20高考数学平面向量的解题技巧
20高考数学平面向量
的解题技巧
-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
第二讲平面向量的解题技巧
【命题趋向】
由2007年高考题分析可知：
1．这部分内容高考中所占分数一般在10分左右．
2．题目类型为一个选择或填空题，一个与其他知识综合的解答题．
3．考查内容以向量的概念、运算、数量积和模的运算为主．
【考点透视】
“平面向量”是高中新课程新增加的内容之一，高考每年都考，题型主要有选择题、填空题，也可以与其他知识相结合在解答题中出现，试题多以低、中档题为主．
透析高考试题，知命题热点为：
1．向量的概念，几何表示，向量的加法、减法，实数与向量的积．
2．平面向量的坐标运算，平面向量的数量积及其几何意义．
3．两非零向量平行、垂直的充要条件．
4．图形平移、线段的定比分点坐标公式．
5．由于向量具有“数”与“形”双重身份，加之向量的工具性作用，向量经常与数列、三角、解析几何、立体几何等知识相结合，综合解决三角函数的化简、求值及三角形中的有关问题，处理有关长度、夹角、垂直与平行等问题以及圆锥曲线中的典型问题等．
6．利用化归思想处理共线、平行、垂直问题向向量的坐标运算方面转化，向量模的运算转化为向量的运算等；利用数形结合思想将几何问题代数化，通过代数运算解决几何问题．
【例题解析】
1. 向量的概念，向量的基本运算
(1)理解向量的概念，掌握向量的几何意义，了解共线向量的概念.
(2)掌握向量的加法和减法.
(3)掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件.
(4)了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算.
(5)掌握平面向量的数量积及其几何意义,了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题,掌握向量垂直的条件. (6)掌握平面两点间的距离公式.
例1（2007年北京卷理）已知O 是ABC △所在平面内一点，D 为BC 边中点，且
2OA OB OC ++=0，那么（
）
Ａ．AO OD = Ｂ．2AO OD =
Ｃ．3AO OD =
Ｄ．2AO OD =
命题意图:本题考查能够结合图形进行向量计算的能力．
解： 22()(,22.OA OB OC OA DB OD DC OD DB DC OA OD AO OD ∴∴++=++++=-+==)=0,0, 故选A ．
例2．（2006年安徽卷）在ABCD 中，,,3AB a AD b AN NC ===，M 为BC 的中点，则MN =______.（用a b 、表示）
命题意图: 本题主要考查向量的加法和减法,以及实数与向量的积. 解：343A =3()AN NC AN C a b ==+由得，12
AM a b =+，所
以,3111()()4
2
4
4
MN a b a b a b =+-+=-+.
例3．（2006年广东卷）如图1所示，D 是△ABC 的边AB 上的中点，则向量=CD ( )
（A ）BA BC 2
1+- （B ） BA BC 21--
（C ） BA BC 21- （D ）BA BC 2
1+
命题意图: 本题主要考查向量的加法和减法运算能力.
解：BA BC BD CB CD 2
1+-=+=，故选A.
例4． ( 2006年重庆卷)与向量a =71,,22b ?
?= ???
?
?
? ??27,21的夹解相等，且模为1的向量是 ( )
(A) ???- ??53,54 (B) ???- ??53,54或??
? ??-53,54
（C ）???- ??31,322 （D ）???- ??31,322或??? ?
?-31,322 命题意图: 本题主要考查平面向量的坐标运算和用平面向量处理有关角度的问
题.
解：设所求平面向量为,c 由433,,, 1.
555c c ????
=-= ? ?????4或-时5
另一方面,当7413431,,cos ,.
5527a c c a c a c ??
?+?- ????
=-=== ??????时
当7413431,,cos ,.
5527a c c a c a c ????
?-+? ? ????
=-===- ??????时
故平面向量c 与向量a =71,,22b ?
?= ?????
