人教中考数学专题题库∶二次函数的综合题含答案

一、二次函数 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．（6分）（2015?牡丹江）如图，抛物线y=x 2+bx+c 经过点A （﹣1，0），B （3，0）．请解答下列问题：

（1）求抛物线的解析式；

（2）点E （2，m ）在抛物线上，抛物线的对称轴与x 轴交于点H ，点F 是AE 中点，连接FH ，求线段FH 的长．

注：抛物线y=ax 2+bx+c （a≠0）的对称轴是x=﹣

．

【答案】（1）y=-2x-3；（2）．

【解析】

试题分析：（1）把A,B 两点坐标代入，求待定系数b,c ，进而确定抛物线的解析式；（2）连接BE ，点F 是AE 中点，H 是AB 中点，则FH 为三角形ABE 的中位线，求出BE 的长，FH 就知道了，先由抛物线解析式求出点E 坐标，根据勾股定理可求BE ，再根据三角形中位线定理求线段HF 的长．

试题解析：（1）∵抛物线y=x 2+bx+c 经过点A （﹣1，0），B （3，0），∴把A,B 两点坐标代入得：

，解得：

，∴抛物线的解析式是：y=-2x-3；（2）∵点

E （2，m ）在抛物线上，∴把E 点坐标代入抛物线解析式y=-2x-3得：m=4﹣4﹣3=﹣3，∴E （2，﹣3），∴BE=

=

．∵点F 是AE 中点，点H 是抛物线的对称轴与

x 轴交点，即H 为AB 的中点，∴FH 是三角形ABE 的中位线，∴FH=BE=×=

．∴

线段FH 的长

．

考点：1．待定系数法求抛物线的解析式；2．勾股定理；3．三角形中位线定理．

2．如图，已知顶点为(0,3)C -的抛物线2(0)y ax b a =+≠与x 轴交于A ，B 两点，直线

y x m =+过顶点C 和点B ．

（1）求m 的值；

（2）求函数2

(0)y ax b a =+≠的解析式；

（3）抛物线上是否存在点M ，使得15MCB ∠=?？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）﹣3；（2）y 13

=x 2

﹣3；（3）M 的坐标为（3632）． 【解析】 【分析】

（1）把C （0，﹣3）代入直线y ＝x +m 中解答即可；

（2）把y ＝0代入直线解析式得出点B 的坐标，再利用待定系数法确定函数关系式即可； （3）分M 在BC 上方和下方两种情况进行解答即可． 【详解】

（1）将C （0，﹣3）代入y ＝x +m ，可得： m ＝﹣3；

（2）将y ＝0代入y ＝x ﹣3得： x ＝3，

所以点B 的坐标为（3，0），

将（0，﹣3）、（3，0）代入y ＝ax 2+b 中，可得：

3

90b a b =-??

+=?， 解得：133

a b ?=?

??=-?，

所以二次函数的解析式为：y 13

=

x 2

﹣3； （3）存在，分以下两种情况：

①若M 在B 上方，设MC 交x 轴于点D ， 则∠ODC ＝45°+15°＝60°， ∴OD ＝OC ?tan30°3=

设DC 为y ＝kx ﹣33，0），可得：k 3=

联立两个方程可得：2

3313

3y x y x ?=-?

?=-??

， 解得：1212033

36x x y y ?=?=???=-=???

， 所以M 1（36）；

②若M 在B 下方，设MC 交x 轴于点E ， 则∠OEC ＝45°-15°＝30°， ∴OE ＝OC ?tan60°＝3

设EC 为y ＝kx ﹣3，代入（30）可得：k 3

=

联立两个方程可得：2333133y x y x ?=-????=-??

