二次根式练习10套(附问题详解)
二次根式练习01
一、填空题
1、下列和数1415926.3)1( .
3.0)2(
7
22
)3( 2)4( 38
)5(-
2
)
6(π
...3030030003.0)7(
其中无理数有________，有理数有________（填序号） 2、
9
4
的平方根________，216.0的立方根________。 3、16的平方根________，64的立方根________。
4、算术平方根等于它本身的数有________，立方根等于本身的数有________。
5、若2562
=x
，则=x ________，若2163-=x ，则=x ________。
6、已知ABC Rt ?两边为3，4，则第三边长________。
7、若三角形三边之比为3：4：5，周长为24，则三角形面积________。 8、已知三角形三边长n n n n n n ,122,22,122
2
++++为正整数，则此三角形是________三角形。 9、如果
0)6(42=++-y x ，则=+y x ________。
10、如果12-a 和a -5是一个数m 的平方根，则.__________,==m a
11、三角形三边分别为8，15，17，那么最长边上的高为________。
12、直角三角形三角形两直角边长为3和4，三角形一点到各边距离相等，那么这个距离为________。
二、选择题
13、下列几组数中不能作为直角三角形三边长度的是（ ）
A. 25,24,6===c b a
B.
5.2,2,5.1===c b a
C.
4
5,2,32===
c b a D. 17,8,15===c b a
14、小强量得家里彩电荧屏的长为cm 58，宽为cm 46，则这台电视机尺寸是（ ）
A. 9英寸（cm 23）
B. 21英寸（cm 54）
C. 29英寸（cm 74）
D .34英寸（cm 87）
15、等腰三角形腰长cm 10，底边cm 16，则面积（ ）
A.2
96cm
B.
248cm
C.
224cm
D.
232cm
16、三角形三边c b a ,,满足ab c b a 2)(2
2
+=+，则这个三角形是（ ）
A. 锐角三角形
B. 钝角三角形
C. 直角三角形
D. 等腰三角形
17、2
)6(-的平方根是（ ）
A .6-
B .36
C. ±6
D. 6±
18、下列命题正确的个数有：a a a a ==23
3)2(,)
1(（3）无限小数都是无理
数（4）有限小数都是有理数（5）实数分为正实数和岁实数两类（ ） A .1个
B. 2个
C .3个
D.4个
19、x 是2
)9(-的平方根，y 是64的立方根，则=+y x （ ）
A. 3
B. 7
C.3，7
D. 1，7
20、直角三角形边长度为5，12，则斜边上的高（ ） A. 6
B. 8
C.
13
18 D.
13
60 21、直角三角形边长为b a ,，斜边上高为h ，则下列各式总能成立的是（ ）
A. 2h ab =
B.
2222h b a =+
C.
h b a 111=+ D.222111h
b a =+ 22、如图一直角三角形纸片，两直角边
cm BC cm AC 8,6==，现将直角边AC
沿直线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，则CD 等于（ ） A.cm 2
B.cm 3
C.cm 4
D.cm 5
三、计算题
23、求下列各式中x 的值:
04916)1(2=-x
25)1)(2(2=-x
8)2)(3(3-=x
27)3()4(3
=--x
24、用计算器计算:（结果保留3个有效数字）
15)1(
315)2(
π-6)3( 2332)4(-
四、作图题
25、在数轴上画出8-的点。
26、下图的正方形网格，每个正方形顶点叫格点， 请在图中画一个面积为10的正方形。
五、解答题
27、已知如图所示，四边形ABCD 中，
,12,13,4,3cm CD cm BC cm AD cm AB ==== 090=∠A 求四边形
ABCD 的面积。
28、如图所示，在边长为c 的正方形中，有四个斜边为c ，直角边为b a ,的全等
直角三角形，你能利用这个图说明勾股定理吗？写出理由。
A
E
B
D
C
第22题图
第25题图
第26题图
A
第27题图
29、如图所示，15只空油桶（每只油桶底面直径均为cm 60）堆在一起，要给它盖一个遮雨棚，遮雨棚起码要多高？（结果保留一位小数）
30、如图所示，在ABC Rt ?中，0
90=∠ACB ，CD 是AB 边上高，若AD=8，
BD=2， 求CD 。
31、在△ABC 中，AB=15，AC=13，BC 边上高AD=12，试求△ABC 周长。
第30题图
C
A
D
B
第29题图
二次根式练习01
答案: 一、填空题：
1．4、6、7，1、2、3、5；2．3
2
±，0．6；3．±2，2；4．0和1，0和±1； 5．±16，-4；6．5或7；7．24；8．直角；9．-2；10．-4，81；11．17
120
；
12．1
二、选择题：13-22：ACBCCBDDDB 三、计算题： 23．（1）x=4
7
±；（2）x=6或x=-4；（3）x=-1；（4）x=6；24．用计算器计算答案略
四、作图题：（略）
五、解答题：27．提示：连结BD ，面积为56；28．提示：利用面积证明；29．327．8；30．CD=4；31．周长为42.
