次序统计量理论及应用
顺序统计量的分布及其应用探究
学生姓名：杨道圣 指导教师：刘宇民
摘要 顺序统计量在近代统计推断中起着很重要的作用，在水文，地震，气象和建筑等领域都有重要作用。经过总结得出了关于顺序统计量的离散型最大顺序统计量分布，最小顺序统计量分布，连续性第i 个顺序统计量ξ(i)的密度函数，连续性随机变量任意两个顺序统计量ξ(i ）<ξ(j)的密度函数：
1.离散型随机变量子样最小值的分布律为
)(])1()!(!![)(11
)
1(I r pi r p l n l n x X P n
l l n r
l l
r
∈--==∑∑=-=
2.离散型随机变量子样最大值的分布律为
)(])1()!1()!1(![)(111
1
1
)
(I r pi r p j n j n x X P n
j j r l j n r
n ∈-+--==∑∑=--=+-
3.设母体ξ有密度函数f(x)>0,a ≤x ≤b(这里可以设a=－∞,b=+∞)，并且ξ1,ξ2，…，ξn 取自这一母体的一个子样，则第i 个顺序统计量ξ(i)的密度函数
4.设母体ξ有密度函数f(x)>0,a ≤x ≤b(这里可以设a=－∞,b=+∞)，并且ξ1,ξ2，…，ξn 取自这一母体的一个子样，则任意两个个顺序统计量ξ(i ）<ξ(j)的密度函数为
关键词 最小顺序统计量，最大顺序统计量，第i 个顺序统计量ξ(i)的密度函数，任意两个个顺序统计量ξ(i ）<ξ(j)的密度函数
引言
顺序统计量在近代统计推断中起着重要的作用，这是由于顺序统计量有一些性质不依赖于母体的分布，并且计算量很小，使用起来较方便，因此在质量管理、可靠性等方面得到广泛的应用。顺序统计量在近代统计推断中起着很重要的作用，在水文，地震，气象和建筑等领域都有重要作用。
定义
定义1：设(X 1，X 2…，X n )是总体X 的一个样本，假如样本的实值函数g(X 1，X 2…，X n )不依赖任何未知的量，则称g(X 1，X 2…，X n )为统计量。
设ξ1,ξ2，…，ξn 是取自函数F(x)的母体ξ的一个字样，x 1,x 2…，x n 表示这样的一组观测值。这些观测值由小到大的排列用x (1),x (2)…,x (n)表示，即x (1)≤x (2)≤…x (n)。若其中有两个分量x i 与x j 相等，他们先后顺序的安排是可以任意的。
定义2 第i 个顺序统计量ξ(i)是上述子样ξ1,ξ2，…，ξn 这样的一个函数，不论子样ξ1,ξ2，…，ξn 取怎样的一组观测值x 1,x 2,…，x n ,它总是取其中的x (i)为观测值。
显然，对于容量为n 的子样可也得到n 个顺序统计量ξ(1)≤ξ(2)≤…≤ξ(n).其中ξ(1)称为最小顺序统计量，ξ(n)称为最大顺序统计量。
第一部分离散型随机变量的顺序统计量
设r,v,w,是一个取值可按大、小顺序排列的离散型随机变量，已知其分布率为
}{1,2,3I ),()(0?∈==为下标集其中I i p x X P i i
不妨设?<
201i x x x
若假定有限个数为m ，则00201m
x x x
计算)(k X =0
r X )(I i ∈的概率为)(0
)(r k x X P =。
设j 表示子样值的顺序序列中一个等于0
r x 的值的序号，l 表示最后一个等于0
r x 值的序号，有
n l k j ≤≤≤≤1，于是按顺序统计量定义，上诉事件即是表示子样1X ，2X ，…n X 中有j-1个
取值小于0r x ，有l-j+1个取值等于0r x ，有n-1个取值大于0
r x 。可以分四步推导概率：
[1]
（1）在子样值的顺序序列中，在0
r x 前有j-1个样本值)(0
I i x x r i ∈<,概率分别为
)(0r i x X P =，由于样本与母体同分布，且相互独立，所以有
∑∑--<===
<==1
1
0000
0)()()(r i x x r
r
r i pi x X P x X P x X P r
i
由于j-1个样本可以是n 个样本中任意j-1个，所以概率为11
1
1][----∑j r i j n
pi C
（2)在子样值的顺序序列中有l-j+1个样本)(0
I i x x r i ∈=，概率分别为
pr x X P x X P r r i ====)()(00
由于这l-j+1个样本可以是俞夏的n-j+1个样本中任意l-j+1个，所以概率为r p
C j l j l j n 1
11+-+-+-
（3)在子样值的顺序序列中，在0
r x 后面有n-lg 样本值)(0I i x x r i ∈>，概率分别为
l n r
i l
n l
n pi C -=--∑-]1[1
（4)将上列三部分综合起来，并考虑j 与l 在n l k j ≤≤≤≤1情况下的变动，得到离散型随机变量顺序统计量的分布律：
)()]1()()!()!1()!1(![]
)1()
([),1)((11
1
11111
1
1
1
11
1
10)(I r i p pi r p l n j l j n pi rC
p
C
pi i C n k x X P k j n
k l r
i j r i j l n
l k j r i r
i l n l n l
n j l j l j n j j n
r k ∈--+--=-=
==∑∑∑∑∑∑∑===--=+-≤≤≤≤-==---+-+-+---
由推导过程可知，运用结果时应约定
10
,00
1
==∑=i pi
推论
离散型随机变量子样最小值的分布律为
)(])1()!(!![)(11
)
1(I r pi r p l n l n x X P n
l l n r
l l
r
∈--==∑∑=-=
离散型随机变量子样最大值的分布律为
)(])1()!1()!1(![)(111
1
1
)
(I r pi r p j n j n x X P n