， 解得：12120332

x x y y ?=?=???=-=-???， 所以M 23，﹣2）．

综上所述M 的坐标为（3，63，﹣2）． 【点睛】

此题是一道二次函数综合题，熟练掌握待定系数法求函数解析式等知识是解题关键．

3．已知，m ，n 是一元二次方程x 2+4x +3=0的两个实数根，且|m |＜|n |，抛物线y =x 2+bx +c 的图象经过点A （m ，0），B （0，n ），如图所示．

（1）求这个抛物线的解析式；

（2）设（1）中的抛物线与x 轴的另一个交点为抛物线的顶点为D ，求出点C ，D 的坐标，并判断△BCD 的形状；

（3）点P 是直线BC 上的一个动点（点P 不与点B 和点C 重合），过点P 作x 轴的垂线，交抛物线于点M ，点Q 在直线BC 上，距离点P 为

2个单位长度，设点P 的横坐标为t ，△PMQ 的面积为S ，求出S 与t 之间的函数关系式．

【答案】（1）2

23y x x =--；（2）C （3，0），D （1，﹣4），△BCD 是直角三角形；

（3）2213

(03)22

13(03)2

2t t t S t t t t ?-+??=??-??＜＜＜或＞

【解析】

试题分析：（1）先解一元二次方程，然后用待定系数法求出抛物线解析式；

（2）先解方程求出抛物线与x 轴的交点，再判断出△BOC 和△BED 都是等腰直角三角形，从而得到结论；

（3）先求出QF=1，再分两种情况，当点P 在点M 上方和下方，分别计算即可． 试题解析：解（1）∵2+430x x +=，∴11x =-，23x =-，∵m ，n 是一元二次方程

2+430x x +=的两个实数根，且|m|＜|n|，∴m=﹣1，n=﹣3，∵抛物线2

23

y x x =--的图象经过点A （m ，0），B （0，n ），∴10{

3b c c -+==-，∴2

{3

b c =-=-，∴抛物线解析式为

223y x x =--；

（2）令y=0，则2230x x --=，∴11x =-，23x =，∴C （3，0），

∵223y x x =--=2(1)4x --，∴顶点坐标D （1，﹣4），过点D 作DE ⊥y 轴，∵OB=OC=3，∴BE=DE=1，∴△BOC 和△BED 都是等腰直角三角形，∴∠OBC=∠DBE=45°，∴∠CBD=90°，∴△BCD 是直角三角形；

（3）如图，∵B （0，﹣3），C （3，0），∴直线BC 解析式为y=x ﹣3，∵点P 的横坐标为t ，PM ⊥x 轴，∴点M 的横坐标为t ，∵点P 在直线BC 上，点M 在抛物线上，∴P （t ，t ﹣3），M （t ，223t t --），过点Q 作QF ⊥PM ，∴△PQF 是等腰直角三角形，∵2，∴QF=1．

①当点P在点M上方时，即0＜t＜3时，PM=t﹣3﹣（223

t t

--）=23

t t

-+，

∴S=1

2

PM×QF=2

1

(3)

2

t t

-+=2

13

22

t t

-+，②如图3，当点P在点M下方时，即t＜0或t ＞3时，PM=223

t t

--﹣（t﹣3）=23

t t

-，∴S=

1

2

PM×QF=

1

2

（23

t t

-）=2

13

22

t t

-．综上所述，S=

2

2

13

(03)

22

{

13

(03)

22

t t

t

t t t t

或

-+<<

-

．

考点：二次函数综合题；分类讨论．

4．如图，过()

A1,0、()

B3,0作x轴的垂线，分别交直线y4x

=-于C、D两点.抛物线2

y ax bx c

=++经过O、C、D三点．

()1求抛物线的表达式；

()2点M为直线OD上的一个动点，过M作x轴的垂线交抛物线于点N，问是否存在这样的点M，使得以A、C、M、N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求此时点M的横坐标；若不存在，请说明理由；

()3若AOC沿CD方向平移(点C在线段CD上，且不与点D重合)，在平移的过程中AOC与OBD重叠部分的面积记为S，试求S的最大值．

【答案】（1）2413y x x 33=-+；（2）32

或32+

或32

-；（3）13． 【解析】 【分析】

（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式；

（2）由题意，可知MN ∥AC ，因为以A 、C 、M 、N 为顶点的四边形为平行四边形，则有MN =AC =3．设点M 的横坐标为x ，则求出MN =|43x 2﹣4x |；解方程|4

3

x 2﹣4x |=3，求出x 的值，即点M 横坐标的值；

（3）设水平方向的平移距离为t （0≤t ＜2），利用平移性质求出S 的表达式：S 1

6

=-（t ﹣1）213+；当t =1时，s 有最大值为13

． 【详解】

（1）由题意，可得C （1，3），D （3，1）．

∵抛物线过原点，∴设抛物线的解析式为：y =ax 2

+bx ，∴3931a b a b +=??+=?，解得43133a b ?=-????=??

