新高考数学第一次模拟试卷带答案

新高考数学第一次模拟试卷带答案

一、选择题

1．已知变量x 与y 正相关，且由观测数据算得样本平均数3x =， 3.5y =，则由该观测

的数据算得的线性回归方程可能是( ) A ．0.4 2.3y x =+ B ．2 2.4y x =- C ．29.5y x =-+

D ．0.3 4.4y x =-+

2．如图所示的组合体，其结构特征是（ ）

A ．由两个圆锥组合成的

B ．由两个圆柱组合成的

C ．由一个棱锥和一个棱柱组合成的

D ．由一个圆锥和一个圆柱组合成的

3．2

5

3

2()x x -展开式中的常数项为（ ） A ．80 B ．-80 C ．40 D ．-40 4．设是虚数单位，则复数(1)(12)i i -+=（ ）

A ．3+3i

B ．-1+3i

C ．3+i

D ．-1+i

5．如图是某高三学生进入高中三年来的数学考试成绩茎叶图，第1次到第14次的考试成

绩依次记为1214,,

A A A ，下图是统计茎叶图中成绩在一定范围内考试次数的一个算法流

程图，那么算法流程图输出的结果是（ ）

A ．7

B ．8

C ．9

D ．10

6．函数3

2

()31f x x x =-+的单调减区间为 A ．(2,)+∞

B ．(,2)-∞

C ．(,0)-∞

D ．(0,2)

7．不等式2x 2-5x -3≥0成立的一个必要不充分条件是（ ） A ．1x <-或4x >

B ．0x 或2x -

C ．0x <或2x >

D ．1

2

x -

或3x 8．设A （3，3，1），B （1，0，5），C （0，1，0），AB 的中点M ，则CM = A

B ．

532

C

D

9．若0,0a b >>，则“4a b +≤”是 “4ab ≤”的（ ）

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充分必要条件

D ．既不充分也不必要条件

10．样本12310,?

,?,? a a a a ???的平均数为a ，样本12310,?,?,? b b b b ???的平均数为b ，那么样本1122331010,? ,,? ,?,,?,? a b a b a b a b ???的平均数为（ ）

A ．()a b +

B ．2()a b +

C ．

1

()2

a b + D ．

1

()10

a b + 11．已知非零向量AB 与AC 满足

0AB AC BC AB AC ?? ?+?= ?

??

且1

2AB AC AB AC ?=，则ABC 的形状是（ ） A ．三边均不相等的三角形 B ．等腰直角三角形 C ．等边三角形

D ．以上均有可能

12．已知a R ∈，则“0a =”是“2

()f x x ax =+是偶函数”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件

D ．既不充分也不必要条件

二、填空题

13．若函数3211()232f x x x ax =-++ 在2,3??

+∞????

上存在单调增区间，则实数a 的取值

范围是_______.

14．一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的S 的值为________．

15．已知点()0,1A ，抛物线()2

:0C y ax a =>的焦点为F ，连接FA ，与抛物线C 相交

于点M ，延长FA ，与抛物线C 的准线相交于点N ，若:1:3FM MN =，则实数a 的值为__________．

16．等边三角形ABC 与正方形ABDE 有一公共边AB ，二面角C AB D --的余弦值为

3

M N ，分别是AC BC ，的中点，则EM AN ，所成角的余弦值等于 ． 17．从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有_____________种．（用数字填写答案）

18．已知正三棱锥P ABC -的底面边长为3，外接球的表面积为16π，则正三棱锥

P ABC -的体积为________.

19．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos 1cos2cos 1cos2b C C

c B B

+=+，C 是锐角，且27a =1

cos 3

A =

，则ABC △的面积为______． 20．三个数成等差数列，其比为3:4:5，又最小数加上1后，三个数成等比数列，那么原三个数是

三、解答题

21．在平面直角坐标系中，直线l 的参数方程为cos sin x t y t α

α=??=?

（t 为参数，0≤α<π）．以坐

标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为

244cos 2sin ρρθρθ-=-．

(Ⅰ)写出曲线C 的直角坐标方程；

(Ⅱ)若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，且AB 的长度为5l 的普通方程． 22．已知数列{}n a 满足1112,22n n n a a a ++==+. （1）设2n

n n

a b =

，求数列{}n b 的通项公式； （2）求数列{}n a 的前n 项和n S ；

（3）记

()

()

2

1

1422n

n

n n n n

n c a a +-++=

，求数列{}n c 的前n 项和n T .