j j r l j n r
n ∈-+--==∑∑=--=+-
例1如果ξ1,ξ2，…，ξn 这是来自同一母体的n 个相互独立随机变量，那么顺序统计量ξ(1)，ξ(2)，…，ξ(n ）是否也相互独立呢？
[2]
设ξ1,ξ2，ξ3为取自母体ξ的一个容量为3的子样，ξ的分布列为
现在把子样ξ1,ξ2，ξ3与由它们所构成的顺序统计量ξ(1)，ξ(2)，ξ(3)的一切可能观测值列于下表中
由于子样（ξ1,ξ2，ξ3）取到每一组观测值的概率都等于1/27，容易从表中看出以下几点：ξ(1)，ξ(2)，ξ(3)的分布列分别为：
另外：ξξξ
（1）（2）（3）
，，的分布列还可以用以下的方法求解：
（
1,2,3
ξξξ）的取值有27种，其中：
（1）.最小顺序统计量ξ（1）取0的个数可以通过如下方法计算：三个0，一种。两个0，一个1，三种。两个0，一个2，三种。一个0两个1，三种。一个0两个2，三种。一个0一个1一个2，
六种。一共有19种。所占的概率为19 27
。
（2）.最小顺序统计量ξ（1）取1的个数：三个1，一种。两个1一个2，三种。一个1两个2，
三种，一共7种。所占的概率为7 27
。
（3）.最小顺序统计量ξ（1）取2的个数：三个2，一种。所占的概率为1 27
。
（1）.第2个顺序统计量ξ（2）取0的个数：三个0，一种，两个0，一个1，三种。两个0，三
个2，三种。一共7种，所占的概率为7 27
。
（2）. 第2个顺序统计量ξ（2）取1的个数：三个1，一种。两个1一个2，三种。一个0，一
个1，一个2，六种。一共13种，所占的概率为13 27
。
（3）. 第2个顺序统计量ξ（2）取2的个数：三个2，一种。一个0两个2，三种。一个1两个
2，三种，共7种，所占的概率为7 27
。
（1）.最大顺序统计量ξ（3）取0的个数：三个0，一种。所占概率为1 27
。
（2）.最大顺序统计量ξ（3）取1的个数：三个1，一种。两个1，一个0，三种。一个1.两个
0.三种。共7种，所占比例为7 27
。
(3). 最大顺序统计量ξ（3）取2的个数:三个2，一种，两个2，一个0，三种。两个2，一个1，三种。一个2两个0，三种，一个2两个1，三种，一个2，一个0，一个1，六种。共19种，所占
概率为19 27
。
（1）ξ(i)与ξ(j)(i （3）ξ(1)，ξ(2)，ξ(3)相互之间不独立，例如： P（ξ(1)=0，ξ(2)=0）=7/27, 而P（ξ(1)=0）P（ξ(2)=0）=19/27 *7/27 两者不相等，故与不独立。其他类似。 由上述例子可以看出：顺序统计量之间是不相互独立的。 第二部分连续型随机变量的顺序统计量 由例1可以看出求离散型随机变量顺序统计量的分布是较为方便的。下面我们对连续型随机变量的情况来推导第i 个顺序统计量的分布。 定理 定理1 设母体ξ有密度函数f(x)>0,a ≤x ≤b(这里可以设a =－∞,b=+∞)，并且ξ1,ξ2，…，ξn 取自这一母体的一个子样，则第i 个顺序统计量ξ(i)的密度函数为 [3] 例2设母体ξ有密度函数 并且ξ(1)<ξ(2)<ξ(3)<ξ(4)为从ξ取出的容量为4的子样的顺序统计量。求ξ(3)的密度函数)(3x g 和分 布函数)(3x G ，并计算概率P(ξ(3) >2 1 ) 解：母体ξ的分布函数为 由定理1知道ξ(3)<的密度函数 1 0),21(5242]21[2]2[! 2! 4)(34)](1[2)]([)!34(!2! 4)(<≤-=-=---=y y y y y y y f y F y F y 3g 对于y 的其他值0)(3=y g ，分布函数为 而概率P （ξ(3)> 2 1 )=256243])21(34[)21(1)21(1263=--=-G 定理2设母体ξ有密度函数f(x)>0,a ≤x ≤b(这里可以设a =－∞,b=+∞)，并且ξ1,ξ2，…，ξn 取自这一母体的一个子样，则任意两个个顺序统计量ξ(i ）<ξ(j)的密度函数为 例3设母体ξ的分布函数()x F 是连续型的,()(),,,1n ξξ 为取自此母体的子样的顺序统计，设 ()(),i i F ξη= 试证: (1) n ηηη≤≤≤ 21，且i η是来自均匀分布()1,0R 母体的顺序统计量; (2) (),1+= n i E i η ()()()() n i n n i n i D i ≤≤++-+=1,2112 η (3) i η和j η的协方差矩阵为() ()()()?? ??? ???? ?+-+-+-+-2121212 12221 2111n a a n a a n a a n a a ，其中.1,12 1+=+=n j a n i a 证: (1) 因为ξ是连续型v r ,,分布函数为()x F .则()ξηF =服从均匀分布()1,0R .又因为 ξ（i ）是取自母体ξ的子样的顺序统计量.()x F 单调下降.所以有 ()()()n F F F ξξξ≤≤≤ 21，从而得出i η是取自均匀分布母体的子样的顺序 统计量， ().,2,1n i = (2) i η的密度函数为()()()() i n i x x i n i n x f -----= 1! !1! 1 .10≤≤x ()()()()()!!1!1!!1!1 i n i n dx x x i n i n E i n i i --=---=-?η.()().1 !1!!+=+-n i n i n i ()()()()()() .2111!!1!1 102 +++=---= -+?n n i i dx x x i n i n E i n i i η () ()()()()()() .21112112 2 2 2 ++-+=??? ??