2009考研数学一真题及解析
2009年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题
一、选择题：1～8
小题,每小题4分,共32分.
(1) 当0x →时,()sin f x x ax =-与()()2ln 1g x x bx =-是等价无穷小,则 ( )
(A) 11,6a b ==-
. (B) 1
1,6a b ==. (C) 11,6a b =-=-. (D) 1
1,6
a b =-=.
(2) 如图,正方形(){}
,1,1x y x y ≤≤被其对角线划分
为四个区域()1,2,3,4k D k =,cos k
k D I y xdxdy =
??,
则{}14
max k k I ≤≤= ( )
(A) 1I .
(B) 2I .
(C) 3I .
(D) 4I .
(3) 设函数()y f x =在区间[]1,3-上的图形为
则函数()()0
x
F x f t dt =
?的图形为 ( )
(A) (B)
-1
-1
1
1
x y 1D
2D
3D
4D
(C)
(D)
(4) 设有两个数列{}{},n n a b ,若lim 0n n a →∞
=,则 ( )
(A) 当
1n
n b
∞
=∑收敛时,
1n n
n a b
∞
=∑收敛. (B) 当
1n
n b
∞
=∑发散时,
1n n
n a b
∞
=∑发散.
(C) 当
1
n
n b
∞
=∑收敛时,
221
n n
n a b
∞
=∑收敛. (D) 当
1
n
n b
∞
=∑发散时,
22
1
n n
n a b
∞
=∑发散.
(5) 设123,,ααα是3维向量空间3
R 的一组基,则由基12311
,
,23
ααα到基 122331,,αααααα+++的过渡矩阵为 ( )
(A) 101220033??
? ? ???
.
(B) 120023103??
?
? ???
.
(C) 1
112461
112461112
4
6??- ? ? ?
-
? ? ?- ???
.
(D) 1112221
114441116
6
6??-
? ?
?- ? ? ?- ???
. (6) 设,A B 均为2阶矩阵,*
*
,A B 分别为,A B 的伴随矩阵,若2,3A B ==,则分块矩阵
O A B O ?? ???
的伴随矩阵为 ( ) (A) **32O B A O ?? ???.
(B) **
23O
B A O ??
???.
(C) **32O A B
O ??
???.
(D) **
23O
A B
O ??
???
.
(7) 设随机变量X 的分布函数为()()10.30.72x F x x -??
=Φ+Φ
???
,其中()x Φ为标准正态分布的分布函数,则EX = ( ) (A) 0. (B) 0.3. (C) 0.7. (D) 1.
(8) 设随机变量X 与Y 相互独立,且X 服从标准正态分布()0,1N ,Y 的概率分布为
{}{}1
012
P Y P Y ====
.记()Z F z 为随机变量Z XY =的分布函数,则函数()Z F z 的间断点个数为 ( ) (A) 0. (B) 1. (C) 2. (D) 3.
二、填空题：9-14小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上.
(9) 设函数(),f u v 具有二阶连续偏导数,(),z f x xy =,则
2z
x y
?=?? . (10) 若二阶常系数线性齐次微分方程0y ay by '''++=的通解为()12x
y C C x e =+,则非齐
次方程y ay by x '''++=满足条件()()02,00y y '==的解为y = .
(11) 已知曲线(2
:0L y x x =≤≤,则L
xds =? .
(12) 设(){}
2
22,,1x y z x
y z Ω=
++≤,则2z dxdydz Ω
=??? .
(13) 若3维列向量,αβ满足2T
αβ=,其中T
α为α的转置,则矩阵T
βα的非零特征值为
.
(14) 设12,,,m X X X L 为来自二项分布总体(),B n p 的简单随机样本,X 和2
S 分别为样本
均值和样本方差.若2X kS +为2
np 的无偏估计量,则k = .
三、解答题：15－23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (15)(本题满分9分)
求二元函数()2
2
(,)2ln f x y x y y y =++的极值.
(16)(本题满分9分)
设n a 为曲线n
y x =与()1
1,2,n y x
n +==L 所围成区域的面积,记11
,n n S a ∞
==∑
2211
n n S a ∞
-==∑,求1S 与2S 的值.