23．如图，四面体ABCD 中，O 、E 分别是BD 、BC 的中点，2AB AD ==，

2CA CB CD BD ====. （1）求证：AO ⊥平面BCD ；

（2）求异面直线AB 与CD 所成角的余弦值； （3）求点E 到平面ACD 的距离．

24．四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，3

BAD π∠=，PAD ?是等边

三角形，F 为AD 的中点，PD BF ⊥.

（1）求证：AD PB ⊥； （2）若E 在线段BC 上，且1

4

EC BC =

，能否在棱PC 上找到一点G ，使平面DEG ⊥平面ABCD ？若存在，求四面体D CEG -的体积. 25．商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量(单位：千克)与销售价格(单

位：元/千克)满足关系式

，其中

，为常数，已知销售价

格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克． (1) 求的值；

(2) 若商品的成品为3元/千克, 试确定销售价格的值,使商场每日销售该商品所获得的利润最大

26．如图,四棱锥P ABCD -中，//AB DC ，2

ADC π

∠=，1

22

AB AD CD ==

=，6PD PB ==，PD BC ⊥．

（1）求证：平面PBD ⊥平面PBC ；

（2）在线段PC 上是否存在点M ，使得平面ABM 与平面PBD 所成锐二面角为3

π

？若存在，求

CM

CP

的值；若不存在，说明理由．

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、选择题 1．A 解析：A 【解析】

试题分析：因为与正相关，排除选项C 、D ，又因为线性回归方程恒过样本点的中心

，故排除选项B ；故选A ．

考点：线性回归直线.

2．D

解析：D 【解析】 【分析】

根据圆柱与圆锥的结构特征，即可判定，得到答案. 【详解】

根据空间几何体的结构特征，可得该组合体上面是圆锥，下接一个同底的圆柱，故选D. 【点睛】

本题主要考查了空间几何体的结构特征，其中解答熟记圆柱与圆锥的结构特征是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.

3．C

解析：C 【解析】 【分析】

先求出展开式的通项，然后求出常数项的值 【详解】

2532()x x -

展开式的通项公式为:53

251()2()r r

r r T C x x

-+-=，化简得10515(2)r r r r T C x -+=-，令1050r -=，即2r ，故展开式中的常数项为252

30(42)T C ==-.

故选：C. 【点睛】

本题主要考查二项式定理、二项展开式的应用，熟练运用公式来解题是关键.

4．C

解析：C 【解析】

因为2

(1)(12)1223i i i i i i -+=+--=+，故选 C. 考点：本题主要考查复数的乘法运算公式.

5．C

解析：C 【解析】 【分析】

根据流程图可知该算法表示统计14次考试成绩中大于等于90的人数，结合茎叶图可得答案． 【详解】

根据流程图所示的顺序，可知该程序的作用是累计14次考试成绩超过90分的次数．根据茎叶图可得超过90分的次数为9. 故选：C ． 【点睛】

本题主要考查了循环结构，以及茎叶图的认识，解题的关键是弄清算法流程图的含义，属于基础题．

6．D

解析：D 【解析】 【分析】

对函数求导，让函数的导函数小于零，解不等式，即可得到原函数的单调减区间. 【详解】

32'2()31()363(2)002f x x x f x x x x x x -=-

减区间为(0,2)，故本题选D. 【点睛】

本题考查了利用导数求函数的单调减区间问题，正确求出导函数是解题的关键.