+-+++=-=n n i n i n i n n i i E E D i i i ηηη (3) 对任意的()j i ,.0n j i ≤<≤ i η和j η的联合密度函数为 ()()()()()()j n j i j i j i i j i x x x x j n i j i n x x f ----------= 1! !1!1!,1 1 .10<< 量子力学泛函计算 纪岚森 （青岛大学物理科学学院材料物理一班） 摘要：文章叙述了密度泛函理论的发展，密度泛函理论以“寻找合适的交换相关为主线，从 最初的局域密度近似，，从最初的局域密度近似、广义梯度近似到现在的非局域泛函、自相 互作用修正，多种泛函形式的出现，是的密度泛函在大分子领域的计算越来越精确。近年来 密度泛函理论在含时理论与相对论方面发展也很迅速。计算体系日臻成熟，而我所参加的创 新实验小组就是以密度泛函研究大分子体系。在量子力学泛函计算的产生，发展，理论，分 支，前景等方面予以介绍，本着科学普及的态度希望大家能够更加进一步的理解泛函计算。 关键字：量子力学泛函计算，发展，理论分支，前景，科普 1引言：随着量子理论的建立和计算机技术的发展，人们希望能够借助计算机对微观体系的量子力学方程进行数值求解【３】，然而量子力学的基本方程———Schirdinger 方程的求解是极其复杂的。克服这种复杂性的一个理论飞跃是电子密度泛函理论（DFT）的确立电子密度泛函理论是上个世纪60 年代在Thomas-Fermi 理论的基础上发展起来的量子理论。与传统的量子理论向悖，密度泛函理论通过离子密度衡量体系的状态，由于离子密度只是空间的函数，这样是就使得解决三维波函数方程转化为解决三维密度问题，使得在数学计算上简单了很多，对于定态Schirdinger 方程，我们只能解决三维氢原子，对于更加复杂的问题，我们便无法进行更为精确的计算，而且近似方法也无法是我们得到更为精确的结果。但是密度泛函却在这方面比较先进，是的大分子计算成为可能。【２】 ２．过程：第一性原理，密度泛函是一宗量子力学重头计算的计算方法，热播呢V啊基于密度泛函的理论计算成为第一性原理——first-principles。经过几十年的发展密度泛函理论被广泛的应用于材料，物理，化学和生物等科学中，Kohn也由于其对密度泛函理论的不可磨灭的先驱性贡献获得了诺贝尔化学奖。密度泛函理论体系包括交换相关能量近似，含时密度泛函。 ３．密度泛函理论的发展： １交换相关能，在密度泛函理论中我们把所有近似都归结到交换相关能量一项上，所以密度泛函的精确度也就是由交换相关能一项上。寻求更好的更加合适的相关近似，即用相同密度的均匀电子气交换相关泛函作为非均匀系统的近似值，或许这也出乎人们的意料，这样一个简单的近似却得到了一个极好的结论。直接导致了后来的泛函理论的广泛应用。由此获 西安交通大学 高等工程热力学 报告 学号：XXXXXXXXXX 姓名：XXXXX 专业：工程热物理 班级：XXXXXX 能源与动力工程学院 2015/12/26 经典和量子统计物理学的初步认识 经典统计物理学是建立在经典力学基础上的学科，而量子统计物理学是建立在量子力学基础上的学科，从经典统计到量子统计，它们之间存在着一定的区别和联系，并在一定的条件下可以相互转换。利用经典统计方法推证热力学中的能量均分定理，并结合热容量的定义求解某些系统内能及热容量时，发现其理论值与实际值存在差异，这是经典统计物理难以解决的问题，本文采用量子统计理论做出了合理的解释，从而使理论值和实际值吻合的很好。因此，可以看出经典统计的局限性是量子统计理论建立的基础，量子统计理论很好的补充了经典统计理论的不足。 1. 理想气体物态方程的经典统计推导 在普通物理的热学中，从气体的实验定律（如：玻意耳—马略特定律、查理定律及盖吕萨克定律）出发推导理想气体物态方程，而在理论物理中热力学统计利用经典统计方法仍能给出相应的理论，它是经典统计物理应用的一个典型的实例。对自由粒子而言，其自由度r=3，其坐标表示为(x ，y ，z)，与之相对应的动量为(p x ，p y ，p z )，那么它的能量为： 2222x y z p 1==(p +p +p )2m 2m ε()1 将（1）式代入玻耳兹曼系统下的配分函数： 1222x y z l (p +p +p )2m l l z e e β βεωω--==∑∑()2 由于玻耳兹曼系统的特点是每个粒子可以分辨，可看成经典系统，则系统看成连续分布的，即配分函数中的求和变为积分，则有： 131...222(p +p +p )x y z 2m x y z z e dxdydzdp dp dp h β -=??()3 求解积分可得： 3 2122()z V h β =πm ()4 其中V dxdydz =???是气体的体积，根据玻耳兹曼系统广义力的统计表达式类比压强的统计表达式为: 1lnz N P V β?=?()5 将（4）式带入（5）式，求导可得理想气体的压强： NkT P V = ()6 统计量与抽样分布习题 1．调节一个装瓶机使其对每个瓶子的灌装量均值为μ盎司，通过观察这台装瓶机对每个瓶子的灌装量服从标准差σ=1.0盎司的正态分布。随机抽取由这台机器灌装的9个瓶子形成一个样本，并测定每个瓶子的灌装量。试确定样本均值偏离总体均值不超过0.3盎司的概率。 2．第1题中，如果我们希望Y 与μ的偏差在0.3盎司之间的概率达到0.95，应当抽取多大的样本？ 3．在第1题中，假定装瓶机对瓶子的灌装量服从方差2 σ=1的标准正态分布。假定我们计划随机抽取10个瓶子组成样本，观测每个瓶子的灌装量，得到10个观测值，用这10个观测值我们可以求出样本方差2S ()??? ??--=∑=n i i Y Y n S 12211，确定一个合适的范围使得有较大的概率保证2S 落入其中是有用的，试求1b 和2b ，使得() 90.0221=≤≤b S b P 。 4．621,,,Z Z Z Λ表示从标准正态总体中随机抽取的容量6=n 的一个样本，试确定常数b ， 使得95.0612=?? ? ??