2017年高考数学浙江卷及答案解析

数学试卷 第1页（共18页） 数学试卷 第2页（共18页）

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2017年普通高等学校招生全国统一考试(浙江卷)

数 学

本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.

参考公式：

球的表面积公式

椎体的体积公式

24πS R =

1h

3V S = 球的体积公式

其中S 代表椎体的底面积

2

4π3V R =

h 表示椎体的高

其中R 表示球的半径 台体的体积公式

柱体的体积公式

()

b

1

h 3a V S S =

h V S =

其中的a S ，b S 分别表示台体的 h 表示柱体的高

上、下底面积

h 表示台体的高

选择题部分(共40分)

一、选择题:本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，

只有一项是符合题目要求的

1.已知集合{}{}-1<1Q=02P x x x x =<<<，，那么PUQ = A .(-1，2)

B .(0，1)

C .(-1，0)

D .(1，2)

2.椭圆221

4x y

+=的离心率是

A

B C .23 D .59

3.某几何体的三视图如图所示(单位：cm )，则该几何体的体积(单位：3cm )是

第3题图

A .π+12

B .

π

+32

C .3π

+12

D .3π+32 4.若x ，y 满足约束条件0+-30-20x x y x y ??

???

≥≥≤，则z 2x y =+的取值范围是

A .[0]6,

B .[0]4,

C .[6+)∞,

D .[4+)∞,

5.若函数2()=f x x ax b ++在区间[0]1，

上的最大值是M ，最小值是m ，则-m M A .与a 有关，且与b 有关 B .与a 有关，但与b 无关 C .与a 无关，且与b 无关

D .与a 无关，但与b 有关

6.已知等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，则“0d >”是465"+2"S S S >的 A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充分必要条件

D .既不充分也不必要条件

7.函数()y f x =的导函数()y f x '

=

的图象如图所示，则函数()y f x =的图象可能是

第7题图

毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________

-------------在

--------------------此--------------------

卷--------------------

上--------------------

答--------------------

题--------------------

无--------------------

效----------------

数学试卷 第3页（共18页） 数学试卷 第4页（共18页）

A

B

C

D

8.已知随机变量i ξ满足i 1()i P p ξ==，i ()01P pi ξ==-，12i =，.若122

01

p p <<<，则 A .12E()E()ξξ＜，12D()D()ξξ＜ B .12E()E()ξξ＜，12D()D()ξξ＞ C .12E()E()ξξ＞，12D()D()ξξ＜ D .12E()E()ξξ＞，12D()D()ξξ＞

9.如图，已知正四面体–D ABC （所有棱长均相等的三棱锥），P ，Q ，R 分别为AB ，

BC ，CA 上的点，AP PB =，

2BQ CR

QC RA

==.分别记二面角––D PR Q ，––D PQ R ，––D QR P 的平面角为

αβγ，，，则

A .γαβ<<

B .αγβ<<

C .αβγ<<

D .βγα<<

10.如图，已知平面四边形ABCD ，

AB BC ⊥，2AB BC AD ＝＝＝，3CD ＝，AC 与BD 交于点O ，记1I O AO B ＝

，2I OB OC ＝，3I OC OD ＝，则

A .123I I I <<

B .132I I I <<

C .312I I I <<

D .213I I I <<

非选择题部分(共110分)

二、填空题:本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.

11.我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率π，理论上能把π的值计算到任意精度.祖冲之继承并发展了“割圆术”，将π的值精确到小数点后七位，其结果领先世界一千多年，“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积6S ，6=S ________.

12.已知a b R ∈，，

2

i 34i a b +=+（）(i 是虚数单位)，则22a b +=________，ab =________.

13.已知多项式()()5432123453212=x x x a x a x a x a x a +++++++，则4=a ________，5=

a ________.

14.已知ABC △，4AB AC ==，2BC =.点D 为AB 延长线上一点，2BD =，连接CD ，则BDC △的面积是________，cos BDC ∠=________.

15.已知向量a ,b 满足1=a ，2=b ，则+-a +b a b 的最小值是________，最大值是________.

