弹性力学复习题(水工)要点

弹性力学复习题（06水工本科）

一、选择题

1. 下列材料中，（）属于各向同性材料。

A. 竹材；

B. 纤维增强复合材料；

C. 玻璃钢；

D. 沥青。

2 关于弹性力学的正确认识是（）。

A. 计算力学在工程结构设计的中作用日益重要；

B. 弹性力学从微分单元体入手分析弹性体，与材料力学不同，不需要对问题作假设；

C. 任何弹性变形材料都是弹性力学的研究对象；

D. 弹性力学理论像材料力学一样，可以没有困难的应用于工程结构分析。

3. 弹性力学与材料力学的主要不同之处在于（）。

A. 任务；

B. 研究对象；

C. 研究方法；

D. 基本假设。

4. 所谓“完全弹性体”是指（）。

A. 材料应力应变关系满足胡克定律；

B. 材料的应力应变关系与加载时间历史无关；

C. 本构关系为非线性弹性关系；

D. 应力应变关系满足线性弹性关系。

5. 所谓“应力状态”是指（）。

A. 斜截面应力矢量与横截面应力矢量不同；

B. 一点不同截面的应力随着截面方位变化而改变；

C. 3个主应力作用平面相互垂直；

D. 不同截面的应力不同，因此应力矢量是不可确定的。

6. 变形协调方程说明（）。

A. 几何方程是根据运动学关系确定的，因此对于弹性体的变形描述是不正确的；

B. 微分单元体的变形必须受到变形协调条件的约束；

C. 变形协调方程是保证所有弹性体变形协调条件的必要和充分条件；

D. 变形是由应变分量和转动分量共同组成的。

7. 下列关于弹性力学基本方程描述正确的是（）。

A. 几何方程适用小变形条件；

B. 物理方程与材料性质无关；

C. 平衡微分方程是确定弹性体平衡的唯一条件；

D. 变形协调方程是确定弹性体位移单值连续的唯一条件；

8、弹性力学建立的基本方程多是偏微分方程，最后需结合（）求解这些微分方程，以

求得具体问题的应力、应变、位移。

A ．几何方程

B ．边界条件

C ．数值方法

D ．附加假定

9、弹性力学平面问题的求解中，平面应力问题与平面应变问题的三类基本方程具有下列关系 （ ）。

A ．平衡微分方程、几何方程、物理方程完全相同

B ．平衡微分方程、几何方程相同，物理方程不同

C ．平衡微分方程、物理方程相同，几何方程不同

D ．平衡微分方程，几何方程、物理方程都不同

10、根据圣维南原理，作用在物体一小部分边界上的面力可以用下列（ ）的力系代替，

则仅在近处应力分布有改变，而在远处所受的影响可以不计。 A ．静力等效 B ．几何等效 C ．平衡 D ．任意 11、应力函数必须是（ ）

A 、多项式函数

B 、三角函数

C 、重调和函数

D 、二元函数 12、要使函数33axy bx y Φ=+作为应力函数，则b a 、满足的关系是（ ）

A 、a b 、任意

B 、b a =

C 、b a -=

D 、2

b a =

13、三结点三角形单元中的位移分布为（ ）。

A ．常数

B ．线性分布

C ．二次分布

D ．三次分布 14、应力、面力、体力的量纲分别是（ ）

A 、-1-2-2-2-2-2

M L T , M L T , M L T

B 、-1-2-2-2-1-2

M L T , M L T , M L T

C 、-1-2-1-2-2-2M L T , M L T , M L T

D 、-2-2-2-2-1-2

M L T , M L T , M L T 15、应变、Airy 应力函数、势能的量纲分别是（ ）

A 、-22-2

1, M L T , M L T

B 、-2-2

1, M L T , M L T

C 、-1-2-22-2

M L T , M L T , M L T

D 、-2-2-2-22-2M L T , M L T , M L T 16、下列力不是体力的是（ ）。

Ａ、重力 Ｂ、惯性力 Ｃ、电磁力 Ｄ、静水压力