7．C

解析：C 【解析】 【分析】

根据题意，解不等式2x 2-5x-3≥0可得x≤-12或x≥3，题目可以转化为找x≤-1

2

或x≥3的必要不充分条件条件，依次分析选项即可得答案． 【详解】

根据题意，解不等式2x 2-5x-3≥0可得x≤-12或x≥3，则2x 2-5x-3≥0?x≤1

2

-或3x ，所以可以转化为找x≤-

1

2

或x≥3的必要不充分条件； 依次选项可得：x 1<-或x 4>是1

2

x ≤-

或x≥3成立的充分不必要条件； x 0≥或x 2≤-是1

2x ≤-或x≥3成立的既不充分也不必要条件

x 0<或x 2>是1

2

x ≤-或x≥3成立的必要不充分条件；

x≤-12或x≥3是1

2x ≤-或x≥3成立的充要条件； 故选C ． 【点睛】

本题考查了充分必要条件，涉及一元二次不等式的解答，关键是正确解不等式2x 2-5x-3≥0．

8．C

解析：C 【解析】

试题分析：先求得M （2,32，3）点坐标，利用两点间距离公式计算得CM =，故选C ．

考点：本题主要考查空间直角坐标系的概念及空间两点间距离公式的应用． 点评：简单题，应用公式计算．

9．A

解析：A 【解析】 【分析】

本题根据基本不等式，结合选项，判断得出充分性成立，利用“特殊值法”，通过特取

,a b 的值，推出矛盾，确定必要性不成立.题目有一定难度，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查. 【详解】

当0, 0a >b >时，a b +≥，则当4a b +≤时，有4a b ≤+≤，解得

4ab ≤，充分性成立；当=1, =4a b 时，满足4ab ≤，但此时=5>4a+b ，必要性不成

立，综上所述，“4a b +≤”是“4ab ≤”的充分不必要条件.

【点睛】

易出现的错误有，一是基本不等式掌握不熟，导致判断失误；二是不能灵活的应用“赋值法”，通过特取,a b 的值，从假设情况下推出合理结果或矛盾结果.

10．C

解析：C 【解析】 【分析】 【详解】

由题意可知1210121010,10a a a a b b b b ++

+=+++=，所以所求平均数为

()

12101210

121012101

20

20202

a a a

b b b a a a b b b a b ++

++++

+++++++=

+=+

考点：样本平均数

11．C

解析：C 【解析】 【分析】

AB

AB 和AC

AC 分别表示向量AB 和向量AC 方向上的单位向量，0AB AC BC AB AC ??

?+?= ?

??表示A ∠平分线所在的直线与BC 垂直，可知ABC 为等腰三角形，再由1

2

AB AC AB

AC

?

=

可求出A ∠，即得三角形形状。 【详解】

由题的，∵0AB AC BC AB AC ??

?+?= ???

，∴A ∠平分线所在的直线与BC 垂直，∴ABC 为等腰三角形.又12AB AC AB

AC

?

=

，∴1cos 2A =，∴3

A π

=，故ABC 为等边三角形. 故选：C 【点睛】

本题考查向量的几何意义和三角形角平分线的性质，以及求两个向量的夹角，是一道中档难度的综合题。

12．C

解析：C 【解析】

因为()2

f x x ax =+是偶函数，所以22

()()20f x x ax f x x ax ax -=-==+∴=

所以0a =.所以“0a =”是“()2

f x x ax =+是偶函数”的充要条件.故选C.

二、填空题

13．【解析】【分析】【详解】试题分析：当时的最大值为令解得所以a 的取值范围是考点：利用导数判断函数的单调性

解析：1

(,)9

-+∞

【解析】 【分析】 【详解】

试题分析：2

211()2224f x x x a x a ??=-++=--++ ??

?'．当23x ??∈+∞????，时，()f x '的最大值为

22239f a ??=+ ???'，令2209a +>，解得19a >-，所以a 的取值范围是1,9??

-+∞ ???

．

考点：利用导数判断函数的单调性．

14．8【解析】分析：先判断是否成立若成立再计算若不成立结束循环输出结果详解：由伪代码可得因为所以结束循环输出点睛：本题考查伪代码考查考生的读图能力难度较小

解析：8 【解析】

分析：先判断6I <是否成立，若成立，再计算I S ，，若不成立，结束循环，输出结果.详解：由伪代码可得3,2;5,4;7,8I S I S I S ======，因为76>，所以结束循环，输出8.S =

点睛：本题考查伪代码，考查考生的读图能力，难度较小.

15．【解析】依题意可得焦点的坐标为设在抛物线的准线上的射影为连接由抛物线的定义可知又解得点睛：本题主要考查的知识点是抛物线的定义以及几何性质的应用考查了学生数形结合思想和转化与化归思想设出点在抛物线的准

【解析】

依题意可得焦点F 的坐标为04a

?? ???

