2018年全国高中数学联赛贵州预赛试题及详解

绝密★启用前

2018年贵州省高中数学联赛试题

2018年5月6日 8：30-11：00

一、选择题：每小题6分，本大题共30分.

1.小王在word 文档中设计好一张4A 规格的表格，根据要求，这种规格的表格需要设计1000张，小王欲使用“复制——粘贴”（用鼠标选中表格，右键点击“复制”，然后在本word 文档中“粘贴”）的办法满足要求.请问：小王需要使用“复制——粘贴”的次数至少为（ ）

A ．9次

B ．10次

C ．11次

D ．12次

2.

已知一双曲线的两条渐近线方程为0x -=

0y +=，则它的离心率是（ ）

A

．

1

3.在空间直角坐标系中，已知(0,0,0)O ，(1,0,0)A ，(0,1,0)B ，(0,0,1)C ，

则到面OAB 、面OBC 、面OAC 、面ABC 的距离相等的点的个数是（ ）

A ．1

B ．4

C ．5

D ．无穷多

4.

，则此截面与圆柱底面所成的锐二面角是（ ） A ．1arcsin 3 B ．1arccos 3 C ．2arcsin 3 D ．2arccos 3

5.已知等差数列{}n a 及{}n b ，设12n n A a a a =++???+，12n n B b b b =++???+，若对*n N ?∈，有

3553n n A n B n +=+，则106

a b =（ ） A ．3533

B ．3129

C ．17599

D ．15587 二、填空题（每小题6分，本大题共60分）

6.已知O 为ABC ?所在平面上一定点，动点P 满足()AB AC OP OA AB AC

λ=++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，其[0,)λ∈+∞，则P 点的轨迹为 ．

7.牛得亨先生、他的妹妹、他的儿子，还有他的女儿都是网球选手.这四人中有以下情况：①最佳选手的孪生同胞与最差选手性别不同；②最佳选手与最差选手年龄相同.则这四人中最佳选手是 ．

8.方程组2226()6

x y xy x y ?+=?+=-?的实数解为 ． 9.如图，在ABD ?中，点C 在AD 上，2ABC π∠=，6DBC π∠=，

1AB CD ==，则AC = ．

10.函数2222121013z x x x x =-++-+的最小值是 ．

11.若边长为6的正ABC ?的三个顶点到平面α的距离分别为1，2，3，则ABC ?的重心G 到平面α的距离为 ．

12.若实数a 使得不等式222x a x a a -+-≥对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围 ．

13.若方程(0,1)x

a x a a =>≠有两个不等实根，则实数a 的取值范围是 ．

14.顺次连结圆229x y +=与双曲线3xy =的交点，得到一个凸四边形.则此凸四边形的面积为 ．

15.函数2(5)sin 1(010)y x x x π=--≤≤的所有零点之和等于 ． 三、解答题（每小题15分，本大题共60分）

16.已知函数232y x x x =+-，求该函数的值域.

17.已知椭圆C ：22

221(0)x y a b a b

+=>>的离心率22e =，直线21y x =-与C 交于A 、B 两点，且859

AB =. （1）求椭圆C 的方程；

（2）过点(2,0)M 的直线l （斜率不为零）与椭圆C 交于不同的两点E 、F （E 在点F 、M 之间），记OME OMF

S S λ??=

，求λ的取值范围.

18.证明：（1）1111112212221

k k k k ++++???+<++-(2,)n n N ≥∈； （2）分别以1，12，13，…，1n ，…为边长的正方形能互不重叠地全部放入一个边长为32的正方形内.

19.已知梯形ABCD ，边CD 、AB 分别为上、下底，且90ADC ∠=o ，对角线AC BD ⊥，过D 作DE BC ⊥ 于点E .

（1）证明：22AC CD AB CD =+?；

（2）证明：22

AE AC CD BE AC CD ?=-.