16.从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有________种不同的选法.(用数字作答)

17.已知a ∈R ，函数4

()f x x a a x =+-+在区间[]14，

上的最大值是5，则a 的取值范围是________.

三、解答题:本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18.(本题满分14分)

已知函数()22

()sin cos cos R f x x x x x x =--∈.

(I)求2()3

f π

的值； (II)求()f x 的最小正周期及单调递增区间.

（第9题图）

（第10题图）

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19.(本题满分15分) 如图，已知四棱锥P ABCD -，PAD △是以AD 为斜边的等腰直角三角形，BC AD ∥，CD AD ⊥，22PC AD DC CB ===，E 为PD 的中点. (I)证明：CE ∥平面PAB ；

(II)求直线CE 与平面PBC 所成角的正弦值.

20.(本题满分15分)

已知函数(1()e 2x f x x x -?

?= ??

?≥.

(I)求()f x 的导函数；

(II)求()f x 在区间1+2??

∞????

，上的取值范围.

-------------在

--------------------此--------------------

卷--------------------

上--------------------

答--------------------

题--------------------

无--------------------

效

----------------

毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________

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21.(本题满分15分)

如图，已知抛物线2x y =，点1124A ??- ???，，3924B ??

???

，，抛物线上的点

()1

2

,32P x x y ??- ???＜＜，过点B 作直线AP 的垂线，垂足为Q .

(I )求直线AP 斜率的取值范围；

(II )求PA PQ 的最大值.

22.(本题满分15分)

已知数列{}n x 满足：1=1x ，()()

*11ln 1N n n n x x x n ++=++∈. 证明：当*N n ∈时， (I )10n n x x +＜＜；

(I I )1

122

n n n n x x x x ++-≤

； (III )1-21122n n n x -≤≤.

2017年普通高等学校招生全国统一考试(浙江卷)

数学答案解析

选择题部分

一、选择题 1.【答案】A

【解析】根据集合的并集的定义,得2(1)PUQ =-，. 2.【答案】B

【解析】根据题意知,

3a =,b

2=,则

c ==∴椭圆的离心率c e a =

故选B . 3.【答案】A

【解析】由几何体的三视图可得,该几何体是由半个圆锥和一个三棱锥组成的,故该几何

体的体积1111π

π3+213=+132322V =?

?????,故选A .

4.【答案】D

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【解析】作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示,由z 2x y =+,得

1y=22

z

x -+,∴2z 是直线1=22z y x -+在y 轴上的截距,根据图形知,当直线

1=22z y x -+过A 点时,2z

取得最小值.由20+30x y x y -=??

-=?

,得2x =,1y =,即21A （，）,此时,4z =,∴4x ≥,故选D .

5.【答案】B

【解析】2

2

()=++b 24a a

f x x ??- ???

,①当012a ≤-≤时,min ()=m =()2a f x f -{}{}

2

max +b ()max (0)(1)max b ++b 4

a f x M f f a =-===，，1，∴22max 1+44a a M m a ??-=+????

，与a 有关,与b 无关；②当02a

-＜时,()f x 在[]01，

上单调递增,∴(1)(0)1M m f f a -==+-与a 有关,与b 无关；③当12a

-＞时,()f x 在

[]01，

上单调递减,∴(0)(1)1f f M m a -=---=与a 有关,但与b 无关,故选B . 6.【答案】C

【解析】因为{}n a 为等差数列,所以46111+=466151021

a

a a S S d d d +++=+,512=1020a S d +,465+2=S S S d -,所以4650+2d S S S ?＞＞,故选C .

7.【答案】D

【解析】根据题意,已知导函数的图象有三个零点,且每个零点的两边导函数值的符号相

反,因此函数()f x 在这些零点处取得极值,排除A 、B ；记导函数()f x '的零点从左到右分别为123x x x ，，,又在()1x -∞，()0f x '＜,在()12x x ，上()0f x '＞,所以函数

()f x 在()1x -∞，上单调递减,排除C ,故选D .

