三重积分及其计算和多重积分72254

第四节 三重积分及其计算和多重积分

在第三节中我们讨论了二重积分，本节将之推广到一般的n 维空间中去.

类似于第三节,我们先定义一个R 3中集合的可求体积性. 同样可以给出一列类似的结论. 读者自己推广. 这里将不再赘述. 一、 引例

设一个物体在空间R 3中占领了一个有界可求体积的区域V ，它的点密度为()z y x f ,,，现在要求这个物体的质量．假设密度函数是有界的连续函数，可以将区域V 分割为若干个可求体积的小区域n V V V ,...,,21，其体积分别是n V V V ???,...,,21，直径分别是n d d d ,...,,21，即},||sup{|i i V Q W WQ d ∈=, (i =1,2,…,n ）, |WQ|表示W, Q 两点的距离．设

},...,,m ax {21n d d d =λ，则当λ很小时，()z y x f ,,在i V 上的变化也很小．可以用这个小

区域上的任意一点()i i i z y x ,,的密度()i i i z y x f ,,来近似整个小区域上的密度，这样我们可以求得这个小的立体的质量近似为()i i i i V z y x f ?,,，所有这样的小的立体的质量之和即为这个物体的质量的一个近似值．即

()i i i i n

i V z y x f M ?≈∑=,,1

．

当0→λ时，这个和式的极限存在，就是物体的质量．即

()i i i i n

i V z y x f M ?=∑=→,,lim 1

λ．

从上面的讨论可以看出，整个求质量的过程和求曲顶柱体的体积是类似的，都是先分割，再求和，最后取极限．所以我们也可以得到下面一类积分． 二、 三重积分的定义

设()z y x f ,,是空间3

R 中的一个有界可求体积的闭区域V 上的有界函数，将V 任意分割

为若干个可求体积的小闭区域n V V V ,...,,21，这个分割也称为V 的分划，记为P : n V V V ,...,,21.

Φ=?o

o j i V V (空, j i ≠), 其体积分别是n V V V ???,...,,21，直径分别是n d d d ,...,,21．设

},...,,m ax {21n d d d =λ,或记为||P ||. 在每个小区域中任意取一点()i i i i V z y x ∈,,，作和

()i

i

i

i

n

i V z y x f ?∑=,,1

(称为Riemann 和)，若当0→λ时，这个和式的极限存在，则称其极

限为函数()z y x f ,,在区域V 上的三重积分，记为

()???V

dV z y x f ,,．并称函数()z y x f ,,在

区域V 上可积．()z y x f ,,称为被积函数,x,y,z 称为积分变量., V 称为积分区域.

特别地，在直角坐标系下，可以记为

()???V

dxdydz z y x f ,,．

我们同样可以引入Darboux 大,小和来判别可积, 也有同样的结论(略).

1. 若()z y x f ,,是有界闭区域V 上的连续函数，则函数()z y x f ,,在区域V 上可积．

2. 若()z y x f ,,=1时,

???=V

V dxdydz 的体积.

3. 若()z y x f ,,在有界闭区域V 上的间断点集合是0体积时, ()z y x f ,,在V 可积. 三重积分有着与二重积分类似的性质．下面简单叙述一下．

１．可积函数的和（或差）及积仍可积. 和（差）的积分等于积分的和(差)． ２．可积函数的函数k 倍仍可积. 其积分等于该函数积分的k 倍． ３．设Ω是可求体积的有界闭区域，()z y x f

,,在Ω上可积，Ω分为两个无共同内点的

可求体积的闭区域21,ΩΩ之并，则

()z y x f ,,在21,ΩΩ上可积，并有

()()()V d z y x f V d z y x f V d z y x f ?????????ΩΩΩ

+=2

1

,,,,,,．

等等.

三、三重积分的计算

方法同二重积分一样, 我们这里给出三重积分的计算方法,理论上的证明读者自己完成..

1. 利用直角坐标系计算三重积分

先给一个结论.