，

∴抛物线的表达式为：y 43=-x 213

3

+x ． （2）存在．

设直线OD 解析式为y =kx ，将D （3，1）代入，求得k 13=，∴直线OD 解析式为y 1

3

=x ． 设点M 的横坐标为x ，则M （x ，13x ），N （x ，43-x 2133+x ），∴MN =|y M ﹣y N |=|1

3

x ﹣（43-

x 2133+x ）|=|4

3

x 2﹣4x |． 由题意，可知MN ∥AC ，因为以A 、C 、M 、N 为顶点的四边形为平行四边形，则有MN =AC =3，∴|43

x 2

﹣4x |=3． 若43x 2﹣4x =3，整理得：4x 2﹣12x ﹣9=0，解得：

x =或

x = 若

43x 2﹣4x =﹣3，整理得：4x 2﹣12x +9=0，解得：x 3

2

=，∴存在满足条件的点M ，点M 的横坐标为：

32

． （3）∵C （1，3），D （3，1），∴易得直线OC 的解析式为y =3x ，直线OD 的解析式为

y 13

=

x ． 如解答图所示，设平移中的三角形为△A 'O 'C '，点C '在线段CD 上． 设O 'C '与x 轴交于点E ，与直线OD 交于点P ； 设A 'C '与x 轴交于点F ，与直线OD 交于点Q ．

设水平方向的平移距离为t （0≤t ＜2），则图中AF =t ，F （1+t ，0），Q （1+t ，11

33

+t ），C '（1+t ，3﹣t ）．

设直线O 'C '的解析式为y =3x +b ，将C '（1+t ，3﹣t ）代入得：b =﹣4t ，∴直线O 'C '的解析式为y =3x ﹣4t ，∴E （4

3

t ，0）． 联立y =3x ﹣4t 与y 13=

x ，解得：x 32=t ，∴P （32t ，1

2

t ）． 过点P 作PG ⊥x 轴于点G ，则PG 12=

t ，∴S =S △OFQ ﹣S △OEP 12=OF ?FQ 1

2

-OE ?PG 12=

（1+t ）（1133+t ）12-?43t ?1

2

t 16=-（t ﹣1）213

+

当t =1时，S 有最大值为

13，∴S 的最大值为1

3

．

【点睛】

本题是二次函数压轴题，综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、函数图象上点的坐标特征、平行四边形、平移变换、图形面积计算等知识点，有一定的难度．第（2）问中，解题的关键是根据平行四边形定义，得到MN =AC =3，由此列出方程求解；第（3）问中，解题的关键是求出S 的表达式，注意图形面积的计算方法．

5．如图①，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y=ax 2+bx+3经过点A(-1，0) 、B(3，0) 两点，且与y 轴交于点C

.

（1）求抛物线的表达式；

（2）如图②，用宽为4个单位长度的直尺垂直于x 轴，并沿x 轴左右平移，直尺的左右两边所在的直线与抛物线相交于P 、 Q 两点（点P 在点Q 的左侧），连接PQ ，在线段PQ 上方抛物线上有一动点D ，连接DP 、DQ. ①若点P 的横坐标为1

2

-

，求△DPQ 面积的最大值，并求此时点D 的坐标； ②直尺在平移过程中，△DPQ 面积是否有最大值？若有，求出面积的最大值；若没有，请说明理由.