二次根式练习02
一、选择题（每小题2分，共30分） 1、25的平方根是（ ）
A 、5
B 、–5
C 、5±
D 、5±
2、2
)3(-的算术平方根是（ ）
A 、9
B 、–3
C 、3±
D 、3 3、下列叙述正确的是（ ）
A 、0.4的平方根是2.0±
B 、3
2）（--
的立方根不存在 C 、6±是36的算术平方根 D 、–27的立方根是–3 4、下列等式中，错误的是（ ）
A 、864±=±
B 、
15
11
225121±= C 、62163
-=- D 、1.0001.03
-=-
5、下列各数中，无理数的个数有（ ）
10.10100142
π
--， ， ， A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 6、如果
x -2有意义，则x 的取值围是（ ）
A 、2≥x
B 、2 C 、2≤x D 、2>x 7、化简1|21|+- 的结果是（ ） A 、22- B 、22+ C 、2 D 、2 8、下列各式比较大小正确的是（ ） A 、32-<- B 、6 655->- C 、14.3-<-π D 、310->- 9、用计算器求得333+的结果（保留4个有效数字）是（ ） A 、3.1742 B 、3.174 C 、3.175 D 、3.1743 10、如果 m m m m -= -33成立，则实数m 的取值围是（ ） A 、3≥m B 、0≤m C 、30≤ 155? ÷ ，所得结果正确的是（ ） A 、5 B 、25 C 、1 D 、55 12、若0 x x 2 -的结果为（ ） A 、2 B 、0 C 、0或–2 D 、–2 13、a 、b 为实数，在数轴上的位置如图所示，则2a b a +-的值是（ ） A.－b B.b C.b －2a D.2a －b a 0 b 14、下列算式中正确的是( ) A 、333n m n m -=- B 、ab b a 835=+ C 、1037=+x x D 、5252 3 521=+ 15、在二次根式：①12 ；③27中，与3是同类二次根式的是（ ） A 、①和③ B 、②和③ C 、①和④ D 、③和④ 二、填空题（每小题2分，共20分） 16、–125的立方根是_____. 17、如果 9=x ，那么x ＝________；如果92=x ，那么=x ________． 18、要使53-x 有意义，则x 可以取的最小整数是 . 19、平方根等于本身的数是________；立方根等于本身的数是_______ 20、x 是实数，且02 1 22 =- x ，则.____=x 21、若b a 、是实数，012|1|=++-b a ，则._____22 =-b a 22、计算：①____;)32(2 =-②._____196 452 2=- 23 、若 2.645== = . 24、计算：._____1882=++ 25、已知正数a 和b ，有下列命题： （1）若2=+b a ，则ab ≤1 （2）若3=+b a ，则ab ≤ 2 3 （3）若6=+b a ，则ab ≤3 根据以上三个命题所提供的规律猜想：若9=+b a ，则ab ≤________． 三、解答题（共50分） 26、直接写出答案（10分） ② ④ ⑦348- ⑧ ()2 25+ ⑨ 27、计算、化简：（要求有必要的解答过程）（18分） ①8 612? ②)7533(3- ③32 －32 1+2 ④1231 27+- ⑤( 2 ⑥2 3 63327?-+ 28、探究题（10分） =______， =______ ， ， =______. 根据计算结果，回答： （1） a 吗？你发现其中的规律了吗？请你用自己的语言描 述出来. （2）.利用你总结的规律，计算 ①若2x ? = ②=_____ 29、（6分）已知一个正方形边长为3cm ，另一个正方形的面积是它的面积的4倍，求第二个正方形的边长。（精确到0.1cm ） 30、（6分）已知y x 、满足0|22|132=+-+--y x y x ，求y x 5 4 2- 的平方根. 附加题：31、（5分）已知2 1 ,31==y x ，求下列各式的值 ①3223441y x y x y x + + ②322 4 1y xy y x +- 32、（5分）已知ABC ?的三边为c b a 、、．化简 根式002参考答案 一、CDDBCCDC BCCACDC 二、－5； ±9； ±3； 2； 0； ±1、0； ±0.5； 2； 12； 3 14 ；122。8； ； 92 ； 三、12；± 2 3 ；－0.4；5；；9+；2；1.5； 3；-63；1； 3；0.5；6；34；13 ；0a =；2-x ； 3.14π-； 6cm ； ±9；6 ；4c 。 二次根式练习03 一、填空题(每题2分，共28分) 1.4的平方根是_____________. 2. 的平方根是_____________. 7．在实数围分解因式：a4-4 =____________. 二、选择题(每题4分，共20分) 15．下列说确的是( ). (A) x ≥1 (B)x ＞1且x ≠-2 (C) x ≠-2 (D) x ≥1且x ≠-2 (A)2x -4 (B)-2 (C)4-2x (D)2 三、计算题(各小题6分，共30 分) 四、化简求值(各小题5分，共10分) 五、解答题(各小题8分，共24分) 29. 有一块面积为(2a + b)2π的图形木板，挖去一个圆后剩下的木板的面积是(2a - b)2π，问所挖去的圆的半径多少？ 30.已知正方形纸片的面积是32cm2，如果将这个正方形做成一个圆柱，请问这个圆柱底圆的半径是多少(保留3个有效数字)？ 根式003答案 1．±2 2. ±2 3. –ab 4. –2 5. 0或4 6. m≥1 12. -x-y 13. x≤4 14. 15. B 16. A 17. D 18. A 19. A 20. D 23. 24 30. 0.900 二次根式练习04 一、 填空题（每题3分，共54分） 2.-27的立方根 =. 二、选择题（每题4分，共20分） 15.下列式子成立的是( ). 17 ．下列计算正确的是( ). 四、化简求值（各小题 8分，共16分） 根式004答案 2. -3 3. -a-6 6. 0 7. 1 8. ≤0 12. 2003 15. D 16. C 17. C 18. C 19. B 20. A 二次根式练习05二次根式： 1. 使式子有意义的条件是。 2. 当__________ 3. 若 1 1 m+ 有意义，则m的取值围是。 4. 当__________ x 是二次根式。 5. 在实数围分解因式： 42 9__________,2__________ x x -=-+= 。 6. 若2x =，则x的取值围是。 7. 已知2x =-，则x的取值围 是。 8. 化简：)1 x的结果是。 9. 当15 x ≤5_____________ x-=。 10. 把。 11. 使等式 1 x =+成立的条件 是。12. 