第三节：向量的内积与施密特正交化过程
施密特正交化)
施密特正交化 在线性代数中，如果内积空间上的一组向量能够张成一个子空间，那么这一组向量就称为这个子空间的一个基。Gram －Schmidt 正交化提供了一种方法，能够通过这一子空间上的一个基得出子空间的一个正交基，并可进一步求出对应的标准正交基。 这种正交化方法以J?rgen Pedersen Gram 和Erhard Schmidt 命名，然而比他们更早的拉普拉斯（Laplace ）和柯西（Cauchy ）已经发现了这一方法。在李群分解中，这种方法被推广为岩泽分解（Iwasawa decomposition ）。 在数值计算中，Gram －Schmidt 正交化是数值不稳定的，计算中累积的舍 入误差会使最终结果的正交性变得很差。因此在实际应用中通常使用豪斯霍尔德变换或Givens 旋转进行正交化。 记法 ：维数为n 的内积空间 ：中的元素，可以是向量、函数，等等 ：与的内积 ：、张成的子空间 ：在上的投影 基本思想
图1 v 在V2 上投影，构造V 3 上的正交基β Gram-Schmidt 正交化的基本想法，是利用投影原理在已有正交基的基础上构造 一个新的正交基。 设。V k 是V n 上的k 维子空间，其标准正交基为，且v 不在V k 上。由投影原理知，v 与其在V k 上的投影之差 是正交于子空间V k的，亦即β正交于V k的正交基ηi。因此只要将β单位化，即 那么{η1,..., ηk+1 }就是V k 在v 上扩展的子空间span{v, η1 ,..., ηk}的标准正交基。
根据上述分析，对于向量组{v1,...,v m}张成的空间V n，只要从其中一个向量（不妨设为v1 ）所张成的一维子空间span{v 1 }开始（注意到{v1}就是span{v 1}的正交基），重复上述扩展构造正交基的过程，就能够得到V n 的一组正交基。这就是Gram-Schmidt 正交化。 算法 首先需要确定扩展正交基的顺序，不妨设为。Gram-Schmidt 正交化的过程如下： 这样就得到上的一组正交基，以及相应的标准正交基。
利用C程序编写格拉姆-施密特正交化的过程
利用C程序编写格拉姆-施密特正交化的过程 ?：维数为n的内积空间 ?：中的元素，可以是向量、函数，等等 ?：与的内积 ?：、……张成的子空间 ?：在上的投影 基本思想 Gram-Schmidt正交化的基本想法，是利用投影原理在已有正交基的基础上构造一个新的正交基。 设。是上的维子空间，其标准正交基为，且不 在上。由投影原理知，与其在上的投影之差
是正交于子空间的，亦即正交于的正交基。因此只要将单位化，即 那么就是在上扩展的子空间的标准正交基。 根据上述分析，对于向量组张成的空间 ()，只要从其中一个向量（不妨设为）所张成的一维子空间开始（注意到就是的正交基），重复上述扩展构造正交基的过程，就能够得到的一组正交基。这就是Gram-Schmidt正交化。 首先需要确定已有基底向量的顺序，不妨设为。Gram-Schmidt 正交化的过程如下：
这样就得到上的一组正交基，以及相应的标准正交基。 例 考察如下欧几里得空间R n中向量的集合，欧氏空间上内积的定义为
于是就是的一组标准正交基底。 随着内积空间上内积的定义以及构成内积空间的元素的不同，Gram-Schmidt正交化也表现出不同的形式。 例如，在实向量空间上，内积定义为： 在复向量空间上，内积定义为： 函数之间的内积则定义为： 与之对应，相应的Gram－Schmidt正交化就具有不同的形式。
利用C程序编写格拉姆-施密特正交化的过程 C语言程序如下： #include Gram-Schmidt 正交化方法 正射影 设欧式空间V 中向量s ααα ,,21线性无关,令 ;11αβ= 11 11 22,,ββββααβ-=; (1) 22 2231111333,,,,ββββ αββββααβ-- =; (11) 11 22221111,,,,,,--------=s s s s s s s s s ββββαββββαββββααβ . 则s βββ,,,21 均非零向量,且两两正交.再令,1 i i i ββγ= s i ,.2,1 = 则},,,{21s γγγ 为规范正交组. 