? ??27,21的夹角相等.故选B. 例5．（2006年天津卷）设向量a 与b 的夹角为θ，且)3,3(=a
，)1,1(2-=-a b ，则=θcos __．
命题意图: 本题主要考查平面向量的坐标运算和平面向量的数量积,以及用平面向量的数量积处理有关角度的问题.
解: ()()(
)()(),,22,3,323,231,1.b x y b a x y x y =-=-=--=-设由 ()2311,1,2.
231 2.x x
b y y -=-=???∴=??-==??
得 2cos ,33a b a b a b
?=
=
=
?+
例6.（2006年湖北卷）已知向量()3,1a =，b 是不平行于x 轴的单位向量，且
3a b ?=，则b
= （）
（A ）
?
??
?
??21
,23 （B ） ???? ??23,
21 （C ）???? ??433,41 （D ） ()0,1 命题意图: 本题主要考查应用平面向量的坐标运算和平面向量的数量积,以及
方程的思想解题的能力.
解:设(),()b x y x y =≠，则依题意有1,y +1,2x y ?
=????=?? 故选B.
例7.设平面向量1a 、2a 、3a 的和1230a a a ++=.如果向量1b 、2b 、3b ，满足
2i i
b a =，且i a 顺时针旋转30o 后与i b 同向，其中1,2,3i =，则（ ）
（A ）1230b b b -++= （B ）1230b b b -+= （C ）1230b b b +-= （D ）1230b b b ++=
命题意图: 本题主要考查向量加法的几何意义及向量的模的夹角等基本概念.
常规解法：∵1230a a a ++=，∴ 1232220.a a a ++=故把2i a (i=1,2,3)，分别按顺时针旋转30 后与i b 重合，故1230b b b ++=，应选D.
巧妙解法：令1a =0，则2a =3a -，由题意知2b =3b -，从而排除B ，C ，同理排除A ，故选(D).
点评：巧妙解法巧在取1a =0，使问题简单化.本题也可通过画图,利用数形结合的方法来解决.
2. 平面向量与三角函数,解析几何等问题结合
(1) 平面向量与三角函数、三角变换、数列、不等式及其他代数问题，由于结合性强，因而综合能力较强，所以复习时，通过解题过程，力争达到既回顾知识要点，又感悟思维方法的双重效果，解题要点是运用向量知识，将所给问题转化为代数问题求解.
(2)解答题考查圆锥曲线中典型问题，如垂直、平行、共线等，此类题综合性比较强，难度大.
例8．（2007年陕西卷理17.）设函数f (x )=a-b ,其中向量
a =(m,cos2x ),
b =(1+sin2x ,1),x ∈R ,且函数y=f (x )的图象经过点??
?
??2,4
π
，
（Ⅰ）求实数m 的值；
（Ⅱ）求函数f (x )的最小值及此时x 的值的集合. 解：（Ⅰ）()(1sin 2)cos 2f x a b m x x ==++，
由已知πππ1sin cos 2422f m ???
?=++= ? ????
?，得1m =．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得π()1sin 2cos 2124f x x x x ?
?=++=++ ???，
∴当πsin 214x ?
?+=- ??
?时，()f x 的最小值为1-
由πsin 214x ?
?+=- ???，得x 值的集合为3ππ8x x k k ??=-∈????
Z ，
例2．（2007年陕西卷文17）
设函数b a x f 、=)(.其中向量2)2
π
(R,),1,sin 1(),cos ,(=∈+==f x x b x m a 且.
（Ⅰ）求实数m 的值; （Ⅱ）求函数)(x f 的最小值.
解：（Ⅰ）()(1sin )cos f x m x x ==++a b ，πππ1sin cos 2222f m ???
?=++= ? ????
?，
得1m =．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得π()sin cos 114f x x x x ?
?=++=++ ???，∴当
π
sin 14x ?
?+=- ??
