2019年全国高中数学联赛江苏赛区市级选拔赛参考答案与评分细则

2019年全国高中数学联赛江苏赛区 市级选拔赛参考答案与评分细则

一、填空题（本题共10小题，每小题7分，共70分．要求直接将答案写在横线上．） 1．已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2≥0}，B ＝{ x |x －a ≥1}，且A ∩ B ＝{x |x ≥3}，则实数 a 的值是 ． 答案：2．

解：A ＝{x |x ≥2或x ≤1}，B ＝{ x | x ≥a ＋1}．又A ∩ B ＝{x |x ≥3}，故a ＋1＝3，

解得a ＝2．

2．已知与三条直线x ＋y ＝1，x ＋ay ＝2，x ＋2y ＝3都相切的圆有且只有两个，则所有可能的实数a 的值的和为 ． 答案：3．

解：由题意知，这三条直线中恰有两条平行时符合题意，故a ＝1或2，

从而实数a 的值的和为3．

3．从1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取3个不同的数，并从小到大排成一数列，此数列为等比数列的概率为 ． 答案：121

．

解：满足条件的等比数列共有4个：1，2，4；1，3，9；2，4，8；4，6，9．

故所求概率P ＝4C 39＝1

21

．

4．设a ，b ∈[1，2]，则 a 2＋b 2

ab 的最大值是 ．

答案：52

．

解：因为a ，b ∈[1，2]，所以(2a －b )( a －2b )≤0，展开得a 2

＋b 2

≤5

2ab ，即a 2＋b 2ab ≤52

．

且当a ＝1，b ＝2，或a ＝2，b ＝1时，a 2＋b 2ab ＝52，所以a 2＋b 2ab 的最大值为 5

2

．

5．在矩形ABCD 中，AC ＝1，AE ⊥BD ，垂足为E ，则 (AD →·AE →)(CB →·CA →

) 的最大值 是 ． 答案：4

27

．

解：如图，设∠CAB ＝θ，AC ＝1，AE ⊥BD ， 则AB ＝cos θ，AD ＝sin θ，AE ＝sin θcos θ，

A

B

C

D

E

于是 (AD →·AE →)(CB →·CA →

)＝sin 2θ·cos 2θ·sin 2θ

＝1

2

sin 2θ·2cos 2θ·sin 2θ ≤12(sin 2θ＋2cos 2θ＋sin 2

θ3)3＝427

， 等号当且仅当sin 2θ＝2cos 2θ，即tan θ＝ 2 时成立，故最大值为4

27

．

6．在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点E 在A 1D 1上，点F 在CD 上，A 1E ＝2ED 1，DF ＝2FC ，则三棱锥B －FEC 1的体积是 ． 答案：5

27

．

解：如图，过F 作EC 1的平行线交BC 的延长线于G ， 则FG ∥平面BEC 1．

从而G 与F 到平面BEC 1的距离相等， 所以体积1FEC B V -＝1BGC E V -．

又 A 1E ＝2ED 1，DF ＝2FC ，所以CG ＝13ED 1＝1

9，

所以1FEC B V -＝1BGC E V -＝13×12×109×1×1＝5

27

．

7．设f (x )是定义在Z 上的函数，且对于任意的整数n ，满足f (n ＋4)－f (n )≤2(n ＋1)， f (n ＋12)－f (n )≥6(n ＋5)，f (－1)＝－504，则 f (2019)

673

的值是 ． 答案：1512．

解：由f (n ＋4)－f (n )≤2(n ＋1)，得

f (n ＋12)－f (n )≤f (n ＋12)－f (n ＋8)＋f (n ＋8)－f (n ＋4)＋f (n ＋4)－f (n )

≤2[(n ＋9)＋(n ＋5)＋(n ＋1)]＝6(n ＋5)．

又f (n ＋12)－f (n )≥6(n ＋5)，

所以 f (n ＋12)－f (n )＝6(n ＋5)，故f (n ＋4)－f (n )＝2(n ＋1)．

因此 f (2019)＝(f (2019)－f (2015))＋(f (2015)－f (2011))＋…＋(f (3)－f (－1))＋f (－1)

＝2(2016＋2012＋…＋4＋0)－504 ＝2020×504－504＝2019×504．

所以

f (2019)