定理12.14 若函数()z y x f ,,是长方体V =[a,b ]×[c,d ]×[e,h ]上的可积, 记D=[c,d ]×[e,h ], 对任意x ∈[a,b ], 二重积分

()??=D

dydz z y x f x I ,,)(

存在, 则 ()?????

??

?

??=b

a D b

a dx dydz z y x f dx x I ,,)( (记为()???D b

a dydz z y x f dx ,,)

也存在, 且

()()()?????????==h

e

d c

b a

D

b a

V

dz z y x f dy dx dydz z y x f dx V d z y x f ,,,,,,.

这时右边称为三次积分或累次积分, 即三重积分化为三次积分.

证明 分别中[a,b ], [c,d ], [e,h ] 插入若干个分点

b x x x x a n =<<<<= 210;

d y y y y c m =<<<<= 210;

h z z z z e s =<<<<= 210

作平面i x x =, j y y =, k z z =,(i =0,1,2,…,n; ,j i =0,1,2,…,m; k =0,1,2,…,s,)得到V 的一个分划P . 令 ],,[],[],[111k k j j i i ijk z z y y x x v ---??=(i =1,2,…,n; ,j i =1,2,…,m; k =1,2,…,s,),

ijk M ,ijk m 分别是()z y x f ,,在ijk v 上的上, 下确界.那么在],[],[11k k j j jk z z y y D --?=上有

k j ijk

D i

k j ijk z y M

dydz z y f z y m jk

??≤≤

????),,(ξ

其中Δx i ,= x i - x i -1 , Δy j ,= y j - y j -1 , Δz k ,= z k - z k -1 , (i =1,2,…,n; ,j i =1,2,…,m; k =1,2,…,s,).

)(),,(),,(,i

D

i

k j D i

I dydz z y f dydz z y f jk

ξξξ==??∑??

∑∑∑???≤

?≤???=k

j i k j i ijk

n

i i i k

j i k j i ijk

z y x M

x I z y x m

,,1

,,)(ξ

因可积，所以当||P ||趋于0时，Darboux 大,小和趋于同一数，即三重积分. 故定理得证.

如果V 如右图, e ≤z ≤h, z=z 与V 面积为D z ,

不难得到,

若函数()z y x f ,,在V 上的可积, 那么()()??????=z

D h

e

V

dxdy z y x f dz V d z y x f ,,,,.

下面给出一般三重积分的具体计算方法，理论证明读者可参照二重积分自己完成．设函数),,(z y x f 在有界闭区域Ω上连

续，我们先讨论一种比较特殊的情况．()()()()},,,,|,,{21y x z z y x z D y x z y x ≤≤∈=Ω，其中

xy D 为Ω在xoy 平面上的投影，且()()})(,|,{21x y y x y b x a y x D xy ≤≤≤≤=．如图1２．

我们现在z 轴上做积分，暂时将y x ,看成是常数．把函数()z y x f ,,看作是z 的函数，将它在区间()()],,,[21y x z y x z 上积分得到

()(

)

()

?y x z y x z dz z y x f ,,21,,．

显然这个结果是y x ,的函数，再把这个结果在平面区域xy D 上做二重积分

()()()

dxdy dz z y x f y x z y x z D xy

??

? ?????

,,21,,． 在利用二重积分的计算公式便可以得到所要的结果．若平面区域xy D 可以用不等式

()()x y y x y b x a 21,≤≤≤≤表示，则

()???

Ω

dV z y x f ,,()

()

()()

()

?

?

?=y x z y x z x y x y b

a

dz z y x f dy dx ,,2121,,．

这个公式也将三重积分化为了三次积分．

如果积分区域是其他的情形，可以用类似的方法计算． 例1计算三重积分

???Ω

xdV ，其中Ω是由三个坐标面和平面1=++z y x 所围的立体区

域．

解 积分区域如图所示，可以用不等式表示为

y x z x y x --≤≤-≤≤≤≤10,10,10，

所以积分可以化为

()()24

1

4

1318112111

2341

0210

1

010

1010

=+-=-=--==??

