2016高考数学二轮复习微专题强化练习题：13立体几何综合练习(文)
第一部分 一 13(文)
一、选择题
1．(2015·东北三校二模)设l ，m 是两条不同的直线，α是一个平面，则下列说法正确的是( )
A ．若l ⊥m ，m ?α，则l ⊥α
B ．若l ⊥α，l ∥m ，则m ⊥α
C ．若l ∥α，m ?α，则l ∥m
D ．若l ∥α，m ∥α，则l ∥m [答案] B
[解析] 当l 、m 是平面α内的两条互相垂直的直线时，满足A 的条件，故A 错误；对于C ，过l 作平面与平面α相交于直线l 1，则l ∥l 1，在α内作直线m 与l 1相交，满足C 的条件，但l 与m 不平行，故C 错误；对于D ，设平面α∥β，在β内取两条相交的直线l 、m ，满足D 的条件，故D 错误；对于B ，由线面垂直的性质定理知B 正确．
2．已知α、β、γ是三个不同的平面，命题“α∥β，且α⊥γ?β⊥γ”是真命题，如果把α、β、γ中的任意两个换成直线，另一个保持不变，在所得的所有新命题中，真命题有( )
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个
[答案] C
[解析] 若α、β换成直线a 、b ，则命题化为“a ∥b ，且a ⊥γ?b ⊥γ”，此命题为真命题；若α、γ换为直线a 、b ，则命题化为“a ∥β，且a ⊥b ?b ⊥β”，此命题为假命题；若β、γ换为直线a 、b ，则命题化为“a ∥α，且b ⊥α?a ⊥b ”，此命题为真命题，故选C.
3．(2015·重庆文，5)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )
A.1
3＋2π B.13π
6 C.7π3 D.5π2
[答案] B
[解析] 由三视图可知该几何体是由一个圆柱和一个半圆锥组成，圆柱的底面半径为1，
高为2；半圆锥的底面半径为1，高也为1，故其体积为π×12×2＋16×π×12×1＝13π
6；故
选B.
4.如图，在正四面体P －ABC 中，D 、E 、F 分别是AB 、BC 、CA 的中点，下列四个结
论不成立的是( )
A ．BC ∥平面PDF
B ．DF ⊥平面P AE
C ．平面PDF ⊥平面P AE
D ．平面PD
E ⊥平面ABC [答案] D
[解析] ∵D 、F 分别为AB 、AC 的中点，∴BC ∥DF ，
∵BC ?平面PDF ，∴BC ∥平面PDF ，故A 正确；在正四面体中，∵E 为BC 中点，易知BC ⊥PE ，BC ⊥AE ，∴BC ⊥平面P AE ，∵DF ∥BC ，∴DF ⊥平面P AE ，故B 正确；∵DF ⊥平面P AE ，DF ?平面PDF ，∴平面PDF ⊥平面P AE ，∴C 正确，故选D.
5．若某棱锥的三视图(单位：cm)如图所示，则该棱锥的体积等于( )
A ．10 cm 3
B ．20 cm 3
C ．30 cm 3
D ．40 cm 3
[答案] B
[解析] 由三视图知该几何体是四棱锥，可视作直三棱柱ABC －A 1B 1C 1沿平面AB 1C 1
截去一个三棱锥A －A 1B 1C 1余下的部分．
∴VA －BCC 1B 1＝VABC －A 1B 1C 1－VA －A 1B 1C 1＝12×4×3×5－13×(1
2×4×3)×5＝
20cm 3.
6．如图，在棱长为5的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，EF 是棱AB 上的
一条线段，且EF ＝2，Q 是A 1D 1的中点，点P 是棱C 1D 1上的动点，则四面体P －QEF 的体积( )
A ．是变量且有最大值
B ．是变量且有最小值
C ．是变量且有最大值和最小值
D ．是常量 [答案] D
[解析] 因为EF ＝2，点Q 到AB 的距离为定值，所以△QEF 的面积为定值，设为S ，又因为D 1C 1∥AB ，所以D 1C 1∥平面QEF ；点P 到平面QEF 的距离也为定值，设为d ，从而四面体P －QEF 的体积为定值1
3
Sd .
7．(2015·湖北文，5)l 1，l 2表示空间中的两条直线，若p ：l 1，l 2是异面直线，q ：l 1，l 2
不相交，则( )
A ．p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件
B ．p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件
C ．p 是q 的充分必要条件
D ．p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件 [答案] A
[解析] 若p ：l 1，l 2是异面直线，由异面直线的定义知，l 1，l 2不相交，所以命题q ：l 1，l 2不相交成立，即p 是q 的充分条件；反过来，若q ：l 1，l 2不相交，则l 1，l 2可能平行，也可能异面，所以不能推出l 1，l 2是异面直线，即p 不是q 的必要条件，故应选A.
8．已知正方形ABCD 的边长为22，将△ABC 沿对角线AC 折起，使平面ABC ⊥平面ACD ，得到如右图所示的三棱锥B －ACD .若O 为AC 边的中点，M 、N 分别为线段DC 、BO 上的动点(不包括端点)，且BN ＝CM .设BN ＝x ，则三棱锥N －AMC 的体积y ＝f (x )的函数图象大致是( )
[答案] B
[解析] 由条件知，AC ＝4，BO ＝2，S △AMC ＝12CM ·AD ＝2x ，NO ＝2－x ，∴V N －AMC ＝
13S △AMC ·NO ＝
23x (2－x )，即f (x )＝2
3
x (2－x )，故选B. 二、填空题
9．(2015·天津文，10)一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为
________m 3.
[答案]
8π3
[解析] 考查1.三视图；2.几何体的体积．
该几何体是由两个高为1的圆锥与一个高为2的圆柱组合而成，圆柱与圆锥的底面半径都是1，所以该几何体的体积为2×13×π×1＋π×2＝8π
3
(m 3)．
三、解答题
10．如图，已知AD ⊥平面ABC ，CE ⊥平面ABC ，F 为BC 的中点，若AB ＝AC ＝AD ＝1
2
CE .
(1)求证：AF ∥平面BDE ； (2)求证：平面BDE ⊥平面BCE .
[证明] (1)取BE 的中点G ，连接GF 、GD . 因为F 是BC 的中点，则GF 为△BCE 的中位线． 所以GF ∥EC ，GF ＝1
2
CE .
因为AD ⊥平面ABC ，CE ⊥平面ABC ， 所以GF ∥EC ∥AD .
又因为AD ＝1
2
CE ，所以GF ＝AD .