，

， 设M 在抛物线的准线上的射影为K ，连接MK 由抛物线的定义可知MF MK =

13FM MN =∶∶

KN KM ∴=∶

又

014

4

FN

K

a a

--

==

-，

22

FN

KN

K

KM

==-

4

22

a

-

∴=-，解得2

a=

点睛：本题主要考查的知识点是抛物线的定义以及几何性质的应用，考查了学生数形结合思想和转化与化归思想，设出点M在抛物线的准线上的射影为K，由抛物线的定义可知MF MK

=，再根据题设得到221

KN KM=

∶∶，然后利用斜率得到关于a 的方程，进而求解实数a的值

16．【解析】【分析】【详解】设AB=2作CO⊥面ABDEOH⊥AB则CH⊥AB∠CHO 为二面角C?AB?D的平面角CH=3√OH=CHcos∠CHO=1结合等边三角形ABC与正方形ABDE可知此四棱锥为

解析：

1

6

【解析】

【分析】

【详解】

设AB=2,作CO⊥面ABDE

OH⊥AB，则CH⊥AB，∠CHO为二面角C?AB?D的平面角，

CH=3√，OH=CH cos∠CHO=1，

结合等边三角形ABC与正方形ABDE可知此四棱锥为正四棱锥，

3,

11

(),

22

1

2

AN EM CH AN

AC AB EM AC AE

AN EM

===

=+=-

∴?=

故EM ,AN 1

126

33=?，

17．【解析】【分析】首先想到所选的人中没有女生有多少种选法再者需要确定从人中任选人的选法种数之后应用减法运算求得结果【详解】根据题意没有女生入选有种选法从名学生中任意选人有种选法故至少有位女生入选则不同 解析：16

【解析】 【分析】

首先想到所选的人中没有女生，有多少种选法，再者需要确定从6人中任选3人的选法种数，之后应用减法运算，求得结果. 【详解】

根据题意，没有女生入选有3

44C =种选法，从6名学生中任意选3人有3620C =种选法，

故至少有1位女生入选，则不同的选法共有20416-=种，故答案是16. 【点睛】

该题是一道关于组合计数的题目，并且在涉及到“至多、至少”问题时多采用间接法，一般方法是得出选3人的选法种数，间接法就是利用总的减去没有女生的选法种数，该题还可以用直接法，分别求出有1名女生和有两名女生分别有多少种选法，之后用加法运算求解.

18．或【解析】【分析】做出简图找到球心根据勾股定理列式求解棱锥的高得到两种情况【详解】正三棱锥的外接球的表面积为根据公式得到根据题意画出图像设三棱锥的高为hP 点在底面的投影为H 点则底面三角形的外接圆半径

解析：

33或93

【解析】 【分析】

做出简图，找到球心，根据勾股定理列式求解棱锥的高，得到两种情况. 【详解】

正三棱锥P ABC -的外接球的表面积为16π，根据公式得到2

1642,r r ππ=?= 根据题意画出图像，设三棱锥的高为h,P 点在底面的投影为H 点，则

2,2,2OP r OA r OH h =====-，底面三角形的外接圆半径为AH ，根据正弦定理得

到

3

sin 60=

在三角形OAH 中根据勾股定理得到()2

23413h h -+=?=或 三棱锥的体积为：13

ABC

h S ??

代入数据得到111333224

?????=或者11333322????

?=

【点睛】

这个题目考查了已知棱锥的外接球的半径，求解其中的一些量；涉及棱锥的外接球的球心的求法，一般外接球需要求球心和半径，首先应确定球心的位置，借助于外接球的性质，球心到各顶点距离相等，这样可先确定几何体中部分点组成的多边形的外接圆的圆心，过圆心且垂直于多边形所在平面的直线上任一点到多边形的顶点的距离相等，然后同样的方法找到另一个多边形的各顶点距离相等的直线（这两个多边形需有公共点），这样两条直线的交点，就是其外接球的球心，再根据半径，顶点到底面中心的距离，球心到底面中心的距离，构成勾股定理求解，有时也可利用补体法得到半径，例：三条侧棱两两垂直的三棱锥，可以补成长方体，它们是同一个外接球.

