华罗庚学校数学课本(6年级下册)第01讲 列方程解应用题

第一讲列方程解应用题

这一讲学习列方程解应用题．

例1甲乙两个数，甲数除以乙数商2余17．乙数的10倍除以甲数商3余45．求甲、乙二数．

分析被除数、除数、商和余数的关系：被除数=除数×商+余数．如果设乙数为x，则根据甲数除以乙数商2余17，得甲数=2x＋17．又根据乙数的10倍除以甲数商3余45得10x=3（2x＋17）＋45，列出方程．

解：设乙数为x，则甲数为2x+17．

10x=3（2x＋17）+45

10x=6x＋51+45

4x=96

x＝24

2x+17=2×24+17=65．

答：甲数是65，乙数是24．

例2电扇厂计划20天生产电扇1600台．生产5天后，由于改进技术，效率提高25％，完成计划还要多少天？

思路1：

分析依题意，看到工效（每天生产的台数）和时间（完成任务需要的天数）是变量，而生产5天后剩下的台数是不变量（剩余工作量）．原有的工效：1600÷20=80（台），提高后的工效：80×（1＋25％）=100（台）．时间有原计划的天数，又有提高效率后的天数，因此列出方程的等量关系是：提高后的工效x所需的天数=剩下台数．

解：设完成计划还需x天．

1600÷20×（1+25％）×x=1600-1600÷20×5

80×1.25x=1600-400

100x=1200

x=12．

答：完成计划还需12天．

思路2：

分析“思路1”是从具体数量入手列出方程的．还可以从“率”入手列方程．已知“效率提高25％”是指比原效率提高25％．把原来效率看成

解：设完成计划还要x天．

答：完成计划还需12天．

例3有一项工程，由甲单独做，需12天完成，丙单独做需20天完成．甲、乙、丙合作，需5天完成．如果这项工程由乙单独做，需几天完成？

工作总量．

解：设乙单独做，需x天完成这项工程．

答：乙单独做这项工程需15天完成．

例4中关村中学数学邀请赛中，中关村一、二、三小六年级大约有380～450人参赛．比赛结果全体学生的平均分为76分，男、女生平均分数分别为79分、71分．求男、女生至少各有多少人参赛？

分析若把男、女生人数分别设为x人和y人．依题意全体学生的平均分为76分，男、女生平均分数分别为79分、71分，可以确定等量关系：男生平均分数×男生人数+女生平均分数×女生人数=（男生人数+女生人数）×总平均分数．解方程后可以确定男、女生人数的比，再根据总人数的取值范围确定参加比赛的最少人数，从而使问题得解．

解：设参加数学邀请赛的男生有x人，女生有y人．

79x+71y＝（x+y）×76

79x+71y＝76x+76y

3x＝5y

∴ x：y=5：3

总份数：5＋3=8．

在380～450之间能被8整除的最小三位数是384，所以参加邀请赛学生至少有384人．

答：男生至少有240人参加，女生至少有144人参加．

例5瓶子里装有浓度为15％的酒精1000克．现在又分别倒入100

克和400克的A、B两种酒精，瓶子里的酒精浓度变为14％．已知A种酒精的浓度是B种酒精的2倍，求A种酒精的浓度．

分析依题意，A种酒精浓度是B种酒精的2倍．设B种酒精浓度为x％，则A种酒精浓度为2x％．A种酒精溶液10O克，因此100×2x％为100克酒精溶液中含纯酒精的克数．B种酒精溶液40O克，因此400×x％为400克酒精溶液中含纯酒精的克数．

解：设B种酒精浓度为x％，则A种酒精的浓度为2x％．

150＋6x＝14×15

6x=60

2x％＝2×10％＝20％．

答：A种酒精的浓度为20％．

例6有人用车把米从甲地运到乙地，装米的重车日行50里，空车日行70里，5日往返三次．问两地相距多少里？（选自《九章算术》）

分析当你用算术法解这道题时会感到比较困难．但用方程解这一算术“难题”就容易多了．列方程解应用题的关键在于确定等量关系，确立等量关系还有一种常用的方法叫译式法，即把日常用语译成代数语言，通过列表可以看出列方程的过程．