所以四边形GF AD 为平行四边形．所以AF ∥DG . 因为DG ?平面BDE ，AF ?平面BDE ， 所以AF ∥平面BDE .
(2)因为AB＝AC，F为BC的中点，所以AF⊥BC.
因为EC∥GF，EC⊥平面ABC，
所以GF⊥平面ABC.
又AF?平面ABC，所以GF⊥AF.
因为GF∩BC＝F，所以AF⊥平面BCE.
因为AF∥DG，所以DG⊥平面BCE.
又DG?平面BDE，所以平面BDE⊥平面BCE.
11.底面为正多边形的直棱柱称为正棱柱．如图，在正三棱柱ABC
－A1B1C1中，AA1＝AB＝a，F、F1分别是AC、A1C1的中点．
(1)求证：平面AB1F1∥平面C1BF；
(2)求证：平面AB1F1⊥平面ACC1A1.
[分析](1)在正三棱柱中，由F、F1分别为AC、A1C1的中点，不
难想到四边形AFC1F1与四边形BFF1B1都为平行四边形，于是要证平面
AB1F1∥平面C1BF，可证明平面AB1F1与平面C1BF中有两条相交直线分别平行，即BF∥B1F1，FC1∥AF1.
(2)要证两平面垂直，只要在一个平面内能够找到一条直线与另一个平面垂直，考虑到侧面ACC1A1与底面垂直，F1为A1C1的中点，则不难想到B1F1⊥平面ACC1A1，而平面AB1F1经过B1F1，因此可知结论成立．
[解析](1)在正三棱柱ABC－A1B1C1中，连FF1，
∵F、F1分别是AC、A1C1的中点，
∴B1B綊A1A綊FF1，
∴B1BFF1为平行四边形．∴B1F1∥BF，
又AF綊C1F1，∴AF1C1F为平行四边形，
∴AF1∥C1F，
又∵B1F1与AF1是两相交直线，
∴平面AB1F1∥平面C1BF.
(2)在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面A1B1C1，
∴B1F1⊥AA1，又B1F1⊥A1C1，A1C1∩AA1＝A1，
∴B1F1⊥平面ACC1A1，而平面AB1F1经过B1F1，
∴平面AB1F1⊥平面ACC1A1.
12.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点F、H分别为A1D、A1C的中点．
(1)证明：A1B∥平面AFC；
(2)证明：B1H⊥平面AFC.
[分析]分别利用线面平行的判定定理和线面垂直的判定定理证
明．
[解析](1)连BD交AC于点E，则E为BD的中点，连EF，又F为A1D的中点，所以EF∥A1B.
又EF?平面AFC，A1B?平面AFC，
∴A1B∥平面AFC.
(2)连接B1C，在正方体中四边形A1B1CD为长方形，
∵H为A1C的中点，
∴H也是B1D的中点，
∴只要证B1D⊥平面ACF即可．
由正方体性质得AC⊥BD，AC⊥B1B，
∴AC⊥平面B1BD，∴AC⊥B1D.
又F为A1D的中点，∴AF⊥A1D，
又AF⊥A1B1，∴AF⊥平面A1B1D.
∴AF⊥B1D，又AF、AC为平面ACF内的相交直线．
∴B1D⊥平面ACF.即B1H⊥平面ACF.
13.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是∠DAB＝60°，且
边长为a的菱形，侧面P AD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD.
(1)若G为AD边的中点，求证：BG⊥平面P AD；
(2)求证：AD⊥PB；
(3)若E为BC边的中点，能否在棱PC上找到一点F，使平面DEF⊥平面ABCD，并证明你的结论．
[解析](1)证明：∵在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，G为AD的中点，得BG⊥AD.又
平面P AD⊥平面ABCD，
平面P AD∩平面ABCD＝AD，
∴BG⊥平面P AD.
(2)证明：连接PG，因为△P AD为正三角形，G为AD的中点，得PG⊥AD.
由(1)知BG⊥AD，
∵PG∩BG＝G，
PG?平面PGB，BG?平面PGB，
∴AD⊥平面PGB.
∵PB?平面PGB，∴AD⊥PB.
(3)解：当F为PC的中点时，满足平面DEF⊥平面ABCD.
证明如下：取PC的中点F，连接DE、EF、DF，则在△PBC中，FE∥PB，在菱形ABCD 中，GB∥DE，
∴AD⊥EF，AD⊥DE.∴AD⊥平面DEF，
又AD?平面ABCD，∴平面DEF⊥平面ABCD.
14．(2014·河北名校名师俱乐部模拟)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AC⊥BC，E在线段B1C1上，B1E＝3EC1，AC＝BC＝CC1＝4.
(1)求证：BC⊥AC1；
(2)试探究：在AC上是否存在点F，满足EF∥平面A1ABB1，若存
在，请指出点F的位置，并给出证明；若不存在，说明理由．
[分析](1)执果索因：要证BC⊥AC1，已知BC⊥AC，故只需证BC
⊥平面ACC1A1，从而BC⊥AA1，这由已知三棱柱中AA1⊥平面ABC可证．
(2)假定存在，执果索因找思路：
假定AC上存在点F，使EF∥平面A1ABB1，考虑矩形C1CBB1中，E在B1C1上，且B1E ＝3EC1，因此取BC上点G，使BG＝3GC，则EG＝B1B，从而EG∥平面A1ABB1，因此平
面EFG∥平面A1ABB1，由面面平行的性质定理知FG∥AB，从而AF
FC＝BG
GC＝3，则只需过G
作AB的平行线交AC于F，F即所探求的点．
[解析](1) ∵AA1⊥平面ABC, BC?平面ABC，
∴BC⊥AA1.
又∵BC⊥AC，AA1，AC?平面AA1C1C，AA1∩AC＝A，
∴BC⊥平面AA1C1C，
又AC1?平面AA1C1C，∴BC⊥AC1.
(2)解法一：当AF＝3FC时，FE∥平面A1ABB1.
理由如下：在平面A1B1C1内过E作EG∥A1C1交A1B1于G，连接AG.
∵B 1E ＝3EC 1，∴EG ＝3
4
A 1C 1，
又AF ∥A 1C 1且AF ＝3
4A 1C 1，∴AF ∥EG 且AF ＝EG ，
∴四边形AFEG 为平行四边形，∴EF ∥AG ， 又EF ?平面A 1ABB 1，AG ?平面A 1ABB 1， ∴EF ∥平面A 1ABB 1.
解法二：当AF ＝3FC 时，FE ∥平面A 1ABB 1.
