专题13 概率-2019年高考理科数学易错题训练

专题13 概率

1．（我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30723=+．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是

A ．1

12 B ．

114 C ．1

15

D ．118

【答案】C

【名师点睛】先确定不超过30的素数，再确定两个不同的数的和等于30的取法，最后根据古典概型概率公式求概率.古典概型中基本事件数的探求方法： (1)列举法.

(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.

(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化. (4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.

2．若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为 A ．0.3 B ．0.4 C ．0.6

D ．0.7

【答案】B

【解析】设事件A 为只用现金支付，事件B 为只用非现金支付，事件C 为既用现金支付也用非现金支付. 则()()()()P A B C P A P B P C =++.因为()()0.45,0.15P A P C ==，所以()0.4P B =.

故选B.

【名师点睛】本题主要考查事件的基本关系和概率的计算，属于基础题.由公式

()()()()

P A B C P A P B P C

=++计算可得.

3．从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女同学的概率为A．0.6B．0.5

C．0.4D．0.3

【答案】D

【名师点睛】分别求出事件“2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务”的总可能个数及事件“选中的2人都是女同学”的总可能个数，代入概率公式可求得概率.应用古典概型求某事件的步骤：第一步，判断本试验的结果是否为等可能事件，设出事件A；

第二步，分别求出基本事件的总数n与所求事件A中所包含的基本事件个数m；

第三步，利用公式()m

P A

n

=求出事件A的概率.

4．“上医医国”出自《国语?晋语八》，比喻高贤能治理好国家．现把这四个字分别写在四张卡片上，其中“上”字已经排好，某幼童把剩余的三张卡片进行排列，则该幼童能将这句话排列正确的概率是

A．1

3

B．

1

6

C．1

4

D．

1

12

【答案】A

【解析】幼童把这三张卡片进行随机排列，基本事件总数n=2

3

C=3，

∴该幼童能将这句话排列正确的概率p=1

3

．

故选A.

【名师点睛】先排好医字，共有2

3

C种排法，再排国字，只有一种方法.有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数.

（1）基本事件总数较少时，用列举法把所有基本事件一一列出时，要做到不重复、不遗漏，可借助“树状图”列举；

（2）注意区分排列与组合，以及计数原理的正确使用．

5．已知随机变量X服从正态分布N(3,δ2),且P(x≤6)=0.9,则P(0＜x＜3)=

A．0.4 B．0.5

C．0.6 D．0.7

【答案】A

6．已知某运动员每次投篮命中的概率是40％．现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定l，2，3，4表示命中，5,6,7,8,9,0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果．经随机模拟产生了如下10组随机数：

907 966 191 925 271 431 932 458 569 683

该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为

A．1

5

B．

3

5

C．

3

10

D．

9

10

【答案】C

【解析】由题意知模拟三次投篮的结果，经随机模拟产生了10组随机数，在10组随机数中表示三次投

篮恰有两次命中的有：191、932、271，共3组随机数，故所求概率为

3 10

.

故答案为C.

【名师点睛】本题考查模拟方法估计概率，是一个基础题，解这种题目的主要依据是等可能事件的概率，注意列举法在本题的应用．由题意知模拟三次投篮的结果，经随机模拟产生了10组随机数，在10组随机数中表示三次投篮恰有两次命中的可以通过列举得到共3组随机数，根据概率公式，得到结果．7．传说战国时期,齐王与田忌各有上等,中等,下等三匹马,且同等级的马中,齐王的马比田忌的马强,但田忌的上、中等马分别比齐王的中、下等马强.有一天,齐王要与田忌赛马,双方约定:比赛三局,每局各出一匹马,每匹马赛一次,赢得两局者为胜.如果齐王将马按上,中,下等马的顺序出阵,而田忌的马随机出阵比赛,则田忌获胜的概率是

A ．

B ．

C ．

D ．

【答案】

C

8．有一底面半径为1，高为2的圆柱，点O为圆柱下底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P，则点P 到点O的距离大于l的概率为

A．1

3

B．

2

3

C．3

4

D．

1

4

【答案】B

【解析】设点P到点O的距离小于等于1的概率为P1，由几何概型，得P1＝

3

2

2π

1

3

π12

V

V

?

??

半球

圆柱

＝＝

1

3

，故

点P到点O的距离大于1的概率P＝1－1

3

＝

2

3

.