解：设两地相距x里．

依题意列方程：

3×（100000+x）=10x＋1

300000+3x=10x+1

7x=299999

x＝42857

例8兄弟二人三年后的年龄和是26岁，弟弟今年的年龄恰好是兄弟二人年龄差的2倍．问，3年后兄弟二人各几岁？

分析设3年后哥哥年龄为x岁，弟弟年龄为（26-x）岁．则今年哥哥年龄为（x-3）岁，弟弟年龄为（26-x-3）岁，兄弟二人的年龄差是（x-3）-（26-x-3）岁．列方程的等量关系是：弟弟今年的年龄=兄弟二人年龄差的2倍．

解：设3年后哥哥x岁，则弟弟3年后的年龄是（26-x）岁．

［（x-3）-（26-x-3）］×2＝26-x-3

［2x-26］×2＝23-x

4x-52=23-x

5x＝75

x＝15

26-x＝26-15＝11

答：3年后哥哥年龄是15岁，弟弟11岁．

习题一

1．某工厂三个车间共有180人，第二车间人数是第一车间人数的3倍还多1人，第三车间人数是第一车间人数的一半少1人．三个车间各有多少人？

克？

3．25支铅笔分给甲、乙、丙三人．乙分到的比甲的一半多3支，丙分到的比乙的一半多3支．问：甲、乙、丙三人各分到几支铅笔？

4．甲、乙共有图书63册，乙、丙共有图书77册．三人中图书最多的人的书数是图书最少的人的书数的2倍．问：甲、乙、丙三人各有图书多少册？

5．体育用品商店购进50个足球、40个篮球，共3000元．零售时足球加价9％，篮球加价11％，全部卖出后获利润298元．问：每个足球、篮球进价各多少元？

6．王虎用1元钱买了油菜籽、西红柿籽和萝卜籽共100包．油菜籽3分钱一包，西红柿籽4分钱一包，萝卜籽1分钱7包．问王虎买进油菜籽、西红柿籽和萝卜籽各多少包？

DAAN

习题一解答

1．解：设第一车间有x人，则第二车间有（3x＋1）人，第三车间有

答：第一车间有40人，第二车间有121人，第三车间有19人．

2．解：设甲容器原有溶液x克，乙容器原有溶液（2600-x）克．

答：甲容器原有溶液1600克，乙容器原有溶液1000克．

3．提示：设甲有x支，乙分到的比甲的一半多3支，则乙有

+3]支．

答：甲、乙、丙各分得铅笔10支、8支、7支．

4．提示：这道题要先推理后列方程．关键是分析出甲、乙、丙三人中谁最多、谁最少．依题意：甲+乙=63，乙+丙=77，两式相减得丙-甲=14．题目中还给出图书最多的人的书数是图书最少的人的书数的2倍，也即它们的

于甲，知丙不是最少．若丙最多，甲最少．设丙有图书x册，则由条件有：

求出乙为49本，这样显然丙不是最多，也不是最少．因此，乙最大，甲最小．

解：设甲有图书x册，则乙有图书2x册

x+2x＝63

x=21

2x=42

77-42=35．

答：甲有图书21册，乙有图书42册，丙有图书35册．

5．解：设每个足球进价x元，每个篮球进价y元．

由（1）得 5x+4y=300 （3）

由（2）得 45x+44y=2980 （4）

用（4）-（3）×9得

8y=280

∴ y＝35．

把y=35代入（3）得

5x+4×35=300

∴ x=32．

答：每个足球进价32元，每个篮球进价35元．

6．解：设买回油菜籽x包，西红柿籽y包，则萝卜籽为（100-x-y）包．

20的倍数．

当y=20时，x=3，100-x-y=77．

当y≥40时，x是负数，不合题意．所以只能有一组解．

答：王虎买油菜籽3包，西红柿籽20包，萝卜籽77包．