2019年黑龙江省齐齐哈尔市高考数学三模试卷(理科)(有答案解析)

2019年黑龙江省齐齐哈尔市高考数学三模试卷（理科）

题号一二三总分

得分

一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）

1.已知集合A={x|x2-4x-5＜0}，B={1，2，3，4，5}，则A∩B=（）

A. {1，2，3，4}

B. {2，3}

C. {3，4}

D. {4，5}

2.若复数z的共轭复数为（3-i）i，则=（）

A. 1-2i

B. 1+2i

C. 2-i

D. 2+i

3.已知{a n}为等比数列，S n为其前n项和，若S6=-7S3，a2+a4=10，则a1=（）

A. 3

B. -1

C. 2

D. -2

4.若x，y满足，若z=2x-3y有最小值为-7，则z的最大值是（）

A. 7

B. 14

C. 18

D. 20

5.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有仓，广三丈，袤

四丈五尺，容粟一万斛，问高几何？”其意思为：“今有一个长方体的粮仓，宽3丈，长4丈5尺，可装粟一万斛．问该粮仓的高是多少？已知1斛粟的体积为2.7立方尺，1丈为10尺，则该粮仓的外接球的表面积是（）

A. 平方丈

B. 平方丈

C. 平方丈

D. 平方丈

6.如图所示的程序框图，若输入的a的值为15，则输出的结果是

（）

A. 84

B. 120

C. 162

D. 210

7.已知f（x）是周期为2的奇函数，当0≤x＜1时，f（x）=，若f（）=-，则f（1）+f（）

=（）

A. B. C. D.

8.设x=-是函数f（x）=ln（x+2）-ax2-3a2x的极小值点，则f（x）的极大值为（）

A. 2

B. 1

C.

D.

9.已知函数f（x）=（1-2sin2x）sin（）-2sin x cosxcos（-θ）（）在[-]上单调递

增，且f（）≤m，则实数m的取值范围为（）

A. [，+∞）

B. [，+∞）

C. [1，+∞）

D. [，+∞）

10.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分别为AA1，CC1，BC的中点，则直线B1G与平面B1EDF

所成角的正弦值为（）

A. B. C. D.

11.设抛物线C：y2=4x的焦点为F，准线为l，且l与x轴的交点为P，过P的直线与C交于A，B

两点，以AB为直径的圆过点F，则|AB|=（）

A. 4

B. 4

C. 3

D. 6

12.在△ABC中，D是BC中点，E是AD中点，BE=1，点M是平面ABC上的任意一点，则

（2）的最小值为（）

A. 2

B. -2

C. 1

D. -1

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.在的展开式中，常数项为______（用数字表示）

14.已知α满足tan（α+）=-3-2，则tan2α=______

15.数列{a n}满足+=，a1=1，a8=，b n=a n a n+1，则数列{b n}的前n项和为______．

16.已知双曲线=1的离心率为e，若点（2，）与点（e，2）都在双曲线上，则该双曲线的渐

近线方程为______

三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）

17.△ABC中内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知7c=2a，cos C=-

（Ⅰ）求sin B的值；

（Ⅱ）若D为AB中点，且△ABC的面积为，求CD的长度

18.齐齐哈尔医学院大一学生甲、乙、丙三人为了了解昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，

他们到气象局与校卫生所抄录了1至6月份每月15号的昼夜温差值与因患感冒而就珍的人数，得到如下表格：

日期1月15日2月15日3月15日4月15日5月15日6月15日

昼夜温差

1011131286 x（℃）

就诊人数222529261612

甲、乙、丙三人：先从这六组数据中选取组，用剩下的组数据求线性回归方程，再用被选取的2组数据进行检验

（Ⅰ）记选取的2组数据相隔的月份数为X，如1月与3月或3月与1月相隔1个月，取X=1．若是相邻2组的数据，取X=0，求X的分布列及数学期望；

（Ⅱ）已知选取的是1月与6月的两组数据

（1）请根据2至5月份的数据，求出就诊人数y关于昼夜温差x的线性回归方程；

（2）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人，则认为得到的线性回归方程是理想的，试问这三人所得线性回归方程是否理想？