17、下列问题可能简化为平面应变问题的是（ ）。

Ａ、受横向集中荷载的细长梁 Ｂ、挡土墙 Ｃ、楼板

Ｄ、高速旋转的薄圆板

18、在有限单元法中是以（ ）为基本未知量的。

A 、结点力

B 、结点应力

C 、结点应变

D 、结点位移

二、简答题

阐述弹性力学的平面问题的五个基本假设及其意义。课本P3

面力、体力与应力的正负号规定是什么，要会标明单元体指定面上的应力、面力及 体力。参照课本P5内容和例题1、3。 什么是主平面、主应力、应力主方向。课本P17

平面应力问题与平面应变问题各有什么特点，典型工程实例有哪些？在什么条件下， 平面应力问题的

xy

y x τσσ,,与平面应变问题的

xy

y x τσσ,,是相同的。

弹性力学平面问题三类方程的内容。要会默写。

在建立弹性力学平衡微分方程、几何方程、物理方程时分别应用了哪些基本假设？ 提示：平衡微分方程：连续性假设和小变形假设；几何方程：连续性假设和小变形假设： 物理方程：连续性假设、均匀性假设、各向同性假设、完全弹性假设。 按应力求解平面问题时，应力分量应满足哪些条件？ P38 简述圣维南原理的基本内容，两种表述方法及其应用举例。

若引用应力函数Φ求解平面问题，应力分量与应力函数的关系式x f y x x -?Φ

?=2

2

σ、

y f x y y -?Φ

?=22σ、

y x xy ??Φ?-

=2τ是根据弹性力学哪一类基本方程推导出来的。 简述逆解法和半逆解法的求解步骤。课本P57，P58

由于求解微分方程边值问题的困难，在弹性力学中发展了三种数值解法，分别

是 ， ， 。 有限单元法主要有两种导出方法，试简述其内容。 有限单元法特点有哪些？

为了保证解答的收敛性，位移模式应满足哪些条件？ 有限单元法解题的步骤有哪些。课本P108 – P109。 单元劲度矩阵k 中元素

ij

k 是一22?矩阵，其每一元素的物理意义是什么？要会利用

公式来求单元劲度矩阵。 关于有限单元法，回答以下问题： 1）单元结点力是什么？ 2）单元结点荷载是什么？

3）单元劲度矩阵的某一个元素的物理意义？ 4）整体劲度矩阵的某一个元素的物理意义？

5）有限单元法结点的平衡方程是什么力和什么力的平衡？

6) 三节点三角形单元中，位移与应力哪个精度更高，哪个误差更大，并说明原因。 三、计算题 1. 试问

xy

b a bx ay xy y x )(,,22+===γεε是否可能成为弹性力学问题中的应变分量？

提示：考察是否满足变形协调方程。

2. 检查下面的应力分量在体力为零时是否能成为可能的解答。

224,4,8x y xy x y xy σστ===-

提示：是否满足相容方程。

3. 已知物体内某点的应力分量为100x σ=，50y σ=

，xy τ=

12,σσ和1α。课本P34，习题2-15。

4. 已知

（a ）()()

22222

y Ay x Bxy C x y Φ=-+++

（b ）432234Ax Bx y Cx y Dxy Ey Φ=++++

以上两式能否作为平面问题应力函数的表达式？若能，则需要满足什么条件。

5. 试列出下图问题的边界条件。在其端部边界上，应用圣维南原理列出三个积分的应力边界条件。

6. 试列出下图问题的边界条件。在其端部边界上，应用圣维南原理列出三个积分的应力边界条件。

参考答案：在主要边界2

h

y =±

上，应精确满足下列边界条件： ()

2

h y

y q σ=-

=-，()2

0h xy y τ=-

=，()

2

0h y y σ=

=，()

12

h xy y q τ=

=-

在次要边界0x =上应用圣维南原理列出三个积分的应力边界条件

()

2N 0

2

h h x x dx F σ=-=?，()202

h h x x ydx M σ=-=-?

，()2S 02

h h xy x dx F τ=-=-?