若1 a b -+互为相反数，则 ()2005_____________ a b -=。 13. 在式子 )()()2 3 0,2,12, 20,3,1, x y y x x x x y += --++中，二次根式有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 14. 下列各式一定是二次根式的是（） 15. 若23 a ） A. 52a - B. 12a - C. 25 a- D. 21 a- 16. 若A= =（） A. 24 a+ B. 22 a+ C. ()2 22 a+ D. ()2 24 a+ 17. 若1 a≤ ） A. (1 a- B. (1a- C. (1 a- D. (1a- 18. =x的取值围是（） A. 2 x≠ B. 0 x≥ C. 2 x D. 2 x≥ 19. 计算： ） A. 0 B. 42 a- C. 24a - D. 24a -或42 a-20. 下面的推导中开始出错的步骤是（） ( ) ( ) () () 231 2 3 224 == -== ∴ =- ∴=- A. ()1 B. ()2 C. ()3 D. () 4 21. 若2440 y y -+=，求xy 的值。 22. 当a取什么值时，1取值最小，并求出这个最小 值。 23. 去掉下列各根式的分母： ()) 10 x()) 21 x 24. 已知2310 x x -+= 25. 已知,a b为实数，(10 b-=，求20052006 a b -的值。 二次根式练习05 答案： 二次根式： 1. 4x ≥； 2. 1 22 x -≤≤ ； 3. 01m m ≤≠-且； 4. 任意实数； 5. ()((2 2 3;x x x x +-； 6. 0x ≥；7. 2x ≤； 8. 1x -； 9. 4； 10. 11. 1x ≥； 12. -1； 13——20：CCCABCDB 21. 4； 22. 1 2a =-，最小值为1； 23. ()()() 2312.1x x +； 24. 25. -2 二次根式练习06 1. 当0a ≤，0 b __________=。 2. 若 _____,______m n ==。 3. 计算：__________==。 4. 计算： _____________=。 5. 长方形的宽为 面积为，则长方形的长约为 （精确到0.01）。6. 下列各式不是最简二次根式的是（ ） A. C. 4 7. 已知0xy ，化简二次根式的正确结果为（ ） A. C. D. 8. 对于所有实数,a b ，下列等式总能成立的是（ ） A. 2 a b =+ a b =+ C. 22a b =+ a b = + 9. -- ） A. 32- - B. 32- - C. -=- 不能确定 10. ） A. 它是一个非负数 B. 它是一个无理数 C. 它是最简二次根式 D. 它的最小值为3 11. 计算： ( )1 ( )2 ( )(()30,0a b -≥≥ ( ))40,0a b ( )5 ( )6?÷ ? 12. 化简： ())10,0a b ≥≥ ( )2 ( )3a 13. 把根号外的因式移到根号： ()1.-( )(2.1x - 八年级数学下册二次根式练习题及答案九年级数学科 检测范围：二次根式完卷时间：45分钟满分：100分 一、填空题。 1、当x ________时，2?x在实数范围内有意义。 2、计算： =________。 3、化简： = _______。 4、计算：2×=________。 5、化简：=_______。 6、计算：÷ 7、计算：-20-5=_______。 8化简： = ______。 1 2 35 =_______。 二、选择题。、x为何值时， x 在实数范围内有意义 x?1 A、x > 1 B、x ≥ 1 C、x 10a = - a ，则a的取值范围是 A、 a>0 B、 a 11、若a?4=，则的值为 A、B、1C、100 D、196 12、下列二次根式中，最简二次根式的是 A、17 B、13 C、±17 D、±13 2 ） 14、下列计算正确的是 A、2+ = B、2+=22 C、2= D、 15、若x A、-1B、1C、2x-D、5-2x 16、计算的结果是 A、2+1 B、3 C、1 D、-1 三、解答题。 17、计算： - 18、计算：00·008 19、利用计算器探索填空： 44?=_______； 444?8=_______； 444444?88=_______；…… 由此猜想： n个8） =__________。444???44?88??? 1、≤、、、65、、、、-二、选择题 9、A 10、D 11、C 12、B 13、B 14、C 15、D 16、 A 三、解答题 17、解：原式=2- 18、解：原式=[]200· =00·=-22 19、解：；66；666；……；666…6。 20、解：∵x+ =，∴= 10， 121∴x+2，∴x+=8， xx 2 22 - + =-2 1 x1x 1221∴ = x+2， xx ∴x- = ±6。 1 x 5 初中数学二次根式测试题 判断题：． 1．2＝2．……． ?1?x2 是二次根式．…………… 2?122＝2?2 二次根式计算专题训练 解答题（共30小题） 1．计算： （1）+；（2）（+）+（﹣）． 2．计算： （1）（π﹣3.14）0+|﹣2|﹣+（）﹣2．（2）﹣4﹣（﹣）．（3）（x﹣3）（3﹣x）﹣（x﹣2）2． 3．计算化简： （1）++（2）2﹣6+3． 4．计算 （1）+﹣（2）÷×． （1）×+3×2（2）2﹣6+3． 6．计算： （1）（）2﹣20+|﹣| （2）（﹣）× （3）2﹣3+；（4）（7+4）（2﹣）2+（2+）（2﹣） 7．计算 （1）?（a≥0）（2）÷ （3）+﹣﹣（4）（3+）（﹣） （1）+﹣（2）3+（﹣）+÷． 9．计算 （1）﹣4+÷（2）（1﹣）（1+）+（1+）2． 10．计算： （1）﹣4+（2）+2﹣（﹣）（3）（2+）（2﹣）；（4）+﹣（﹣1）0． 11．计算： （1）（3+﹣4）÷（2）+9﹣2x2?． ①4+﹣+4；②（7+4）（7﹣4）﹣（3﹣1）2． 13．计算题 （1）××（2）﹣+2 （3）（﹣1﹣）（﹣+1）（4）÷（﹣） （5）÷﹣×+（6）． 14．已知：a=，b=，求a2+3ab+b2的值． 15．已知x，y都是有理数，并且满足，求的值． 16．化简：﹣a． 17．计算： （1）9+5﹣3；（2）2；（3）（）2016（﹣）2015． 18．计算：． 19．已知y=+﹣4，计算x﹣y2的值． 20．已知：a、b、c是△ABC的三边长，化简． 21．已知1＜x＜5，化简：﹣|x﹣5|． 22．观察下列等式： ①==； ②==； ③== …回答下列问题： （1）利用你观察到的规律，化简： （2）计算：+++…+． 23．观察下面的变形规律： =，=，=，=，…解答下面的问题： （1）若n为正整数，请你猜想=； （2）计算： （++…+）×（） 24．