理由如下： 在平面BCC 1B 1内过E 作EG ∥BB 1交BC 于G ，连接FG .
∵EG ∥BB 1，EG ?平面A 1ABB 1，BB 1?平面A 1ABB 1， ∴EG ∥平面A 1ABB 1. ∵B 1E ＝3EC 1，∴BG ＝3GC ，
∴FG ∥AB ，又AB ?平面A 1ABB 1，FG ?平面A 1ABB 1， ∴FG ∥平面A 1ABB 1.
又EG ?平面EFG ，FG ?平面EFG ，EG ∩FG ＝G ， ∴平面EFG ∥平面A 1ABB 1.
∵EF ?平面EFG ，∴EF ∥平面A 1ABB 1.
15．已知四棱锥P －ABCD 的直观图和三视图如图所示，E 是PB 的中点． (1)求三棱锥C －PBD 的体积；
(2)若F 是BC 上任一点，求证：AE ⊥PF ；
(3)边PC上是否存在一点M，使DM∥平面EAC，并说明理由．
[解析](1)由该四棱锥的三视图可知，四棱锥P－ABCD的底面是边长为2和1的矩形，侧棱P A⊥平面ABCD，且P A＝2，
∴V C－PBD＝V P－BCD＝1
3×
1
2×1×2×2＝
2
3.
(2)证明：∵BC⊥AB，BC⊥P A，AB∩P A＝A.
∴BC⊥平面P AB，∴BC⊥AE，
又在△P AB中，∵P A＝AB，E是PB的中点，
∴AE⊥PB.又∵BC∩PB＝B，
∴AE⊥平面PBC，且PF?平面PBC，∴AE⊥PF.
(3)存在点M，可以使DM∥平面EAC.
连接BD，设AC∩BD＝O，连接EO.
在△PBD中，EO是中位线．
∴PD∥EO，
又∵EO?平面EAC，PD?平面EAC，
∴PD∥平面EAC，
∴当点M与点P重合时，可以使DM∥平面EAC.
2020高考数学专题复习----立体几何专题
空间图形的计算与证明 一、近几年高考试卷部分立几试题 1、（全国 8）正六棱柱 ABCDEF －A 1B 1C 1D 1E 1F 1 底面边长为 1， 侧棱长为 2 ，则这个棱柱的侧面对角线 E 1D 与 BC 1 所成的角是 （ ） A 、90° B 、60° C 、45° D 、30° [评注]主要考查正六棱柱的性质，以及异面直线所成角的求法。 2、（全国 18）如图，正方形ABCD 、ABEF 的边长都是 1，而且 平面 ABCD 、ABEF 互相垂直，点 M 在 AC 上移动，点 N 在 BF C 上移动，若 CM=NB=a(0 的底面是边长为a的正方形，PB⊥面ABCD。 （1）若面PAD与面ABCD所成的二面角为60°， 求这个四棱锥的体积； （2）证明无论四棱锥的高怎样变化，面PAD与面 PCD所成的二面角恒大于90°。 [评注]考查线面关系和二面角概念，以及空间想象力和逻辑推理能力。 4、（02全国文22）（一）给出两块面积相同的正三角形纸片，要求用其中一块剪拼成一个正三棱锥模型，使它们的全面积都与原三角形面积相等，请设计一种剪拼法，分别用虚线标示在图（1）（2）中，并作简要说明。 (3) (1)(2) （二）试比较你剪拼的正三棱锥与正三棱柱的体积的大小。（三）如果给出的是一块任意三角形的纸片，如图（3）要求剪拼成一个直三棱柱模型，使它的全面积与给出的三角形面积相等，请设计一种剪拼方法，用虚线标出在图3中，并作简要说明。 高考真题集锦（立体几何部分） 1.(2016.理1）如图是由圆柱和圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积是（ ） A 20π B24π C28π D.32π 2. βα，是两个平面，m,n 是两条直线，有下列四个命题： （1）如果m ⊥n,m ⊥α，n ∥β，那么βα⊥； （2）如果m ⊥α，n ∥α，那么m ⊥n. （3）如果αβα?m ，∥那么m ∥β。 （4）如果m ∥n,βα∥，那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等。 其中正确的命题有___________ 3.（2016年理1）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径．若该几何体的体积是π328，则它的表面积是 A 17π B.18π C.20π D.28π 4.平面α过正方体1111D C B A ABCD -的顶点A ，α//平面11D CB ，?α平面ABCD =m ， ?α平面11A ABB =n,则m,n 所成角的正弦值为（ ） A.23 B.22 C.33 D.3 1 5.（2016年理1）如图，在以A,B,C,D,E,F 为顶点的五面体中，面ABEF 为正方形，AF=2FD ，∠AFD=90°，且二面角D-AF-E 与二面角C-BE-F 都是60° .（12分） （Ⅰ）证明：平面ABEF ⊥平面EFDC ； （Ⅱ）求二面角E-BC-A 的余弦值. 6. (2015年理1）圆柱被一个平面截取一部分后与半球（半径为r ）组成一个几何体，该几何体三视图的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积是16+20π，则r=（ ） A.1 B.2 C.7 D.8 7.如图，四边形ABCD 为菱形，∠ABC=120°，E,F 是平面ABCD 同一侧的亮点，BE ⊥平面ABCD,DF ⊥平面ABCD,BE=2DF,AE ⊥EC. (1) 证明：平面AEC ⊥平面AFC; (2) 求直线AE 与直线CF 所成角的余弦值。 8.一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如下图，则截取部分体积和剩余 部分体积的比值为（） 9.如图，长方体1111D C B A ABCD -中，AB = 16，BC = 10，AA1 = 8，点E ，F 分别在1111C D B A ， 上，411==F D E A ，过点E,F 的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形。 （1）在图中画出这个正方形（不必说明画法和理由）； （2）求直线AF 与平面α所成的角的正弦值 10.如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，AB=5，AC=6，点E,F 分别在AD,CD 上，AE=CF=45 ，EF 交BD 于点H.将△DEF 沿EF 折到△DEF 的位置，OD ’=10 （1）证明：D ’H ⊥平面ABCD （2）求二面角B-D ’A-C 的正弦值 2020高考数学之立体几何解答題23題 一．解答题（共23小题） 1．在如图所示的几何体中，四边形ABCD是菱形，ADNM是矩形，平面ADNM⊥平面ABCD，∠DAB=60°，AD=2，AM=1，E为AB的中点． （Ⅰ）求证：AN∥平面MEC； （Ⅱ）在线段AM上是否存在点P，使二面角P﹣EC﹣D的大小为？若存在，求出AP的长h；若不存在，请说明理由． 2．如图，三棱柱中ABC﹣A1B1C1中，点A1在平面ABC内的射影D为棱AC的中点，侧面A1ACC1为边长为2 的菱形，AC⊥CB，BC=1． （Ⅰ）证明：AC1⊥平面A1BC； （Ⅱ）求二面角B﹣A1C﹣B1的大小． 3．如图，已知四棱锥P﹣ABCD，PB⊥AD侧面PAD为边长等于2的正三角形，底面ABCD为菱形，侧面PAD与底面ABCD所成的二面角为120°． （I）求点P到平面ABCD的距离， （II）求面APB与面CPB所成二面角的大小． 4．在正三棱锥P﹣ABC中，底面正△ABC的中心为O，D是PA的中点，PO=AB=2，求PB与平面BDC所成角的正弦值． 5．如图，正三棱锥O﹣ABC的三条侧棱OA、OB、OC两两垂直，且长度均为2．