要求用其中一块剪拼成一个正三棱锥模型，使它们的全面积都与原三角形面积相等，请设计一种剪拼法，分别用虚线标示在图（1）（2）中，并作简要说明。 (3) (1)(2) （二）试比较你剪拼的正三棱锥与正三棱柱的体积的大小。（三）如果给出的是一块任意三角形的纸片，如图（3）要求剪拼成一个直三棱柱模型，使它的全面积与给出的三角形面积相等，请设计一种剪拼方法，用虚线标出在图3中，并作简要说明。 全国各地高考文科数学试题分类汇编：立体几何 1．[·重庆卷20] 如图1-4所示四棱锥P -ABCD 中，底面是以O 为中心的菱形，PO ⊥底面ABCD ，AB ＝2，∠BAD ＝π 3 ， M 为BC 上一点，且BM ＝1 2 . (1)证明：BC ⊥平面POM ；(2)若MP ⊥AP ，求四棱锥P -ABMO 图1-4 2．[·北京卷17] 如图1-5，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，侧棱垂直于底面，AB ⊥BC ，AA 1＝AC ＝2，BC ＝1，E ，F 分别是A 1C 1，BC 的中点． (1)求证：平面ABE ⊥平面B 1BCC 1；(2)求证：C 1F ∥平面ABE ；(3)求三棱锥E - ABC 3．[·福建卷19] 如图1-6所示，三棱锥A - BCD 中，AB ⊥平面BCD ，CD ⊥BD . (1)求证：CD ⊥平面ABD ；(2)若AB ＝BD ＝CD ＝1，M 为AD 中点，求三棱锥A - MBC 的体积． 4．[·新课标全国卷Ⅱ18] 如图1-3，四棱锥P -ABCD中，底面ABCD为矩形，P A⊥平面ABCD，E为PD的中点． (1)证明：PB∥平面AEC；(2)设AP＝1，AD＝3，三棱锥P -ABD的体积V＝ 3 4，求A到平面PBC的距离． 5．[·广东卷18] 如图1-2所示，四边形ABCD为矩形，PD⊥平面ABCD，AB＝1，BC＝PC＝2，作如图1-3折叠：折痕EF∥DC，其中点E，F分别在线段PD，PC上，沿EF折叠后点P叠在线段AD上的点记为M，并且MF⊥CF. (1)证明：CF⊥平面MDF；(2)求三棱锥M -CDE的体积． 图1-2图1-3 6．[·辽宁卷19] 如图1-4所示，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB＝BC＝BD＝2，∠ABC＝∠DBC＝120°，E，F，G分别为AC，DC，AD的中点． (1)求证：EF⊥平面BCG；(2)求三棱锥D -BCG的体积． 立体几何体积的求解方法 重要知识 立体几何体体积的求解始终要谨记一个原则：找到易于求解的底面（面积）和高（椎体就是顶点到底面的距离）。而这类题最易考到的就是椎体的体积（尤其是高的求解）。 求椎体体积通常有四种方法： （1）直接法：直接由点作底面的垂线，求垂线段的长作为高，底面的面积是底面积。（2）转移法（等体积法）：更换椎体的底面，选择易于求解的底面积和高。 （3）分割法（割补法）：将一个复杂的几何体分成若干易于计算的椎体。 （4）向量法：利用空间向量的方法（理科）。 典型例题 方法一：直接法 例1、（2014?南充一模）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB⊥BC，D 为AC的中点，A1A=AB=2，BC=3．求四棱锥B﹣AA1C1D的体积． 例2、如图已知四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥DC，∠ABC=45°，DC=1，AB=2，PA⊥平面ABCD，PA=1．若M是PC的中点，求三棱锥M﹣ACD的体积． 变式1、（2014?漳州模拟）如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，AB⊥平面PAD，AB∥CD，PD=AD，E是PB的中点，F是CD上的点且，PH为△PAD中AD边上的高．若PH=1，，FC=1，求三棱锥E﹣BCF的体积． 变式2、（2015?安徽）如图，三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，PA=1，AB=1，AC=2，∠BAC=60°。求三棱锥P﹣ABC的体积； 方法二：转移法 例3、（2015?重庆一模）如图，已知三棱锥A﹣BPC中，AP⊥PC，AC⊥BC，M为AB中点，D 为PB中点，且△PMB为正三角形．若BC=4，AB=20，求三棱锥D﹣BCM的体积． 例4、（2014?宜春模拟）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，侧棱PA丄底面ABCD底面ABCD为矩形，E为PD上一点，AD=2AB=2AP=2，PE=2DE．求三棱锥P﹣ACE的体积． 立体几何中有关体积的求法 一、常见图形的面积求解方法。 二、空间中常见几何体的体积公式。 三、空间中常见求体积问题变换方法。 等价转换法：当所给几何体的体积不能直接套用公式或套用公式时某一量（底面积或高）不易求出时，可以转换一下几何体中有关元素的相对位置进行计算求解，该方法尤其适用于求三棱锥的体积． 