在次要边界x l =列出位移边界条件， ()0x l u ==，()0x l v ==。 也可应用圣维南原理列出三个积分的应力边界条件

()

21N 2

h h x x l

dx q l F σ=-=+?，()2

122

22

h h x S x l q lh ql ydx M F l σ=-=

---?

，()

2S 2

h

h xy x l

dx ql F τ=-=--?

7. 单位厚度的楔形体，材料比重为1ρ，楔形体左侧作用比重为ρ的液体，如图所示。试写

出楔形体的边界条件。

参考答案：

左侧面：cos ,sin ,cot l m y x ααα=-=-=-

11cos sin cos sin cos sin x xy y xy gy gy σαταρα

σαταρα

--=??

--=? 右侧面，cos ,sin ,cot l m y x βββ==-=

cos sin 0

sin +cos 0x xy y

xy σβτβσβτβ-=??

-=? 8. 试用应力函数3

Bxy Axy +=Φ求解图示悬臂梁的应力分量（设h l >>）。

9.已知如图所示的墙，高度为h ，宽度为b ，h b >>，在两侧面上受到均布剪力q 作用，不计体力，试用应力函数3Axy Bx y Φ=+求解应力分量。

参考答案：

（1）将应力函数代入相容方程2

2

0??Φ=，其中

440x ?Φ=?，4220x y ?Φ=?，440y

?Φ

=? 满足相容方程。

（2）应力分量表达式为

220x y σ?Φ==?，226y Bxy x σ?Φ==?，223xy A Bx x y

τ?Φ

=-=--??

（3）考查边界条件

在主要边界2

b

x =±

上，应精确满足下列边界条件： ()2

0b x x σ=±=，()2

b xy x q τ=±=-

在次要边界0y =上，()

0y

y σ==能满足，但()

0yx y τ==的条件不能精确满足，应用

圣维南原理列出积分的应力边界条件代替

()

20

2

0b b yx y dx τ=-=?

将应力分量代入边界条件，得

2q A =-，22q B b

=

应力分量

0x σ=，212y q xy b σ=，221122xy q x b τ??

=- ???

9. 设有矩形截面竖柱，密度为ρ ，在一边侧面上受均布剪力q ，试求应力分量。提示：假

设220x y

σ?Φ

==?

参考答案：

（1）、假设220x y

σ?Φ

==?，由此推测Φ的形式为()()12=f x y f x Φ+

（2）、代入4=0?Φ，得

()()441

244

y+=0d f x d f x dx dx 要使上式在任意的y 都成立，必须

()

414

=0d f x dx

，得()321=f x Ax Bx Cx D +++

()424

=0d f x dx

，得()32

1=f x Ex Fx Gx H +++ 代入Φ，即得应力函数的解答()

3232

=Ax Bx Cx y Ex Fx Φ++++（略去了x 、y 的一次

项和常数项）

（3）、由Φ求应力分量，0,x y f f g ρ==

220x y

σ?Φ

==?

()226262y y f y Ax B y Ex F gy x

σρ?Φ

=-=+++-? （1分）

()2232xy Ax Bx C x y

τ?Φ

=-=-++??

（4）、校核边界条件

主要边界

()0,0x x h σ==（已满足）

()

0xy x τ==，0C =

()

xy x h

q τ==，()232Ah Bh C q -++=（1）

次要边界

()

0h y x dx σ==?，320Eh F +=（2）

()

0h

y x xdx σ==?，20Eh F +=（3）

()

0h

yx y dx τ==?，0Ah B +=（4）

由（1）-（4）联立可解得 A 、B 、E 、F 。

10. 设体力为零，试用应力函数22y x +=Φ，求出上图所示物体的应力分量和边界上的面力，

并把面力分布绘在图上，圆弧边界AB 上的面力用法线分量和切向分量表示。1OA OB ==。

y O

A

B

11. 已知平面应力问题矩形梁，梁长L ，梁高h, 已知E=200 000 Pa ，= 0.2μ，位移分量为：(,)6(0.5)u x y x L y E =-， 2(,)3()3v x y L x x E y E μ=--，求以下物理量在点

P(x=L/2,y=h/2)的值： (1) 应变分量 (2) 应力分量， (3) 梁左端（x=0）的面力及面力向

坐标原点简化的主矢和主矩。

12. 矩形长梁，2l m =，1h m =，厚度为t ，弹性模量为E ，泊松比13μ=，在右侧面作 用着均布面力2(N/m )q 。其有限元网格和单元()1()2的节点局部编号如图示，试写出单元

()2劲度矩阵()2k 。

q

j i

i

m

j

m

()

2()

1

单元劲度矩阵 ii ij im ji

jj jm mi mj

mm ???