E、F分别是AB、AC的中点，H是EF的中点，过EF作平面与侧棱OA、OB、OC或其延长线分别相交于A1、B1、C1，已知． （1）求证：B1C1⊥平面OAH； （2）求二面角O﹣A1B1﹣C1的大小． 6．如图，在三棱锥A﹣BCD中，侧面ABD、ACD是全等的直角三角形，AD是公共的斜边，且AD=，BD=CD=1，另一个侧面是正三角形． （1）求证：AD⊥BC． （2）求二面角B﹣AC﹣D的大小． （3）在直线AC上是否存在一点E，使ED与面BCD成30°角？若存在，确定E的位置；若不存在，说明理由． 绝密★启用前 2018年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 本试卷共23题，共150分，共4页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在 条形码区域内。 2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。 3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。 5．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。 1．12i 12i +=- A ．43i 55-- B ．43i 55-+ C ．34i 55-- D ．34i 55 -+ 2．已知集合22{(,)|3,,A x y x y x y =+≤∈∈Z Z}，则A 中元素的个数为 A ．9 B ．8 C ．5 D ．4 3．函数2 e e ()x x f x x --=的图象大致为 4．已知向量a ，b 满足||1=a ，1?=-a b ，则(2)?-=a a b A ．4 B ．3 C ．2 D ．0 5．双曲线 2 2 22 1(0,0)x y a b a b -=>>3 A ．2y x = B ．3y x =± C ．2y = D ．3y = 6．在ABC △中，5 cos 2C = 1BC =，5AC =，则AB = A ．42B 30C 29D ．5 2019-2020年高考数学大题专题练习——立体几何（一） 1.如图所示，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，⊥PD 平面ABCD ， 2PD AB ==，点,,E F G 分别为,,PC PD BC 的中点. (1)求证：EF PA ⊥； (2)求二面角D FG E --的余弦值. 2.如图所示，该几何体是由一个直角三棱柱ADE BCF -和一个正四棱锥P ABCD -组合而成，AF AD ⊥，2AE AD ==. (1)证明：平面⊥PAD 平面ABFE ； (2)求正四棱锥P ABCD -的高h ，使得二面角C AF P --的余弦值是 22 . 3.四棱锥P ABCD -中，侧面PDC是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面ABCD是 面积为ADC ∠为锐角，M为PB的中点． （Ⅰ）求证：PD∥面ACM． （Ⅱ）求证：PA⊥CD． （Ⅲ）求三棱锥P ABCD -的体积． 4.如图，四棱锥S ABCD -满足SA⊥面ABCD，90 DAB ABC ∠=∠=?．SA AB BC a ===，2 AD a =． （Ⅰ）求证：面SAB⊥面SAD． （Ⅱ）求证：CD⊥面SAC． S B A D M C B A P D 5.在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，测棱PD ⊥底面ABCD ，PD DC =，点E 是 BC 的中点，作EF PB ⊥交PB 于F ． （Ⅰ）求证：平面PCD ⊥平面PBC ． （Ⅱ）求证：PB ⊥平面EFD ． 6.在直棱柱111ABC A B C -中，已知AB AC ⊥，设1AB 中点为D ，1A C 中点为E ． （Ⅰ）求证：DE ∥平面11BCC B ． （Ⅱ）求证：平面11ABB A ⊥平面11ACC A ． E D A B C C 1 B 1 A 1 D A B C E F P 函数及其性质 一、填空题 （2016·12）已知函数()() f x x∈R满足()2() f x f x -=-，若函数 1 x y x + =与() y f x =图像的交点为 11 (,) x y，22 (,) x y，…，(,) m m x y，则 1 () m i i i x y = += ∑（） A．0 B．m C．2m D．4m （2015·5）设函数2 1 1log(2)(1) () 2(1) x x x f x x - +-< ? =? ≥ ? ，则 2 (2)(l og12) f f -+=（）A．3 B．6 C．9 D．12 （2015·10）如图，长方形ABCD的边AB=2，BC=1，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与DA运动，记∠BOP=x. 将动点P到A，B两点距离之和表示为x的函数f（x），则f（x）的图像大致为（） A．B．C．D． （2013·8）设 3 log6 a=， 5 log10 b=， 7 log14 c=，则（） A.c b a >>B.b c a >>C.a c b >>D.a b c >> （2013·10）已知函数32 () f x x ax bx c =+++，下列结论中错误的是（） A. 00 ,()0 x f x ?∈= R B.函数() y f x =的图像是中心对称图形 C.若 x是() f x的极小值点，则() f x在区间 (,) x -∞单调递减 D.若 x是() f x的极值点，则 ()0 f x'= （2012·10）已知函数 x x x f - + = )1 ln( 1 ) (，则) (x f y=的图像大致为（） A. B. C. D. （2011·2）下列函数中，既是偶函数又在+∞ （0，）单调递增的函数是（） A．3 y x =B．||1 y x =+C．21 y x =-+D．|| 2x y- = （2011·12）函数 1 1 y x = - 的图像与函数2sin,(24) y x x π =-≤≤的图像所有交点的横坐标之和等于（） 1 1 y x o 1 1 y x o 1 1 y x o 1 1 y x o 专题09立体几何与空间向量选择填空题历年考题细目表 题型年份考点试题位置 单选题2019 表面积与体积2019年新课标1理科12 单选题2018 几何体的结构特征2018年新课标1理科07 单选题2018 表面积与体积2018年新课标1理科12 单选题2017 三视图与直观图2017年新课标1理科07 单选题2016 三视图与直观图2016年新课标1理科06 单选题2016 空间向量在立体几何中的应 用2016年新课标1理科11 单选题2015 表面积与体积2015年新课标1理科06 单选题2015 三视图与直观图2015年新课标1理科11 单选题2014 三视图与直观图2014年新课标1理科12 单选题2013 表面积与体积2013年新课标1理科06 单选题2013 三视图与直观图2013年新课标1理科08 单选题2012 三视图与直观图2012年新课标1理科07 单选题2012 表面积与体积2012年新课标1理科11 单选题2011 三视图与直观图2011年新课标1理科06 单选题2010 表面积与体积2010年新课标1理科10 填空题2017 表面积与体积2017年新课标1理科16 填空题2011 表面积与体积2011年新课标1理科15 填空题2010 三视图与直观图2010年新课标1理科14 历年高考真题汇编 1．