阅读下面的材料，并解答后面的问题： ==﹣1 一、选择题 1．如果0,0a b <<，且6a b -=，则22a b -的值是（ ） A ．6 B ．6- C ．6或6- D ．无法确定 2．下列计算正确的是（ ） A ．()2 22a b a b -=- B ．()3 22x x 8x ÷=+ C ．1a a a a ÷? = D ． () 2 44-=- 3．下列二次根式中是最简二次根式的为（ ） A ．12 B ．30 C ．8 D ． 12 4．如图，在矩形ABCD 中无重叠放入面积分别为16cm 2和12cm 2的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为（ ） A ．（8﹣43）cm 2 B ．（4﹣23）cm 2 C ．（16﹣83）cm 2 D ．（﹣12+83）cm 2 5．计算() 21 273632 ÷+?--的结果正确的是( ) A ．3 B ．3 C ．6 D ．33- 6．已知，那么满足上述条件的整数的个数是（ ）. A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 7．下列计算正确的是（ ） A 366=± B ．422222=C ．83266= D a b ab =（a≥0，b≥0） 8．下列各式计算正确的是（ ） A 235+=B ．2 36=（） C 824= D 236= 9．已知m ＝12n ＝12223m n mn +- （ ） A ．±3 B ．3 C ．5 D ．9 10．下列各组二次根式中，能合并的一组是（ ） A 1a +1a -B 3和 1 3 C 2a b 2ab D 318 二、填空题 11．比较实数的大小:(1)5?-______3- ；（2）51 4 -_______12 12．计算（π-3）02-2 11(223)-4 --22 --（） 的结果为_____． 13．对于任何实数a ，可用[a]表示不超过a 的最大整数，如[4]=4，[3]=1．现对72进行如下操作：72 [72]=8 [8]=2 [2]=1，类似地，只需进行3次操作 后变为1的所有正整数中，最大的是________． 14．已知a ＝﹣ 73 +，则代数式a 3+5a 2﹣4a ﹣6的值为_____． 15．已知实数a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，化简2a ﹣|a ﹣c |+2()c b -﹣|﹣b |＝_______． 16．把1 m m - _____________. 17．若a 、b 、c 均为实数,且a 、b 、c 均不为0432 52a c b =___________ 18．已知|a ﹣20072008a -=a ，则a ﹣20072的值是_____． 19．已知4a 2(3)|2|a a +--=_____． 20．3a ，小数部分是b 3a b -=______. 三、解答题 21．计算： （18322（2）)((2 52253 82 +-+． 【答案】(1)52 【分析】 （1）先化简二次根式，再合并同类二次根式即可； （2）根据平方差公式化简，再化简、合并同类二次根式即可. 【详解】 （18322=22422 =52 （2） )((2 52253 82 +--+ 二次根式培优专题 、【基础知识精讲】 1. 二次根式：形如...a （其中a ______ ）的式子叫做二次根式。 2. 最简二次根式：必须同时满足下列条件： ⑴被开方数中不含开方开得尽的_______________ ；⑵被开方数中不含______ ；⑶分母中不含______ 。 3. 同类二次根式： 二次根式化成______________ 后，若 ___________ 相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。 4. 二次根式的性质： （1）G.-/a ）= ____ （其中a ___ ）（ 2）a2 = _______ （其中a ___ ） 5. 二次根式的运算： （1）因式的外移和内移：一定要注意根号内隐含的含字母的代数式的符号或根号外含字母的代数式 的符号；如果被开方数是代数和的形式，则先分解因式，变形为积的形式，再移因式到根号外面。 （2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式. （3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数。 JOb= _________ （其中a^_ b ______ ）；J a= ______________ （其中a—一b ____ ）. \ b （4）分母有理化：把分母中的根号化去，就叫分母有理化，方法是分子分母都乘以分母的有理化因 式，两个根式相乘后不再含有根式，这样的两个根式就叫互为有理化因式，如,3的有理化因式就是,3 , .8的有理化因式可以是8也可以是2 , ，b 的有理化因式就是需- Ub . （5）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，乘法对加法的分配律以及多项式的乘 法公式，都适用于二次根式的运算. （6）二次根式的加减乘除运算，最后的结果都要化为最简二次根式. 6. 双重二次根式的化简： 二次根号里又含有二次根式，称之为双重二次根式。双重二次根式化简的方法是： 设x 0, y 0, a 0, y 0 ,且x y 二a, xy = b，贝U a 2、 b = （x y） 2、_ xy = C、x）2（、._ y）22 xy = （、x .. y）2 二次根式基础练习题 班级 姓名__________ 分数__________ 一、选择题（每小题3分，共30分） 1．若m -3为二次根式，则m 的取值为 （ ） A ．m≤3 B．m ＜3 C ．m≥3 D．m ＞3 2．下列式子中二次根式的个数有 （ ） ⑴ 31；⑵3-；⑶12+-x ；⑷38；⑸23 1 )(-；⑹)(11>-x x ；⑺322++x x . A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个 ^ 3．当 2 2-+a a 有意义时，a 的取值范围是 （ ） A ．a≥2 B．a ＞2 C ．a≠2 D．a≠－2 4．下列计算正确的是 （ ） ①69494=-?-=--))((；②69494=?=--))((； ③145454522=-?+=-；④145452 222=-=-； A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 5．化简二次根式352 ?-)(得 （ ） A ．35- B ．35 C ．35± D ．30 . 6．对于二次根式92 +x ，以下说法不正确的是 （ ） A ．它是一个正数 B ．是一个无理数 C ．是最简二次根式 D ．它的最小值是3 7．把 ab a 123分母有理化后得 （ ） A ．