??

?

????----Ω

x x x dx x x dy

y x x dx xdz

dy dx xdV x

y

x x

四、三重积分的积分变换

和二重积分的积分变换一样，有如下的结果:

定理12.15 设V 是uvw 空间R 3中的有界可求体积的闭区域，T ：x =x (u,v,w ), y =y (u,v,w ), z =z (u,v,w ),是V 到xyz 空间R 3中的一一映射，它们有一阶连续偏导数，并且

V w v u z

z v z u z z y

v y u

y

z x v x u

x w v u z y x ∈≠??????????????????=

??),,(,0),,(),,( (称为Jacobi). 如果f (x,y,z ) 是T (V )上的可积函数，那么

dudvdw w v u z y x w v u z w v u y w v u x f dxdydz z y x f V

V T ????????=)

,,()

,,())

,,(),,,(),,,((),,()

(

在R 3中有两种重要的变换柱面坐标和球面坐标.

1. 利用柱面坐标计算三重积分 前面我们可以看到，由于积分区域与被积函数的特点，二重积分可以用极坐标来计算．同样对于三重积分可以用柱面坐标和球面坐标计算．我们先讨论用柱面坐标来计算三重积分．

设空间中有一点()z y x M ,,，其在坐标面xoy 上的投影点'M 的极坐标为()θ,r ，这样

图

12-4-4

M ’

M (

x,y,z

)

三个数θ,,r z 就称为点M 的柱面坐标（如图12-4-4）．

这里规定三个变量的变化范围是

??

?

??+∞≤≤∞-≤≤+∞≤≤z r πθ200， 注意到，当=r 常数时，表示以z 轴为中心轴的一个柱面． 当θ=常数时，表示通过z 轴，与平面xoy 的夹角为θ的半平面． 当=z 常数时，表示平行于平面xoy ，与平面xoy 距离为z 的平面． 空间的点的直角坐标与柱面坐标之间的关系, 即是R 3到R 3的映射:

??

?

??===z z r y r x θθsin cos ． 所以 其Jacobi 为

,1

0c o s s i n 0s i n c o s )

,,()

,,(r r r z r z y x =-=??θθ

θθθ

故容易得到: 如果f (x,y,z ) 是R 3中的有界可求体积的闭区域V 上的可积函数,则

()()??????=V

V

dz rdrd z r r f dV z y x f θθθ,sin ,cos ,,,

其中,变换前后区域都用V 表示.

我们也可以从几何直观的意义来描述这个公式的由来.

用三组坐标面311,,C z C C r ===θ将积分区域划分为若干个小区域，考虑其中有代表性的区域，如图12-4-5所示的区域可以看成是由底面圆半径为dr r r +和两个圆柱面，极角为θθθd +和的两个半平面，以及高度为dz z z +和的两个平面所围成的．它可以近似的看作一个柱体，其底面的面积为θrdrd ，高为dz ．所以其体积为柱面坐标下的体积元素，

即

dz rdrd dV θ=．

再利用两种坐标系之间的关系，可以得到

()()??????=V

V

dz rdrd z r r f dV z y x f θθθ,sin ,cos ,,．

在柱面坐标下的三重积分的计算也是化为三次积分． 例2计算三重积分

()

???Ω

+dV y x

22

，其中Ω是由椭圆抛物面()224y x z +=和平面4=z 所围成的区域．

解 如图所示，积分区域Ω在坐标面xoy 上的投影是一个圆心在原点的单位圆．所以{

}

44,20,102

≤≤≤≤≤≤=Ωz r r πθ．于是

()

()

πθθθπ

π

3

2

441

053204

41

2

20

222

2=-===+???????????ΩΩ

dr r r d dz

rdr r d dz

rdrd r dV y x

r

2．利用球面坐标计算三重积分

我们知道球面坐标用数?θ,,r 来表示空间的一个点．设有直角坐标系的空间点

()z y x M ,,，点M 在坐标面xoy 上的投影'M ，其中||OM r =，θ为x 轴到射线'OM 转

角．?为向量OM 与z 轴的夹角．如图12-4-7．规定三个变量的变化范围是

??