1.在边长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，M N P ，，分别是棱1111 1A B A D A A ，，上的点，且满足11112A M A B = ，112A N ND =，113 4 A P A A =（如图1），试求三棱锥1A MNP -的体积． 2.（2013年高考江西卷（文））如图,直四棱柱 1111ABCD A BC D -中,//AB CD , AD AB ⊥,2AB =,AD =,13AA =,E 为CD 上一点,1DE =,3EC =.求三棱锥111B EAC -的体积． 割补法：割补法也是体积计算中的一种常用方法，在求一些不规则的几何体的体积以及求两个几何体的体积之比时经常要用到分割法． 3.如图2，在三棱柱111ABC A B C -中，E F ，分别为AB AC ，的中点，平面11EB C F 将三棱柱分成两部分，求这两部分的体积之比 4.如图，是一个平面截长方体的剩余部分，已知12,8,5,3,4=====CG BF AE BC AB ，求几何体 EFGH ABCD -的体积。 5.如图，直四棱柱1111D C B A ABCD -的底面ABCD 是菱形， 060ABC ∠=，其侧面展开图是边长为8的正方形。E 、F 分别是侧棱1AA 、 1CC 上的动点，8=+CF AE ． 问多面体1BCFB AE -的体积V 是否为常数？若是，求这个常数，若不是，求V 的取值范围． C ???????????????????????最新料推荐??????????????????? 文科立体几何体积专题 1、如图 5 所示，在三棱锥P ABC 中，AB BC 6 ，平面PAC 平面 ABC ，PD AC 于点 D ， AD 1 ， CD 3 ， PD 2 ． （ 1）求三棱锥P ABC 的体积；（2）证明△ PBC 为直角三角形．P A D C B 2、如图， E 为矩形 ABCD所在平面外一点，AD平面ABE，图5 AE=EB=BC=2， F 为 CE是的点，且BF平面ACE，AC BD G （1 ）求证：AE平面BCE；（2）求三棱锥C— BGF的体积。 3、如图，已知AB⊥平面ACD，DE∥AB，AD AC DE 2 AB =1，且 E F 是 CD 的中点．AF 3 B （Ⅰ）求证： AF ∥平面 BCE ； （Ⅱ）求证：平面BCE⊥平面CDE； A (III)求此多面体的体积． C D F (18 题图 ) 4、在如图 4 所示的几何体中，平行四边形ABCD 的顶点都在以AC 为直径的圆O 上， AD CD DP a ， AP CP 2a ，DP // AM，且 AM 1 DP ， E, F 分别为 BP, CP 的中点. 2 (I)证明：EF //平面ADP ; (II)求三棱锥M ABP 的体积. 5、在棱长为a的正方体ABCD A1B1C1 D1中,E是线段 A1C1的中点, 底面 ABCD的中心是 F. (1)求证 : CE BD；(2) 求证 : CE∥平面A1BD； ???????????????????????最新 料推荐??????????????????? 6、矩形 ABCD 中， 2AB AD ，E 是 AD 中点，沿 BE 将 ABE 折起到 A ' BE 的位置，使 ' ' D ， F 、 G 分别是 B E 、 CD 中点 . AC A （ 1）求证： A F ⊥ CD ； （ 2）设 AB 2 ，求四棱锥 A BCDE 的体积 . 7 、 如 图 ， 在 四 棱 锥 P ABCD 中 ， 底 面 是 边 长 为 2 的 正 方 形 ， 侧 面 PAD 底面 ABCD ， 且 A B C D P A P D 2 A ，D 若 E 、 F 分别为 PC 、 BD 的中点 . 2 （ 1）求证： EF ∥平面 PAD ； （ 2）求证：平面 PDC 平面 PAD . （ 3）求四棱锥 P ABCD 的体积 V P ABCD . 8、如图 , 在直三棱柱 ABC A 1B 1C 1 中， AC 3 ， BC 4， AB 5 , AA 1 4 ，点 D 是 AB 的中点， （ 1）求证： AC BC 1 ； （ 2）求证： AC 1 // 平面 CDB 1 ； （ 3）求三棱锥 C 1 CDB 1 的体积。 9、如图 1，在正三角形 A BC 中，AB=3，E 、F 、P 分别是 AB 、AC 、BC 边上的点，AE=CF=CP=1。 将 AFE 沿 EF 折起到 A 1 EF 的位置，使平面 A 1EF 与平面 BCFE 垂直，连结 A 1 B 、 A 1P （ 1）求证： PF//平面 A 1EB ； （ 2）求证：平面 BCFE 平面 A 1EB ； （ 3）求四棱锥 A 1— BPFE 的体积。 10、如图所示的长方体 ABCD A 1B 1C 1 D 1 中，底面 ABCD 是边长为 2 的正方形， O 为 AC 与 BD 的交点， BB 1 2 ， M 是线段 B 1 D 1 的中点． (1) 求证： BM / / 平面 D 1 AC ； (2) 求三棱锥 D 1 AB 1C 的体积． 