（参考公式：==，）

19.如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，底面ABCD是等腰梯

形，PA=PD=AB=AD=CD=1，BC=2，点E在线段PC上，且CE=2PE．

（Ⅰ）证明：PA∥平面BDE；

（Ⅱ）求二面角P-BD-E的余弦值．

20.已知椭圈C：=1（a＞b＞0）的离心率为，且过点A（1，）．

（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；

（Ⅱ）设直线l：y=kx+2与椭圆C有两个交点D，E，且O是坐标原点，当△ODE面积最大时，求k值．

21.已知函数f（x）=ln x-．

（Ⅰ）求证：函数f（x）只有一个零点x0，且x0∈（1，2）；

（Ⅱ）设g（x）=，其中x0是函数f（x）的零点．若方程g（x）=k（k∈R）在（1，+∞）内有两个不等实根x1，x2（x1＜x2），判断x1+x2与2x0的大小，并给出对应的证明．

22.极坐标系与直角坐标系xOy有相同的长度单位，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴．已知

曲线C的极坐标方程为ρ=2sin（θ+），直线l的参数方程为（t为参数）．

（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程；

（Ⅱ）设P坐标为（-2，0），l与C的公共点为A，B，求|PA|?|PB|的值．

23.已知a＞0，b＞0，c＞0，=1．

（Ⅰ）证明：；

（Ⅱ）证明：．

-------- 答案与解析 --------1.答案：A

解析：解：A={x|-1＜x＜5}；

∴A∩B={1，2，3，4}．

故选：A．

可求出集合A，然后进行交集的运算即可．

考查描述法、列举法的定义，一元二次不等式的解法，以及交集的运算．2.答案：C

解析：解：∵=（3-i）i=1+3i，

∴z=1-3i，

则=．

故选：C．

由已知求得z，代入，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．

本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.答案：B

解析：解：∵{a n}为等比数列，S6=-7S3，a2+a4=10，

∴

两式相除可得，1+q3=-7

∴q=-2，代入可得，a1=-1

故选：B．

由已知结合等比数列的通项公式及求和公式即可求解

本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式的简单应用，属于基础试题4.答案：D

解析：解：根据题意，画出可行域与目标函数线如下图所示，

由得A（a，3a）

函数在点A（a，3a）处目标函数取得最小值：z=2×a-3×3a=-7，

解得a=1．

此时解得B（1，-6），

所以z的最大值是：2+18=20．

故选：D．

先画出满足约束条件的平面区域，判断最优解的坐标，点的坐

标代入目标函数，求解a，然后求解目标函数的最大值即可．

本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键．

5.答案：C

解析：解：由题意画出图形，

长方体ABCD-A1B1C1D1中，

AD=3，AB=4.5，V=10000×2.7×10-3=27，

粮仓的高AA1=（丈）．

长方体ABCD-A1B1C1D1的外接球的直径为

（2R）2==22+32+4.52=33.25=，

∴外接球的表面积为4πR2=π（平方丈），

故选：C．

由题意画出图形，求出长方体的高，再由对角线长公式求得长方体外接球的直径，得到半径，代入球的表面积公式得答案．

本题考查长方体的体积的求法，考查长方体外接球表面积的求法，是基础题．

6.答案：D

解析：解：模拟程序框图的运行过程知，该程序运行后是计算

S=3×4+3×6+3×8+3×10+3×12+3×14+3×16=210；

则输出的结果是S=210．

故选：D．

模拟程序框图的运行过程知该程序是计算等差数列前n项和的应用问题，计算即可．

本题考查了利用算法与程序框图计算等差数列前n项和的应用问题，也考查了推理与计算能力，是基础题．

7.答案：A

解析：解：根据题意，当0≤x＜1时，f（x）=，

若f（x）是周期为2的奇函数，则f（0）=0，即f（0）==0，

若f（）=-，则f（-）=f（-）=-f（）=-，则f（）=，即=，

解可得：a=0，b=1，则当0≤x＜1时，f（x）=，则f（）==；

又由f（x）是周期为2的奇函数，则有f（1）=f（-1）与f（1）=-f（-1）同时成立，则f（1）=0，则f（1）+f（）=0+=；

故选：A．

根据题意，由f（x）是周期为2的奇函数，可得f（0）=0，同时可得f（-）=f（-）=-f（）=-，解可得函数的解析式可得关于a、b的方程，解可得a、b的值，即可得函数的解析式，由此可得f（）