【答案】（1）抛物线y=-x 2+2x+3；（2）①点D （ 31524

，）；②△PQD 面积的最大值为8 【解析】

分析：（1）根据点A 、B 的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的表达式；

（2）（I ）由点P 的横坐标可得出点P 、Q 的坐标，利用待定系数法可求出直线PQ 的表达式，过点D 作DE ∥y 轴交直线PQ 于点E ，设点D 的坐标为（x ，-x 2+2x+3），则点E 的坐标为（x ，-x+5

4

），进而即可得出DE 的长度，利用三角形的面积公式可得出S △DPQ =-2x 2+6x+

7

2

，再利用二次函数的性质即可解决最值问题； （II ）假设存在，设点P 的横坐标为t ，则点Q 的横坐标为4+t ，进而可得出点P 、Q 的坐标，利用待定系数法可求出直线PQ 的表达式，设点D 的坐标为（x ，-x 2+2x+3），则点E 的坐标为（x ，-2（t+1）x+t 2+4t+3），进而即可得出DE 的长度，利用三角形的面积公式可得出S △DPQ =-2x 2+4（t+2）x-2t 2-8t ，再利用二次函数的性质即可解决最值问题． 详解：（1）将A （-1，0）、B （3，0）代入y=ax 2+bx+3，得：

309330a b a b -+??

++?＝＝，解得：1

2a b -???

＝＝， ∴抛物线的表达式为y=-x 2+2x+3． （2）（I ）当点P 的横坐标为-12

时，点Q 的横坐标为7

2，

∴此时点P 的坐标为（-

12，74

），点Q 的坐标为（72，-9

4）．

设直线PQ 的表达式为y=mx+n ，

将P（-1

2

，

7

4

）、

Q（

7

2

，-

9

4

）代入y=mx+n，得：

17

24

79

24

m n

m n

?

-+

??

?

?+-

??

＝

＝

，解得：

1

5

4

m

n

-

?

?

?

??

＝

＝

，

∴直线PQ的表达式为y=-x+5

4

．

如图②，过点D作DE∥y轴交直线PQ于点E，

设点D的坐标为（x，-x2+2x+3），则点E的坐标为（x，-x+

5

4

），

∴DE=-x2+2x+3-（-x+5

4

）=-x2+3x+

7

4

，

∴S△DPQ=

1

2

DE?（x Q-x P）=-2x2+6x+

7

2

=-2（x-

3

2

）2+8．

∵-2＜0，

∴当x=3

2

时，△DPQ的面积取最大值，最大值为8，此时点D的坐标为（

3

2

，

15

4

）．（II）假设存在，设点P的横坐标为t，则点Q的横坐标为4+t，

∴点P的坐标为（t，-t2+2t+3），点Q的坐标为（4+t，-（4+t）2+2（4+t）+3），

利用待定系数法易知，直线PQ的表达式为y=-2（t+1）x+t2+4t+3．

设点D的坐标为（x，-x2+2x+3），则点E的坐标为（x，-2（t+1）x+t2+4t+3），

∴DE=-x2+2x+3-[-2（t+1）x+t2+4t+3]=-x2+2（t+2）x-t2-4t，

∴S△DPQ=

1

2

DE?（x Q-x P）=-2x2+4（t+2）x-2t2-8t=-2[x-（t+2）]2+8．

∵-2＜0，

∴当x=t+2时，△DPQ的面积取最大值，最大值为8．

∴假设成立，即直尺在平移过程中，△DPQ面积有最大值，面积的最大值为8．

点睛：本题考查了待定系数法求二次（一次）函数解析式、二次（一次）函数图象上点的坐标特征、三角形的面积以及二次函数的最值，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数表达式；（2）（I）利用三角形的面积公式找出S△DPQ=-

2x2+6x+7

2

；（II）利用三角形的面积公式找出S△DPQ=-2x2+4（t+2）x-2t2-8t．

6．某商场购进一批单价为4元的日用品．若按每件5元的价格销售，每月能卖出3万件；若按每件6元的价格销售，每月能卖出2万件，假定每月销售件数y（件）与价格x （元/件）之间满足一次函数关系．

（1）试求y与x之间的函数关系式；

（2）当销售价格定为多少时，才能使每月的利润最大？每月的最大利润是多少？

【答案】（1）y10000x80000

=-+（2）当销售价格定为6元时，每月的利润最大，每月的最大利润为40000元

【解析】解：（1）由题意，可设y=kx+b，

把（5，30000），（6，20000）代入得：

5k b30000

6k b20000

+=

?

?

+=

?

，解得：

k10000

b80000

=-

?

?

=

?