第2讲空间几何体的表面积与体积 考点 考查柱、锥、台、球的体积和表面积，由原来的简单公式套用渐渐变为与三视图及柱、锥与球的接切问题相结合，难度有所增大． 【复习指导】 本讲复习时，熟记棱柱、棱锥、圆柱、圆锥的表面积和体积公式，运用这些公式解决一些简单的问题． 基础梳理 1．柱、锥、台和球的侧面积和体积 2. (1)棱柱、棱锥、棱台的表面积就是各面面积之和． (2)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是矩形、扇形、扇环形；它们的表面积等于侧面积与底面面积之和． 两种方法 (1)解与球有关的组合体问题的方法，一种是切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径．球与旋转体的组合，通常作它们的轴截面进行解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心或“切点”、“接点”作出截面图． (2)等积法：等积法包括等面积法和等体积法．等积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过已知条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高，特别是在求三角形的高和三棱锥的高．这一方法回避了具体通过作图得到三角形(或三棱锥)的高，而通过直接计算得到高的数值． 双基自测 1．(人教A版教材习题改编)圆柱的一个底面积为S，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是( )． A．4πS B．2πS C．πS D.23 3 πS 解析设圆柱底面圆的半径为r，高为h，则r＝S π ， 又h＝2πr＝2πS，∴S圆柱侧＝(2πS)2＝4πS. 答案 A 2．(2012·东北三校联考)设长方体的长、宽、高分别为2a、a、a，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )． A．3πa2 B．6πa2 C．12πa2 D．24πa2 解析由于长方体的长、宽、高分别为2a、a、a，则长方体的体对角线长为2a2＋a2＋a2＝6a.又长方体外接球的直径2R等于长方体的体对角线，∴2R＝6a.∴S球＝4πR2＝6πa2. 答案 B A P B C D H 专题一：立体几何大题中有关体积的求法 角度问题、距离问题、体积问题是立体几何的三大基本问题。以下是求体积的一些常用方法及有关问题。 一公式法 1．正三棱柱的侧面展开图是边长分别为2和4的矩形，则它的体积为 ． 2.（2011广东卷文9）如图，某几何体的正视图（主视图），侧视图（左视图）和俯视图分别是等边三角形，等腰三角形和菱形，则该几何体的体积为（ ）． A ．43 B ．4 C ．23 D ．2 练习 3.一个几何体的俯视图是一个圆，用斜二侧画法画出正视图和俯视图都是边长为 6和4的平行四边形，则该几何体的体积为___________. 4.一个圆柱的轴截面是正方形，其侧面积与一个球的表面积相等，那么这个圆柱的体积与这个球的体积之比为 ▲ [来 二、转换法 当所给几何体的体积不能直接套用公式或套用公式时某一量（底面积或高）不易求出时，可以转换一下几何体 中有关元素的相对位置进行计算求解，该方法尤其适用于求三棱锥的体积． 5例 在边长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，M N P ，，分别是棱 11111A B A D A A ，，上的点，且满足11112A M A B = ，112A N ND =，113 4 A P A A =（如图1）， 试求三棱锥1A MNP -的体积． 6练习（2013年高考江西卷（文））如图,直四棱柱ABCD – A1B1C1D1中,AB 求点B1 到平面EA1C1 的距离 三、割补法 分割法也是体积计算中的一种常用方法，在求一些不规则的几何体的体积以及求两个几何体的体积之比时经常要用到分割法． 7例已知三棱锥ABC P -，其中4=PA ,2==PC PB , 60=∠=∠=∠BPC APC APB 求：三棱锥ABC P -的体积。 8练习 如图2，在三棱柱111ABC A B C -中，E F ，分别为AB AC ，的中点，平面11EB C F 将三棱柱分成两部分，求这两部分的体积之比 9练习。如图（3），是一个平面截长方体的剩余部分， 已知12,8,5,3,4=====CG BF AE BC AB ， 求几何体EFGH ABCD -的体积。 10四面体ABC S -的三组对棱分别相等，且依次为5,13,52， 求四面体ABC S -的体积。 巩固练习 11. 如图，在四棱锥ABCD P -中，底面为直角梯形，//,90AD BC BAD ? ∠=，PA 垂直于底面ABCD ， S C D H E B F 专题5：立体几何体积与面积的求法基础练习题 1．如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，120BCD ?