的值，又由f（x）是周期为2的奇函数，则有f（1）=f（-1）与f（1）=-f（-1）同时成立，则f（1）=0，相加即可得答案．

本题考查函数奇偶性的性质以及应用，关键是求出a、b的值，属于基础题．

8.答案：D

解析：解：函数f（x）=ln（x+2）-ax2-3a2x，定义域是：{x|x＞-2}

f′（x）=-2ax-3a2

因为x=-是函数f（x）=ln（x+2）-ax2-3a2x的极小值点，

则：f′（-）=0，解得：9a2-3a-2=0，即：a=-，或a=，

讨论a；

①当a=-时，函数f′（x）=+x-=，

在（-2，-1），f′（x）＞0

在（-1，-）f′（x）＜0

在（-，+∞）f′（x）＞0

∴函数f（x）在x=-取得极小值点，在x=-1取得极大值点，

∵函数定义域是：{x|x＞-2}

∴f（x）的极大值为f（-1）=

②当a=时，函数f′（x）=-x-=-，

在（-2，-），f′（x）＞0

在（-，+∞），f′（x）＜0

∴x=-不是函数f（x）=ln（x+2）-ax2-3a2x的极小值点，与题设矛盾，a=舍去．

综合可得：x=-是函数f（x）=ln（x+2）-ax2-3a2x的极小值点时，f（x）的极大值为：．

故选：D．

求函数的导函数，利用极小值点求出a的值，再确定出函数的解析式，从而确定函数的极大值．考查利用导数研究函数的极值问题，考查函数极值和极值点，属于中档题．

9.答案：C

解析：解：∵f（x）=（1-2sin2x）sin（）-2sin x cosxcos（-θ）

∴f（x）=cos2x cos-sin2x sin

=cos（2x+），

∵x∈[-，-，∴2x+，

∵函数f（x）在[-，-]上单调递增，

∴，k∈Z，

∴，k∈Z，

∵|θ|≤，∴当k=0时，符合题意，

∴，

∴当=0时，f（）=cos（）的最大值为1，

∵f（）≤m在[-，-]上恒成立，

∴m≥f（）max=1，

∴m的取值范围为：[1，+∞）．

故选：C．

根据函数f（x）在[-，-]上单调递增，求出θ的范围，然后求出f（）的最大值即可．

本题考查了三角函数的图象与性质，关键是θ的取值范围，属中档题．

10.答案：B

解析：解：以D为原点，DA，DC，

DD1所在直线分别为x，y，z轴，建立

空间直角坐标系，

则正方体ABCD-A1B1C1D1中棱长为2，

则D（0，0，0），E（2，0，1），F

（0，2，1），B1（2，2，2），G（1，

2，0），

=（2，0，1），=（0，2，1），=

（-1，0，-2），

设平面B1EDF的法向量=（x，y，z），

则，取x=1，得=（1，1，-2），

设直线B1G与平面B1EDF所成角为θ，

则直线B1G与平面B1EDF所成角的正弦值为：

sinθ===．

故选：B．

以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线B1G与平面B1EDF所成角的正弦值．

本题考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．

11.答案：A

解析：解：y2=4x的焦点为F（1，0），准线为l：x=-1，l与x轴的交点为P（-1，0），

假设k存在，设AB方程为：y=k（x+1），

与抛物线y2=4x，联立得k2（x2+2x+1）=4x，即k2x2+（2k2-4）x+k2=0，

设两交点为A（x2，y2），B（x1，y1），

则x1+x2=，x1x2=1，

y1+y2=k（x1+x2）+2k==，

∴AB的中点坐标为：（，），

∵以AB为直径的圆过点F，

∴|AB|=?=2，

解得k2=，

∴|AB|=?==4．

故选：A．

设AB方程为：y=k（x+1），与抛物线y2=4x，联立得k2x2+（2k2-4）x+k2=0，设两交点为A（x2，y2），B（x1，y1），则x1+x2=，x1x2=1，AB的中点坐标为：（，），由以AB为直径的圆过点F，得到|AB|=?=2，解得k2=，由此能求出|AB|．

本题考查弦长的求法，考查抛物线、直线方程、韦达定理、弦长公式、两点间距离公式等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．