故选B.

9．有三箱粉笔，每箱中有100盒，其中有一盒是次品，从这三箱粉笔中各抽出一盒，则这三盒中至少有一盒是次品的概率是

A．0.01×0.992B．0.012×0.99

C．1

3

C0.01×0.992D．1－0.993

【答案】

D

【名师点睛】本题主要考查了互斥事件概率的求法，解题的关键是熟练掌握互斥事件的概率和为1，属于基础题.根据题意求出事件“三盒中没有次品”的概率，然后根据互斥事件的概率和为1，即可得到答案.

10．运行如图所示的程序框图,设输出数据构成的集合为,从集合中任取一个元素,则函数

是增函数的概率为

A．B．

C．D．

【答案】C

【解析】该程序的运行过程如下:x=-3,输出,输出,输出,输出

,输出,输出,输出y=15,程序结束,故A={3,0,-1,8,15},其中有3个正元

素,可使得函数是增函数,故所求概率为.

故选C.

11．设函数f(x)=

e,01

ln e,1e

x x

x x

?≤<

?

+≤≤

?

在区间[0，e]上随机取一个实数x，则f(x)的值不小于常数e的概率是

A．1

e

B．1﹣

1

e

C．

e

1e

+

D．

1

1e

+

【答案】B

12．（2018新课标I卷理）下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB，AC．△ABC的三边所围成的区域记为I，黑色部分记为II，其余部分记为III．在整个图形中随机取一点，此点取自I，II，III的概率分别记为

p 1，p 2，p 3，则

A ．p 1=p 2

B ．p 1=p 3

C ．p 2=p 3

D ．p 1=p 2+p 3

【答案】A

【解析】设,,AC b AB c BC a ===，则有222b c a +=，从而可以求得ABC △的面积为11

2

S bc =

， 黑色部分的面积为222

21πππ2222c b a S bc ??

??????=?+?-?-?? ? ? ?????????

??2221π4442c b a bc ??=+-+ ??? 22211π422

c b a bc bc +-=?+=，

其余部分的面积为2

231

π1π2242a a S bc bc ??=?-=- ???

，所以有12S S =，

根据面积型几何概型的概率公式，可以得到12p p =. 故选A.

【名师点睛】该题考查的是面积型几何概型的有关问题，题中需要解决的是概率的大小，根据面积型几何概型的概率公式，将比较概率的大小问题转化为比较区域的面积的大小，利用相关图形的面积公式求得结果.首先设出直角三角形三条边的长度，根据其为直角三角形，从而得到三边的关系，之后应用相应的面积公式求得各个区域的面积，根据其数值大小，确定其关系，再利用面积型几何概型的概率公式确定出p 1，p 2，p 3的关系，从而求得结果.

13．（2018年江苏卷）某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为________． 【答案】

3

10

【名师点睛】先确定总基本事件数，再从中确定满足条件的基本事件数，最后根据古典概型概率公式求概率.古典概型中基本事件数的探求方法：

(1)列举法.

(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.

(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化. (4)排列组合法（理科）：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.

14．（2018上海卷）有编号互不相同的五个砝码，其中5克、3克、1克砝码各一个，2克砝码两个，从中随机选取三个，则这三个砝码的总质量为9克的概率是_____． 【答案】

1

5

【解析】编号互不相同的五个砝码，其中5克、3克、1克砝码各一个，2克砝码两个， 从中随机选取三个，3个数中含有1个2；2个2，没有2，3种情况， 所有的事件总数为：35C =10，

这三个砝码的总质量为9克的事件只有：5，3，1或5，2，2，共两个， 所以这三个砝码的总质量为9克的概率是：210=1

5

， 故答案为：

15

． 【名师点睛】求出所有事件的总数，求出三个砝码的总质量为9克的事件总数，然后求解概率即可．有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数.

（1）基本事件总数较少时，用列举法把所有基本事件一一列出时，要做到不重复、不遗漏，可借助“树状图”列举；

（2）注意区分排列与组合，以及计数原理的正确使用．

15．已知向量()()2,1,,x y ==，a b 若{}{}1,0,1,2,1,0,1x y ∈-∈-，则向量∥a b 的概率为_______. 【答案】

1

6

【名师点睛】本题考查了古典概型概率计算公式，掌握古典概型概率公式：概率=所求情况数与总情况数