∠=，侧面P AB ⊥底面ABCD ，22PB =， 2.AB AC PA === （1）求证：BD ⊥平面PAC （2）过AC 的平面交PD 于点M ，若——12 P AC PAC D M V V =，求三棱锥P AMC -的体积． 2．如图所示，在棱长为2的正方体1111ACBD AC B D -中，M 是线段AB 上的动点． （1）证明：AB ∥平面11A B C ； （2）若M 是AB 的中点，证明：平面1MCC ⊥平面11ABB A ； （3）求三棱锥11M A B C -的体积． 3．现有一个底面是菱形的直四棱柱，它的体对角线长为9和15，高是5，求该直四棱柱的侧面积. 4．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，3AC =，4BC =，5AB =，点D 是AB 的中点. （1）求证：1AC BC ⊥； （2）若1CC BC =，求三棱锥1B BCD -的体积. 5．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA PD ⊥，1PA PD ==，E 为AD 的中点. （1）求证：PE ⊥平面ABCD ； （2）求四棱锥P ABCD -的体积. 6．若长方体的三个面的面积分别是2222cm ,3cm ,6cm ，求： （1）长方体的体对角线的长； （2）长方体的表面积. 7．正四棱台两底面边长分别为3和9. （1）若侧棱所在直线与上、下底面正方形中心的连线所成的角为45，求棱台的侧面积； （2）若棱台的侧面积等于两底面面积之和，求它的高. 8．如图，四边形ABCD 是边长为2的正方形，平面ABCD ⊥平面ABEF ，//AF BE ，,2,1AB BE AB BE AF ⊥===. 第82课立体几何体积问题 基本方法： 几何体体积计算问题的关键是底面积与高的计算，当底面积与高容易求得时，可直接计算体积；当不容易计算底面积或高时，可考虑等积转化法，即从不同的角度看待原几何体，通过改变顶点和底面，利用体积不变的原理求原几何体的体积. 一、典型例题 1. 如图，四棱锥P ABCD -中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD， 1 2 AB BC AD ==, 90 BAD ABC ∠=∠=?，若PCD ?面积为P ABCD -的体积. 2. 如图，四面体ABCD中，ABC ?是正三角形，AD CD =．已知ACD ?是直角三角形，AB BD =．若E为棱BD上与D不重合的点，且AE EC ⊥，求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比． 二、课堂练习 1. 如图，在四棱锥P-ABCD中，PC⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，AB=2AD=2CD=2，E为PB的中点. 若PC=2，求三棱锥A-BCE的体积. 2. 如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD DC CB a ===，60 ABC? ∠=，平面ACFE⊥平面ABCD，四边形ACFE是矩形．若AD AE =，求四棱锥E-ABCD的体积． 三、课后作业 1. 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，AB AD ⊥，AD BC ，122 AD AB BC ===，侧棱PA ⊥平面ABCD . 若PAB ?为等腰直角三角形，求四棱锥P ABCD -的体积. 2. 如图，在三棱锥P –ABC 中，PA ⊥AB ，PA ⊥BC ，AB ⊥BC ，PA =AB =BC =2，D 为线段AC 的中点，E 为线段PC 上一点． 当PA ∥平面BD E 时，求三棱锥E –BCD 的体积． 3．如图，在三棱锥P ABC - 中，AB BC ==4PA PB PC AC ====，O 为AC 的中点. （1）证明：PO ⊥平面ABC ； （2）若点M 在棱BC 上，且2MC MB =，求点C 到平面POM 的距离. M O C B A P 立体几何体积问题 未命名 一、解答题 1．如图，在三棱锥中，，，为的中点．（1）证明：平面； （2）若点在棱上，且，求点到平面的距离． 2．如图，多面体中，为正方形，， ,且. （1）证明：平面平面； （2）求三棱锥的体积. 3．在如图所示的几何体中，平面，四边形为等腰梯形，，，，，，. （1）证明：； （2）若多面体的体积为，求线段的长. 4．如图，在四棱锥中，，，，点在线段上，且，，平面. （1）证明：平面平面； （2）当时，求四棱锥的表面积. 5．如图,在四棱锥中,是等边三角形,,,. (Ⅰ)求证: (Ⅱ)若平面平面,,求三棱锥的体积 6．如图，三棱柱中，平面平面,平面平面，,点、分别为棱、的中点，过点、的平面交棱于点,使得∥平面. （1）求证：平面; （2）若四棱锥的体积为，求的正弦值. 7．