【2019年新课标1理科12】已知三棱锥P﹣ABC的四个顶点在球O的球面上，P A＝PB＝PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是P A，AB的中点，∠CEF＝90°，则球O的体积为（） A．8πB．4πC．2πD．π 2．【2018年新课标1理科07】某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为（） 立体几何测试卷 班级 姓名 学号 一、选择题： 1．一个圆锥的侧面积是其底面积的2倍，则该圆锥的母线与底面所成的角为（ ） （A ）30 （B ）45 （C ）60 （D ）75 2．两个完全相同的长方体的长、宽、高分别为5 cm 、4cm 、3cm ,把它们重叠在一起组成一个新长方体，在这些新长方体中，最长的对角线的长度是 （ ） （A ）cm 77 （B ）cm 27 （C ）cm 55 （D ）cm 210 3．等边三角形ABC 的边长为4，M 、N 分别为AB 、AC 的中点，沿MN 将AMN ?折起，使得面AMN 与面MNCB 所成的二面角为30 ，则四棱锥A —MNCB 的体积为（ ） （A ） 2 3 （B ）23 （C ）3 （D ）3 4．若二面角βα--l 为120 ，直线m α⊥,则β所在平面内的直线与m 所成角的取值范围是 （ ） （A ）(] 90,0 （B ）[ ] 60 ,30 （C ）[] 90,60 （D ）[] 90,30 5．关于直线a 、b 、l 及平面M 、N ，下列命题中正确的是 （ ） （A ）若a // M,b // M,则a // b （B ）若a // M,b ⊥a,则b ⊥ M （C ）若a ,,M b M ??且l b l a ⊥⊥,则M l ⊥ （D ）若,//,N a M a ⊥则N M ⊥ 6．棱长为a 的正方体中，连接相邻的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为（ ） （A ）33a （B ）43a （C ）63a （D ）12 3 a 7．一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（ ） （A ）3π （B ）4π （C ）π33 （D ）6π 8． 已知圆锥的底面半径为R ，高为3R ，它的所有内接圆柱中，全面积的最大值是（ ） （A ）22 R π （B ） 249R π （C ）238R π （D ）22 5 R π 9．在下列条件中，可判断平面α与β平行的是 （ ） （A ）βα、都垂直于平面γ （B ）α内存在不共线的三点到β的距离相等 第八讲 数列综合 ★★★高考在考什么 【考题回放】 1.已知a b c d ，，，成等比数列，且曲线 2 23y x x =-+的顶点是()b c ，，则ad 等于（ B ） Ａ．3 Ｂ．2 Ｃ．1 Ｄ．2- 2.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1221S =，则25811a a a a +++= ．7 3. 在等比数列{}n a 中,12a =,前n 项和为n S ,若数列{}1n a +也是等比数列,则n S 等于 A ．1 2 2n +- B.3n C. 2n D.31n - 【解析】因数列{}n a 为等比，则12n n a q -=，因数列{}1n a +也是等比数列， 则 2212112221 2 (1)(1)(1)22(12)01n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a q q q +++++++++=++?+=++?+=?+-=?= 即 2 n a =，所以 2n S n =，故选择答案C 。 4.设集合{1 23456}M =，，，，，， 12k S S S ，，，都是M 的含两个元素的子集，且满足：对任意的 {} i i i S a b =，， {} j j j S a b =，（i j ≠，{1 23}i j k ∈、，，，，），都有min min j j i i i i j j a b a b b a b a ??????≠???? ??????，，（min{}x y ，表示两个数x y ，中的较小者），则k 的最大值 是（ B ） A ．10 B ．11 C ．12 D ．13 5. 已知正项数列{an}，其前n 项和Sn 满足10Sn=an2+5an+6且a1,a3,a15成等比数列，求数列{an}的通项an . 解析：解: ∵10Sn=an2+5an+6， ① ∴10a1=a12+5a1+6，解之得a1=2或a1=3． 又10Sn －1=an －12+5an －1+6(n≥2)，② 由①－②得 10an=(an2－an －12)+6(an －an －1)，即(an+an －1)(an －an －1－5)=0 ∵an+an －1>0 ， ∴an －an －1=5 (n≥2)． 当a1=3时，a3=13，a15=73． a1， a3，a15不成等比数列∴a1≠3; 当a1=2时，a3=12， a15=72， 有a32=a1a15 ， ∴a1=2， ∴an=5n －3． 6.已知公比为(01)q q <<的无穷等比数列{}n a 各项的和为9，无穷等比数列{}2 n a 各项的和为 81 5. 专题04 立体几何 1．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是 A．α内有无数条直线与β平行 B．α内有两条相交直线与β平行 C．α，β平行于同一条直线 D．α，β垂直于同一平面 2．【2019年高考全国Ⅲ卷文数】如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是线段ED的中点，则 A．BM=EN，且直线BM，EN是相交直线 B．BM≠EN，且直线BM，EN是相交直线 C．BM=EN，且直线BM，EN是异面直线 D．BM≠EN，且直线BM，EN是异面直线 3．【2019年高考浙江卷】祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家，他提出的“幂势既同，则积不容异”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体的体积公式V柱体=Sh，其中S是柱体的底面积，h是柱体的高．若某柱体的三视图如图所示（单位：cm），则该柱体的体积（单位：cm3）是 A．158 B．162 C．182 D．324 4．【2019年高考浙江卷】设三棱锥V –ABC 的底面是正三角形，侧棱长均相等，P 是棱VA 上的点（不含端点）．记直线PB 与直线AC 所成的角为α，直线PB 与平面ABC 所成的角为β，二面角P –AC –B 的平面角为γ，则 A ．β<γ，α<γ B ．β<α，β<γ C ．β<α，γ<α D ．α<β，γ<β 5．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】已知∠ACB=90°，P 为平面ABC 外一点，PC =2，点P 到∠ACB 两边AC ， BC P 到平面ABC 的距离为___________． 6．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长 方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1．