工程流体水力学第四章习题答案
第四章理想流体动力学和平面势流答案
4－1 设有一理想流体的恒定有压管流，如图所示。已知管径12
1
2
d d
=，2
1
2
d D
=，过流断面1-1处压强p1>大气压强p a。试按大致比例定性绘出过流断面1-1、2-2间的总水头线和测压管水头线。
解：总水头线、测压管水头线，分别如图中实线、虚线所示。
4－2 设用一附有液体压差计的皮托管测定某风管中的空气流速，如图所示。已知压差计的读数h＝150mmH2O，空气的密度ρa =1.20kg/m3，水的密度ρ =1000kg/m3。若不计能量损失，即皮托管校正系数c=1，试求空气流速u0。
解：由伯努利方程得
2
00
2
s
a a
p u p
g g g
ρρ
+=
a
2()
s
p p
u g
g
ρ
-
=（1）
式中
s
p为驻点压强。
由压差计得
0s
p gh p
ρ
+=
s
p p gh
ρ
-=（2）
联立解（1）（2）两式得
a a
1000
2229.80.15m/s49.5m/s
1.2
gh h
u g g
g
ρρ
ρρ
===???=
4－3 设用一装有液体（密度ρs=820kg/m3）的压差计测定宽渠道水流中A点和B点的流速，如图所示。已知h1 =1m，h2 =0.6m，不计能量损失，试求A点流速u A和B点流速u B。水的密度ρ=1000kg/m3。
解：（1）1229.81m/s 4.427m/s A u gh ==??=
（2）由伯努利方程可得
22A A A u p h g g
ρ+= （1） 22B B B u p h g g
ρ+= （2） 式中A h 、A p 和B h 、B p 分别为A 点和B 点处的水深和驻点压强。由（1）、（2）式可得
2222A B A B A B p p u u h h g g g
ρ-=+-- （3） 由压差计得，22ρρρρ--++=A A s B B p gh gh gh gh p ，所以
220.82A B A B p p h h h h g
ρ-=+-- (4) 由（3）式、（4）式得
222
2 4.427(10.82)0.6(10.82)0.8922229.8
B A u u h g g =--=--=? 29.80.892m/s 4.18m/s B u =??=。
4－4 设有一附有空气－水倒U 形压差计装置的皮托管，来测定管流过流断面上若干点的流速，如图所示，已知管径d =0.2m ，各测点距管壁的距离y 及其相应的压差计读数h 分别为：y =0.025m ，h =0.05m ；y =0.05m ，h =0.08m ；y =0.10m ，h =0.10m 。皮托管校正系数c =1.0，试求各测点流速，并绘出过流断面上流速分布图。
解：因2u c gh =，所以
112129.80.05m/s 0.99m/s u c gh ==???=
222129.80.08m/s 1.25m/s u c gh ==???=
332129.80.10m/s 1.40m/s u c gh ==???=
过流断面上的流速分布如图所示。
4－5 已知2222
,,0,x y z y x u u u x y x y -===++试求该流动的速度势函数，并检查速度势函数是否满足拉普拉斯方程。
解：(1)在习题3－19中，已判别该流动为有势流，所以存在速度势函数Φ。
2222d d d d d x y y x u x u y x y x y x y -Φ=+=+++222d d 1d()1()y x x y y y x y x x
-+==++ 积分上式可得arctan Φ=y x
（2）22222222(),()
Φ??-==??++y xy x x x y x y 2222222222(),0()ΦΦ??-?===??++?x xy y y x y x y z 222222
2200()()xy xy x y x y -+=++ 满足拉普拉斯方程。
4－6 已知22x y u x y -=+，22y x u x y
=+，0z u =，试求该流动的流函数ψ和流线方程、迹线方程。
解：(1)在习题3－8中，已判别该流动满足连续性方程，所以存在流函数ψ。等流函数线方程即为流线方程。
d d d 0x y u y u x ψ=-=，2222
d d 0y x y x x y x y --=++ 2222
d d 0y x y x x y x y +=++，2222d()0x y x y +=+ 积分上式可得
22ln()x y C ψ=+=
（2）迹线方程
d d x y
x y u u =， 2222
d d x y y x
x y x y =-++ 2222()d ()d x y x x x y y y -+=+
2222d d 0y y x x x y x y +=++，2222d()0x y x y +=+ 积分上式可得
22ln()x y C +=
4－7 已知u x =－ky ，u y =kx ，u z =0，试求该流动的流函数ψ和流线方程、迹线方程及其形状（k 是不为零的常数）。 解：流函数和流线方程：22
d d d d d [d()]2x y k u y u x ky y kx x x y ψ=-=--=-+
积分上式可得 22x y ψ=+
迹线方程:d d d -0
x y z ky kx == 222x y r +=，z C =
由上式可知，流线为平行于Oxy 平面的同心圆族，由于恒定流的流线与流线上液体质点的迹线相重合，所以迹线亦是同心圆族，液体质点作圆周运动。
4－8 已知u x =4x ，u y =－4y ，试求该流动的速度势函数和流函数，并绘出流动图形。 解：由习题3－8和3－19，可知该流动存在流函数ψ和速度势函数Φ。
4Φ?==?x u x x
，4Φ?==-?y u y y 22d d d 4d 4d 2d()Φ=+=-=-x y u x u y x x y y x y
积分上式可得：22
2()Φ=-x y 4x u x y ψ?==?，4y u y x
ψ?=-=? d d d 4d 4d 4d()x y u y u x x y y x xy ψ=-=+=
积分上式可得 4xy ψ=
流动图形如题4－16图所示。
4－9 已知Φ=a （x 2－y 2），式中a 为实数且大于零。试求该流动的流函数ψ。 解：2Φ?==?x u ax x
，2Φ?==-?y u ay y d d d 2d 2d 2d()x y u y u x ax y ay x a xy ψ=-=+=
积分上式可得 2axy ψ= 4－10 已知速度势函数cos 2πΦ?ρ=
M ，式中M 是不为零的常数。试求该流动的流函数，并绘出流动图形。
解：21cos 2ρΦψ?ρπρρ???=
=-=??M u ，cos 2M ψ??πρ
?=-? 对?积分可得 d ()cos d ()sin ()2π2πM M f f f ψψ?ρ??ρ?ρ?ρρ?=+=-+=-+??
? 上式对ρ取偏导数，则
'2sin ()2πM f u ?ψ?ρρρ
?=+=-? 又 2
sin 2π?Φ?ρ?ρ?-=-=?M u 由上两式可得 '()0f ρ=，即()f ρ＝常数。因此可得
sin 2πM ψ?ρ
=- 上述流动即为偶极流。流动图形可参照题4—10图。
4－11 已知流函数ψ =3x 2y －y 3，试判别是有势流还是有涡流。证明任一点的流速大小仅取决于它与坐标原点的距离ρ。
解：2233,6x y u x y u xy y x
ψψ??==-=-=-?? 6,6y x u u y y y x
??=-=-??，所以是有势流。 2222222222249()369()9x y u u u x y x y x y ρ=+=-+=+=
23u ρ=，所以任一点的流速大小仅取决于它与坐标原点的距离。
题4-10图