673

＝1512． 8．函数f (x )＝x 2＋x x 2－3的值域是 ．

A 1

C D

A

E B

D 1

B 1

F C 1

G

答案：(3

2

，＋∞)．

解：原函数的定义域是(－∞，－3］∪［3，＋∞)．

当x ∈［3，＋∞)时，函数f (x )＝x 2＋x x 2－3为增函数，所以f (x )≥3；

当x ∈(－∞，－3］时，f (x )＝x 2＋x x 2－3＝x (x ＋x 2－3)＝

3x

x －x 2－3

＝

3

1+

1－3 x

2

，

因为x ∈(－∞，－3］，所以1≤1＋

1－3 x 2＜2， 3

2

＜31+

1－3

x

2 ≤3．

故原函数的值域是(3

2

，＋∞)．

9．已知△ABC 中，AC ＝8，BC ＝10，32cos(A －B )＝31，则△ABC 的面积是 ． 答案：157．

解：由正弦定理，得10sin A ＝8sin B ＝2sin A －sin B ＝18

sin A +sin B

，

由 32cos(A －B )＝31， 可得 tan A +B

2＝9 tan A －B 2

＝9·

1－cos(A －B )1＋cos(A －B ) ＝9·163＝3

7

，

所以 sin C ＝sin(A ＋B )＝2tan

A ＋B

21＋tan

2A ＋B 2 ＝37

8，

即 △ABC 的面积 S ＝157．

另解：由题设知，∠BAC ＞∠B ，作∠BAD ＝∠B ，D 在线段BC 上．

则∠CAD =∠A －∠B ．

设AD ＝x ，则BD ＝x ，DC ＝10－x ，

由余弦定理，

得 (10－x )2＝x 2＋64－2×8x ×31

32

，

解得x ＝8，则DC ＝10－x ＝2，

由此可得 cos C ＝18，sin C ＝37

8

，则△ABC 的面积 S ＝157．

10．设f (x )＝2x 3＋8x 2＋5x ＋9，g (x )＝2x 2＋8x ＋1．当n ∈N *时，则f (n ) 与 g (n ) 的最大公

因数 (f (n )，g (n )) 的最大值为 ． 答案：55．

A

B

C

D

x

解：(f (n )，g (n ))＝(2n 3＋8n 2＋5n ＋9，2n 2＋8n ＋1)＝(4n ＋9，2n 2＋8n ＋1)＝(4n ＋9，2n 2－17)

＝(4n ＋9，4n 2－34)＝(4n ＋9，－9n －34)＝(4n ＋9，－n －16) ＝(55，n ＋16)≤55． 当n ＝39时，(55，n ＋16)＝(55，55)＝55． 因此 (f (n )，g (n )) 的最大值为55．

二、解答题（本大题共4小题，每小题20分，共80分） 11．在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆C ：x 2a 2＋y 2

a 2－9

＝1 (a ＞3)．

（1）过椭圆C 的左焦点，且垂直于x 轴的直线与椭圆C 交于M ，N 两点，若MN ＝9，求实数a 的值；

（2）若直线l ：x a ＋y

a －3＝1与椭圆C 交于A ，B 两点，求证：对任意大于3的实数a ，以

AB 为直径的圆过定点，并求定点坐标．

解：（1）记椭圆C ：x 2a 2＋y 2

a 2－9

＝1的左焦点为F ，则点F 的横坐标为－3．

因为过点F 且垂直于x 轴的直线与椭圆C 交于M ，N 两点，MN ＝9，

所以M (－3，92)，N (－3，－9

2)， …………………… 5分

从而

9a 2＋81

4(a 2－9)