≤∑=i i b Z P 选择题： 1． 设n X X X ,,,21Λ是从某总体X 中抽取的一个样本，下面哪一个不是统计量？ ()∑∑==-==n i i n i i X X n S B X n X A 122 11.1. ()[] 21.∑=-n i i X E X C ()∑=--=n i i X X n S D 122 11. 2． 下面不是次序统计量的是？ A ．中位数 B ．均值 C ．四分位数 D ．极差 3．抽样分布是指？ A ．一个样本各观测值的分布 B ．总体中各观测值的分布 C ．样本统计量的分布 D ．样本数量的分布 4．根据中心极限定理可知，当样本容量充分大时，样本均值的抽样分布服从正态分布，其分布的均值为？ A ．μ B ．X C ．2 σ D ．n 2 σ 5．根据中心极限定理可知，当样本容量充分大时，样本均值的抽样分布服从正态分布，其分布的方差为？ 1. 你认为Bohr 的量子理论有哪些成功之处？有哪些不成功的地方？试举一例说明。 (简述波尔的原子理论，为什么说玻尔的原子理论是半经典半量子的？) 答：Bohr 理论中核心的思想有两条：一是原子具有能量不连续的定态的概念；二是两个定态之间的量子跃迁的概念及频率条件。首先，Bohr 的量子理论虽然能成功的说明氢原子光谱的规律性，但对于复杂原子光谱，甚至对于氦原子光谱，Bohr 理论就遇到了极大的困难（这里有些困难是人们尚未认识到电子的自旋问题），对于光谱学中的谱线的相对强度这个问题，在Bohr 理论中虽然借助于对应原理得到了一些有价值的结果，但不能提供系统解决它的办法；其次，Bohr 理论只能处理简单的周期运动，而不能处理非束缚态问题，例如：散射；再其次，从理论体系上来看，Bohr 理论提出的原子能量不连续概念和角动量量子化条件等，与经典力学不相容的，多少带有人为的性质，并未从根本上解决不连续性的本质。 2. 什么是光电效应？光电效应有什么规律？爱因斯坦是如何解释光电效应的？ 答：当一定频率的光照射到金属上时，有大量电子从金属表面逸出的现象称为光电效应；光电效应的规律：a.对于一定的金属材料做成的电极，有一个确定的临界频率0υ，当照射光频率0υυ<时，无论光的强度有多大，不会观测到光电子从电极上逸出；b.每个光电子的能量只与照射光的频率有关，而与光强无关；c.当入射光频率0υυ>时，不管光多微弱，只要光一照，几乎立刻910s -≈观测到光电子。爱因斯坦认为：(1)电磁波能量被集中在光子身上，而不是象波那样散布在空间中，所以电子可以集中地、一次性地吸收光子能量，所以对应弛豫时间应很短，是瞬间完 成的。(2)所有同频率光子具有相同能量，光强则对应于光子的数目，光强越大，光子数目越多，所以遏止电压与光强无关，饱和电流与光强成正比。(3)光子能量与其频率成正比，频率越高，对应光子能量越大，所以光电效应也容易发生，光子能量小于逸出功时，则无法激发光电子。 3．简述量子力学中的态叠加原理，它反映了什么？ 答：对于一般情况，如果1ψ和2ψ是体系的可能状态，那么它们的线性叠加：1122c c ψψψ=+（12c c ，是复数）也是这个体系的一个可能状态。这就是量子力学中的态叠加原理。态叠加原理的含义表示当粒子处于态1ψ和2ψ的线性叠加态ψ时，粒子是既处于态1ψ，又处于态2ψ。它反映了微观粒子的波粒二象性矛盾的统一。量子力学中这种态的叠加导致在叠加态下观测结果的不确定性。 4. 什么是定态？定态有什么性质？ 答：体系处于某个波函数()()[]exp r t r iEt ψψ=-，所描写的状态时，能量具有确定值。这种状态称为定态。定态的性质：（1）粒子在空间中的概率密度及概率流密度不随时间变化；（2）任何力学量（不显含时间）的平均值不随时间变化；（3）任何力学量（不显含时间）取各种可能测量值的概率分布也不随时间变化。 5. 简述力学量与力学量算符的关系？ 答：算符是指作用在一个波函数上得出另一个函数的运算符号。量子力学中采用算符来表示微观粒子的力学量。如果量子力学中的力学量F 在经典力学中有相应的力学量，则表示这个力学量的算符?F 由经典表示式F （r,p ）中将p 换为算符?p 而得出的，即： 量子力学思考题 1、以下说法就是否正确: (1)量子力学适用于微观体系,而经典力学适用于宏观体系; (2)量子力学适用于η不能忽略的体系,而经典力学适用于η可以忽略的体系。 解答:(1)量子力学就是比经典力学更为普遍的理论体系,它可以包容整个经典力学体系。 (2)对于宏观体系或η可以忽略的体系,并非量子力学不能适用,而就是量子力学实际上已经 过渡到经典力学,二者相吻合了。 2、微观粒子的状态用波函数完全描述,这里“完全”的含义就是什么？ 解答:按着波函数的统计解释,波函数统计性的描述了体系的量子态。如已知单粒子(不考虑自旋)波函数)(r ? ψ,则不仅可以确定粒子的位置概率分布,而且如粒子的动量、能量等其她力学量的概率分布也均可通过)(r ? ψ而完全确定。由于量子理论与经典理论不同,它一般只能预言测量的统计结果,而只要已知体系的波函数,便可由它获得该体系的一切可能物理信息。从这个意义上说,有关体系的全部信息显然已包含在波函数中,所以说微观粒子的状态用波函数完全描述,并把波函数称为态函数。 3、以微观粒子的双缝干涉实验为例,说明态的叠加原理。 解答:设1ψ与2ψ就是分别打开左边与右边狭缝时的波函数,当两个缝同时打开时,实验说明到达屏上粒子的波函数由1ψ与2ψ的线性叠加2211ψψψc c +=来表示,可见态的叠加不就是概率相加,而就是波函数的叠加,屏上粒子位置的概率分布由222112 ψψψ c c +=确定,2 ψ 中出现有1ψ与2ψ的干涉项]Re[2* 21* 21ψψc c ,1c 与2c 的模对相对相位对概率分布具有重要作用。 