?时，()f x 的最小值为1-
例9．（2007年湖北卷理16）
已知ABC △的面积为3，且满足06AB AC ≤≤，设AB 和AC 的夹角为θ． （I ）求θ的取值范围；
（II ）求函数2()2sin 24f θθθ??
=+ ???
π的最大
解：（Ⅰ）设ABC △中角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，
则由1sin 32bc θ=，0cos 6bc θ≤≤，可得0cot 1θ≤≤，ππ42θ??
∈????
，∴．
（Ⅱ）2π()2sin 24f θθθ??=+- ???π1cos 222θθ??
??=-+ ??????
?
(1sin 2)2θθ=+-πsin 2212sin 213θθθ?
?=-+=-+ ???．
ππ42θ??∈????
，∵，ππ2π2363θ??-∈????，，π22sin 2133θ?
?-+ ???∴≤≤．
即当5π12θ=
时，max ()3f θ=；当π
4
θ=时，min ()2f θ=． 例10．（2007年广东卷理）
已知ABC 的三个顶点的直角坐标分别为A(3,4)、B(0,0)、Ｃ(c,0) （1）若c=5，求sin ∠A 的值；（2）若∠A 为钝角，求c 的取值范围； 解：（1）(3,4)AB =--，(3,4)AC c =--，若c=5， 则(2,4)AC =-，
∴cos cos ,
A AC A
B ∠=<>=
=
sin ∠A ； （2）∠A 为钝角，则39160,0,
c c -++，∴c 的取值范围是25
(,)3+∞
例11．（2007年山东卷文17）
在ABC △中，角A B C ，，的对边分别为tan a b c C =，，，
（1）求cos C ；（2）若5
2
CB CA =，且9a b +=，求c ．
解：（1）sin tan cos C
C C
=∴=又22sin cos 1C C +=
解得1cos 8C =±． tan 0C >，C ∴是锐角． 1
cos 8C ∴=．
（2）52CB CA =， 5
cos 2
ab C ∴=， 20ab ∴=．
又9a b += 22281a ab b ∴++=．
2241a b ∴+=．
2222cos 36c a b ab C ∴=+-=．
6c ∴=．
例12. （2006年湖北卷）设函数()()f x a b c =?+，其中向量
()()sin ,cos ,sin ,3cos a x x b x x =-=-,
()cos ,sin ,c x x x R =-∈.
（Ⅰ）求函数()x f 的最大值和最小正周期；
（Ⅱ）将函数()x f y =的图像按向量d 平移，使平移后得到的图像关于坐标原
点成中心对称，求长度最小的d . 命题意图:本小题主要考查平面向量数量积的计算方法、三角公式、三角函数的性质及图像的基本知识，考查推理和运算能力.
解：(Ⅰ)由题意得，f(x)＝a ·(b c +)=(sinx,－cosx)·(sinx －cosx,sinx
－3cosx)
＝sin 2x －2sinxcosx+3cos 2x ＝2+cos2x －sin2x ＝2+2sin(2x+4
3π).
所以，f(x)的最大值为2+
2，最小正周期是2
2π
＝π.
（Ⅱ）由sin(2x+4
3π)＝0得2x+4
3π＝k.π，即x ＝8
32
ππ
-k ,k ∈Z ，
于是d ＝（8
32
ππ
-
k ，－2），(2
k d π=-k ∈Z.
因为k 为整数，要使d 最小，则只有k ＝1，此时d ＝（―8
π，―2）即为所
求.