19．【解析】【分析】由及三角变换可得故于是得到或再根据可得从而然后根据余弦定理可求出于是可得所求三角形的面积【详解】由得∵∴∴又为三角形的内角∴或又∴于是由余弦定理得即解得故∴故答案为【点睛】正余弦定理

解析：【解析】 【分析】 由

cos 1cos2cos 1cos2b C C c B B +=+及三角变换可得sin cos sin cos B C C B

=，故sin2sin2B C =，于是得到

B C =或2

B C π

+=

，再根据1

cos 3

A =

可得B C =，从而b c =，然后根据余弦定理可求

出b c ==

【详解】

由cos 1cos2cos 1cos2b C C c B B +=+，得22sin cos 2cos sin cos 2cos B C C

C B B =， ∵cos 0,cos 0C B ≠≠，

∴

sin cos sin cos B C

C B

=， ∴sin2sin2B C =，

又,B C 为三角形的内角， ∴B C =或2

B C π

+=，

又1cos 3

A =

， ∴B C =，于是b c =．

由余弦定理得2222cos ,a b c b A =+- 即()

2

2222

273

b b b =+-，

解得21b =，故21c =．

∴1122sin 212172223

ABC S bc A ?=

=???=. 故答案为72． 【点睛】

正余弦定理常与三角变换结合在一起考查，此类问题一般以三角形为载体，解题时要注意合理利用相关公式和三角形三角的关系进行求解，考查综合运用知识解决问题的能力，属于中档题．

20．2025【解析】设这三个数：（）则成等比数列则或（舍）则原三个数：152025

解析：20 25 【解析】 设这三个数：

、

、

（），则

、

、

成等比数列，则

或

（舍），则原三个数：15、20、25

三、解答题

21．(Ⅰ) ()()2

2

219x y -++=；（Ⅱ）3

4

y x =和x=0. 【解析】 【分析】

（I ）将x cos y sin ρθρθ=??=?

代入曲线C 极坐标方程，化简后可求得对应的直角坐标方程.（II ）

将直线的参数方程代入曲线方程，利用弦长公式列方程，解方程求得直线的倾斜角或斜率，由此求得直线l 的普通方程. 【详解】

解：（Ⅰ）将x cos y sin ρθ

ρθ=??=?

代入曲线C 极坐标方程得：

曲线C 的直角坐标方程为：2

2

442x y x y +-=-

即()()22

219x y -++=

（Ⅱ）将直线的参数方程代入曲线方程：

()()

22

cos 2sin 19t t αα-++=

整理得24cos 2sin 40t t t αα-+-= 设点A ，B 对应的参数为1t ，2t ， 解得124cos 2sin t t αα+=-，124t t ?=- 则

12AB t t =-=

=

=23cos 4sin cos 0ααα-=，因为0απ≤<

得3tan 2

4π

αα=

=

或，直线l 的普通方程为3

4

y x =和x=0 【点睛】

本小题主要考查极坐标方程和直角坐标方程互化，考查利用直线的参数方程来求弦长有关的问题，属于中档题.

22．（1）n b n =（2）()1

122n n S n +=-+（3）()()()1

1

4123312n n n n +++---

+?

【解析】 【分析】 【详解】

（1）由1

122n n n a a ++=+得11n n b b +=+，得n b n =；

（2）易得2n

n a n =，1223112222,212222,n n n n S n S n +=?+?++?=?+?++?

错位相减得12

1

1122222

2212

n

n n n n S n n ++--=+++-?=?-?-

所以其前n 项和()1

122n n S n +=-+； （3）()

()

()()

()()()()()()2

2

2

1

1

1

1422142

121·2?12?12?12n

n

n

n

n n n n n n

n n

n n

n n n

c n n n n n n +++-++-++-++++=

=

=+++

()()()()()()1

1

1111111

1112?21?222?21?2n

n n n n

n n n n n n n n n ++++????---?? ?=

+-+=-+- ? ? ? ?++??????

， ()()()()()()2231

2

1223

1111111111122221?22?22?23?2?21?2n n n

n n n T n n ++??????

????------????