4、量子态的叠加原理常被表述为:“如果1ψ与2ψ就是体系的可能态,则它们的线性叠加 2211ψψψc c +=也就是体系的一个可能态”。 (1)就是否可能出现)()()()(),(2211x t c x t c t x ψψψ+=; (2)对其中的1c 与2c 就是任意与r ? 无关的复数,但可能就是时间t 的函数。这种理解正确不？ 解答:(1)可能,这时)(1t c 与)(2t c 按薛定谔方程的要求随时间变化。 第三章 量子统计理论 第一节 从经典统计到量子统计 量子力学对经典力学的改正 波函数代表状态 (来自实验观测) 能量和其他物理量的不连续性 （来自Schroedinger 方程的特征） 测不准关系 （来自物理量的算符表示和对易关系） 全同粒子不可区分 （来自状态的波函数描述） 泡利不相容原理 （来自对易关系） 正则系综 ρ不是系统处在某个()q p ,的概率，而是处于某个量子 态的概率，例如能量的本征态。 配分函数 1E n n Z e k T ββ-== ∑ n E 为第n 个量子态的能量，对所有量子态求和 （不是对能级求和）。 平均值 1 E n n e Z β-O = O ∑ O 量子力学的平均值 第二节 密度矩阵 量子力学 波函数 ∑ψΦ=ψn n n C , 归一化 平均值 ∑ΦO Φ=ψO ψ=O *m n m n m n C C ,?? 统计物理 系综理论：存在多个遵从正则分布的体系 ∴ ∑ΦO Φ= O *m n m n m n C C ,? 假设系综的各个体系独立，m n C C m n ≠=* ,0 理解：m n C C * 是对所有状态平均，假设每个状态出现的概率为 ...)(...m C ρ，对固定m ，－m C 和m C 以相同概率出现，所以 ∑ΦO Φ=O *n n n n n C C ? 如果选取能量表象，假设n n C C *按正则分布，重新记n n C C * 为n n C C * 1E n n n C C e Z β-*= 这里 n n n E H Φ=Φ? 引入密度矩阵算符ρ ? [ ]n n n C H Φ=Φ=2 ?0?,?ρ ρ 显然 ∑ΦΦ=n n n n C 2 ?ρ ， ??,0H ρ??=?? 顺序统计量的分布及其应用探究 学生姓名：杨道圣 指导教师：刘宇民 摘要 顺序统计量在近代统计推断中起着很重要的作用，在水文，地震，气象和建筑等领域都有重要作用。经过总结得出了关于顺序统计量的离散型最大顺序统计量分布，最小顺序统计量分布，连续性第i 个顺序统计量ξ(i)的密度函数，连续性随机变量任意两个顺序统计量ξ(i ）<ξ(j)的密度函数： 1.离散型随机变量子样最小值的分布律为 )(])1()!(!![)(11 ) 1(I r pi r p l n l n x X P n l l n r l l r ∈--==∑∑=-= 2.离散型随机变量子样最大值的分布律为 )(])1()!1()!1(![)(111 1 1 ) (I r pi r p j n j n x X P n j j r l j n r n ∈-+--==∑∑=--=+- 3.设母体ξ有密度函数f(x)>0,a ≤x ≤b(这里可以设a=－∞,b=+∞)，并且ξ1,ξ2，…，ξn 取自这一母体的一个子样，则第i 个顺序统计量ξ(i)的密度函数 4.设母体ξ有密度函数f(x)>0,a ≤x ≤b(这里可以设a=－∞,b=+∞)，并且ξ1,ξ2，…，ξn 取自这一母体的一个子样，则任意两个个顺序统计量ξ(i ）<ξ(j)的密度函数为 关键词 最小顺序统计量，最大顺序统计量，第i 个顺序统计量ξ(i)的密度函数，任意两个个顺序统计量ξ(i ）<ξ(j)的密度函数 引言 顺序统计量在近代统计推断中起着重要的作用，这是由于顺序统计量有一些性质不依赖于母体的分布，并且计算量很小，使用起来较方便，因此在质量管理、可靠性等方面得到广泛的应用。顺序统计量在近代统计推断中起着很重要的作用，在水文，地震，气象和建筑等领域都有重要作用。 定义 定义1：设(X 1，X 2…，X n )是总体X 的一个样本，假如样本的实值函数g(X 1，X 2…，X n )不依赖任何未知的量，则称g(X 1，X 2…，X n )为统计量。 设ξ1,ξ2，…，ξn 是取自函数F(x)的母体ξ的一个字样，x 1,x 2…，x n 表示这样的一组观测值。这些观测值由小到大的排列用x (1),x (2)…,x (n)表示，即x (1)≤x (2)≤…x (n)。若其中有两个分量x i 与x j 相等，他们先后顺序的安排是可以任意的。 定义2 第i 个顺序统计量ξ (i) 是上述子样ξ1,ξ2，…，ξn 这样的一个函数，不论子样ξ1,ξ2，…， ξn 取怎样的一组观测值x 1,x 2,…，x n ,它总是取其中的x (i)为观测值。 显然，对于容量为n 的子样可也得到n 个顺序统计量ξ(1) ≤ξ (2) ≤…≤ξ (n) .其中ξ (1) 称为最小顺序 统计量，ξ (n) 称为最大顺序统计量。 第一部分离散型随机变量的顺序统计量 设r,v,w,是一个取值可按大、小顺序排列的离散型随机变量，已知其分布率为 }{1,2,3I ),()(0?∈==为下标集其中I i p x X P i i 不妨设?< 关于量子信息与量子计算 量子计算是一种依照量子力学理论进行的新型计算,量子计算的基础原理以及重要量子算法为在计算速度上超越图灵机模型提供了可能。 量子计算(quantum computation) 的概念最早由IBM的科学家R. Landauer及C. Bennett于70年代提出，对于普通计算机运行时芯片会发热，极大地影响了芯片的集成度，科学家们想找到能有更高运算速度的计算机。 到了1994年，贝尔实验室的应用数学家P. Shor指出，相对于传统电子计算器，利用量子计算可以在更短的时间内将一个很大的整数分解成质因子的乘积。