12.答案：D

解析：解：∵D是BC中点，E是AD中点，

∴=2，=2，

∴（2）=?（2+2）=?4=4．

∴当M为BE的中点时，取得最小值cos180°=-，

∴（2）的最小值为-1．

故选：D．

根据平面向量加法的平行四边形法则化简可得（2）=4，再根据平面向量

的数量积定义求出最小值．

本题考查了平面向量的数量积运算，平面向量的几何运算，属于中档题．

13.答案：

解析：解：在的展开式中，通项公式为T r+1=?（-1）r??x3r-12，

令3r-12=0，求得r=4，可得常数项为?=，

故答案为：．

在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得常数项．

本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．14.答案：-2

解析：解：∵tan（α+）==-3-2，

∴解得：tanα=，

∴tan2α===-2．

故答案为：-2．

由已知利用两角和的正切函数公式化简可求tanα的值，根据二倍角的正切函数公式即可计算得解．本题主要考查了两角和的正切函数公式，二倍角的正切函数公式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．

15.答案：

解析：解：数列{a n}满足+=，

则：数列{}是以以，

即d=2的等差数列．

所以：，

所以：=，

所以：，

=，

=．

故答案为：

首先利用递推关系式求出数列的通项公式，进一步利用裂项相消法求出数列的和．

本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．

16.答案：y=±x

解析：解：双曲线=1（a＞0，b＞0）的离心率为e，

点（2，）与点（e，2）都在双曲线上，

可得：，，a2+b2=c2，e=，

解得a=1，b=，双曲线的渐近线方程为：y=±x，

故答案为：y=±x．

通过点的坐标在双曲线上，列出方程组，转化求解渐近线方程即可．

本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．

17.答案：解：（Ⅰ）由，得，

由正弦定理得，，

∵cos C＜0，∴C为钝角，∴A，B均为锐角，∴，

∴；

（Ⅱ）由，

∴，

又，AD=，

由余弦定理得，．

∴CD的长度为1．

解析：（Ⅰ）利用正弦定理求解即可；

（Ⅱ）根据面积公式求出a，然后利用余弦定理即可求出CD．

本题考查了正弦定理余弦定理和面积公式，考查了计算能力，属基础题．

18.答案：解：（Ⅰ）X的可能取值为0，1，2，3，4，

P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）=，P（X=4）==，

所以X的分布列为：

X 0123 4

P

E（X）=0×+1×+2×+3×+4×=

（Ⅱ）（1）由数据求得=11，=24，

由公式求得=，

所以=-?=24-×11=-，

所以y关于x的线性回归方程为：=x-．

（2）当x=10时，=-=≈21，

同理当x=6时，=×6-=≈11，

依题意可得这三人所得线性回归方程是理想的．

解析：（Ⅰ）X的可能取值为0，1，2，3，4，根据古典概型概率公式可求得概率，可得分布列和期望；

（Ⅱ）（1）根据数据算出，，，，可得线性回归方程；

（2）将x=10和x=6代入线性回归方程得到就诊人数看是否超过2．

本题考查了离散型随机变量的期望与方差，属中档题．

19.答案：证明：（Ⅰ）连结AC，交BD于点F，连结EF，

在等腰梯形ABCD中，AB=AD=CD=1，BC=2，则BC∥AD，

，

又CE=2PE，则=，∴=，

∴PA∥EF，

∵PA?平面BDE，EF?平面BDE，

∴PA∥平面BDE．

解：（Ⅱ）取AD中点O，取BC中点H，连结PO，OH，则PO⊥BD，

又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，

∴PO⊥平面ABCD，

∵O，H分别为AD，BC中点，四边形ABCD是等腰梯形，

∴OH⊥AD，∴以O为原点，以OA为x轴，OH为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，

则B（1，，0），C（-1，，0），D（-），P（0，0，），

可得=（1，，-），=（-），=（-，-，0），

===（-），

设平面PBD的一个法向量=（x，y，z），

则，取z=1，得=（-），

设平面BDE的一个法向量为=（x，y，z），

则，令x=-1，得=（-1，，-），

设二面角P-BD-E的平面角为θ．

则cosθ===，

∴二面角P-BD-E的余弦值为．

解析：（Ⅰ）连结AC，交BD于点F，连结EF，推导出PA∥EF，由此能证明PA∥平面BDE．（Ⅱ）取AD中点O，取BC中点H，连结PO，OH，则PO⊥BD，以O为原点，以OA为x轴，OH 为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角P-BD-E的余弦值．