。

∴y与x之间的关系式为：y10000x80000

=-+。

（2）设利润为W，则

()()()()2

2

W x410000x8000010000x12x3210000x640000 =--+=--+=--+，

∴当x=6时，W取得最大值，最大值为40000元。

答：当销售价格定为6元时，每月的利润最大，每月的最大利润为40000元。

（1）利用待定系数法求得y与x之间的一次函数关系式。

（2）根据“利润=（售价﹣成本）×售出件数”，可得利润W与销售价格x之间的二次函数关系式，然后求出其最大值。

7．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于A（﹣1，0）B（3，0）两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点．

（1）求抛物线的解析式和直线AC的解析式；

（2）请在y轴上找一点M，使△BDM的周长最小，求出点M的坐标；

（3）试探究：在拋物线上是否存在点P，使以点A，P，C为顶点，AC为直角边的三角形是直角三角形？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；直线AC的解析式为y=3x+3；（2）点M的坐标为（0，3）；

（3）符合条件的点P的坐标为（7

3

，

20

9

）或（

10

3

，﹣

13

9

），

【解析】

分析：（1）设交点式y=a（x+1）（x-3），展开得到-2a=2，然后求出a即可得到抛物线解析式；再确定C（0，3），然后利用待定系数法求直线AC的解析式；

（2）利用二次函数的性质确定D的坐标为（1，4），作B点关于y轴的对称点B′，连接DB′交y轴于M，如图1，则B′（-3，0），利用两点之间线段最短可判断此时MB+MD的值最小，则此时△BDM的周长最小，然后求出直线DB′的解析式即可得到点M的坐标；（3）过点C作AC的垂线交抛物线于另一点P，如图2，利用两直线垂直一次项系数互为负倒数设直线PC的解析式为y=-

1

3

x+b，把C点坐标代入求出b得到直线PC的解析式为

y=-

1

3

x+3，再解方程组

223

1

3

3

y x x

y x

?-++

?

?

-+

??

＝

＝

得此时P点坐标；当过点A作AC的垂线交抛物

线于另一点P时，利用同样的方法可求出此时P点坐标．

详解：（1）设抛物线解析式为y=a（x+1）（x﹣3），

即y=ax2﹣2ax﹣3a，

∴﹣2a=2，解得a=﹣1，

∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；

当x=0时，y=﹣x2+2x+3=3，则C（0，3），

设直线AC的解析式为y=px+q，

把A（﹣1，0），C（0，3）代入得

3

p q

q

-+=

?

?

=

?

，解得

3

3

p

q

=

?

?

=

?

，

∴直线AC的解析式为y=3x+3；

（2）∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，

∴顶点D的坐标为（1，4），

作B点关于y轴的对称点B′，连接DB′交y轴于M，如图1，则B′（﹣3，0），

∵MB=MB′，

∴MB+MD=MB′+MD=DB′，此时MB+MD的值最小，

而BD的值不变，

∴此时△BDM的周长最小，

易得直线DB′的解析式为y=x+3，

当x=0时，y=x+3=3，

∴点M的坐标为（0，3）；

（3）存在．

过点C作AC的垂线交抛物线于另一点P，如图2，

∵直线AC的解析式为y=3x+3，

∴直线PC的解析式可设为y=﹣1

3

x+b，

把C（0，3）代入得b=3，

∴直线PC的解析式为y=﹣1

3

x+3，

解方程组

223

1

3

3

y x x

y x

?-++

?

?

-+

??

＝

＝

，解得

3

x

y

=

?

?

=

?

或

7

3

20

9

x

y

?

=

??

?

?=

??

，则此时P点坐标为（

7

3

，

20

9

）；

过点A作AC的垂线交抛物线于另一点P，直线PC的解析式可设为y=﹣x+b，

把A（﹣1，0）代入得1

3

+b=0，解得b=﹣

1

3

，

∴直线PC的解析式为y=﹣1

3x﹣

1

3

，

解方程组

223

11

33

y x x

y x

?-++

?

?

--

??

＝

＝

，解得

1

x

y

=-

?

?

=

?

或

10

3

13

9

x

y

?

=

??

?

?=-

??

，则此时P点坐标为（

10

3

，﹣

13

9

）.