则该半正多面体共有________个面，其棱长为_________．（本题第一空2分，第二空3分．） 7．【2019年高考全国Ⅲ卷文数】学生到工厂劳动实践，利用3D 打印技术制作模型．如图，该模型为长方 体1111ABCD A B C D 挖去四棱锥O ?EFGH 后所得的几何体，其中O 为长方体的中心，E ，F ，G ，H 分别为所在棱的中点，16cm 4cm AB =BC =AA =，，3D 打印所用原料密度为0.9 g/cm 3 ，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为___________g. 8．【2019年高考北京卷文数】某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示．如果网 格纸上小正方形的边长为1，那么该几何体的体积为__________． 第一部分 一 13(文) 一、选择题 1．(2015·东北三校二模)设l ，m 是两条不同的直线，α是一个平面，则下列说法正确的是( ) A ．若l ⊥m ，m ?α，则l ⊥α B ．若l ⊥α，l ∥m ，则m ⊥α C ．若l ∥α，m ?α，则l ∥m D ．若l ∥α，m ∥α，则l ∥m [答案] B [解析] 当l 、m 是平面α内的两条互相垂直的直线时，满足A 的条件，故A 错误；对于C ，过l 作平面与平面α相交于直线l 1，则l ∥l 1，在α内作直线m 与l 1相交，满足C 的条件，但l 与m 不平行，故C 错误；对于D ，设平面α∥β，在β内取两条相交的直线l 、m ，满足D 的条件，故D 错误；对于B ，由线面垂直的性质定理知B 正确． 2．已知α、β、γ是三个不同的平面，命题“α∥β，且α⊥γ?β⊥γ”是真命题，如果把α、β、γ中的任意两个换成直线，另一个保持不变，在所得的所有新命题中，真命题有( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 [答案] C [解析] 若α、β换成直线a 、b ，则命题化为“a ∥b ，且a ⊥γ?b ⊥γ”，此命题为真命题；若α、γ换为直线a 、b ，则命题化为“a ∥β，且a ⊥b ?b ⊥β”，此命题为假命题；若β、γ换为直线a 、b ，则命题化为“a ∥α，且b ⊥α?a ⊥b ”，此命题为真命题，故选C. 3．(2015·重庆文，5)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( ) A.1 3＋2π B.13π 6 C.7π3 D.5π2 [答案] B [解析] 由三视图可知该几何体是由一个圆柱和一个半圆锥组成，圆柱的底面半径为1， 2007年高考“立体几何”题 1．(全国Ⅰ) 如图，正四棱柱1111ABCD A B C D -中，12AA AB =， 则异面直线1A B 与1AD 所成角的余弦值为（ ） A ． 15 B ． 25 C ． 3 5 D ． 45 解：如图，连接BC 1，A 1C 1，∠A 1BC 1是异面直线1A B 与1AD 所成的角，设AB=a ，AA 1=2a ，∴ A 1B=C 1B=5a ， A 1C 1=2a ，∠A 1BC 1的余弦值为4 5 ，选D 。 一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上．已知 正三棱柱的底面边长为2，则该三角形的斜边长为 ． 解：一个等腰直角三角形DEF 的三个顶点分别在 正三棱柱的三条侧棱上，∠EDF=90°，已知 正三棱柱的底面边长为AB=2，则该三角形 的斜边EF 上的中线DG=3. ∴ 斜边EF 的长为23。 四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形， 侧面SBC ⊥底面ABCD ．已知45ABC =∠， 2AB = ，BC = SA SB == （Ⅰ）证明SA BC ⊥； （Ⅱ）求直线SD 与平面SAB 所成角的大小． 解法一： （Ⅰ）作SO BC ⊥，垂足为O ，连结AO ，由侧面SBC ⊥底面ABCD ， 得SO ⊥底面ABCD ． 因为SA SB =，所以AO BO =， 又45ABC =∠，故AOB △为等腰直角三角形，AO BO ⊥， 由三垂线定理，得SA BC ⊥． （Ⅱ）由（Ⅰ）知SA BC ⊥，依题设AD BC ∥， 1 A A B 1B 1A 1D 1C C D C 1A C F A D B C A S 第四编 立体几何初步 第九章 立体几何初步 第一节 简单几何体的表面积和体积 1. 圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积的计算公式如下： 2. 球、柱、锥、台的表面积及体积计算公式： 名 称 表面积S 体积V 棱 柱 底侧S S 2+ h S 底 棱 锥 底侧S S + h S 底3 1 棱 台 下底上底侧S S S ++ h S S S S )(3 1 下底上底下底上底?++ 球 24R π 33 4 R π 圆 柱 )(2r l r +π h r 2π 圆 锥 )(r l r +π h r 23 1π 圆 台 )()(222121r r l r r +++ππ )(3 1 222121r r r r h ++π 第二节 三视图 1. 柱、锥、台、球的结构特征 （1）棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体. （2）棱锥：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体. （3）棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分. （4）圆柱：以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体. l r r π2r l r π2l ' r r ' 2r πr π2rl s π2=侧rl S π=侧()l r r S '+=π侧 （5）圆锥：以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成的曲面所围成的几何体. （6）圆台：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分. （7）球体：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体. 2. 空间几何体的三视图和直观图： （1）三视图：正视图（光线从几何体的前面向后面正投影）；侧视图（从左向右）、 俯视图（从上向下） （2）画三视图的原则：长对正，高齐平，宽相等. （3）直观图：斜二侧画法. ①在已知图形中取相互垂直的x 轴和y 轴，两轴相交于点O ，画直观图时，把它们画成对应的'x 轴和'y 轴，两轴相交于点'O ，且使)135(45??='''∠或y O x ，它们确定的平面表示水平面. ②原来与x 轴平行的线段仍然与x 平行且长度不变； ③原来与y 轴平行的线段仍然与y 平行，长度为原来的一半. 第三节 空间几何体的平行问题 1. 线线平行的判断： ①平行于同一条直线的两条直线互相平行。 ②平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。 ③如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线 和交线平行。 l b a l b l a // //?b a // α b a α α ?b b a //?