如图，在几何体中，平面底面，四边形是正方形，，是的中点，且，. （1）证明：； （2）若，求几何体的体积. 8．在多面体中，底面是梯形，四边形是正方形，，，面面，.. （1）求证：平面平面； （2）设为线段上一点，，试问在线段上是否存在一点，使得平面，若存在，试指出点的位置；若不存在，说明理由? （3）在（2）的条件下，求点到平面的距离. 9．已知直三棱柱，底面是边长为2的等边三角形，，为棱的中点，在棱上，且． （1）证明：平面； （2）求三棱锥的体积． 10．如图，在三棱锥中，，，，，为线段的中点，将折叠至，使得且交平面于F. （1）求证：平面⊥平面PAC. （2）求三棱锥的体积. 11．在矩形所在平面的同一侧取两点、，使且，若 立体几何大题（文科）---体积问题 学前了解： 立体几何体积问题，几乎是作为文科大题第二问的必考选项。里面考查思想中，重点考察了等体积、等面积的转化思想。其中，有两个难点。一是寻找垂线转移顶点，二是计算边长。那么，针对转化的模型不同，我对其进行以下分类。 针对求体积、和求点到面的距离问题，通常采用等体积法。（三棱锥） 一、简单等体积法。 1、如图，四棱锥P－ABCD的底面ABCD是矩形，侧面PAB是正三角形，AB＝2，BC， PC，E，H分别为PA、AB中点。 （I）求证：PH⊥平面ABCD； （II）求三棱锥P－EHD的体积。 2、如图，在三棱柱中，、、三条棱两两互相垂直，且 ，、分别是、的中点． （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）求到平面的距离． 3、如图，直三棱柱111ABC A B C -中，AC =CB ，D ，E 分别是AB ，1BB 的中点。 （1）证明：//1BC 平面CD A 1； （2）求证：CD ⊥平面ABB 1A 1； （3）设1 2,AA AC CB AB ＝＝＝＝E 到截面DC A 1的距离d. 4、111C C AB -A B 中，底面C ?AB 为等腰直角三角形，C 90∠AB =，4AB =，16AA =， 点M 是1BB 中点． （I ）求证：平面1C A M ⊥平面11C C AA ； （II ）求点A 到平面1C A M 的距离． 二、平行线转移顶点法（找好顶点后，看有没有过顶点平行底面的直线） 1、如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，且AB＝AD＝2，CD＝4，四边菜ADE1F1是正方形，且平面ADE1F1⊥平面ABCD，M是E1C的中点。 （1）证明：BM∥平面ADE F1； （2）求三棱锥D－BME1的体积。 2、如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA=AB=AD=2，四边形ABCD满足AB⊥AD，BC∥AD且BC=4，点M为PC中点． （1）求证：平面ADM⊥平面PBC； （2）求点P到平面ADM的距离． 立体几何中有关体积问题 一、知识归纳 1、柱体体积公式：.V S h = 2、椎体体积公式：1 .3V S h = 3、球体体积公式：3 43 V R π= 二、点到平面的距离问题 求解方法： 1、几何法：等体积法求h 2、向量法： 点A 到面α的距离AB n d n ?= 其中，n → 是底面的法向量，点B 是面α内任意一点。 题型分析： 1、如图，在三棱柱111ABC ABC -中， AC BC ⊥,1AB BB ⊥ 12AC BC BB ===,D 为AB 中点，且1CD DA ⊥ （1）求证：1BB ABC ⊥平面 （2）求证：1BC ∥平面1CA D (3)求三棱椎11-A B DC 的体积 2、如图，在四棱锥E ABCD -中，ADE ?是等边三角形，侧面ADE ABCD ⊥地面,AB ∥DC ，且 2435BD DC AD AB ====，，. （1）若F 是EC 上任意一点，求证：面BDF ADE ⊥面 (2)求三棱锥C BDE -的体积。 3、如图，在棱长为2的正方体中，,E F 分别为 1DD DB 、的中点。 （1）求证：EF ∥平面11ABC D (2)求证1EF B C ⊥ （2）求三棱锥1B EFC -的体积。 1 A 1 B 1 C A D C B 1 A 1 B 1 C A E C B D F 1 D A E C B D F 4、（2010新课标）如图，已知四棱锥P ABCD -的底面为等腰梯形，AB ∥CD ,AC BD ⊥,垂足为H ，PH 是四棱锥的高。 （Ⅰ）证明：平面PAC ⊥ 平面PBD ; （Ⅱ） 若AB ,APB ADB ∠=∠=60°,求四棱锥 P ABCD -的体积。 5、（2011新课标）如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，60DAB ∠=?，2AB AD =，PD ⊥底面ABCD ． （I ）证明：PA BD ⊥； （II ）设PD=AD=1，求棱锥D-PBC 的高． 6、（2012新课标）如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱垂直底面，∠ACB=90°，AC=BC=1 2AA 1，D 是棱 AA 1的中点。 (Ｉ) 证明：平面BDC 1⊥平面BDC （Ⅱ）平面BDC 1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比。 7、（2013乌市二诊）如图，在正方体中,E 、F 分别为 1C C 、BD 的中点. (I)求证：1A F 丄平面EDB; (II)若AB =2，求点B 到平面A1DE 的距离. 8、（2012乌市三诊）（如图，在三棱锥P ABC - 中， PA PB PC === ,CA CB =AC BC ⊥ (1)求证：PC AB ⊥ (2)求点B 到平面PAC 的距离。 B 1 C B A D C 1 A 1 A C B D P H A B P 专题三立体几何专题 【命题趋向】高考对空间想象能力的考查集中体现在立体几何试题上，着重考查空间 点、线、面的位置关系的判断及空间角等几何量的计算．既有以选择题、填空题形式出现的试 题，也有以解答题形式出现的试题．选择题、填空题大多考查概念辨析、位置关系探究、空间 几何量的简单计算求解，考查画图、识图、用图的能力；解答题一般以简单几何体为载体，考 查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，以及空间几何量的求解问题，综合考查 空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力．试题在突出对空间想象能力考查的 同时，关注对平行、垂直关系的探究，关注对条件或结论不完备情形下的开放性问题的探究．【考点透析】立体几何主要考点是柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征、三视 图、直观图，表面积体积的计算，空间点、直线、平面的位置关系判断与证明，（理科）空间向量在平行、垂直关系证明中的应用，空间向量在计算空间角中的应用等． 【例题解析】 题型 1 空间几何体的三视图以及面积和体积计算 例 1（ 2008 高考海南宁夏卷）某几何体的一条棱长为7 ，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为 6 的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是 长为 a 和b的线段，则a b 的最大值为 A．22B．23C． 4D．25 分析：想像投影方式，将问题归结到一个具体的空间几何体中解决． 解析：结合长方体的对角线在三个面的投影来理解计算，如图设长方体的高宽高分别为 m, n, k ，由题意得m2n2k27 ，m2k26n 1 ， 1 k 2 a ， 1m2 b ，所以( a21)(b21)6 a2b28，∴ (a b)2a22ab b282ab8 a2b216 a b 4当且仅当 a b 2时取等号． - 1 - 1、如图所示,在三棱锥ABC P -中,6AB BC ==,平面⊥PAC 平面ABC ,AC PD ⊥于点D , 1AD =,3CD =,2=PD . (1)求三棱锥ABC P -的体积;(2)证明△PBC 为直角 三角形. 2、如图所示,E 为矩形ABCD 所在平面外一点,⊥AD 平 面ABE,AE=EB=BC=2,F 为CE 上的中点,且⊥BF 平面ACE,G BD AC =? (1)求证:⊥AE 平面BCE; (2)求三棱锥C —BGF 的体积. 3、如图,已知AB ⊥平面ACD ,DE ∥AB ,2AD AC DE AB ====2,且 F 就是CD 的中点.3AF = (1)求证:AF ∥平面BCE ; (2)求证:平面BCE ⊥平面DCE; (3) 求此多面体的体积. 4、在如图所示的几何体中,平行四边形ABCD 的顶点都在以AC 为直径的圆O 上, AD CD DP a ===,2AP CP a ==,//DP AM ,且 1 2 AM DP = ,,E F 分别为,BP CP 的中点、 (1)证明://EF 平面ADP ; (2)求三棱锥M ABP -的体积、 5、如图所示,在正三角形ABC 中,AB=3,E 、F 、P 分别就是AB 、AC 、BC 边上的点,AE=CF=CP=1、将AFE ?沿EF 折起到1A EF ?的位置,使平面 1A EF 与平面BCFE 垂直,连结A 1B 、A 1P(如图2)、 (1)求证:PF//平面A 1EB; (2)求证:平面BCFE ⊥平面A 1EB; (3)求四棱锥A 1—BPFE 的体积、 6、如图所示,矩形ABCD 中,AD AB =2,E 就是AD 中点,沿BE 将ABE ?折起到' A BE ?