综上所述，符合条件的点P的坐标为（7

3

，

20

9

）或（

10

3

，﹣

13

9

）.

点睛：本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会利用待定系数法求函数解析式，理解两直线垂直时一次项系数的关系，通过解方程组求把两函数的交点坐标；理解坐标与图形性质，会运用两点之间线段最短解决最短路径问题；会运用分类讨论的思想解决数学问题．

8．如图①，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y=ax 2+bx+3经过点A(-1，0) 、B(3，0) 两点，且与y 轴交于点C

.

（1）求抛物线的表达式；

（2）如图②，用宽为4个单位长度的直尺垂直于x 轴，并沿x 轴左右平移，直尺的左右两边所在的直线与抛物线相交于P 、 Q 两点（点P 在点Q 的左侧），连接PQ ，在线段PQ 上方抛物线上有一动点D ，连接DP 、DQ. ①若点P 的横坐标为1

2

-

，求△DPQ 面积的最大值，并求此时点D 的坐标； ②直尺在平移过程中，△DPQ 面积是否有最大值？若有，求出面积的最大值；若没有，请说明理由.

【答案】（1）抛物线y=-x 2+2x+3；（2）①点D （ 31524

，）；②△PQD 面积的最大值为8 【解析】

分析：（1）根据点A 、B 的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的表达式；

（2）（I ）由点P 的横坐标可得出点P 、Q 的坐标，利用待定系数法可求出直线PQ 的表达式，过点D 作DE ∥y 轴交直线PQ 于点E ，设点D 的坐标为（x ，-x 2+2x+3），则点E 的坐标为（x ，-x+5

4

），进而即可得出DE 的长度，利用三角形的面积公式可得出S △DPQ =-2x 2+6x+

7

2

，再利用二次函数的性质即可解决最值问题； （II ）假设存在，设点P 的横坐标为t ，则点Q 的横坐标为4+t ，进而可得出点P 、Q 的坐标，利用待定系数法可求出直线PQ 的表达式，设点D 的坐标为（x ，-x 2+2x+3），则点E 的坐标为（x ，-2（t+1）x+t 2+4t+3），进而即可得出DE 的长度，利用三角形的面积公式可得出S △DPQ =-2x 2+4（t+2）x-2t 2-8t ，再利用二次函数的性质即可解决最值问题． 详解：（1）将A （-1，0）、B （3，0）代入y=ax 2+bx+3，得：

309330a b a b -+??

++?＝＝，解得：1

2a b -???

＝＝， ∴抛物线的表达式为y=-x 2+2x+3． （2）（I ）当点P 的横坐标为-

12

时，点Q 的横坐标为7

2，

∴此时点P的坐标为（-1

2

，

7

4

），点Q的坐标为（

7

2

，-

9

4

）．

设直线PQ的表达式为y=mx+n，

将P（-

1

2

，

7

4

）、Q（

7

2

，-

9

4

）代入y=mx+n，得：

17

24

79

24

m n

m n

?

-+

??

?

?+-

??

＝

＝

，解得：

1

5

4

m

n

-

?

?

?

??