例13．（2006年全国卷II ）已知向量a ＝(sin θ，1)，b ＝(1，cos θ)，－
π2
＜θ＜
π
2
． （Ⅰ）若a ⊥b ，求θ；
（Ⅱ）求｜a ＋b ｜的最大值．
命题意图:本小题主要考查平面向量数量积和平面向量的模的计算方法、以及三角公式、三角函数的性质等基本知识，考查推理和运算能力. 解：（Ⅰ）若a ⊥b ，则sin θ＋cos θ＝0，
由此得 tan θ＝－1(－
π2
＜θ＜
π2
)，所以 θ＝－
π4
；
（Ⅱ）由a ＝(sin θ，1)，b ＝(1，cos θ)得
｜a ＋b ｜＝(sin θ＋1)2＋(1＋cos θ)2＝3＋2(sin θ＋cos θ)
＝
3＋22sin(θ＋
π4
)，
当sin(θ＋
π
4
)＝1时，|a ＋b |取得最大值，即当θ＝
π4
时，|a ＋b |最大值
为2＋1．
例14．（2006年陕西卷）如图，三定点(2,1),(0,1),(2,1);A B C --
足
,,AD t AB BE tBC == ,[0,1].DM tDE t =∈
（I ）求动直线DE 斜率的变化范围；
（II ）求动点M 的轨迹方程。 命题意图:三角函数的性质及图像和圆锥曲线方程的求法等基本知识， 考查推理和运算能力.
解法一: 如图, (Ⅰ)设D(x 0,y 0),E(x E ,y E ),M(x,y).由=t, = t ,
知(x D －2,y D －1)=t(－2,－2). ∴???x D =－2t+2y D =－2t+1 同理
???x E =－2t
y E
=2t －1 .
∴k DE = y E －y D x E －x D = 2t －1－(－2t+1)
－2t －(－2t+2) = 1－2t.
∴t ∈[0,1] , ∴k DE ∈[－1,1].
(Ⅱ) ∵=t ∴(x+2t －2,y+2t －1)=t(－2t+2t －2,2t －
1+2t －1)=t(－2,4t －2)=(－2t,4t 2
－2t). ∴???x=2(1－2t)y=(1－2t)
2 , ∴y=
x 24 , 即x 2
=4y. ∵t ∈[0,1], x=2(1－2t)∈[－2,2]. 即所求轨迹方程为: x 2=4y, x ∈[－2,2] 解法二: (Ⅰ)同上.
(Ⅱ) 如图, =+ = + t = + t(－) = (1－t) +t, = + = +t = +t(－) =(1－t) +t, = += + t= +t(－)=(1－t) + t = (1－t 2) + 2(1－t)t+t 2 .
设M 点的坐标为(x,y),由=(2,1), =(0,－1), =(－2,1)得
???x=(1－t 2)·2+2(1－t)t ·0+t 2
·(－2)=2(1－2t)y=(1－t)2·1+2(1－t)t ·(－1)+t 2·1=(1－2t)2 消去t 得x 2=4y, ∵t ∈[0,1], x ∈[－2,2].
故所求轨迹方程为: x 2=4y, x ∈[－2,2]
例15．（2006年全国卷II ）已知抛物线x 2＝4y 的焦点为F ，A 、B 是抛物线上
的两动点，且AF →＝λFB →
（λ＞0）．过A 、B 两点分别作抛物线的切线，设其交点为Ｍ．
（Ⅰ）证明FM →·AB →
为定值；
（Ⅱ）设△ABM 的面积为S ，写出S ＝f (λ)的表达式，并求S 的最小值． 命题意图:本小题主要考查平面向量的计算方法、和圆锥曲线方程,以及函数的导数的应用等基本知识，考查推理和运算能力.
解：(Ⅰ)由已知条件，得F (0，1)，λ＞0．
设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由AF →＝λFB →
， 即得 (－x 1，1－y )＝λ(x 2，y 2－1)，
???－x 1＝λx 2 ①1－y 1＝λ(y 2－1) ②
将①式两边平方并把y 1＝14x 12，y 2＝1
4
x 22代入得 y 1＝λ2y 2 ③
图3
解②、③式得y 1＝λ，y 2＝
1
λ
，且有x 1x 2＝－λx 22
＝－4λy 2＝－4，
抛物线方程为y ＝14x 2，求导得y ′＝1
2
x ．
所以过抛物线上A 、B 两点的切线方程分别是
y ＝12x 1(x －x 1)＋y 1，y ＝1
2x 2(x －x 2)＋y 2， 即y ＝12x 1x －14x 12，y ＝12x 2x －14
x 22
．
解出两条切线的交点M 的坐标为(12
2
x x +，122
x x ?)＝(12
2
x x +，－1)．
所以FM →·AB →＝(122
x x +，－2)·(x 2－x 1，y 2－y 1)＝12(x 22－x 12)－2(14x 22－14x 12)＝0.