这个结论开启量子计算的一个新阶段：有别于传统计算法则的量子算法确实有其实用性，绝非科学家口袋中的戏法。自此之后，新的量子算法陆续的被提出来，而物理学家接下来所面临的重要的课题之一，就是如何去建造一部真正的量子计算器，来执行这些量子算法。许多量子系统都曾被点名作为量子计算器的基础架构，例如光子的偏振(photon polarization)、空腔量子电动力学、离子阱以及核磁共振(nuclear magnetic resonance, NMR)等等。以目前的技术来看，这其中以离子阱与核磁共振最具可行性。事实上，核磁共振已经在这场竞赛中先驰得点：以I. Chuang为首的IBM研究团队在2002年的春天，成功地在一个人工合成的分子中(内含7个量子位)利用NMR完成N =15的因子分解。 到底是什么导致量子如此高的计算能力呢？答案是量子的重叠与牵连原理的巨大作用。普通计算机中的2位寄存器在某一时间仅能存储4个二进制数（00、01、10、11）中的一个，而量子计算机中的2位量子位（qubit）寄存器可同时存储这四个数。量子位是量子计算的理论基石。在常规计算机中,信息单元用二进制的 1 个位来表示, 它不是处于“ 0” 态就是处于“ 1” 态. 在二进制量子计算机中, 信息单元称为量子位,它除了处于“ 0” 态或“ 1” 态外,还可处于叠加态(super posed state) . 叠加态是“ 0” 态和“ 1” 态的任意线性叠加,它既可以是“ 0” 态又可以是“ 1” 态, “ 0” 态和“ 1” 态各以一定的概率同时存在. 通过测量或与其它物体发生相互作用而呈现出“ 0” 态或“ 1” 态.任何两态的量子系统都可用来实现量子位, 例如氢原子中的电子的基态( ground state)和第 1 激发态( first excited state)、质子自旋在任意方向的+ 1/ 2 分量和- 1/ 2 分量、圆偏振光的左旋和右旋等。 一个量子系统包含若干粒子,这些粒子按照量子力学的规律运动,称此系统处于态空间的某种量子态.态空间由多个本征态( eigenstate ) ( 即基本的量子态)构成基本态空间可用Hilbert 空间( 线性复向量空间)来表述,即Hilbert 空间可以表述量子系统的各种可能的量子态.为了便于表示和运算, Dirac提出用符号x〉来表示量子态, x〉是一个列向量,称为ket ;它的共轭转置( conjugate transpose) 用〈x 表示,〈x 是一个行向量, 称为bra.一个量子位的叠加态可用二维Hilbert 空间( 即二维复向量空间)的单位向量〉来描述 无论是量子并行计算还是量子模拟计算，本质上都是利用了量子相干性。遗憾的是，在实际系统中量子相干性很难保持。在量子计算机中，量子比特不是一个孤立的系统，它会与外部环境发生相互作用，导致量子相干性的衰减，即消相干。因此，要使量子计算成为现实，一个核心问题就是克服消相 热力学思考题答案汇总 第一章热力学的基本规律 ?什么是热力学平衡态(弛豫时间、热动平衡) 热力学平衡态：孤立系经过足够长的时间后，各种宏观性质在长时间内不发生变化 弛豫时间：系统由初始状态达到热力学平衡态的时间，决定于趋向平衡的过程的性质。热动平衡：虽然平衡态下的宏观性质不随时间变化，但系统的微观粒子仍在不断运动 涨落：平衡态下的宏观物理量在平均值附近的变化 非孤立系的平衡态：将系统与外界看作复合的孤立系 ?什么是热力学第零、一、二定律(及其表达式) 热力学第零定律：如果两个系统A和B各自与第三个系统达到热平衡，那么A和B之间也处于热平衡 热力学第一定律：系统在终态B 和初态 A 的内能之差U B- U A等于过程中外界对系统所作的功与系统从外界吸收的热量之和 热力学第一定律就是能量守恒定律：自然界的一切物质都具有能量，能量有各种不同的形式，可以从一种形式转化为另一种形式，从一个物体传递到另一个物体，在传递与转化的过程中能量的数量不变 热力学第一定律的另外一种表述：第一类永动机是不可能造成的 Q +W S= U B- U A热力学第一定律的数学表达式 热力学第二定律的两种表述 克氏表述：不可能把热量从低温物体传到高温物体而不引起其它变化 开氏表述：不可能从单一热源吸热使之完全变成有用的功而不引起其它变化 热力学第二定律开氏表述的另外一种说法：第二类永动机是不可能造成的 ?什么是物质的物态方程(理想气体、范氏方程) 物态方程的一般形式和相关物理量 物态方程的一般形式 由热平衡定律，平衡态下的热力学系统存在状态函数(温度)，物态方程就是温度与状态参量之间的函数关系f(p,V,T )=0 相关物理量 体胀系数α：压强不变，温度升高1K的体积相对变化 压强系数β：体积不变，温度升高1K的压强相对变化 等温压缩系数k T：温度不变,增加压强的体积相对变化 体胀系数α、压强系数β和等温压缩系数的关系 加热固体或液体时很难实现体积不变，即压强系数β很难直接测量，通常是通过α和间 1. 证明量子正则系综的“等几率分布”是最可几分布。 2. 证明正则分布???() H H e Tr e ββρ --=的熵最大。 3. 证明巨正则系综分布??()??()?() H N H N e Tr e βμβμρ ----=的熵最大。 4. 证明等温等压系综??()??()?() H pV H pV e Tr e ββρ -+-+=的熵最大。 5. 证明：1）箱中自由粒子到达箱中任一位置的几率相等；2）箱中自由粒子波包的空间范围量级 为3）箱中自由粒子的平均能量为 32 B k T 。@P52 6. 利用量子正则系综理论，求磁场B 中自由电子的平均自旋。@P57 7. 证明正则系综的密度矩阵满足微分方程???H ρρβ ?- =? @P58 8. 证明相对于谐振子，非谐振子对外做功的能力变小了。 9. 