＝1． 解得 a 2＝36或a 2＝9

4

．

因为a ＞3，所有a ＝6． …………………… 10分

（2）由???x a ＋y

a －3＝1，

x 2

a 2

＋y

2

a 2

－9＝1

得A (a ，0)，B (－3，a 2－9

a )． …………………… 15分

从而以AB 为直径的圆的方程为(x －a )(x ＋3)＋y (y －a 2－9

a )＝0，

即 (x ＋y ＋3)a 2－(x 2＋3x ＋y 2)a －9y ＝0． 由 ?????x ＋y ＋3＝0，x 2＋3x ＋y 2＝0，－9y ＝0，

解得???x ＝－3，y ＝0．

故以AB 为直径的圆过定点(－3，0)． …………………… 20分

12．在数列{a n }中，已知a 1＝1p ，a n ＋1＝ a n

na n ＋1，p ＞0，n ∈N *．

（1）若p ＝1，求数列{a n }的通项公式；

（2）记b n ＝na n ．若在数列{b n }中，b n ≤b 8 (n ∈N *)，求实数p 的取值范围． 解：（1）因为a n ＋1＝

a n na n ＋1，a 1＝1p ＞0，故a n ＞0，1a n ＋1＝1a n

＋n ，

因此 1a n ＝(n －1)＋(n －2)＋…＋1＋p ＝n 2－n ＋2p 2，即a n ＝2

n 2－n ＋2p

．

因为p ＝1，所以a n ＝2n 2－n ＋2． …………………… 5分

（2）b n ＝na n ＝2n

n 2－n ＋2p ． …………………… 10分

在数列{b n }中，

因为b n

≤b 8

(n ∈N *)，所以b 7

≤b 8

，b 9

≤b 8

，即???721＋p ≤8

28＋p ，

936＋p ≤8

28＋p ，

解得 28≤p ≤36． …………………… 15分 又b n ＝2n n 2－n ＋2p

＝2

n ＋2p n －1

，且7＜56≤2p ≤72＜9，

所以b n 的最大值只可能在n ＝7，8，9时取到． 又当28≤p ≤36时，b 7≤b 8，b 9≤b 8，所以b n ≤b 8．

所以满足条件的实数p 的取值范围是[28，36]． …………………… 20分

13．如图，在凸五边形ABCDE 中，已知∠ABC ＝∠CDE ＝∠DEA ＝90°，F 是边CD 的中点，

线段AD ，EF 相交于点G ，线段AC ，BG 相交于点M ．若AC ＝AD ，AB ＝DE ， 求证：BM ＝MG ．

证明：因为AC ＝AD ，F 是边CD 的中点，

连AF ，则AF ⊥CD ． 又∠CDE ＝∠DEA ＝90°，

故四边形AEDF 是矩形． …………………… 5分

A

B

C

D

E

F M

G

（第13题图）

所以△ACF ≌△ADF ≌△EFD ． 因此 ∠EFD ＝∠ACF ，

从而 EF ∥AC ． …………………… 10分 又因为AB ＝DE ，

所以△ACB ≌△EFD ，因此△ACB ≌△ACF ， 故 AB =AF ，CB =CF ． 连BF ，BF 交AC 于N ，

AC 垂直平分线段BF ，BN ＝NF ． ……… 15分 线段AC ，BG 相交于点M ，因为EF ∥AC ，

由平行截割定理，BM ＝MG ． …………………… 20分

14．如图，P k (k ＝1，2，3，…，100) 是边长为1的正方形ABCD 内部的点．E ，F ，G ，H

分别是AB ，BC ，CD ，DA 的中点，记d 1＝∑100

k =1

EP k ，

d 2＝∑100k =1

FP k ，d 3＝∑100k =1

GP k ，d 4＝∑100

k =1

HP k ．

证明：d 1，d 2，d 3，d 4中至少有两个小于81．

证明：如图建立坐标系，以点F ，H 为焦点作经过点A 的椭圆．

由对称性，正方形ABCD 为椭圆的内接正方形．P k (k =1，2，3，…，100) 在正方形ABCD 内部，则也在椭圆内部．…………………… 5分 椭圆长轴长2a ＝AH ＋AF ＝

1+5

2

＜1.62， 延长HP k 交椭圆于点Q k ，连FQ k ，

则HP k ＋FP k ＜HP k ＋P k Q k ＋FQ k ＝HQ k ＋FQ k ＜1.62

其中k ＝1，2，3，…，100．……………… 15分 所以 d 2＋d 4＝∑100

k =1

HP k ＋∑100

k =1

FP k ＝∑100

k =1

(HP k ＋FP k )＜162所以 min{d 2，d 4}＜81．同理min{d 1，d 3}＜81．

所以d 1，d 2，d 3，d 4中至少有两个小于81． …………………… 20分

B

A C

D

F

H G E P 1

P 100 P k （第14题图）

A

B

C

D

E

F

M

G

（第13题图）

N