所以FM →·AB →
为定值，其值为0．
(Ⅱ)由(Ⅰ)知在△ABM 中，FM ⊥AB ，因而S ＝1
2
|AB ||FM |．
|FM |＝
(
x 1＋x 22
)2＋(－2)2＝
14x 12＋14x 22＋1
2
x 1x 2＋4＝y 1＋y 2＋1
2
×(－4)＋4＝
λ＋1
λ＋2＝λ＋1
λ
． 因为|AF |、|BF |分别等于A 、B 到抛物线准线y ＝－1的距离，所以
|AB |＝|AF |＋|BF |＝y 1＋y 2＋2＝λ＋1
λ
＋2＝(λ＋
1
λ
)2．
于是 S ＝12|AB ||FM |＝(λ＋1λ)3
，
由λ＋
1
λ
≥2知S ≥4，且当λ＝1时，S 取得最小值4．
【专题训练与高考预测】
一、选择题
1．已知x x 则且,//),,4(),3,2(==的值为 （ ）
A ．－6
B ．6
C ．3
8
D ．－3
8
2．已知△ABC 中，点D 在BC 边上，且,,2AC s AB r CD DB CD +==则s r +的值是（ ）
A ．3
2
B ．
3
4 C ．－3 D ．0
3．把直线02=-y x 按向量)2,1(--=平移后，所得直线与圆5
4222λ=-++y x y x 相
切，则实数λ的值为
（ A ）
A ．39
B ．13
C ．－21
D ．－39
4．给出下列命题：①·=0，则=0或=0. ②若为单位向量且//，则
=||·.
③a ·a ·a =|a |3. ④若与共线，与共线，则与共线.其中正确的个数是 （ ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
5.在以下关于向量的命题中，不正确的是（ ）
A.若向量a =(x ，y )，向量b =(－y ，x )(x 、y ≠0)，则a ⊥b
B.四边形ABCD 是菱形的充要条件是=，且||=||
C.点G 是△ABC 的重心，则++=0
D.△ABC 中，AB 和CA 的夹角等于180°－A 6.若O 为平行四边形ABCD 的中心， = 4e 1,
= 6e 2,则3e 2－2e 1等于（ ）
A. B. C. D. 7.将函数y=x +2的图象按a =（6，－2）平移后，得到的新图象的解析式为（ ）
A.y=x +10
B.y=x －6
C.y=x +6
D.y=x －10
8.已知向量m =(a,b )，向量m ⊥n 且|m |=|n |,则n 的坐标为 A.（a, －b ）
B.( －a,b )
C.(b, －a )
D.( －b, －a )
9.给出如下命题：命题（1）设e 1、e 2是平面内两个已知向量，则对于平面内任意向量a ,都存在惟一的一对实数x 、y ，使a =x e 1+y e 2成立；命题（2）若定义域为R 的函数f (x )恒满足｜f (－x )｜=｜f (x )｜,则f (x )或为奇函数，或为偶函数.则下述判断正确的是（ ）
A.命题（1）（2）均为假命题
B.命题（1）（2）均为真命题
C.命题（1）为真命题，命题（2）为假命题
D.命题（1）为假命题，命题（2）为真命题
10．若|a+b|=|a-b|，则向量a 与b 的关系是（ ）
A. a=→
0或b=→
0 B.|a|=|b| C. a ?b=0 D.以上都不对 11．O 是平面上一 定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足
(
),[0,).|||AB AC
OP OA AB AC
λλ=++∈+∞则P 的轨迹一定通过△ABC 的
（ ） A ．外心
B ．内心
C ．重心
D ．垂心
12． 若()1,3,2-=, (),3,0,2= ()2,2,0=, 则()
+?= （ ） A ． 4 B ． 15 C ． 7 D ． 3
二、填空题
1．已知,4||,3||==与AC 的夹角为60°，则AB 与AB －AC 的夹角余弦为 .