??

?? ? ? ?=-+-+

+-+-+-++-

?? ? ? ? ? ? ?+??????

??

?????

???????

()()1

112113621?2n n

n n ++-??=-+-- ?+??或写成()()()1

1

412331?2n n n n +++---+.

点睛：用错位相减法求和应注意的问题(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“n S ”与“n qS ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下

一步准确写出“n n S qS -”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解. 23．（1）见解析（2

）4

（3

）7

【解析】 【分析】

（1）连接OC ，由BO ＝DO ，AB ＝AD ，知AO ⊥BD ，由BO ＝DO ，BC ＝CD ，知CO ⊥BD ．在△AOC

中，由题设知AO 1CO ==，AC ＝2，故AO 2+CO 2＝AC 2，由此能够证明AO ⊥平面BCD ；

（2）取AC 的中点M ，连接OM 、ME 、OE ，由E 为BC 的中点，知ME ∥AB ，OE ∥DC ，故直线OE 与EM 所成的锐角就是异面直线AB 与CD 所成的角．在△OME

中，11

EM AB OE DC 122

====，由此能求出异面直线AB 与CD 所成角大小的余弦；

（3）设点E 到平面ACD 的距离为h ．在△ACD

中，CA CD 2AD ===

，

ACD

1S

2==，由AO ＝1

，知2CDE

1S 22=

=

，由此能求出点E 到平面ACD 的距离． 【详解】

（1）证明：连接OC ，∵BO ＝DO ，AB ＝AD ，∴AO ⊥BD ， ∵BO ＝DO ，BC ＝CD ，∴CO ⊥BD ．

在△AOC

中，由题设知1AO CO ==，AC ＝2， ∴AO 2+CO 2＝AC 2，

∴∠AOC ＝90°，即AO ⊥OC ． ∵AO ⊥BD ，BD ∩OC ＝O ， ∴AO ⊥平面BCD ．

（2）解：取AC 的中点M ，连接OM 、ME 、OE ，由E 为BC 的中点， 知ME ∥AB ，OE ∥DC ，

∴直线OE 与EM 所成的锐角就是异面直线AB 与CD 所成的角． 在△OME

中，11

1222

EM AB OE DC =

===， ∵OM 是直角△AOC 斜边AC 上的中线，∴1

12

OM AC =

=，

∴111

4cos OEM +

-∠==，

∴异面直线AB 与CD 所成角大小的余弦为

24

（3）解：设点E 到平面ACD 的距离为h ．

E ACD A CDE V V -

-=，

1

1

3

3

ACD

CDE

h S AO S ∴=．．．，

在△ACD 中，22CA CD AD ===

，，

∴2

127

2422ACD

S

??=??-= ? ???

， ∵AO ＝1，21332242

CDE

S =

??=

， ∴3

121277

CDE ACD

AO S h S ?

?=

=

=，

∴点E 到平面ACD 的距离为

217

．

【点睛】

本题考查点、线、面间的距离的计算，考查空间想象力和等价转化能力，解题时要认真审题，仔细解答，注意化立体几何问题为平面几何问题． 24．（1）证明见解析；（2）112

. 【解析】 【分析】

（1）连接PF ，BD 由三线合一可得AD ⊥BF ，AD ⊥PF ，故而AD ⊥平面PBF ，于是AD ⊥PB ； （2）先证明PF ⊥平面ABCD ，再作PF 的平行线，根据相似找到G ，再利用等积转化求体积． 【详解】 连接PF ，BD,

∵PAD ?是等边三角形，F 为AD 的中点， ∴PF ⊥AD ，

∵底面ABCD 是菱形，3

BAD π

∠=

，

∴△ABD 是等边三角形，∵F 为AD 的中点， ∴BF ⊥AD ，

又PF ，BF ?平面PBF ，PF ∩BF ＝F ， ∴AD ⊥平面PBF ，∵PB ?平面PBF ， ∴AD ⊥PB ．

（2）由（1）得BF ⊥AD ，又∵PD ⊥BF ，AD ，PD ?平面PAD ， ∴BF ⊥平面PAD ，又BF ?平面ABCD ， ∴平面PAD ⊥平面ABCD ，