b 4 B ．b 2 C ． b 2 1 D ． b b 2 8．y b x a +的有理化因式是 （ ） A ．y x + B ．y x - C ．y b x a - D ．y b x a + 9．下列二次根式中，最简二次根式是 （ ） — A ．23a B ． 3 1 C ．153 D ．143 10．计算： ab ab b a 1 ?÷等于 （ ） A ． ab ab 2 1 B ． ab ab 1 C ．ab b 1 D ．ab b 二、填空题（每小题3分，共分） 11．当x___________时，x 31-是二次根式． 12．当x___________时，x 43-在实数范围内有意义． 13．比较大小：23-______32-． 16.2 二次根式的乘除 二次根式的乘法 基础训练 知识点1 二次根式的乘法法则 1.(河池)计算:×= . 2.(安徽)计算×的结果是( ) A. B.4 C. D.2 3.(中考·海南)下列各数中,与的积为有理数的是( ) A. B.3 C.2 D.2- 4.等式·=成立的条件是( ) A.x≥1 B.-1≤x≤1 C.x≤-1 D.x≤-1或x≥1 5.下列等式成立的是( ) A.4×2=8 B.5×4=20 C.4×3=7 D.5×4=20 6.(2016·长沙)下列计算正确的是( ) A.×= B.x8÷x2=x4 C.(2a)3=6a3 D.3a3·2a2=6a6 7.×的计算结果估计在( ) A.1至1.5之间 B.1.5至2之间 C.2至2.5之间 D.2.5至3之间 8.在△ABC中,BC=4 cm,BC边上的高为2 cm,则△ABC的面积为( ) A.6 cm2 B.4 cm2 C.8 cm2 D.16 cm2 知识点2 积的算术平方根的性质 9.若=·成立,则( ) A.a≥0,b≥0 B.a≥0,b≤0 C.ab≥0 D.ab≤1 10.若=·,则x的取值范围是( ) A.x≥-3 B.x≥2 C.x>-3 D.x>2 11.(重庆)化简的结果是( ) A.4 B.2 C.3 D.2 12.下列计算正确的是( ) A.=× B.=5a2b C.=8+5 D.=7 13.对于任意实数a,下列各式中一定成立的是( ) A.=· B.=a+6 C.=-4 D.=5a2 14.设=a,=b,用含有a,b的式子表示,则下列表示正确的是( ) A.0.3ab B.3ab C.0.1ab2 D.0.1a2b 15.将a根号外的因式移到根号内. 提升训练 16.计算: 《二次根式》复习 班级: 姓名: 一、 二次根式的有关概念 1. 二次根式: 形如 的式子叫做二次根式,二次根式有意义的条件是被开放数a ≥0. 2. 最简二次根式: (1)被开方数中不含有 . (2)被开方数中不含有开得尽方的因数或因式. 例:二次根式 b a x x ++22,40,2,30,12,2 1 中,是最简二次根式的有____________________ ________. 下列各式中是最简二次根式的是 ( ) (A )a 18 (B ) 2 x (C )22n m + (D )y x 2 3 3. 同类二次根式: 几个二次根式化成最简二次根式后,如果 ,那么这几个二次根式就叫做同类二次根式. 例:下面与2是同类二次根式的是 ( ) (A )3 (B )12 (C )8 (D )12- 下列根式中与a 是同类二次根式的是 ( ) (A )a 2 (B )23a (C ) a 1 (D )4a 二、 二次根式的性质 1. 非负性：二次根式a 中被开方数a ≥0，且a ≥0. 2. () =2 a (a ≥0). 3. ==a a 2 . 三、 二次根式的运算 1. 乘法公式: =?b a (a ≥0,b ≥0). 2. 积的算术平方根: =ab (a ≥0,b ≥0). (a ≥0) (a ﹤0) 3. 除法公式: == ÷b a b a (a ≥0,b ﹥0). 4. 商的算术平方根: =b a (a ≥0,b ﹥0). 5. 二次根式的加减:二次根式加减时,先将二次根式化成 ,再将 合并. 四、 典例研习 【例1】 x 取怎样的数时,下列二次根式有意义? ； . 【变式探究】 1. 1-x 在实数范围内有意义,则x 的取值范围是 . 2.使式子x -4无意义的x 的取值是 . 3.使式子有意义的x 的取值范围是 . 4.能使式子 x x -+ -412有意义的x 的取值范围是 . 5.若()0312 =++-+y y x ,则y x -的值为______________. 6. ()2 11y x x x +=---,则y x -的值为 ( ) (A )1- (B )1 (C )2 (D )3 【例2】若a <1,化简 ()112 --a 等于 ( ) (A )2-a (B )a -2 (C )a (D )a - 【变式探究】 7.计算: ( ) =+-32 32 =+3 . 8.已知a a 二次根式基础训练 一、判断题：（每小题1分，共5分） 1．2)2(＝2．（ ） 2．21x --是二次根式．（ ） 3．221213-＝221213-＝13－12＝1．（ ） 4．a ，2ab ，a c 1 是同类二次根式．（ ） 5．b a +的有理化因式为b a -．（ ） 二、填空题：（每小题2分，共20分） 6．等式2 )1(-x ＝1－x 成立的条件是_____________． 7．当x ____________时，二次根式32-x 有意义． 8．比较大小：3－2______2－3． 9．计算：2 2 )2 1()2 13(-=__________． 10．计算： 92131·3 11 4a ＝______________． 11．实数a 、b 在数轴上对应点的位置如图所示： 则3a －2 )43(b a -＝ ______________． 12．若8-x ＋ 2-y ＝0，则x ＝___________，y ＝_________________． 13．3－25的有理化因式是____________． 14．当 21＜x ＜1时，122+-x x －24 1x x +-＝______________． 15．若最简二次根式132-+b a 与a b -4是同类二次根式，则a ＝______， b ＝____． 三、选择题：（每小题3分，共15分） 16．下列变形中，正确的是（ ） （A ）(23)2＝2×3＝6 （B ）2 )5 2 (-＝－ 5 2 （C ）169+＝169+ （D ）)4()9(-?-＝49? 17．下列各式中，一定成立的是（ ） （A ）2)(b a +＝a ＋b （B ）2 2)1(+a ＝a 2＋1 （C ）12-a ＝1+a ·1-a （D ） b a ＝b 1ab 18．若式子12-x －x 21-＋1有意义，则x 的取值范围是（ ） （A ）x ≥ 21 （B ）x ≤21 （C ）x ＝2 1 （D ）以上都不对 19．当a ＜0，b ＜0时，把 b a 化为最简二次根式，得（ ） （A ） ab b 1 （B ）－ab b 1 （C ）－ab b -1 （D ）ab b 20．