8.【答案】A

【解析】根据题意得,1()i E p ξ=，11(-)i i p D p ξ=（）

，12i =，,∵121

02

p p ＜＜＜,∴12()()E E ξξ＜,令()f x 在1

02

（，）上单调递增,所以12(p )(p )f f ＜,即12()()D D ξξ＜,故选A . 9.【答案】B

【解析】如图1,设O 是点D 在底面ABC 的射影,过O 作OE PR ⊥，OF PQ ⊥，OG RQ ⊥,

垂足分别为E 、F 、G ,连接ED 、FD 、GD ,易得ED PR ⊥,∴OED ∠就是二面

角D PR Q --的平面角,∴=OED α∠,tan =OD OE α,同理tan =OD OF β,tan =OD

OG

γ.

底面的平面图如图2所示,以P 为原点建立平面直角坐标系,不妨设2AB =,则0,1)A

（,,0)B （1

,C （

,O （,∵AP PB =,2BQ CR

QC RA ==,

∴13Q

（

,23R （-,则直线RP

的方程为y =,直线PQ

的方程为y =,直线RQ

的方程为y ,根据点到直线的距离公式,

知OE =

,OF =,1

3

OG =,∴OE OG OF ＞＞,∴tan tan tan αγβ＜＜,又α，β，γ为锐角,∴

αγβ＜＜，故选B .

10.【答案】C

【解析】如图所示,四边形ABCE 是正方形,F 为正方形的对角线的交点,易得AO ＜AF ,

而90AFB ∠=?,∴AOB ∠与COD ∠为钝角,AOD ∠与BOC ∠为锐角,根据题意,

12()cos 0I I OA OB OB OC OB OA OC OB CA OB CA AOB -=-=-==∠＜,∴

12I I ＜,同理得23I

I ＞,作AG BD ⊥于G ,又AB AD =,∴OB BG GD OD =＜＜,而

OA AF FC OC =＜＜,

数学试卷 第11页（共18页） 数学试卷 第12页（共18页）

∴OA OB OC OD ＜,而cos =cos 0AOB COD ∠∠＜,∴OA OB OC OD ＞,即13I I ＞,

∴312I I I ＜＜,故选C .

非选择题

二.填空题. 11. 【解析】如图

,单位圆内接正六边形由六个边长为1的正三角形组成,所以

,正六边形的

面积61=61222

S ???. 12.【答案】5 2

【解析】∵2

2

2

+2bi 2i 34i a a b ab =-+=+（）,∴22324

a b ab ?-=?

=?,∴21a b =??=?或2

1a b =-??=-?,∴225a b +=,2ab =.

13.【答案】16 4

【解析】由题意知4a 为含x 的项的系数,根据二项式定理得

2222331

43232121216

a C C C C =???+???=,

5

a 是常数项,所以

3

3

2

532124a C C

=

?

??=

. 14.

【答案】

2

【解析】在ABC △中,4AB AC ==,2BC =,由余弦定理得

2222224241

cos ABC=22424

AB BC AC AB BC +-+-

==??∠,则sin ABC=sin

CBD ∠∠,所以B D C 15

=B D B C s 2

S CBD =

△∠.因为2B D B C ==,所以

1

2

C D B A B C

=∠∠,则cos CDB ∠. 15.【答案】4

【

解

析

】

解法一：

()()()

2

2

2

222222a b a b a b a b a b a b a b a b a b

++-=++-++-=+++-=10+2a b a b

+-,

而

()()223

a b a b a b a b a b +-+-=-=≥,

∴

()2

16a b a b ++-≥,即

4a b a b ++-≥

,

即a b a b ++-的最小值为4.又

2a b a b

+-≤

,∴a b a b ++-的最大值为

.

解法二：由向量三角不等式得

,()(

)24a b a b a b a b b ++-+--==≥,又

2a b a b

++-=∴a b a b ++-的最大值为

.

