高一数学培优专题(已修正)
厦大附中高一数学培优专题（一）
（2010-3-6/13）
知识要点梳理
本节公式中，,2a b c
s ++=,r 为切圆半径，R 为外接圆
半径，Δ为三角形面积. （一). 三角形中的各种关系
设△ABC 的三边为a 、b 、c ，对应的三个角A 、B 、C ． 1．角与角关系：A +B +C = π，
2．边与边关系：a + b > c ，b + c > a ，c + a > b ，
a －
b <
c ，b －c < a ，c －a < b ．
3．边与角关系：
正弦定理； R C c
B b A a 2sin sin sin ===
余弦定理； c 2 = a 2+b 2－2ba cos C ，
b 2 = a 2+
c 2－2ac cos B ，a 2 = b 2+c 2－2bc cos A ．
它们的变形形式有：a = 2R sin A ，b a
B A =sin sin ，
bc
a c
b A 2cos 2
22-+=． 3）射影定理：a ＝b ·cos C ＋c ·cos B ，
b ＝a ·cos C ＋
c ·cos A ， c ＝a ·cos B ＋b ·cos A ．
4
）面积公式：11sin 224a abc
S ah ab C rs R ?=====
（二）、关于三角形角的常用三角恒等式： 1.三角形角定理的变形
由A ＋B ＋C ＝π，知A ＝π－（B ＋C ）可得出： sin A ＝sin （B ＋C ），cos A ＝－cos （B ＋C ）． 而
2
22C
B A +-=π．有：2cos 2sin
C B A +=，2
sin 2cos
C
B A +=．
2.常用的恒等式：
（1）sin A ＋sin B ＋sin C ＝4cos 2
A cos 2
B cos 2
C ；
（2）cos A ＋cos B ＋cos C ＝1＋4sin 2
A sin 2
B sin 2
C ；
（3）sin A ＋sin B －sin C ＝4sin 2
A sin 2
B cos 2
C ；
（4）cos A ＋cos B －cos C ＝－1＋4cos 2
A cos 2
B sin 2
C ．
3．余弦定理判定法：如果c 是三角形的最大边，则有：
a 2＋
b 2＞
c 2
? 三角形ABC 是锐角三角形 a 2＋b 2＜c 2 ? 三角形ABC 是钝角三角形 a 2＋b 2=c 2 ? 三角形ABC 是直角三角形
(三) 三角形度量问题：求边、角、面积、周长及有关圆半径等。
其中“边边角”（abA ）类型利用正弦定理求角时应判定三角形的个数：
(四)积化和差公式
)]sin()[sin(21
cos sin βαβαβα-++=；
)]sin()[sin(21
sin cos βαβαβα--+=；
)]cos()[cos(21
cos cos βαβαβα-++=；
)]cos()[cos(2
1
sin sin βαβαβα--+-=
(五)和差化积公式
2
cos 2
sin 2sin sin β
αβ
αβα-+=+；
2sin
2cos
2sin sin β
αβαβα-+=-； 2cos
2cos 2cos cos β
αβαβα-+=+；
2
sin
2
sin
2cos cos β
αβ
αβα-+-=-
（一）课前练习
（1）ABC ?中，A 、B
的对边分别是 a b 、
，且A=60 4,a b ==，那么满足条件的ABC ? A 、 有一个解 B 、有两个解 C 、无解 D 、不能确定
（2）在△ABC 中，A=60°,b=1,面积为3， 则C B A c
b a sin sin sin ++++= .
（3）在ABC ?中， 112(tan A)(tan B )++=，则2log sinC ＝_____
(4)在ABC ?中，a,b,c 分别是角A 、B 、C 所对的边，若(a b c )(sin A sin B +++3sinC )a sin B -=，则C ∠＝____
（5）在ABC ?
中，若其面积2
2
2
a b c S +-=， 则C ∠=30
答案：（1）C ；（2）3
3
8（3）12-（4）60（5）30；
（6）在ABC ?中，60 1A ,b ==，这个三角
形的面积为，则ABC ?外接圆的直径是_______
（7）在△ABC 中，a 、b 、c 是角A 、B 、C 的
对边，21,cos 32
B C a A +==则= ，2
2
b c
+的最大值为
（8）在△ABC 中AB=1，BC=2，则角C 的取值围是
（9）设O 是锐角三角形ABC 的外心，若75C ∠=，且,,AOB BOC COA ???的面积满足关
系式AOB BOC COA S S ???+=，求A ∠．
答案：（6
）3；（7）1932;；（8）06
C π<≤；（9）45；
例题精讲：
例1. 在△ABC 中，已知3=a ，2=b ， B=45? 。求A 、C 及c
解法一：由正弦定理得：23
2