＝

＝

，

∴直线PQ的表达式为y=-x+5

4

．

如图②，过点D作DE∥y轴交直线PQ于点E，

设点D的坐标为（x，-x2+2x+3），则点E的坐标为（x，-x+

5

4

），

∴DE=-x2+2x+3-（-x+5

4

）=-x2+3x+

7

4

，

∴S△DPQ=

1

2

DE?（x Q-x P）=-2x2+6x+

7

2

=-2（x-

3

2

）2+8．

∵-2＜0，

∴当x=3

2

时，△DPQ的面积取最大值，最大值为8，此时点D的坐标为（

3

2

，

15

4

）．（II）假设存在，设点P的横坐标为t，则点Q的横坐标为4+t，

∴点P的坐标为（t，-t2+2t+3），点Q的坐标为（4+t，-（4+t）2+2（4+t）+3），

利用待定系数法易知，直线PQ的表达式为y=-2（t+1）x+t2+4t+3．

设点D的坐标为（x，-x2+2x+3），则点E的坐标为（x，-2（t+1）x+t2+4t+3），

∴DE=-x2+2x+3-[-2（t+1）x+t2+4t+3]=-x2+2（t+2）x-t2-4t，

∴S△DPQ=

1

2

DE?（x Q-x P）=-2x2+4（t+2）x-2t2-8t=-2[x-（t+2）]2+8．

∵-2＜0，

∴当x=t+2时，△DPQ的面积取最大值，最大值为8．

∴假设成立，即直尺在平移过程中，△DPQ面积有最大值，面积的最大值为8．

点睛：本题考查了待定系数法求二次（一次）函数解析式、二次（一次）函数图象上点的坐标特征、三角形的面积以及二次函数的最值，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数表达式；（2）（I ）利用三角形的面积公式找出S △DPQ =-2x 2+6x+

7

2

；（II ）利用三角形的面积公式找出S △DPQ =-2x 2+4（t+2）x-2t 2-8t ．

9．已知矩形ABCD 中，AB =5cm ，点P 为对角线AC 上的一点，且AP =25cm .如图①，动点M 从点A 出发，在矩形边上沿着A B C →→的方向匀速运动(不包含点C ).设动点M 的运动时间为t (s )，APM ?的面积为S (cm 2)，S 与t 的函数关系如图②所示： (1)直接写出动点M 的运动速度为 /cm s ，BC 的长度为 cm ;

(2)如图③，动点M 重新从点A 出发，在矩形边上，按原来的速度和方向匀速运动.同时，另一个动点N 从点D 出发，在矩形边上沿着D C B →→的方向匀速运动，设动点N 的运动速度为()/v cm s .已知两动点M 、N 经过时间()x s 在线段BC 上相遇(不包含点C )，动点M 、N 相遇后立即停止运动，记此时APM DPN ??与的面积为()()

2212,S cm S cm . ①求动点N 运动速度()/v cm s 的取值范围;

②试探究12S S ?是否存在最大值.若存在，求出12S S ?的最大值并确定运动速度时间x 的值；若不存在，请说明理由.

【答案】(1)2，10；(2)①2/6/3cm s v cm s ≤＜；②当154x =时，12S S ?取最大值

225

4

. 【解析】 【分析】

（1）由题意可知图像中0~2.5s 时，M 在AB 上运动，求出速度，2.5~7.5s 时，M 在BC 上运动，求出BC 长度；（2）①分别求出在C 点相遇和在B 点相遇时的速度，取中间速度，注意C 点相遇时的速度不能取等于；②过M 点做MH ⊥AC ，则

125

MH CM == 得到S 1，同时利用12()PAD CDM ABM N ABCD S S S S S S ???+=---（N ）矩形=15，得到S 2，再得到12S S ?关于x 的二次函数，利用二次函数性质求得最大值 【详解】

(1)5÷2.5=2/cm s ；（7.5-2.5）×2=10cm

(2)①解：在C 点相遇得到方程5

7.5v

= 在B

点相遇得到方程

15

2.5v

= ∴5

=7.515=2.5v

v

???????

解得 23=5

v v ?=

????

∵在边BC 上相遇，且不包含C 点 ∴

2

/6/3

cm s v cm s ≤＜ ②如下图12()PAD CDM ABM N ABCD S S S S S S ???+=---（N ）矩形 ()

()

515252575102

2

x x ?-?-=---

=15

过M 点做MH ⊥AC ，则125

MH CM ==

∴11

2152

S MH AP x =

?=-+ ∴22S x =

()122152S S x x ?=-+? =2430x x -+ =2

15225444x ?

?--+ ??

?

因为152.57.54＜＜，所以当154x =时，12S S ?取最大值

225

4

.

【点睛】

本题重点考查动点问题，二次函数的应用，求不规则图形的面积等知识点，第一问关键能够从图像中得到信息，第二问第一小问关键在理清楚运动过程，第二小问关键在能够用x 表示出S 1和S 2

10．如图1,抛物线2

112y ax x c =-

+与x 轴交于点A 和点()1,0B ,与y 轴交于点30,4C ?? ???