当a ＜0时，化简|2a －2a |的结果是（ ） （A ）a （B ）－a （C ）3a （D ）－3a 八年级数学二次根式 一，选择 1、如果a是非零实数，则下列各式中一定有意义的是（） A、a B、a- 2C、2a-D、21 a 2. 下面的计算中，正确的是（） A =0.1； B．=-0.03； C± 13； D π-4 3. 等式)6 x x成立的条件是（） ?x x ( - 6- = A．x≥0 B．x≥6 C．0≤x≤6 D．x 为一切实数 二填空 4、若x3+3x2 =－x x+3 ，则x的取值范围是。 5. 当 __________ 6. 若1 有意义，则m的取值范围 1 是。 7 ()2 240 -+-=，则= a c a b + -c 8 . 2440 -+=，xy的值是 y y 9、化简2)2 1(-的结果是 10、已知 a等于 11、当-1 12、 (1) ,则x 的取值范围是 。 (2) , 则x 的取值范围 是 。 (3) 设a,b,c 为△ABC 的三边 ,化简 = (4) 则a 的取值范围是 13．数a 在数轴上的位置如图所示，化简： -│1-a │ =_______． 14．比较大小6．（填“>”，“＝”，“<”号） 三．计算 （1; （2） )521 (154- ?- (3)a a 82? （4） 23241 62xy xy ? （x ≥0，y ≥0） （5） ) 2 四.在实数范围内因式分解. (1) （2）（3） 2x =-1=-2=22 x -2 3x -+59x x - 二、二次根式的乘法 1．等式 )6(6-=-?x x x x 成立的条件是（ ） A ．x ≥0 B ．x ≥6 C ．0≤x ≤6 D ．x 为一切实数 2. 计算： __________ 3．计算：=?b a 10253 ______． 4. 当 0a ≤，b ＜0__________=。 5、若x 3 +3x 2 =－x x+3 ，则x 的取值范围是 。 6.计算（1）821 ? （2） )521 (154- ?- （3） 12 （4） 2000 （5）2 22853- （6） 44176?； （7）2 3 483 4 15? ； （8）16 2436a a ? 二次根式培优 一、知识的拓广延伸 1、挖掘二次根式中的隐含条件 一般地，我们把形如a a() ≥0 的式子叫做二次根式，其中0 a≥。 根据二次根式的定义，我们知道：被开方数a的取值范围是0 a≥，由此我们判断下列式子有意义的条件： 1 (1; 2 (4); 1 x ++ -+ + 2、 教科书中给出： (0) a a =≥，在此我们可将其拓展为： a a a a a a 2 == ≥ -< ? ? ? || () () （1）、根据二次根式的这个性质进行化简： ①数轴上表示数a 的点在原点的左边，化简 2a ②化简求值： 1 a a= 1 5 ③已知， 1 3 2 m -<< ，化简2m ④______ =； ⑤若为a,b,c ________ =; ___________ =. （2）、根据二次根式的定义和性质求字母的值或取值范围。 ①若1 m=,求m的取值范围。 4x =-，则x的取值范围是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿． ③若a= ④3,2xy 已知求的值。 二．二次根式a的双重非负性质：①被开方数a是非负数，即0 ≥ a ②二次根式a 是非负数，即0≥a 例1. 要使1 21 3-+ -x x 有意义，则x 应满足（ ）． A ．21≤x ≤3 B ．x ≤3且x ≠21 C ．21＜x ＜3 D ．2 1 ＜x ≤3 例2（1）化简x x -+-11＝_______． (2) x ＋y )2，则x －y 的值为( ) (A)－1． (B)1． (C)2． (D)3． 例3(1)若a 、b 为实数，且满足│a －2│+2b -=0，则b －a 的值为( ) A ．2 B ．0 C ．－2 D ．以上都不是 (2)已知y x ,是实数，且2)1(-+y x 与42+-y x 互为相反数，求实数x y 的倒数。 三，如何把根号外的式子移入根号内 我们在化简某些二次根式时，有时会用到将根号外的式子移入根号内的知识，这样式子的化简更为简单。在此我们要特别注意先根据二次根式的意义来判断根号外的式子的符号。如果根号外的式子为非负值，可将其平方后移入根号内，与原被开方数相乘作为新的被开方数，根号前的符号不会发生改变；如果根号外的式子为负值，那么要先将根号前的符号变号，再将其其平方后移入根号内，与原被开方数相乘作为新的被开方数。 （1）、 根据上述法则，我们试着将下列各式根号外的式子移入根号内： ①- ②(a -（2）、利用此方法可比较两个无理数的大小。 (2)2-—3 四，拓展性问题 1、 整数部分与小数部分 要判断一个实数的整数部分与小数部分，应先判断已知实数的取值范围，从而确定其整数部分，再由“小数部分=原数—整数部分”来确定其小数部分。 例：（1）1的整数部分为a ，小数部分为b ，试求ab —b 2的值。 （2）若x 、y 分别为 8-2xy —y 2的值。 （3 a ，小数部分为 b ，求a 2+b 2 的值。 （4）若________a a b a b ==是的小数部分，则。 5a a b -（的整数部分为a ，小数部分为b ，求的值。 2、巧变已知，求多项式的值。 32351 x x x x = +-+（1）、若的值。 二次根式练习01 一、填空题 1、下列和数1415926.3)1( . 3.0)2( 7 22 )3( 2)4( 38 )5(- 2 ) 6(π ...3030030003.0)7( 其中无理数有________，有理数有________（填序号） 2、 9 4 的平方根________，216.0的立方根________。 3、16的平方根________，64的立方根________。 4、算术平方根等于它本身的数有________，立方根等于本身的数有________。 5、若2562 =x ，则=x ________，若2163-=x ，则=x ________。 6、已知ABC Rt ?两边为3，4，则第三边长________。 7、若三角形三边之比为3：4：5，周长为24，则三角形面积________。 8、已知三角形三边长n n n n n n ,122,22,122 2 ++++为正整数，则此三角形是________三角形。 9、如果 0)6(42=++-y x ，则=+y x ________。 10、如果12-a 和a -5是一个数m 的平方根，则.__________,==m a 11、三角形三边分别为8，15，17，那么最长边上的高为________。 12、直角三角形三角形两直角边长为3和4，三角形一点到各边距离相等，那么这个距离为________。 