高考数学不等式恒成立、能成立、恰成立问题

不等式恒成立、能成立、恰成立问题

一、不等式恒成立问题的处理方法

1、转换求函数的最值：

（1）若不等式()A x f >在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()min f x A >，?()f x 的下界大于A

（2）若不等式()B x f <在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()max f x B <,()f x 的上界小于A

例1、设f(x)=x2-2ax+2,当x ∈[-1,+∞]时，都有f(x)≥a 恒成立，求a 的取值范围。

例2、已知(),22x a x x x f ++=对任意[)()0,,1≥+∞∈x f x 恒成立,试求实数a 的取值范围;

例3、R 上的函数()x f 既是奇函数，又是减函数，且当

??? ??∈2,0πθ时，有()()022sin 2cos 2>--++m f m f θθ恒

成立，求实数m 的取值范围.

例4、已知函数)0(ln )(44>-+=x c bx x ax x f 在1=x 处取得极值3c --，其中a 、b 为常数.（1）试确定a 、b 的值； （2）讨论函数)(x f 的单调区间；

（3）若对任意0>x ，不等式22)(c x f -≥恒成立，求c 的取值范围。

2、主参换位法

例5、若不等式a 10x -<对

[]1,2x ∈恒成立，求实数a 的取值范围 例6、若对于任意1a ≤，不等式2(4)420x a x a +-+->恒成立，求实数x 的取值范围

例7、已知函数323()(1)132a f x x x a x =

-+++，其中a 为实数．若不等式

2()1f x x x a '--+＞对任意(0)a ∈+∞，都成立，求实数x 的取值范围．

3、分离参数法

（1） 将参数与变量分离，即化为

()()g f x λ≥（或()()g f x λ≤）恒成立的形式； （2） 求()f x 在x D ∈上的最大（或最小）值；

（3） 解不等式()max ()g f x λ≥(或()()min g f x λ≤) ，得λ的取值范围。

适用题型：（1） 参数与变量能分离；（2） 函数的最值易求出。

例8、当(1,2)x ∈时，不等式240x mx ++<恒成立，则m 的取值范围是 .

例9、已知函数321()33f x ax bx x =+++,其中0a ≠（1）当b a ,满足什么条件时,)(x f 取得极值?（2）已知0>a ,

且)(x f 在区间(0,1]上单调递增,试用a 表示出b 的取值范围.

4、数形结合

例10 、若对任意x R ∈,不等式||x ax ≥恒成立，则实数a 的取值范围是________

例11、当x ∈(1,2)时，不等式2(1)x -

二、不等式能成立问题的处理方法

若在区间D 上存在实数x 使不等式()A x f >成立,则等价于在区间D 上()max f x A >；

若在区间D 上存在实数x 使不等式()B x f <成立,则等价于在区间D 上的()min f x B <.

例12、已知不等式a

x x <-+-34在实数集R 上的解集不是空集，求实数a 的取值范围______ 例13、若关于x 的不等式32-≤--a ax x 的解集不是空集，则实数a 的取值范围是 ．

例14、已知函数()21ln 22f x x ax x =--（0≠a ）存在单调递减区间，求a 的取值范围

三、不等式恰好成立问题的处理方法

例15、不等式2ax bx 10++>的解集为

1|13x x ??-<

例17、已知两函数f(x)=8x2+16x-k ，g(x)=2x3+5x2+4x ，其中k 为实数。

（1）对任意x ∈[-3，3]，都有f （x)≤g(x)成立，求k 的取值范围；

（2）存在x ∈[-3，3]，使f （x)≤g(x)成立，求k 的取值范围；

（3）对任意x1、x2∈[-3，3]，都有f （x1)≤g(x2)，求k 的取值范围。