?

??≤≤≤≤+∞≤≤π?πθ0200r ． 我们可以看到，

注意到，当=r 常数时，表示以原点为球心的球面． 当θ=常数时，表示通过z 轴的半平面．

当=?常数时，表示以原点为顶点，z 轴为中心的锥面． 两种坐标系之间的关系如下：

??

?

??===?θ?θ?cos sin sin cos sin r z r y r x ． 即又是一个即是R 3到R 3的映射.它的Jacobi 是

,

sin 0

sin cos cos sin cos cos sin sin sin sin sin cos cos sin )

,,()

,,(2??

?

θ?θ?θ

?θ

?θ?θ

?θ?r r r r r r r z y x =--=??

由一般的重积分变换公式容易得到:

如果f (x,y,z ) 是R 3中的有界可求体积的闭区域V 上的可积函数,则

()()??????=V

V

d drd r

r r r f dV z y x f θ???θ?θ?sin cos ,sin sin ,cos sin ,,2

,

其中,变换前后区域都用V 表示.

用几何直观的意义可以如下理解: 已知f (x,y,z ) 闭区域V 上的可积函数.

用三组坐标=r 常数，=θ常数，=?常数，将积分区域V 划分为若干个小的区域. 考虑其中有代表性的区域，此小区域可以看成是有半径为dr r r +和的球面，极角为θ和

θθd +的半平面，与中心轴夹角为?和??d +的锥面所围成，它可以近似的看作边长分别

是θ??d r rd dr sin ,,的小长方体，从而得到球面坐标系下的体积元素为

?θ?d drd r dV sin 2=．

再由直角坐标系与球面坐标之间的关系，可以得到下面的公式

()()?θ??θ?θ?d drd r

r r r f dV z y x f V

V

sin cos ,sin sin ,cos sin ,,2

??????=．

例3计算三重积分

()

???Ω

+dV y x

22

，其中Ω是右半球面0,2222≥≤++y a z y x 所

围成的区域．

解 在球面坐标下，积分区域可以表示为

}0,0,0{π?πθ≤≤≤≤≤≤=Ωa r

所以

()

5

0350

53

340

22222

15

4cos 31cos 551sin sin sin sin a a d r d dr

r d d d drd r r dV y x

a

a

π??π

?

?θ??θ?

θ??π

π

πππ=???

???--=??????===+?

??????????Ω

Ω

与二重积分,三重积分一样可以定义一般n 重积分.我们这里只是简单介绍.

当V 是R n 中的有界闭区域. 依照可求面积的方法定义V 的可求“体积”或可测(略). 设f (x 1, x 2,,…, x n ,) 是R n 中的有界可测闭区域V 上的函数, 任取V 的分划P,, 即把分成若干个

可测小区域m V V V ,,,21 , 它们的”体积”或测度分别记为m V V V ???,,,21 , 当令

{}i i V Q Q Q Q d ∈=2121,|||sup , ||21Q Q 表示两点的距离,

{}m d d d P ,,,m ax ||||21 = , 对任取),,2,1(,),,,()

()(2

)(1m i V x x x i i n i i =∈,如果 i m

i i n i i P V x x x

f ?∑=→1

)()(2)

(10

||||),,,(lim

存在,称f (x 1, x 2,,…, x n ,)是V 上的可积函数.其极限值称为

f (x 1, x 2,,…, x n ,)在V 上的n 重积分,记为

dV x x x f n n V

),,,(21 ?? 或 n n n

V

dx dx dx x x x f

2121),,,(??. 特别 当V =[a 1,b 1]×[a 2,b 2]×…×[a n ,b n ]时,

n n b a b a b a n n n V

dx x x x f dx dx dx dx dx x x x f n n

),,,(),,,(2121212111

2

2

?????=.