α //a ? b a a =?βαβα // b a // 立体几何练习题 一、选择题 1．已知平面α外不共线的三点,,A B C 到α的距离都相等,则正确的结论是 A. 平面ABC 必平行于α B. 平面ABC 必与α相交 C. 平面ABC 必不垂直于α D. 存在ABC ?的一条中位线平行于α或在α内 2．若空间中有四个点，则“这四个点中有三点在同一直线上”是“这四个点在同一平面上” 的 （A ）充分非必要条件； （B ）必要非充分条件； （C ）充要条件； （D ）非充分非必要条件． 3．如果一条直线与一个平面垂直，那么，称此直线与平面构成一个“正交线面对”。在一个 正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是 （A ）48 （B ）18 （C ）24 （D ）36 4．已知二面角l αβ--的大小为0 60，m n 、为异面直线，且 m n αβ⊥⊥，，则m n 、所成的角为 （A ）0 30 （B ）0 60 （C ）0 90 （D ）0 120 5．已知球O 半径为1，A 、B 、C 三点都在球面上，A 、B 两点和A 、C 两点的球面距离都是4 π，B 、C 两点的球面距离是3π，则二面角B C OA --的大小是 （A ） 4π （B ）3π （C ）2π （D ）23 π 7．设m 、n 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面.考查下列命题，其中正确的命 题是 A ．βαβα⊥?⊥? ⊥n m n m ,, B ．n m n m ⊥?⊥βαβα//,,// C ．n m n m ⊥?⊥⊥βαβα//,, D ．ββαβα⊥?⊥=⊥n m n m ,,I 8．设A 、B 、C 、D 是空间四个不同的点，在下列命题中，不正确．．． 的是 A ．AC 与BD 共面，则AD 与BC 共面 B ．若A C 与B D 是异面直线，则AD 与BC 是异面直线 C ．若AB =AC ，DB =DC ，则AD =BC D ．若AB =AC ，DB =DC ，则AD ⊥BC 9．若l 为一条直线，αβγ，，为三个互不重合的平面，给出下面三个命题： ①αγβγαβ⊥⊥?⊥，；②αγβγαβ⊥?⊥，∥；③l l αβαβ⊥?⊥，∥． 其中正确的命题有 A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 10．如图，O 是半径为1的球心，点A 、B 、C 在球面上，OA 、OB 、OC 两两垂直，E 、F 分别是大圆弧 ?AB 与? AC 的中点，则点E 、F 在该球面上的球面距离是 2019年高考数学各题型解法：立体几何篇高考立体几何试题一般共有4道（选择、填空题3道，解答题1道），共计总分27分左右，考查的知识点在20个以内。选择填空题考核立几中的计算型问题，而解答题着重考查立几中的逻辑推理型问题，当然，二者均应以正确的空间想象为前提。随着新的课程改革的进一步实施，立体几何考题正朝着“多一点思考，少一点计算”的发展。从历年的考题变化看，以简单几何体为载体的线面位置关系的论证，角与距离的探求是常考常新的热门话题。 知识整合 1.有关平行与垂直（线线、线面及面面）的问题，是在解决立体几何问题的过程中，大量的、反复遇到的，而且是以各种各样的问题（包括论证、计算角、与距离等）中不可缺少的内容，因此在主体几何的总复习中，首先应从解决“平行与垂直”的有关问题着手，通过较为基本问题，熟悉公理、定理的内容和功能，通过对问题的分析与概括，掌握立体几何中解决问题的规律--充分利用线线平行（垂直）、线面平行（垂直）、面面平行（垂直）相互转化的思想，以提高逻辑思维能力和空间想象能力。 2.判定两个平面平行的方法： （1）根据定义--证明两平面没有公共点； （2）判定定理--证明一个平面内的两条相交直线都平行于另 一个平面； （3）证明两平面同垂直于一条直线。 3.两个平面平行的主要性质： ⑴由定义知：“两平行平面没有公共点”。 ⑵由定义推得：“两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面。 ⑶两个平面平行的性质定理：”如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那 么它们的交线平行“。 ⑷一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面。 ⑸夹在两个平行平面间的平行线段相等。 家庭是幼儿语言活动的重要环境，为了与家长配合做好幼儿阅读训练工作，孩子一入园就召开家长会，给家长提出早期抓好幼儿阅读的要求。我把幼儿在园里的阅读活动及阅读情况及时传递给家长，要求孩子回家向家长朗诵儿歌，表演故事。我和家长共同配合，一道训练，幼儿的阅读能力提高很快。 宋以后，京师所设小学馆和武学堂中的教师称谓皆称之为“教谕”。至元明清之县学一律循之不变。明朝入选翰林院的进士之师称“教习”。到清末，学堂兴起，各科教师仍沿用“教习”一称。其实“教谕”在明清时还有学官一意，即主管县一级的 2021年上海高考数学·立体几何习题 一、考点分析 1．棱柱——有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。 ①? ? ??????→?? ?????→? ? ?? L 底面是正多形 棱垂直于底面 斜棱柱 棱柱正棱柱 直棱柱 其他棱柱 ★ 底面为矩形 底面为正方形侧棱与底面边长相等 2. 棱锥 棱锥——有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥。 ★正棱锥——如果有一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是底面的中心，这样的棱锥叫做正棱锥。 3．球 球的性质： ①球心与截面圆心的连线垂直于截面； ★②r=d、球的半径为R、截面的半径为r） ★球与多面体的组合体：球与正四面体，球与长方体，球与正方体等的内接与外切. 注：球的有关问题转化为圆的问题解决. 球面积、体积公式：2 3 44,3 S R V R ππ== 球球（其中R 为球的半径） 俯视图 1．求异面直线所成的角(]0,90θ∈??： 解题步骤： 一找（作）： 利用平移法找出异面直线所成的角； （1）可固定一条直线平移另一条与其相交； （2）可将两条一面直线同时平移至某一特殊位置。常用中位线平移法 二证：证明所找（作）的角就是异面直线所成的角（或其补角）。常需要证明线线平行； 三计算：通过解三角形，求出异面直线所成的角； 2求直线与平面所成的角[]0,90θ∈??：关键找“两足”：垂足与斜足 解题步骤： 一找：找（作）出斜线与其在平面内的射影的夹角（注意三垂线定理的应用）； 二证：证明所找（作）的角就是直线与平面所成的角（或其补角）（常需证明线面垂直）； 三计算：常通过解直角三角形，求出线面角。 3求二面角的平面角[]0,θπ∈ 解题步骤： 一找：根据二面角的平面角的定义，找（作）出二面角的平面角； 二证：证明所找（作）的平面角就是二面角的平面角（常用定义法，三垂线法，垂面法）； 三计算：通过解三角形，求出二面角的平面角。 二、典型例题 1． _________________. 第1题 侧(左)视图 正(主)视图 绝密★启用前 爱学习研究室资料 数学 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I 卷（选择题） 一、选择题 1．已知集合} 12≥=x x M ，{} 2≤=x x N ，则=N M （ ） A.