16.【答案】660

【解析】分两步,第一步,选出4人,由于至少1名女生,故有44

8655C C -=种不同的选法；

第二步,从4人中选出队长、副队长各1人,有2

412A =种不同的选法.根据分步乘法

计数原理知共有55 12 660?=种不同的选法.

17.【答案】(92?

-∞??

，

【解析】∵[]1,4x ∈,∴[]44,5x x +∈,①当9

2

a ≤时,

max ()=555f x a a a a -+=-+=,符合题意,②当分9

2

a ＞时

,

max ()=4245f x a a a -+=-=,∴9

2a =(矛盾),故a 的取值范围是(92?-∞??，.

三、解答题.

数学试卷 第13页（共18页） 数学试卷 第14页（共18页）

18.【答案】（Ⅰ）2π

(

)23

f = （Ⅱ）()f x 的的单调递增区间是()π2ππ,π63k k k Z ??

++∈????

【解析】(Ⅰ)

由2πsin

3,2π1

cos 32

=-,

2

2

2π11()322f ????=---- ? ???????

,得2π()23f =. (Ⅱ)由22cos2cos sin x x x =-与sin22sin cos x x x =得

π()cos 222sin 26f x x x x ?

?=--=-+ ???.

所以()f x 的最小正周期是π.

由正弦函数的性质得

ππ3π

2π22π262

k x k +++≤≤,k Z ∈, 解得π2π

ππ63

k x k ++≤≤,k Z ∈,

所以()f x 的的单调递增区间是()π2ππ,π63k k k Z ??

++∈????

.

19.【答案】(Ⅰ)如图,设PA 中点为F ,连接EF ,FB .因为E 、F 分別为PD ,PA 中点,

所以EF AD

∥且1=2EF AD ,又因为BC AD ∥,1

=2

BC AD ,所以EF BC ∥且=EF BC ,

即四边形BCEF 为平行四边形,所以CE BF ∥,因此CE ∥平面PAB . （Ⅱ）直线CE 与平面PBC

【解析】(Ⅰ)如图,设PA 中点为F ,连接EF ,FB .因为E 、F 分別为PD ,PA 中点,所

以EF AD ∥且1=2EF AD ,又因为BC AD ∥,1

=2BC AD ,所以EF BC ∥且=EF BC ,

即四边形BCEF 为平行四边形,所以CE BF ∥,因此CE ∥平面PAB . (Ⅱ)分别取BC ,AD 的中点为M ,N .连接PN 交EF 于点Q ,连接MQ .

因为E 、F 、

N 分别是PD ,PA ,AD 的中点,所以Q 为EF 中点,在平行四边形BCEF 中,MQ CE ∥.

由PAD ?为等腰直角三角形得PN AD ⊥. 由DC AD ⊥,N 是AD 的中点得BN AD ⊥. 所以AD ⊥平面PBN ,

由BC AD ∥得BC ⊥平面PBN ,那么平面PBC ⊥平面PBN . 过点Q 作PB 的垂线,垂足为H ,连接MH .

MH 是MQ 在平面PBC 上的射影,所以QMH ∠是直线CE 与平面PBC 所成的角.

设1CD =.

在PCD △中,由2PC =,1CD =

,PD

CE ,

在PBN △中,由1PN BN ==

,PB =得1

4

QH =,

在t R MQH △中,1

4QH =

,MQ =

所以sin MQH ∠,

所以,直线CE 与平面PBC

所成角的正弦值是8.

20.【答案】(Ⅰ)

因为(

1x '=,()

e e x x --'=-,

所以((

)

12e 1()1e e 2x x x

x f x x x ----??

'=-=

? ??

＞.

(Ⅱ

)由()

12e ()x x f x --'=

,

解得1x =,5

2

x =. 因为

又

())

2

1

1e 02

x f x

-=

≥,

数学试卷 第15页（共18页） 数学试卷 第16页（共18页）

所以()f x 在1,2??

+∞????上的取值范围是1210,e 2-??????

.

【解析】(Ⅰ)

因为(

1x '

=-,()e e x x --'=-,

所以((

)

12e 1()1e e 2x x x

x f x x x ----??

'=-=

? ?

?