,抛物线1y 的顶点为,G GM x ⊥轴于点M ．将抛物线1y 平移后得到顶点为B 且对称轴为直

l 的抛物线2y ．

(1)求抛物线2y 的解析式；

(2)如图2,在直线l 上是否存在点T ,使TAC ?是等腰三角形?若存在,请求出所有点T 的坐标:若不存在,请说明理由；

(3)点P 为抛物线1y 上一动点,过点P 作y 轴的平行线交抛物线2y 于点Q ，点Q 关于直线l 的对称点为R ，若以,,P Q R 为顶点的三角形与AMC ?全等,求直线PR 的解析式． 【答案】（1）抛物线2y 的解析式为2111

424

y x x =-

+-；（2）T 点的坐标为13137T +,23137

T -,377(1,)8T -；（3）PR 的解析式为13y x 24=-+或

11

24y x =--.

【解析】

分析：（1）把()1,0B 和30,4C ?? ???代入2

112

y ax x c =-+求出a 、c 的值，进而求出y 1，再根据平移得出y 2即可；

（2）抛物线2y 的对称轴l 为1x =,设()1,T t ,已知()33,0,0,

4A C ?

?

- ??

?

，过点T 作TE y ⊥轴于E ,分三种情况时行讨论等腰三角形的底和腰，得到关于t 的方程，解方程即可； （3）设2113,424P m m m ??-

-+ ???,则2111,424Q m m m ?

?-+- ??

?,根据对称性得21112,424R m m m ?

?--+- ??

?,分点P 在直线的左侧或右侧时,结合以,,P Q R 构成的三角形

与AMG ?全等求解即可.

详解:(1)由题意知，

34

102c a c ?=?

??

?-+=??

， 解得1

4

a =-

， 所以,抛物线y 的解析式为21113424y x x =-

-+； 因为抛物线1y 平移后得到抛物线2y ,且顶点为()1,0B ， 所以抛物线2y 的解析式为()2

2114

y x =--， 即： 22111424

y x x =-

+-； (2)抛物线2y 的对称轴l 为1x =,设()1,T t ,已知(

)33,0,0,4A C ??

- ???

， 过点T 作TE y ⊥轴于E ,

则22221TC TE CE =+=+ 2

233254216t t t ??-=-+ ???

， 222TA TB AB =+= ()2

22

1316t t ++=+，

2153

16

AC =

， 当TC AC =时， 即2

32515321616

t t -

+=， 解得13137t +=

或23137

t -=；

当TC AC =时,得2

153

1616

t +=，无解； 当TC AC =

时,得2

232516216t t t -

+=+,解得3778

t =-; 综上可知,在抛物线2y 的对称轴l 上存在点T 使TAC ?是等腰三角形,此时T 点的坐标为

131371,T ??+ ? ???,231371,T ??- ? ???

,3771,8T ??

- ???. (3)设2113,424P m m m ?

?-

-+ ???,则2111,424Q m m m ?

?-+- ??

?, 因为,Q R 关于1x =对称,

所以21112,424R m m m ??--

+- ???

, 情况一:当点P 在直线的左侧时,

2113424PQ m m =--+- 211

11424m m m ??-+-=- ???,

22QR m =-,

又因为以,,P Q R 构成的三角形与AMG ?全等, 当PQ GM =且QR AM =时,0m =, 可求得30,4P ?

?

???,即点P 与点C 重合 所以12,4R ??-

??

?

, 设PR 的解析式y kx b =+,

则有3,4

12.

4b k b ?=????+=-??

解得1

2

k =-

,

即PR 的解析式为1324

y x =-+, 当PQ AM =且QR GM =时,无解,

情况二:当点P 在直线l 右侧时,

2111424P Q m m '=-+-'- 211

31424m m m ??--+=- ???, 22Q R m ='-',

同理可得512,,0,44P R ?

???

-

- ? ????'?

' P R ''的解析式为11

24

y x =--,

综上所述, PR 的解析式为1324y x =-

+或11

24

y x =--. 点睛：本题主要考查了二次函数综合题，此题涉及到待定系数法求函数解析式、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的性质等知识，解答（1）问的关键是求出a 、c 的值，解答（2）、（3）问的关键是正确地作出图形，进行分类讨论解答，此题有一定的难度．