对一线性谐振子 222?1H 22 p m q m ω=-+，利用量子正则系综理论证明：@P52 (1) 12 V T H == （维里定理） 已知： 2 2 [()tanh ()coth( )] 42 2 q m q q q q H e q ωωβωββ''-++--'= (2) 高温极限 1 2 ωβ<< ， 112 2 B V T H k T == = (已知:1x e x =++ ) (3) 低温极限 1 2 ωβ>> ，2 1 () 2 2(,)( )m q q m q q e ωω ρπ'- +'= ，对应n=0的基态极限情况。 10. 对正则系综，证明下列关系 (1) ,,()[ ()]V N B V N F S k T lnQ T T ??=-=?? (2) ,,( )( )T N B N T F S k T T lnQ V V ?? =-=?? (3) ,,()( )V T B V T F k T lnQ N N μ??=-=-?? (4) ,?[ ]N V U H lnQ β ?= =-? (5) 22 ,,2 ()( )[ ]V N V B N V S lnQ C T k T ββ ??==?? (6) S =(E -F)β §5.3次序统计量及其分布 次序统计量在近代统计推断中起着重要的作用，这是由于次序统计量有一些性质不依赖于母体的分布并且计算量很小，使用起来较方便。因此在质量管理、可靠性等方面得到广泛的应用，现在我们在本节中扼要地介绍有关次序统计量的内容。gjzsj 设1ξ，2ξ，…，n ξ是取自分布函数为F （x ）的母体ξ的一个子样，x 1，x 2，… ，x n 表示这子样的一组观测值。这些观测值，由小到大的排列用x )1(，x )2(，… ，x )(n 表示，即x )1(≤x )2(≤… ≤x )(n ，若其中有两个分量x 1与x 2相等，它们先后次序的安排是可以任意的。 定义5.3 第i 个次序统计量ξ)(i 是上述子样1ξ，2ξ，…，n ξ这样的一个的一个函数，不论子样1ξ，2ξ，…，n ξ取得怎样一组观测值x 1，x 2，… ，x n ，它总是取其中的x )(i 为观测值。 显然，对于容量为n 的子样可以得到n 个次序统计量ξ)1(≤ξ)2(≤… ≤ξ)(n ，其中ξ)1(称做最小次序统计量，ξ)(n 称做最大次序统计量。 如果1ξ，2ξ，…，n ξ是来自同一母体的n 个相互独立随机变量，那么次序统计量1ξ，2ξ，…，n ξ是否也相互独立呢？这可以从下述例子中看出（例略）。 定理5.5 设母体ξ有密度函数f (x)>0，a ≤x ≤b ,并且1ξ，2ξ，…，n ξ为取自这母体的一个子样，则第i 个次序统计量的密度函数为 g i (y)=?? ???≤≤-----其他,0),()](1][)([)!()!1(!1b y a y f y F y F i n i n i n i （5.24） 例5.3 设母体ξ有密度函数 ? ??<<=其他,010,2)(x x x f 并且ξ)1(<ξ)2(<ξ)3(<ξ)4(为从ξ取出的容量为4的子样的次序统计量。求ξ)3(的密度函数)(3x g 和分布函数)(3x G ，并且计算概率)2 1()3(>ξP 。 用经典统计和量子统计讨论固体的内能和热容量 1.量子统计和经典统计的联系和区别 建立在经典力学基础上的统计物理学称为经典统计物理学, 建立在量子力学基础上的统计物理学, 称为量子统计物理学。近独立的费米粒子与玻色粒子构成孤立系统, 处于平衡时的量子统计分布规律分别遵从费米分布和波色分布, 玻色—爱因斯坦统计和费米—狄拉克统计是最基本的量子统计分布, 定域系统遵从玻耳兹曼分布律, 玻耳兹曼统计属半经典的统计分布。运用玻耳兹曼统计, 对力学系统的平衡热性质作出了一些满意的解释, 推动了物理学的发展。然而, 在发展过程中, 某些理论结果却与事实不符, 例如对气体和固体的热容量不能给出适当的解释。应用经典统计理论研究平衡热辐射问题时, 理论结果与实验事实也不相一致。20 世纪开始, 普朗克在他的黑体辐射公式中提出了量子概念, 首先动摇了经典物理学的观念, 后来爱因斯坦应用量子理论成功地解释了光电效应, 接着爱因斯坦、德拜等人应用量子理论成功地研究了固体的热容量, 获得了满意的结果, 到1925 年海森堡和薜定谔建立了量子力学之后, 人们才明确了在宏观运动中归纳总结的经典电动力学不能完 全适用于微观运动, 而必须运用量子力学的规律对经典统计理论进行根本的改造, 因而, 随着量子 力学的建立, 量子统计理论也同时形成并不断得到完善。 对经典系统或量子系统的随机运动过程而言, 在统计原理上并没有 本质的差别, 所以, 量子统计仍以等概率原理为基本假设, 肯定系统的系综平均值等于实验观测的时间平均值这个统计等 效原理以及认为平衡态下的系综分布函数形式与经典统计的形式一样, 量子统计与经典统计的根本区别, 在于它们的力学基础不同, 经典统计是以经典力学为基础, 而量子统计则是建立在量子力学的基础上, 这就导致对微观粒子运动的描述绝然不同。 2.固体内能的研究 固体内能理论认为,低温内能U(T)＜3NkT+U0,高温内能U(T)≈ 3NkT+U0[1]。容易证明:其内能函数在低温或常温范围,必然存在U`(T)＞3Nk的温度区,与图1[2]固体热容量规律不符。本文根据固体热容量曲线,研究固体内能规律,获得突破性的创新认识。 1 固体内能曲线内能的导函数为热容量,热容量的原函数为内能。因此,根据图1可推知固体内能曲线。1.1 内能曲线单调性温度T ∈(0,∞),固体热容量Cv∈(0, 3N k)恒正,可知固体内能曲线严格单 浙江大学2009–2010学年 春夏 学期 《统计物理与量子力学》课程期末考试试卷 课程号：11194040 _，开课学院：_信息与电子工程学系_ 考试试卷：A 卷√、B 卷（请在选定项上打√） 考试形式：闭√、开卷（请在选定项上打√），允许带_计算器_入场 考试日期： 2011 年 6 月 30 日,考试时间： 120 分钟 诚信考试，沉着应考，杜绝违纪。 