2． 已知→
a ＝（—4,2,x ），→
b ＝(2,1,3),且→
a ⊥→
b ，则x ＝ .
3． 向量()57)3(-⊥+ ，()()
274-⊥-，则a 和b 所夹角是 4． 已知A(1, 0, 0), B(0, 1, 0 ), C(0, 0, 1), 点D 满足条件：DB ⊥AC, DC ⊥AB, AD=BC, 则D 的坐标为 .
5． 设b a ,是直线，βα,是平面，βα⊥⊥b a ,，向量1a 在a 上，向量1b 在b 上，}0,4,3{},1,1,1{11-==b a ，则βα,所成二面角中较小的一个的大小为 ．
三、解答题
1.△ABC 中，三个内角分别是A 、B 、C ，向量B A B A C tan tan ),2
cos ,2cos 25(
?-=当 9
1
=
时，求||a . 2.在平行四边形ABCD 中，A （1，1），)0,6(=，点M 是线段AB 的中点，线段CM 与BD 交于点P.
（1）若(3,5),AD =求点C 的坐标；
（2）当||||=时，求点P 的轨迹.
3.平面内三个力1F ，2F ，3F 作用于同丄点O 且处于平衡状态，已知1F ，2F 的大小分别为1kg ，2
26+kg ，1F 、2F 的夹角是45°，求3F 的大小及3F 与1F 夹
角的大小.
4.已知a ，b 都是非零向量，且a +3b 与7a －5b 垂直，a －4b 与7a －2b 垂直，求a 与b 的夹角.
5.设a =(1+cos α,sin α), b =(1－cos β,sin β),c =(1,0),α∈(0,π)β∈(π,2π),a 与c 的夹角为θ1，b 与c 的夹角为θ2,且θ1－θ2=
6π，求sin 4
βα-. 6.已知平面向量a =（3，－1），b =（
2
1，23
）.
(1)证明：a ⊥b ；
(2)若存在实数k 和t ，使得x =a +(t 2
－3)b ,y =－k a +t b ,且x ⊥y ，试求函数关系式k =f (t ); (3)根据（2）的结论，确定k =f (t )的单调区间.
【参考答案】
一、选择题
1.B 2．D 3．A4．A 5. 答案：C
提示：若点G 是△ABC 的重心，则有++=0，而C 的结论是++=0，显然是不成立的，选C.
6.B
7.B
8.C
9.A 10. C 11．B 12．D 二、填空题
1．
13
13 2． 2 3．60° 4．（1，1，1）或),,(3
13131--- 5．.arccos 153 3．解：由()(
)573=-?+, ()()
274=-?- , 有b
a a ?+1672
83072
2=+?-,
解得22=,?=22
,
=
=∴2
1． 4.解：设D(x, y, z), 则),1,(z y x -=，(),1,,-=z y x =（x-1, y, z ）,
=(-1, 0, 1), =(-1,1, 0), =(0, -1, 1)． 又DB ⊥AC ?-x+z=0,
DC ⊥AB ?-x+y=0, AD=BC ?(),21222=++-z y x
联立解得x=y=z=1或x=y=z=.3
1-所以D 点为（1，1，1）或),,(3
13131---。 三、解答题
1．2
cos )2cos 25(
||222B A C -+= ， .
4
2
3||,89||.cos cos sin sin 9.