＞.

(Ⅱ

)由()

12e ()x x f x --'=,

解得1x =,5

2

x =. 因为

又

())

2

1

1e 02

x f x -=

≥,

所以()f x 在1,2??

+∞????上的取值范围是12

10,e 2-??????

.

21.【答案】（Ⅰ）()1,1-

（Ⅱ）27

16

【解析】(Ⅰ)设直线AP 的斜率为k ,

2114122x k x x -

=

=-+, 因为13

22

x -＜＜,所以直线AP 斜率的取值范围是()1,1-.

(Ⅱ)联立直线AP 与BQ 的方程110,24930,

42kx y k x ky k ?

-++=????+--=??

解得点Q 的横坐标是()

22

43

21Q k k x k -++=+.

因为)1x+12PA k ?

==+??

,

)

2

11x

Q

k k PQ x -+-=

所以()()3

11PA PQ k k =--+. 令()()()3

11f k k k =--+, 因为()()2

()421f k k k '=--+,

所以()f k 在区间11,2??-- ???上单调递增,1,12??

???

上单调递减,

因此当12k =时,PA PQ 取得最大值27

16

.

22.【答案】(Ⅰ)用数学归纳法证明：0n x ＞. 当1n =时,110x =＞. 假设n k =时,0k x ＞,

那么+1n k =时,若10k x +≤,则()110=+ln 1+0k k k x x x ++≤＜,矛盾,故10k x +＞. 因此()n 0N*x n ∈＞.

所以()111=+ln 1+n n n n x x x x +++＞. 因此()10N*n n x x n +∈＜≤. (Ⅱ)由()11=+ln 1+n n n x x x ++得,

()()2

111111x -4=+2=22ln 1+n n n n n n n n n x x x x x x x x ++++++-++.

记函数()()()2()22ln 1+0f x x x x x x =-++≥,

()()22()ln 1+001

x x

f x x x x +'=++＞≥,

函数()f x 在[)0+∞，

上单调递增,所以()(0)=0f x f ≥,因此 ()()211111x 22ln 1+=()n n n n n x x x f x +++++-++≥0,

故()1

12N*2

n n n n x x x x n ++-≤

∈. (III )因为()11111x ln 1+2n n n n n n x x x x x +++++=+≤+=, 所以1

12n n x -≥. 由

1122n n n n x x x x ++-≥得

111

112022n n x x +??--

???

≥＞,

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所以

1-21111111-22=2222n n n n n x x x --????

-- ? ?????≥≥…≥, 故21

2n n x -≤.

综上,()1211

N*22

n n n x n --∈≤≤.

【解析】(Ⅰ)用数学归纳法证明：0n x ＞. 当1n =时,110x =＞. 假设n k =时,0k x ＞,

那么+1n k =时,若10k x +≤,则()110=+ln 1+0k k k x x x ++≤＜,矛盾,故10k x +＞. 因此()n 0N*x n ∈＞.

所以()111=+ln 1+n n n n x x x x +++＞. 因此()10N*n n x x n +∈＜≤. (Ⅱ)由()11=+ln 1+n n n x x x ++得,

()()2

111111x -4=+2=22ln 1+n n n n n n n n n x x x x x x x x ++++++-++.

记函数()()()2()22ln 1+0f x x x x x x =-++≥,

()()22()ln 1+001

x x f x x x x +'=++＞≥,

函数()f x 在[)0+∞，

上单调递增,所以()(0)=0f x f ≥,因此 ()()211111x 22ln 1+=()n n n n n x x x f x +++++-++≥0,

故()1

12N*2

n n n n x x x x n ++-≤

∈. (III )因为()11111x ln 1+2n n n n n n x x x x x +++++=+≤+=, 所以1

12n n x -≥. 由

1122n n n n x x x x ++-≥得

111

112022n n x x +??-- ???

≥＞, 所以1-21111111-22=2222n n n n n x x x --????

-- ? ?????≥≥…≥,

故21

2n n x -≤.

综上,()1211

N*22n n n x n --∈≤≤.