考生姓名： 学号： 所属院系： _ 题序 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 总 分 得分 评卷人 （20分） 一、是非题（每小题2分） 1． 光子与电子的相互作用满足能量守恒、动量守恒和质量守恒。 2． 粒子在时刻t 、空间某点r 的几率流密度 **()2ih J m = Y 裏-Y 裏 3． 角动量算符的本征函数是正交和完全的。 4． 若两力学量算符是互易的，则它们有共同的本征值和本征函数。 5． 对一个近独立的孤立系统，若热力学概率不变，则熵也不变。 6． 对有限高势垒，若粒子的能量大于势垒的高度，则粒子一定无反射。 7． 自由电子气的比热与理想气体一样与温度无关。 8． 一个系统处于某宏观态的热力学概率等于该宏观态对应的微观态数目除以总的微观态 数目。 9． 相空间即描述粒子运动的状态空间。 10. 一个系统处于任意微观态的概率相同。 （10分） 二、填空题（每空1分） 1．波函数必须满足标准条件 、 和 ，才有物理意义。 2．共价键是由 的两个电子在相邻两个相同原子之间作共有化运动而形成 3．从统计学角度看，熵是粒子体系 程度的反映。 4．经典粒子的统计特点是 ，玻色子的统计特点是 ，费米子的统计特点是 。 5．从统计角度看，孤立系统处于平衡态实际上是处于热力学概率 的宏观态。 6．三电子体系的自旋角动量量子数是 。 （15分） 三、一维线性谐振子处于第一激发态： 221212()x x xe a a y a p -= （1） 求几率最大的位置； （2） 求势能的平均值； （3） 证明其能量和动量不会同时有确定的值。 积分 5 4832 2α π α = -∞ ?dx e x x （8分） 四、证明算符H ?与算符2 ?L 、Z L ?互易 （10分） 五、带电荷q 的一维谐振子在外电场E 作用下运动，qEx x x U -=)2/()(2 2μω，试用微扰 法求一维谐振子的基态能量（要求到二级近似）。 一维线性谐振子基态波函数 22120()x x e a a y p -= （6分） 六、某量子系统有两种可能状态，基态1E 、1ψ和激发态2E 、2ψ，设系统原来处于基态，t>0以后受到微扰 /?()t H F x e t -￠= 的作用，证明：在t>>τ 以后系统处于激发态的几率为 2 212 2 21||()F E E t 骣+-琪琪桫 式中τψψd x F F 1* 221) (? =。 （8分） 七、一个体系由三个全同的玻色子组成，玻色子之间无相互作用。玻色子只有两个可能的单 粒子态。问体系可能的状态有几个？它们的波函数怎样用单粒子波函数构成？ 一．量子统计系综的基本原理 1．近点统计系综理论 统计力学研究的对象是大量粒子组成的系统。它的目的是一物质微观结构的动力学行为作为 依据，应用统计的方法，解释物体在宏观上、整体上表现出来的物理性质。 物质微观粒子的动力学状态遵从量子力学的规律，在此基础上建立的统计力学称为量子统计 力学。近点统计力学是量子统计力学的经典极限。引进系综和系综平均的概念是系综理论主 要内容。我们知道统计力学区别于力学的主要点在于：它不像力学那样，追求系统在一定初 始条件下任何时刻所处的确切的动力学状态；而认为系统的动力学状态准从统计规律。 大量处于相同宏观条件下,性质完全相同而各处于某一微观运动状态、并各自独立的系统的 集合称为统计系综。系综理论中重要的物理量是密度函数。密度函数对于整个像空间的积分 应是一个与时间无关的常数，等于相点的总数。因此引进几率密度函数()t p q ,,ρ是很方便 的。几率密度函数()t p q ,,ρ随时间的变化满足方程 {}0,=+??H t ρρ 这个方程称为刘伟方程。它表明，只要给出某一时刻的几率密度函数就可以确定以后任意时 刻的几率密度。容易看出，()t p q ,,ρ的函数形式与系统的宏观状态有关。如果系统处于平 衡态，则几率密度函数必不显含时间，只能()p q ,是的函数。 在平衡态的系综理论中，经常用到微正则系综、正则系综、巨正则系综和等温等压系 综。组成微正则系综的系统的特征是系统的能量、体积和总粒子数恒定，满足 ()E H p q <=,0,ρ和E E H ?+> 与温度恒定的大热源相接触，具有确定粒子数和体积的系统组成的统计系综称为正则系综。 正则系综的宏观状态的特征是系统的体积、粒子数和温度恒定；与温度恒定的大热源和化学 势恒定的大粒子源接触，体积一定的系统组成的统计系统系综称为巨正则系统，巨正则系统 的宏观状态的特征是系统的体积、化学势和温度恒定巨正则分配函数由下式决定 ()()[]γβμβμβd N p q H V N ??+-∑=Ξ≥,exp ,,0 与温度恒定的热源相接触，并通过无摩擦的活塞与恒压强源相接触，粒子数恒定的系统所组 成的统计系综称为等温等压系综。这种系综的宏观状态的特征是系统的粒子数、温度和压强 恒定。等温等压系综的配分函数为 ()()[]dV d pV p q H N p γβββ???--=,exp ,, 2．量子统计系综理论 量子力学中，系统所处的动力学状态（或量子态）由波函数确定。在坐标表象中，一个具有 s 个经典自由度的系统的动力学状态由波函数加以确定。在经典力学中，用相空间里的相点 描述和确定系统所处的动力学状态，在量子力学里，则用态矢量ψ描述和确定系统的状态。 量子力学和经典力学在描述和确定系统的动力学状态上的不同所引起的差异，在讨论系统动 力学函数（如能量、动量、角动量和粒子坐标等）的数值时将明显地表现出来。量子力学泛函计算简介
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