二、选择题 13、下列几组数中不能作为直角三角形三边长度的是（ ） A. 25,24,6===c b a B. 5.2,2,5.1===c b a C. 4 5,2,32=== c b a D. 17,8,15===c b a 14、小强量得家里彩电荧屏的长为cm 58，宽为cm 46，则这台电视机尺寸是（ ） A. 9英寸（cm 23） B. 21英寸（cm 54） C. 29英寸（cm 74） D .34英寸（cm 87） 15、等腰三角形腰长cm 10，底边cm 16，则面积（ ） A.2 96cm B. 248cm C. 224cm D. 232cm 16、三角形三边c b a ,,满足ab c b a 2)(2 2 +=+，则这个三角形是（ ） A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 等腰三角形 17、2 )6(-的平方根是（ ） A .6- B .36 C. ±6 D. 6± 18、下列命题正确的个数有：a a a a ==23 3)2(,) 1(（3）无限小数都是无理 数（4）有限小数都是有理数（5）实数分为正实数和岁实数两类（ ） A .1个 B. 2个 C .3个 D.4个 19、x 是2 )9(-的平方根，y 是64的立方根，则=+y x （ ） A. 3 B. 7 C.3，7 D. 1，7 20、直角三角形边长度为5，12，则斜边上的高（ ） A. 6 B. 8 C. 13 18 D. 13 60 21、直角三角形边长为b a ,，斜边上高为h ，则下列各式总能成立的是（ ） 《二次根式》培优 一、知识讲解 1．根式中的相关概念 ⑴二次根式：形如)0a ≥的代数式叫做二次根式。 ⑵ n n 次根式.其中若n 为偶数，则必须满足0a ≥。 ⑶最简二次根式：满足以下两个条件的二次根式叫做最简二次根式：①被开方数的因数是整数，因式是整式；②被开方数中不含有能开方的因数或因式。 ⑷同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式之后，如果被开方数相同，则这几个根式叫做同类二次根式。 时，a c +=+ 2. 二次根式的性质 （1 ） ()2 0a a =≥. （2 00 0 0a a a a a a >?? ===??- （4 ） )0m a =≥ （5）若0a b >> >4. 分母有理化 （1）把分母中的根号化去叫做分母有理化. （2）互为有理数因式：两个含有根式的代数式相乘，如果它们的积不含有根式，则这两个代数式互为有理化因式 . 互为有理数因式。分母有理化时，一定要保证有理化因式的值不为0. 二、习题讲解 基础巩固 1.化简： （1 ） （2 （3 （4 ） （5 （6 ） 解：（1 ）. （2 3. （3 ） （4 3 . （5 ） 2 32 - . （6 ） 2. 设y = ，求使y 有意义的x 的取值范围. 解：由题知2102010x x x -≥?? -≥??->?，解得1221 x x x ?≥?? ≤??>? ?，所以x 的取值范围为12 2x ≤≤. 3.（1）已知最简二次根式b a = ， b = . （2）已知 0=，则2mn n +-的倒数的算术平方根为 . 解：（1）由题知：2 322b a b b a - =??=-+?，解得02a b =??=?. （2）因为0 ≥，2160m -≥0= 二次根式基础练习 一、选择题（每小题3分，共30分） 1．若m -3为二次根式，则m 的取值为 （ ） A ．m≤3 B ．m ＜3 C ．m≥3 D ．m ＞3 2．下列式子中二次根式的个数有 （ ） ⑴31；⑵3-；⑶12+-x ；⑷38；⑸231)(-；⑹)(11>-x x ；⑺322++x x . A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个 3．当22 -+a a 有意义时，a 的取值范围是 （ ） A ．a≥2 B ．a ＞2 C ．a≠2 D ．a≠－2 4．下列计算正确的是 （ ） ①69494=-?-=--))((；②69494=?=--))((； ③145454522=-?+=-；④145452222=-=-； A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 5．化简二次根式352?-)(得 （ ） A ．35- B ．35 C ．35± D ．30 6．对于二次根式92+x ，以下说法不正确的是 （ ） A ．它是一个正数 B ．是一个无理数 C ．是最简二次根式 D ．它的最小值是3 7．把ab a 123分母有理化后得 （ ） A ．b 4 B ．b 2 C ．b 2 1 D ． b b 2 8．y b x a +的有理化因式是 （ ） A ．y x + B ．y x - C ．y b x a - D ．y b x a + 9．下列二次根式中，最简二次根式是 （ ） A ．23a B ．31 C ．153 D ．143 10．计算：ab ab b a 1 ?÷等于 （ ） A ．ab ab 21 B ．ab ab 1 C ．ab b 1 D ．ab b 二、填空题（每小题3分，共分） 11．当x___________时，x 31-是二次根式． 12．当x___________时，x 43-在实数范围内有意义． 13．比较大小：23-______32-． 14．=?b a a b 182____________；=-222425__________． 15．计算：=?b a 10253___________． 16．计算：22 16a c b =_________________． 17．当a=3时，则=+215a ___________． 18．若x x x x --=--32 32成立，则x 满足_____________________． 三、解答题（46分） 19．(8分)把下列各式写成平方差的形式，再分解因式： 分式和二次根式专题训练 一、填空题：（每题 3 分，共 36 分） １、当 x ＿＿＿＿时，分式有意义。 ２、当＿＿＿＿时，有意义。 ３、计算：－a －1＝＿＿＿＿。 ４、化简：(x 2 －xy)÷＝＿＿＿＿。 ５、分式 ，，的最简公分母是＿＿＿＿。 ６、比较大小：2＿＿＿＿3。 ７、已知 ＝，则的值是＿＿＿＿。 ８、若最简根式和是同类根式，则 x ＋y ＝＿＿＿＿。 ９、仿照2＝·＝＝的做法，化简3 ＝＿＿＿＿。 10、当 2＜x ＜3 时，－＝＿＿＿＿。 11、若的小数部分是 a ，则 a ＝＿＿＿＿。 12、若 ＝＋＋2成立，则 x ＋y ＝＿＿＿＿。 