若V 上有一一映射T

??

?????===)

,,,(),,,(),,,(:212122

2111n n n n

n u u u x x u u u x x u u u x x T ，其每个分量的函数有连续偏导数， 当V 是有界可测区域，f (x 1, x 2,,…, x n ,)在T(V )上可积，并且Jacobi

V u u u u x u x u x u x u x u

x u x u x u x u u u x x x n n n

n n n n n n ∈≠??????????????????=??),,,(,0)

,,,()

,,,(2121

2

2212

12111

2121

那么

n n n V T dx dx dx x x x f

2121)

(),,,(??

n

n n n n n n n V

du du du u u u x x x u u u x u u u x u u u x f

21212121212211)

,,,()

,,,())

,,,(,),,,,(),,,,((??=??

.

特别是R n 中的球坐标变换

T :,321321211cos sin sin ,cos sin ,cos ??????r x r x r x === ……,

123211cos sin sin sin sin ---=n n n r x ????? , 12321sin sin sin sin sin --=n n n r x ????? ,

在R n 中, .20,,,,0,012321π?π????≤≤≤≤∞<≤--n n r 这时的Jacobi 是

223

121111

2

122

111111121sin sin sin )

,,,()

,,,(--------=??????????????????=??n n n n n n

n n n n n n r x x r

x x x r

x x x r x r x x x ???????????

。

同样可以得到相应的公式.

例4 求n n R x x x dx dx dx n

212

22221≤+++??.

解 用球坐标.这时,.20,,,,0,012321π?π????≤≤≤≤<≤--n n R r ,

???

???------≤+++=πππ

??????0

20

1223

121210

21sin sin sin 2

22221n n n n n n R n n R x x x d r d d dr dx dx dx n πβββ2132?=-- n n n

n R , 其中.,2,1,sin 0

==?k dx x k k π

β 从而有 1

2,2,)2()!

12(2!12221222221+==???????+=+≤+++??m n m

n m R

m R dx dx dx m m m

m n n

R x x x n ππ .

习题12-4

1.设有物体占有空间V: 0≤x ≤1, 0≤y ≤1,0≤z ≤1,在点()z y x ,,的密度是

()z y x z y x ++=,,ρ,求该物质量.

2.计算

???V

dxdydz z xy 32,其中V 是曲面xy z =与平面a x x y ==,和0=z 所围成的闭区域． 3.计算

???+++V

z y x dxdydz

3)1(, 其中V 是平面1,0,0,0=++===z y x z y x 所围成的四面体． 4. 计算???

V

xyzdxdydz ,其中V 是球面12

22=++z y x 及坐标面所围成的第一卦限内的闭区域． 5. 计算???V

xyzdxdydz ,其中V 是平面1,,0===y y z x 以及抛物柱面2

x

y =所围成的

闭区域． 6. 计算

???V

zdxdydz , 其中V 是曲面222y x z --=

及22y x z +=所围成的闭区域．

7. 计算???+V

dv y x

)(22

,其中V 是z y x 222=+及平面2=z 所围成的闭区域．

8. 计算???++V dv z y x

)(222

,其中V 是球面1222=++z y x 所围成的闭区域．

9. 计算

???

V

zdv ,其中V 是由不等式()22

22a a z y x ≤-++, 2

22z y x ≤+所围成的闭区域．

10. 用三重积分计算下面所围体的体积:

(1) 2

2

6y x z --=及22y x z +=

(2) az z y x 222

2

=++及z y x =+2

2

(含z 轴部分)

11.计算???++V

dv c z b y a x )(22

2222, V: 1222222≤++c z b y a x .

12. 计算n n n n

V dx dx dx a x a x a x 2122222

2

2121)(+++??, V : 12222222121≤+++n n a x a x a x .

13计算n n n

V

dx dx dx x x x

2121)(+++??,

V : 1),,,2,1(,021≤+++=≥n i x x x n i x .