由（1）得PF ⊥AD ，平面PAD ∩平面ABCD ＝AD ， ∴PF ⊥平面ABCD ，

连接FC 交DE 于H,则△HEC 与△HDF 相似，又1142EC BC FD ==，∴CH=1

3

CF ， ∴在△PFC 中,过H 作GH //PF 交PC 于G ，则GH⊥平面ABCD ，又GH ?面GED ，则面GED⊥

平面ABCD ， 此时CG=

1

3

CP, ∴四面体D CEG -的体积

1

11311

223

38312

D CEG G CED CED

V V S

GH PF --==?=???=． 所以存在G 满足CG=13CP, 使平面DEG ⊥平面ABCD ，且112

D CEG V -=. 【点睛】

本题考查了线面垂直的判定与性质定理，面面垂直的判定及性质的应用，考查了棱锥的体

积计算，属于中档题． 25．(1)因为

时

，所以

；

(2)由(1)知该商品每日的销售量，所以商场每日销售该商品所获得的

利润：222

()(3)[

10(6)]210(3)(6),363

f x x x x x x x =-+-=+--<<-； /2()10[(6)2(3)(6)]30(4)(6)f x x x x x x =-+-----，令/()0f x =得4x =函数

在(3,4)上递增，在(4,6)上递减， 所以当时函数

取得最大值

答：当销售价格时,商场每日销售该商品所获得的利润最大，最大值为42.

【解析】

(1)利用销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．把x=5,y=11代入

,解关于a 的方程即可求a..

(2)在（1）的基础上，列出利润关于x 的函数关系式，

利润=销售量?（销售单价－成品单价），然后利用导数求其最值即可. 26．（1）见证明；（2）见解析 【解析】 【分析】

（1）利用余弦定理计算BC ，根据勾股定理可得BC ⊥BD ，结合BC ⊥PD 得出BC ⊥平面PBD ，于是平面PBD ⊥平面PBC ；（2）建立空间坐标系，设CM

CP

=λ，计算平面ABM 和平面PBD 的法向量，令法向量的夹角的余弦值的绝对值等于1

2

，解方程得出λ的值,即可得解． 【详解】

（1）证明：因为四边形ABCD 为直角梯形， 且//AB DC , 2AB AD ==,2

ADC π

∠=,

所以22BD = 又因为4,4

CD BDC π

=∠=

．根据余弦定理得22,BC =

所以222CD BD BC =+，故BC BD ⊥.

又因为BC PD ⊥, PD BD D ?=,且BD ,PD ?平面PBD ，所以BC ⊥平面PBD ， 又因为BC ?平面PBC ，所以PBC PBD ⊥平面平面 （2）由（1）得平面ABCD ⊥平面PBD , 设E 为BD 的中点，连结PE ，因为6PB PD ==

,

所以PE BD ⊥,2PE =,又平面ABCD ⊥平面PBD ， 平面ABCD

平面PBD BD =，

PE ⊥平面ABCD .

如图，以A 为原点分别以AD ，AB 和垂直平面ABCD 的方向为,,x y z 轴正方向，建立空间直角坐标系A xyz -，

则(0,0,0)A ，(0,2,0)B ，(2,4,0)C ，(2,0,0)D ，(1,1,2)P ， 假设存在(,,)M a b c 满足要求，设(01)CM

CP

λλ=≤≤，即CM CP λ=， 所以(2-,4-3,2)λλλM ,

易得平面PBD 的一个法向量为(2,2,0)BC =.

设(,,)n x y z =为平面ABM 的一个法向量，(0,2,0)AB =， =(2-,4-3,2)λλλAM

由00n AB n AM ??=??=?

得20(2)(43)20y x y z λλλ=??-+-+=?，不妨取(2,0,2)n λλ=-.

因为平面PBD 与平面ABM 所成的锐二面角为3π22412

224(2)λλλ=+-，

解得2

,23

λλ=

=-，（不合题意舍去）. 故存在M 点满足条件，且2

3

CM CP =. 【点睛】

本题主要考查空间直线与直线、直线与平面的位置关系及平面与平面所成的角等基础知识，面面角一般是定义法，做出二面角，或者三垂线法做出二面角，利用几何关系求出二面角，也可以建系来做．