本题考查线线平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．

20.答案：解：（Ⅰ）由题意，，解得．

∴椭圆C的方程为；

（Ⅱ）由，得（2+3k2）x2+12kx+6=0．

设D（x1，y1），E（x2，y2），

则△=144k2-24（2+3k2）＞0，即k2＞．

，，

|DE|==．

O到DE的距离d=．

∴△ODE的面积S=．

令，则S=．

当且仅当t=，即t=2时上式取“=”，此时，k=．

解析：（Ⅰ）由题意得关于a，b，c的方程组，求解可得a，b，c的值，则椭圆方程可求；

（Ⅱ）联立直线方程与椭圆方程，化为关于x的一元二次方程，利用弦长公式求弦长，再由点到直线距离公式求出O代直线的距离，写出三角形面积，利用换元法与基本不等式求最值，同时求得k 值．

本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，训练了利用换元法与基本不等式求最值，是中档题．

21.答案：解：（Ⅰ）函数的定义域为：x∈（0，+∞），f′（x）=＞0，所以函数是增函数，

∵f（1）=＜0，∴＞=＞0，

因为函数是增函数，所以函数f（x）只有一个零点x0，且x0∈（1，2）．

（Ⅱ）g（x）=，由（Ⅰ）可知ln x0=，∴x0ln x0=?x0；

当1＜x＜x0时，g（x）=x lnx，g′（x）=1+ln x＞0，因而g（x）是增函数，当x＞x0时，，g′（x）=＜0，此时函数是减函数；g（x）=k在（1，+∞）上由两个实数根，x1，x2；x1∈（1，x0），

x2∈（x0，+∞），由于g（1）=0，所以可以猜想x1+x2＞2x0，要证明x1+x2＞2x0，即证x2＞2x0-x1＞x0，而g（x）在（x0，+∞）上是减函数，故可证g（x2）＜g（2x0-x1），又g（x1）=g（x2）即证g（x1）

＜g（2x0-x1），即，记h（x）=，1＜x＜x0其中h（x0）=0，

∴=1+ln x+，记φ（t）=，φ，当t∈（0，1）时，φ′（t）＞0，t∈（1，+∞）时，φ′（t）＜0φ（t）max=，而φ（t）＞0，故0，而2x0-x＞0，从而，因此h′（x）=1+ln x+＞0．

即h（x）递增，从而当1＜x＜x0时，h（x）＜h（x0）=0，即，故x1+x2＞2x0，得证．

解析：（Ⅰ）求出函数的定义域，求出导函数，判断函数的单调性，利用零点判定定理判断函数f （x）只有一个零点x0，且x0∈（1，2）；

（Ⅱ）g（x）=，推出x0ln x0=?x0；判断函数的单调性，说明g（x）=k在（1，+∞）

上有两个实数根，x1，x2；x1∈（1，x0），x2∈（x0，+∞），猜想x1+x2＞2x0，要证明x1+x2＞2x0，即证x2＞2x0-x1＞x0，即，记h（x）=，求出导函数，记φ（t）=，再次求解导函数φ，判断函数的单调性，推出1＜x＜x0时，h（x）＜h（x0）

=0，推出结论．

本题考查函数的导数应用，函数的单调性以及函数的最值的求法，考查构造法二次导数的应用，考查分析法的应用，难点比较大．

22.答案：解：（Ⅰ）由ρ=2sin（θ+）=2sinθ+2cosθ，

得ρ2=2ρsinθ+2ρcosθ，

∴x2+y2=2y+2x，即（x-1）2+（y-1）2=2，

∴C的直角坐标方程为（x-1）2+（y-1）2=2．

（Ⅱ）代入（x-1）2+（y-1）2=2并整理得t2-t+8=0，

设点A，B的坐标对应的参数分别为t1，t2，

则t1+t2=，t1t2=8，

得|PA||PB|=|t1t2|=8．

解析：（Ⅰ）根据和角的正弦公式以及极坐标与直角坐标的互化公式可得C的直角坐标方程．（Ⅱ）将直线的参数方程代入圆的方程，根据参数的几何意义可得．

本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．

23.答案：证明：（I）∵=1，≥3，当且仅当=时取等号，

∴≤，即abc≥27×6，

∴≥=9．

（II）∵=（）（）≥（?+?+?）2=（++）2=6，

∴．

解析：（I）根据基本不等式证明；

（II）不等式左侧乘（），根据柯西不等式得出结论．

本题考查了基本不等式，柯西不等式在不等式证明中的应用，属于中档题．