9
1
cos cos sin sin ,91tan tan ).cos cos sin sin 99(8
1
)
sin sin 5cos cos 5sin sin 4cos cos 49(8
1
)]cos(5)cos(49[812)cos(12)cos(1452cos 2sin 452cos 2cos 45||222222==∴=∴==-+=+-++=+--+=-+++-?=-++=-+?=
∴B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A C a 故即又 2.解：（1）设点C 坐标为（),00y x ,
又)5,9()0,6()5,3(=+=+=,即)5,9()1,1(00=--y x . 6,1000==∴y x . 即点C （0，6）. （2）解一：设),(y x P ，则
)1,7()0,6()1,1(--=---=-=y x y x AB AP BP .
).
33,93()
0,6())1(3),1(3(3)2
1
(321321--=---=-=-+=+=
+=y x y x AB AP
=.
|||| 为菱形.
.0)33,93()1,7(,
=--?--⊥∴y x y x 即
0)33)(1()93)(7(=--+--y y x x
)1(02221022≠=+--+∴y y x y x .
故点P 的轨迹是以（5，1）为圆心，2为半圆去掉与直线1=y 的两个交点. 解法二：||||AD =
∴D 的轨迹方程为)1(36
)1()1(2
2≠=-+-y y x .
M 为AB 中点, BD P 分∴的比为
2
1 . 设).23,143(,
)1,7(),
,(--∴y x D B y x P .
P ∴的轨迹方程 36)33()153(22=-+-y x .
整理得)1(4
)1()5(2
2≠=-+-y y x .
故点P 的轨迹是以（5，1）为圆心，2为半径的圆去掉与直线1=y 的两个交点. 3.设1F 与2F 的合力为，则|F|=|F 3|. ∵∠F 1OF 2=45° ∴∠FF 1O=135°. 在△OF 1F 中，由余弦定理
135cos ||||2||||||1121212?-+=F OF F OF =324+. 13||,31||3+=+=∴F OF 即.
又由正弦定理，得2
1|
|sin 1==∠OF OF F .
∴∠F 1OF=30° 从而F 1与F 3的夹角为150°.
答：F 3的大小是（3+1）kg,F 1与F 3的夹角为150°.
4..解：∵a +3b 与7a －5b 垂直，a －4b 与7a －2b 垂直， ∴(a +3b )·(7a －5b )=0，(a －4b )·(7a －2b ) =0.
即????
?=+?-=-?+.
0||830||7 ,0||1516||72
22
2b b a a b b a a
两式相减：a ·b =
2
1|b |2，代入①得|a |2=|b |2
. ∴cos α=||||b a b a ?=2
1.∴α=60°，即a 与b 的夹角为60°.
5.解：a =(2cos 2
2α,2sin 2αcos 2α
)
=2cos 2α (cos 2α,sin 2α)
∴θ1=2α,
b =(2sin 2
2β,2sin 2βcos 2β)
2
①
②
=2sin 2β
(sin 2β,cos 2β
)
∴θ2=2β－2π,又θ1－θ2=6π?2α－2β+2π=6π?2βα-= －3
π
∴sin 2βα-=sin(－6π)=－2
1
6.（1）证明：∵a =(3,－1),b =(21,2
3) ∴3×
2
1+(－1)×23=0∴a ⊥b
(2)解：由题意知
x =(23322-+t ,22
3332--t ),
y =(2
1t －3k ,23t +k )
又x ⊥y 故x ·y =23322-+t ×(2
1t －3k )+223332--t ×(23
t +k )=0
整理得：t 2
－3t －4k =0即k =41t 3－43t
(3)解：由（2）知：k =f (t )= 41t 3－4
3
t
∴k ′=f ′(t )= 43t 2－4
3
令k ′＜0得－1＜t ＜1;令k ′＞0得t ＜－1或t ＞1
故k =f (t )单调递减区间是（－1，1），单调递增区间是（－∞,－1）∪(1,+∞)