的位置,使''AC A D =,F G 、分别就是BE CD 、中点、 (1)求证:F A '⊥CD ; (2)设2=AB ,求四棱锥BCDE A -'的体积、 7、已知某几何体的直观图与三视图如下图所示,其正视图为矩形,侧视图为等腰直角三角形,俯视图为直角梯形、 (1)求证:N B C BC 11//平面;(2)求证:BN 11C B N ⊥平面; (3)求此几何体的体积、 8、如图,三棱柱111ABC A B C -中,1AA ⊥平面ABC ,D 、E 分别为11A B 、1AA 的中点,点F 在棱AB 上,且1 4 AF AB =、 (1)求证://EF 平面1BDC ; (2)在棱AC 上就是否存在一个点G ,使得平面EFG 将三棱柱分割成的 A B C D E F B P A C D 84 主侧 俯 4 4 D E C C 1 A 1 B 1 A A P B 专题：立体几何大题中有关体积的求法 角度问题、距离问题、体积问题是立体几何的三大基本问题。以下是求体积的一些常用方法及有关问题。一公式法 1．正三棱柱的侧面展开图是边长分别为2和4的矩形，则它的体积为 ． 2如图，某几何体的正视图（主视图），侧视图（左视图）和俯视图分别是等边三角形，等腰三角形和菱形，则该几何体的体积为（ ）． A ． B ．4 C ． D ．2 练习 3.一个几何体的俯视图是一个圆，用斜二侧画法画出正视图和俯视图都是边长为 6和4的平行四边形，则该几何体的体积为___________. 4.一个圆柱的轴截面是正方形，其侧面积与一个球的表面积相等，那么这个圆柱的体积与这个球的体积之比为 ▲ [ 二、转换法 当所给几何体的体积不能直接套用公式或套用公式时某一量（底面积或高）不易求出时，可以转换一下几何体中有关元素的相对位置进行计算求解，该方法尤其适用于求三棱锥的体积． 例 在边长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，M N P ，，分别是棱 1111 1A B A D A A ，，上的点，且满足11112A M A B =，112A N ND =，113 4 A P A A =（如图1），试求三棱锥1A MNP -的体积． 三、割补法 分割法也是体积计算中的一种常用方法，在求一些不规则的几何体的体积以及求两个几 何体的体积之比时经常要用到分割法． 7例已知三棱锥ABC P -，其中4=PA ,2==PC PB , 60=∠=∠=∠BPC APC APB 求：三棱锥ABC P -的体积。 8练习 如图2，在三棱柱111ABC A B C -中，E F ，分别为AB AC ，的中点，平面11EB C F 将三棱柱分成两部分，求这两部分的体积之比 9练习。如图（3），是一个平面截长方体的剩余部分， 已知12,8,5,3,4=====CG BF AE BC AB ， 求几何体EFGH ABCD -的体积。 10四面体ABC S -的三组对棱分别相等，且依次为5,13,52， 求四面体ABC S -的体积。 巩固练习 11 如图，在四棱锥ABCD P -中，底面为直角梯形，//,90AD BC BAD ? ∠=，PA 垂直于底面ABCD ，N M BC AB AD PA ,,22====分别为PB PC ,的中点。 (1) 求四棱锥ABCD P -的体积V ；（2）求截面ADMN 的面积。 C 空间几何体的表面积和体积例题解析 一．课标要求了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式（不要求记忆，理解为主）。二．命题走向----用选择、填空题考查本章的基本性质和求积公式； 三．要点精讲 1．多面体的面积和体积公式 表中S表示面积，c′、c分别表示上、下底面周长，h表斜高，h′表示斜高，l表示侧棱长。2．旋转体的面积和体积公式 表中l、h分别表示母线、高，r表示圆柱、圆锥与球冠的底半径，r1、r2分别表示圆台上、下底面半径，R表示半径。 四．典例解析 题型1：柱体的体积和表面积 例1．一个长方体全面积是20cm 2，所有棱长的和是24cm ，求长方体的对角线长. 解：设长方体的长、宽、高、对角线长分别为xcm 、ycm 、zcm 、lcm 依题意得：? ??=++=++24)(420 )(2z y x zx yz xy )2()1( 由（2）2得：x 2+y 2+z 2+2xy+2yz+2xz=36（3） 由（3）－（1）得x 2+y 2+z 2=16 即l 2=16所以l =4(cm)。 点评：涉及棱柱面积问题的题目多以直棱柱为主，而直棱柱中又以正方体、长方体的表面积多被考察。我们平常的学习中要多建立一些重要的几何要素（对角线、内切）与面积、体积之间的关系。 例2．如图1所示，在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，已知AB=5，AD=4，AA 1=3，AB ⊥AD ，∠A 1AB=∠A 1AD= 3 π 。 （1）求证：顶点A 1在底面ABCD 上的射影O 在∠BAD 的平分线上； （2）求这个平行六面体的体积。 图1 图2 解析：（1）如图2，连结A 1O ，则A 1O ⊥底面ABCD 。作OM ⊥AB 交AB 于M ，作ON ⊥AD 交AD 于N ，连结A 1M ，A 1N 。由三垂线定得得A 1M ⊥AB ，A 1N ⊥AD 。∵∠A 1AM=∠A 1AN ， ∴Rt△A 1NA≌Rt△A 1MA,∴A 1M=A 1N ，从而OM=ON 。∴点O 在∠BAD 的平分线上。 