[1，2] B.[0，2] C.[-1，1] D.（0，2） 2．若i 为虚数单位 ，则=+-+ -i i i 11 （ ） A.i 2- B.0 C.i 2 1 D.i 2 3．集合{}{}3,2,1,3,2==B A ，从集合B A ,中各任意取一个数，则这两个数的和等于4的 概率是（ ） A. 23 B.12 C.13 D.1 6 4．已知双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的离心率为26，则此双曲线的渐近线方程 为（ ） A.2y x =± B.y = C. x y 2 2 ± = D.12 y x =± 5．已知等差数列{}n a 的前13项之和为39，则=++876a a a （ ） A.6 B.9 C.12 D.18 6．下列说法正确的是（ ） A.命题“?x 0∈R ，x 02＋x 0＋1<0”的否定是：“?x ∈R ，x 2 ＋x ＋1>0”; B.“x=－1”是“x 2 －5x －6=0”的必要不充分条件; C.命题“若x 2=1，则x=1”的否命题是：若x 2 =1，则x≠1; 7．执行如图所示的程序框图，当输出值为4时，输入x 的值为（ ） A ．2 B ． C ．－2或－3 D ．2或－3 8．函数2()21log f x x x =-+的零点所在的一个区间是（ ） A.（18，14） B.（14，12） C.（1 2 ，1） D.（1，2） 9．在平面直角坐标系xoy 中，抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，M 为抛物线C 上一点，若△OFM 的外接圆与抛物线C 的准线相切，且外接圆的面积为π9，则=p （ ） A.2 B.4 C.6 D.8 10．已知一个棱长为2的正方体，被一个平面截后所得几何体的三视图如图所示，则该截面的面积为（ ） A. 29 B.3 C.4 D.2 10 3 11．已知函数???>≤+-=1 ,log 1,)(5.02x x x x x x f ， 若对于任意R x ∈，不等式14)(2 +-≤t t x f 恒成立，则实数t 的取值范围是 A.(][)+∞∞-,21, B.(][)+∞∞-,31, C.[ ]3,1 D.(][)+∞∞-,32, 12．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且BC 边上的高为 a 6 3 ，b c 2018年全国一卷（文科）：9．某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图．圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为 A ．217 B ．25 C ．3 D ．2 18．如图，在平行四边形ABCM 中，3AB AC ==，90ACM =?∠，以AC 为折痕将△ACM 折起，使点M 到达点 D 的位置，且AB DA ⊥． （1）证明：平面ACD ⊥平面ABC ； （2）Q 为线段AD 上一点，P 为线段BC 上一点，且2 3 BP DQ DA == ，求三棱锥Q ABP -的体积． 全国1卷理科 理科第7小题同文科第9小题 18. 如图，四边形ABCD 为正方形，,E F 分别为,AD BC 的中点，以DF 为折痕把DFC △折起，使点C 到达点 P 的位置，且PF BF ⊥. （1）证明：平面PEF ⊥平面ABFD ； （2）求DP 与平面ABFD 所成角的正弦值. 全国2卷理科： 9．在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB BC ==，13AA =，则异面直线1AD 与1DB 所成角的余弦值为 A ．15 B ． 5 C ． 5 D ． 2 20．如图，在三棱锥P ABC -中，22AB BC ==，4PA PB PC AC ====，O 为AC 的中点． （1）证明：PO⊥平面ABC； --为30?，求PC与平面PAM所成角的正弦值．（2）若点M在棱BC上，且二面角M PA C 全国3卷理科 3．中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是 19．（12分） 如图，边长为2的正方形ABCD所在的平面与半圆弧CD所在平面垂直，M是CD上异于C，D的点． （1）证明：平面AMD⊥平面BMC； （2）当三棱锥M ABC -体积最大时，求面MAB与面MCD所成二面角的正弦值． 2018年江苏理科： 10．如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为▲． 高三数学立体几何练习 题及答案 Document number【980KGB-6898YT-769T8CB-246UT-18GG08】 江苏省盐城高级中学2009届高三数学立体几何周练一．填空题 1 平面图形的面积是 2 方体木块的个数是 5 ． 3．已知一个空间几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得到这个几何体的体积是___________ 4 3 π ____3 cm． 4．已知m n 、是不重合的直线，αβ 、是不重合的平面，有下列命题：（1）若,// n m n αβ=，则//,// m m αβ； （2）若, m m αβ ⊥⊥，则// αβ； （3）若//, m m n α⊥，则nα ⊥； （4）若, m n αα ⊥?，则. m n ⊥ 其中所有真命题的序号是(2)(4)． 俯视 主视图左视图 主视图左视图 俯视图 x′ 5．在正方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何形体的4个顶点，这些几何形体是 1345 （写出所有正确结论的编号．． ）。 ①矩形；②不是矩形的平行四边形；③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体；④每个面都是等边三角形的四面体；⑤每个面都是直角三角形的四面体。 6. 已知一正方体的棱长为m ，表面积为n ；一球的半径为,p 表面积为q ，若 2m p =，则n q = 6π 7．给出下列四个命题： ⑴ 过平面外一点，作与该平面成θ00(090θ<≤）角的直线一定有无穷多 条； ⑵ 一条直线与两个相交平面都平行，则它必与这两个平面的交线平行； ⑶ 对确定的两条异面直线，过空间任意一点有且只有唯一的一个平面与这两条异面直线都平行； ⑷ 对两条异面的直线,a b ，都存在无穷多个平面与这两条直线所成的角相等； 其中正确命题的序号为_____24________（请把所有正确命题的序号都填上）． ８．已知三条不重合的直线两个不重合的平面，有下列命题： ①若||,m n n α?，则||m α；②若,l m αβ⊥⊥，且||l m ，则||αβ；③若 ,,||,||,m n m n ααββ??则||αβ；④若 ,,,m n n m αβαββ⊥=?⊥，则n α⊥。 其中正确的序号为 ②④ 9.有两个相同的直三棱柱，高为a 2 ，底面 三角形的三边长分别为)0(5,4,3>a a a a 用 它们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，全面积最小的是一个四棱柱，则a 的取值范围是____0近五年高考数学(理科)立体几何题目汇总
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