?=?????

?

k k k k k k k k k k ，

()2112

2

114122r s r s r s r s rs r s r s r s r s b b c c b c c b Et A c b b c c c b b μμμμμμμ--??

++

??=?

?---?

?

++????

k

,,;,,r i

j m s i j m

== ();

,,i j m i m j

b y y

c x x i j m =-=-

答案：()4

0024

201220

212023032=20

012142327421221413--??

?

-- ? ?

--

?-- ? ?

--- ?

?---??

2k

13. 某结构的有限元计算网格如图（a ）所示。网格中两种类型单元按如图（b ）所示的局部

编号，它们单元劲度矩阵均为

0.5

0000.5000.250.2500.250.2500.250.2500.250.250000.500.50.50.250.2500.750.2500.250.250.50.250.75-????--????--=??-????---??---??

k

()a ()

b

i

j

m

i

j m

试求：① 结点1、2、3的等效结点荷载列阵{}L1F 、{}L2F 、{}L3F ; ② 整体劲度矩阵中的子矩阵[]22K ，[]33K ，[]45K 、[]55K 和[]67K 。

参考答案：{}06ql ????=??-????L1F ，{}2056ql ??

??

=??-????

L F ，{}02ql ????=??-????L1F

[] 1.50.250.25 1.5??=?

???22K ，[]330.750.250.250.75??=????K ，[]- 1- 0.25- 0.25- 0.5??

=????

45K 、

[]30.50.53??=??

??55K 和[]0000??

=????

67K 14. 有限单元法中选取的单元位移模式应满足什么条件? 下列位移函数

2

0123u a a x a y

a x =+++ ， 20123v

b b x b y b y =+++ 能否作为三角形单元的位移模式? 简要说明理由。若能，试估算其误差等级。 提示：考察能否满足收敛性的三个条件。

15. 对于图示的四节点平面四边形单元，若取位移模式为

12345678u a a x a y a xy v a a x a y a xy

=+++=+++

试: ① 考察此位移模式的收敛性条件。② 估计其误差等级。③ 列出求解其系数18~a a 的方程

提示：同上题。

关于弹性力学和有限单元法进一步学习的一些参考资料:

1、 徐芝纶，《弹性力学》，上、下册，北京：高等教育出版社，2008年第4版

2、 徐芝纶，《弹性力学简明教程》，北京：高等教育出版社，2002年8月第3版

3、 吴家龙，《弹性力学》，北京：高等教育出版社，2001年第1版

4、 王瑁成，邵敏，《有限单元法基本原理和数值方法》，北京：清华大学出版社，1997

年第2版

5、 曾攀，《有限元方法及应用》，北京：清华大学出版社，2004年第1版

6、 朱伯芳，《有限单元法原理及应用》，北京：中国水利水电出版社，1998年第2版

7、赵经文等，《结构有限元分析》，哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社

8、清华大学弹性力学国家级精品课程，杨卫，

http://166.111.92.23/data/071101/u/i/elasticity

9、北京大学弹性力学国家级精品课程，王敏中，https://www.360docs.net/doc/1910142029.html,,l力学与

工程科学系

10、西北工业大学弹性力学网络课程http://202.112.154.83/zskj/3011/TXLX

11、振动论坛https://www.360docs.net/doc/1910142029.html,/forum/index.php

12、中国CAE联盟https://www.360docs.net/doc/1910142029.html,/

13、大学力学论坛https://www.360docs.net/doc/1910142029.html,