五、距离的求法： （1）点点、点线、点面距离：点与点之间的距离就是两点之间线段的长、点与线、面间的 距离是点到线、面垂足间线段的长。求它们首先要找到表示距离的线段，然后再计算。 注意：求点到面的距离的方法： ①直接法：直接确定点到平面的垂线段长（垂线段一般在二面角所在的平面上）； ②转移法：转化为另一点到该平面的距离（利用线面平行的性质）； ③体积法：利用三棱锥体积公式。 （2）线线距离： 关于异面直线的距离，常用方法有： ①定义法，关键是确定出b a ,的公垂线段； ②转化为线面距离，即转化为a 与过b 而平行于a 的平面之间的距离，关键是找出或构造出这个平面；③转化为面面距离； （3）线面、面面距离：线面间距离面面间距离与线线间、点线间距离常常相互转化； 六、常用的结论： （1）若直线l 在平面α内的射影是直线l '，直线m 是平面α内经过l 的斜足的一条直线，l 与l ' 所成的角为1θ，l '与m 所成的角为2θ, l 与m 所成的角为θ，则这三个角之间的关系是cos cos cos θθθ=； （2）如何确定点在平面的射影位置： ①Ⅰ、如果一个角所在平面外一点到角两边距离相等，那么这点在平面上的射影在这个角 的平分线上； Ⅱ、经过一个角的顶角引这个角所在平面的斜线，如果斜线和这个角的两边夹角相等， 那么斜线上的点在平面上的射影在这个角的平分线所在的直线上； Ⅲ、如果平面外一点到平面上两点的距离相等，则这一点在平面上的射影在以这两点为 端点的线段的垂直平分线上。 ②垂线法：如果过平面外一点的斜线与平面内的一条直线垂直，那么这一点在这平面上 的射影在过斜足且垂直于平面内直线的直线上(三垂线定理和逆定理)； ③垂面法：如果两平面互相垂直，那么一个平面内任一点在另一平面上的射影在这两面 的交线上(面面垂直的性质定理)； ④整体法：确定点在平面的射影，可先确定过一点的斜线这一整体在平面内的射影。 （3）在四面体ABCD 中： ①若AD BC CD AB ⊥⊥,，则BD AC ⊥；且A 在平面BCD 上的射影是BCD ?的垂心。 立体几何求体积、点到平面的距离专题（理科） 如图，三棱柱1 1 1 ABC A B C -中，侧面1 1 BB C C 是边长为2且1 60CBB ∠=?的菱形，1AB AC =． （1）证明：平面1 AB C ⊥平面1 1 BB C C ． （2）若1 AB B C ⊥，AB BC =，求点B 到平面111 A B C 的 距离． 如图，在三棱锥P ABC -中，平面PAC ⊥平面ABC ， 60PAC BAC ∠=∠=?，4AC =，3AP =，2AB =． （1）求三棱锥P ABC -的体积； （2）求点C 到平面PAB 的距离． 二、(优质试题湖北武汉高三二月调研) 一、（优质试题河北石家庄高三质量检测（二）） 三、(优质试题福建莆田高三下学期三月质量检测) 如图，四棱锥E ABCD -中，底面ABCD是平行四边形，M，N分别为BC，DE中点． （1）证明：CN∥平面AEM； （2）若ABE △是等边三角形，平面ABE⊥平面BCE，CE BE ==，求三 ⊥，2 BE EC 棱锥N AEM -的体积． 【答案】（1）见解析；（2 【解析】（1）连接1 BC 交1 B C 于O ，连接AO ， 侧面1 1 BB C C 为菱形，∴1 1 B C BC ⊥； 1AB AC =，O 为1BC 的中点， 1AO BC ∴⊥，又1B C AO O =，1BC ∴⊥平面1AB C ， 1BC ?平面11BB C C ，∴平面1AB C ⊥平面11BB C C ． （2）由1 AB B C ⊥，1 BO B C ⊥，AB BO B =，1B C ∴⊥平面ABO ，AO ?平面ABO ， 又1AO BC ⊥，1 1BC B C O =，AO ∴⊥平面11BB C C ， 菱形1 1 BB C C 的边长为2且01 60CBB ∠=，BO ∴= 2 AB BC ==，1AO ∴=又1CO =，AC = 111ABC A B C S S == △△， 设点B 到平面111 A B C 的距离为h ， 由111 11111B A B C A BB C A BB C V V V ---==得111221332h =???， h ?= ，∴点B 到平面111A B C 【答案】（1）3；（2． 【解析】（1）过P 作PH AC ⊥交AC 于一点H ， 平面PAC ⊥平面ABC ，PH ∴⊥平面ABC ． 二、(优质试题湖北武汉高三二月调研) 一、（优质试题河北石家庄高三质量检测（二））立体几何大题求体积习题汇总
5立体几何体积的求解方法
立体几何中常见体积问题的求解
立体几何求体积专题精编版.doc
立体几何 空间几何体的表面积与体积
专题一立体几何大题中有关体积的求法
专题5：立体几何体积与面积的求法基础练习题
9.立体几何体积问题
立体几何体积问题-
立体几何文科体积问题归类总结
立体几何-体积问题(非常好)
高中数学专题——立体几何专题.docx
立体几何求体积
专题立体几何大题中有关体积的求法
高一数学空间几何体的表面积和体积知识点及题型例题
立体几何距离的求法
立体几何求体积、点到平面的距离专题(理科)