《一元二次方程》典型例题及解析

《一元二次方程》典型例题一

例 指出下列方程中哪些是一元二次方程？

（1）)12(3652+=+x x x

（2）x x =28

（3）532=x

（4）y x 342=

（5）02=-x

（6）24)3()15(x x x x x ++=-

解：（1）整理得：x x x 366522+=+

移项，合并得：0632=-+x x

∴ 是一元二次方程

（2）移项得：082=-x x

∴ 是一元二次方程

（3）532=x

∵方程的分母中含有未知数

∴它不是一元二次方程

（4）0342

=-y x

∵ 方程中含有两个未知数

∴ 它不是一元二次方程

（5）02=-x

∵01≠-=a

∴它是一元二次方程

（6）整理得：222435x x x x x ++=-

移次，合并得：04=x

∵二次项系数合并后为0

∴它不是一元二次方程

说明：对方程要先进行整理，然后再根据条件：

①整式方程

②只含有一个未知数

③未知数的最高次数为2

只有当这三个条件缺一不可时，才能判断为一元二次方程．

《一元二次方程》典型例题二

例 若032

2=-+-p p x px 是关于x 的一元二次方程，则（ ）.

(A) p 为任意实数 (B ) 0=p

(C) 0≠p ( D) 0=p 或1

分析与解：显然方程0322=-+-p p x px 是关于x 的整式方程，且方程中含有一个未知数x ，若想让它满足一元二次方程的定义，需使未知数的最高次数为2的系数0≠p ，故应选（C ）．

《一元二次方程》典型例题三

例 关于x 的方程（322-+m m ）1351=++x x m 是不是一元二次方程？

分析：此方程是不是一元二次方程，可直接根据定义判断，看它是否同时满足一元二次方程定义的条件：（1）是整式方程；（2）只含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是 2.观察方程易知它已满足(1)、（2）两条，能否满足条件：

解：.032212?

??≠-+=+m m m 由于1=m 时，0322=-+m m

所以不存在m 的值同时满足且21=+m 0

322≠-+m m 故关于x 的方程（322-+m m ）1351=++x x m 不是一元二次方程.

《一元二次方程》典型例题四

例 把下列方程化为一元二次方程的一般形式，再指出其二次项系数，一次项系数及常数项．

（1）x x 352

=

（2）03)12(2=-+-x x

（3）03)17(2=--x

（4）0)12)(12(=+-x x

（5）2)12)(56(m m m =+-

解：（1）整理，得 0352=-x x

二次项系数5，一次项3-，常数项0

（2）整理，得：03)12(2=--+x x

二次项系数：1，一次项系数：12-，常数项：3-

（3）整理，得：0214492=--x x

二次项系数：49，一次项系数：14-，常数项：－2．

（4）整理得：014

12=-x 二次项系数：4

1，一次项系数：0，常数项：1- （5）整理得：054112=--m m

二次项系数：11，一次项系数：4-，常数项：5-

说明：在移项，合并同类项时，易出现符号错误，需格外小心．特别要小心当某项的系数为负数时，指出各项系数时千万不要丢负号．

《一元二次方程》典型例题五

例 把下列关于x 的方程化成一元二次方程的一般式，并指出它的二次项系数，一次项系数及常数项．

（1）d cx abx +=2（0≠ab ）

（2）q p x q p +=-2)(（q p ≠）

（3）12322--=+-p x p x px

（4）12)3(22-=-+x kx x m

解：（1）02

=--d cx abx （0≠ab ）

二次项系数：ab ，一次项系数：c -，常数项：d -

（2）0)()(2=+--q p x q p （q p ≠）

二次项系数：q p -，

一次项系数：0

常数项：q p --

（3）0422

2=++--p px x p x 04)(222=+++-p x p p x

二次项系数：2，

一次项系数：p p --2

常数项：4+p

（4）012)3(22=+--+kx x x m

01)23(2=+--+kx x m

01)1(2=+-+kx x m

二次项系数：1+m ，一次项系数：k -，常数项：1

说明：对于字母系数的方程的整理，应先明确其未知数，再确定各项的系数，特别要注意，一定要讨论所除的二次项系数不能为0，因为一元二次方程只有在这个条件下才是有意义的．

《一元二次方程》典型例题六

例 一元二次方程01422

=-+x x 的二次项系数、一次项系数及常数项之和为 ．

分析与解：该一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别为2、4、1-，所以它们的和为5，故填5．

说明：根据一元二次方程的标准式先确定各项的系数及常数项, 然后相加即得所求,要注意常数项包括符号,即为1-．

《一元二次方程》典型例题七

例 方程05)3()2(852=+-+-+-x m x m m m

（1）m 取何值时，是一元二次方程，并求此方程的解；

（2）m 取何值时，方程是一元一次方程．

分析：此题应注意对x 项的指数与系数的讨论．

解：（1）当2852

=+-m m 且02≠-m 时，方程为一元二次方程．

由,2852=+-m m

解得,3,221==m m

又∵ ,02≠-m 得.2≠m

∴ 3=m 时方程为一元二次方程．

将3=m 代入原方程，

得,052=+x 方程无实数解．

（2）由,02=-m 得2=m ，且,03≠-m 这时方程为一元一次方程．

（02≠-m 时，1852=+-m m 和0852=+-m m 均无解．）

说明：解一元二次方程02=++c bx ax 时，0≠a 是关键，在二次项系数是含字母的代数式时，应特别注意这一条件．