二、选择题：（每题 4 分，共 24 分） １、下列各式中，属于分式的是（ ） A 、 B 、 C 、x ＋ D 、 ２、对于分式 总有（ ） A 、＝ B 、＝ C 、＝ D 、＝ ３、下列根式中，属最简二次根式的是（ ） A 、 B 、 C 、 D 、 ４、可以与合并的二次根式是（ ） A 、 B 、 C 、 D 、 x 2x －3 a －2a 2 a －1 x －y xy b 2a 24a 3b c a 5c 2 32x ＋2y 2y 5 2x ＋y y x ＋1y 30.5220.54×0.521 3 (2－x)2(x －3)2 31－x x －1x －y 22x ＋y 12x 2 1 x －1 1x －1x －1(x －1)21x －1x ＋1x 2－11x －112 (x －1)21x －11 1－x 27x 2＋11 2 a 2 b 182761 3 8y y ５、如果分式 中的 x 和 都扩大为原来的 2 倍，那么分式的值（ ） A 、扩大 2 倍 B 、扩大 4 倍 C 、不变 D 、缩小 2 倍 ６、当 x ＜0 时，｜－x ｜等于（ ） A 、0 B 、－2x C 、2x D 、－2x 或0 三、计算：（每题 6 分，共 24 分） １、()3÷()0×(－)－2 ２、(＋)÷ ３、－＋ ４、(3－2)2 四、计算：（每题 6 分，共 24 分） １、－＋ ２、÷(x ＋ 1)· ３、－· ４、4b ＋－3ab (＋) 五、解答题：（每题 8 分，共 32 分） １、某人在环形跑道上跑步，共跑两圈，第一圈的速度是 x 米/分钟，第二圈的速度是 米/分钟（x ＞），则他平均一分钟跑的路程是多少？ 2x x ＋y x 2b 2a 22b 23a b a x 2x －242－x x ＋2 2x 84 2 1223x x ＋y y y －x 2xy x 2－y 2x 2－1x 2＋4x ＋4x 2＋3x ＋2 x －1 20＋55 1312a b 2a a 5b 31 ab 4ab y y y 第十六章 二次根式 测试1 二次根式 学习要求 掌握二次根式的概念和意义，会根据算术平方根的意义进行二次根式的运算． 课堂学习检验 一、填空题 1． a +1表示二次根式的条件是______． 2．当x ______时，1 2--x 有意义，当x ______时， 3 1+x 有意义． 3．若无意义 2 +x ，则x 的取值范围是______． 4．直接写出下列各式的结果： (1)49 ＝_______； (2)2 ) 7( _______； (3)2 )7(-_______； (4)2 ) 7(-- _______； (5)2 ) 7.0( _______；(6)2 2] )7([ - _______． 二、选择题 5．下列计算正确的有( )． ①2)2(2 =- ② 2 2=- ③ 2 ) 2(2 =- ④2 ) 2( 2 -=- A ．①、② B ．③、④ C ．①、③ D ．②、④ 6．下列各式中一定是二次根式的是( )． A ． 2 3 - B ． 2 ) 3.0(- C ． 2 - D ． x 7．当x =2时，下列各式中，没有意义的是( )． A ．2 -x B ． x -2 C ． 2 2 -x D ． 2 2x - 8．已知, 21)12(2 a a -=-那么a 的取值范围是( )． A ．2 1> a B ．2 1 10．计算下列各式： (1);)23(2 (2);)1(22+a (3); )4 3(22 - ?- (4). )3 23 (2 - 综合、运用、诊断 一、填空题 11． x 2-表示二次根式的条件是______． 12．使 1 2-x x 有意义的x 的取值范围是______． 13．已知411+=-+-y x x ，则x y 的平方根为______． 14．当x =－2时， 2 2 44121x x x x ++-+-＝________． 二、选择题 15．下列各式中，x 的取值范围是x ＞2的是( )． A ．2-x B ． 2 1-x C ． x -21 D ． 1 21-x 16．若022|5|=++-y x ，则x －y 的值是( )． A ．－7 B ．－5 C ．3 D ．7 三、解答题 17．计算下列各式： (1);)π14.3(2- (2);)3(2 2-- (3) ; ]) 3 2[( 2 1- (4).)5 .03( 2 2 18．当a =2，b =－1，c =－1时，求代数式a ac b b 242 -±-的值． 拓广、探究、思考 19．已知数a ，b ，c 在数轴上的位置如图所示： 化简： ||) (||2 2 b b c c a a ---++-的结果是：______________________． 20．已知△ABC 的三边长a ，b ，c 均为整数，且a 和b 满足 . 09622 =+-+-b b a 试求 △ABC 的c 边的长． 《二次根式》提高测试 4. . ab 、1 . a 3b ' 次根式?…（ 3 xF b 简二次根式后再判断.［答案】". = _.［答案】—2a Ji .［点评】注意除法法则和积的算术平方根性 12a 3 质的运用. 8 . a — .. a 2 -1 的有理化因式是 (a 2 —1) . a + Ja —1 .【答案】a + 9 .当 1 二次根式练习题 一.选择题(共4小题) 1.要使式子有意义,则x得取值范围就是() A.x＞1 B.x＞﹣1 C.x≥1 D.x≥﹣1 2.式子在实数范围内有意义,则x得取值范围就是() A.x＜1 B.x≤1 C.x＞1 D.x≥1 3.下列结论正确得就是() A.3a2b﹣a2b=2 B.单项式﹣x2得系数就是﹣1 C.使式子有意义得x得取值范围就是x＞﹣2 D.若分式得值等于0,则a=±1 4.要使式子有意义,则a得取值范围就是() A.a≠0 B.a＞﹣2且a≠0 C.a＞﹣2或a≠0 D.a≥﹣2且a≠0 二.选择题(共5小题) 5.使有意义,则x得取值范围就是. 6.若代数式有意义,则x得取值范围为. 7.已知就是正整数,则实数n得最大值为. 8.若代数式+(x﹣1)0在实数范围内有意义,则x得取值范围为. 9.若实数a满足|a﹣8|+=a,则a=. 四.解答题(共8小题) 10.若a,b 为实数,a=+3,求. 11.已知,求得值？ 12.已知,为等腰三角形得两条边长,且,满足,求此三角形得周长 13.已知a、b、c满足+|a﹣c+1|=+,求a+b+c得平方根. 14.若a、b为实数,且,求. 15.已知y＜++3,化简|y﹣3|﹣. 16.已知a、b满足等式. (1)求出a、b得值分别就是多少？ (2)试求得值. 17.已知实数a满足+=a,求a﹣20082得值就是多少？ 参考答案与试题解析 一.选择题(共4小题) 1.(2016?荆门)要使式子有意义,则x得取值范围就是() A.x＞1 B.x＞﹣1 C.x≥1 D.x≥﹣1 【解答】解:要使式子有意义, 故x﹣1≥0, 解得:x≥1. 则x得取值范围就是:x≥1. 故选:C. 2.(2016?贵港)式子在实数范围内有意义,则x得取值范围就是() A.x＜1 B.x≤1 C.x＞1 D.x≥1 【解答】解:依题意得:x﹣1＞0, 解得x＞1. 故选:C. 3.(2016?杭州校级自主招生)下列结论正确得就是()(完整版)八年级数学下册二次根式练习题及答案
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