将(1)重新写成i i i i i i t t βββα+++=--11,11, , s i ,,2,1 = 其中k k k i ik t βββα,,= ,,,,2,1s i = .1,,2,1-=i k {}, ,,2,1,s j i ∈? 有 ∑∑-=-=++= 1 1 1 1 ,,j k j k jk i k i k ik j i t t ββββαα()???? ? ?? ? ?? ??? ????????? ? ? =-001,000,000,0,,0,1,,,1112222111,21 j j j i i i i t t t t t t ββββββ 令??????? ? ? ?=---10 001001011,2,2,11,1,121 s s s s s s t t t t t t T 则 T T s s s s s s s s s s s s s s ??????? ? ??=????? ? ?? ? ?-----ββββββββααααααααααααααααααααααα,0 00 0,0000,0 000,,,,,,,,,,,,,1 12211/2 1 1211122 21 212111 上式左端的实方阵是s ααα,,,21 的格兰母矩阵，记为：()s G ααα,,,21 ，上式右端中 间 的 对 角 阵 是 s βββ,,,21 的Gram 矩阵.即 有:()()T G T G s s βββααα,,,,,,21/21 = 因此()()s s s s G G βββββββββααα,,,,,,det ,,,det 22112121 == 注意：对任意一个向量组，无论它是线性相关，还是线性无关，它总有Gram 矩阵（或者事先给出定义）. 例1 设s ααα,,,21 欧式空间V 中向量，则 （1）()?≠0,,,det 21s G ααα s ααα,,,21 线性无关; （2）()?=0,,,det 21s G ααα s ααα,,,21 线性相关. 证明:只证（2） )?设s ααα,,,21 线性相关，则存在一个向量，不妨设为1α,可由其余向量线性 表示: s s k k ααα++= 221给s 阶的行列式()s G ααα,,,det 21 的第i 行乘数()i k -加到 第1行，s i ,,3,2 =得 ( )s s s s s s i s i i s s i i i s i i i s k k k G αααααααααααααααααααααααααα,,,,,,,,,,,,,,,det 21 22 21 22 12 2 212 1 1121 ∑∑∑===---= 0= )?法一：由上页证明推理过程立即得证。 法二：当()0,,,det 21=s G ααα 时，()s G ααα,,,21 的行向量组线性相关，因此存在不全为零的实数12,,,s k k k ，使 一般最小二乘法中f(x)的展开多项式可以为正交化的函数系，也可以为非正交化的函数系。常用正交化的函数系有，Hermite 多项式，拉盖尔多项式和勒让德多项式等，也可以用正交三角函数系。对于非正交化的矢量，可以进行人为正交化处理。 22 )()1()(x n n x n n e dx d e x H -?-= )()(x n n n x n e x dx d e x L -??= n n n n n x dx d x P )1(!21)(2-?= Tn(x)=cos(narccosx) 施密特正交化方法： 已知有一组矢量集b i (i=1,----,n)，且无法找到这样一组常系数使得下式为0(实际含义为b i 矢量组可展开成n 维空间). 请用b i 矢量集构建一个正交化的n 维矢量集U i (i=1,----,n)。 01=∑=n i i i b c 解：在求解之前，先说明一下行矢量点积的含义：两个行矢量点积为一个行矢量乘以另外一个行矢量的转置矢量(即变为列矢量)。 [] [] []???? ? ?????====0 0 11 0 1),(0 0 11 0 1212121T b b b b b b 令b 1=U 1 则U 2应有如下表达式： 1111222U U U U b b U T T -= 此时，可保证U 1和U 2正交，证明过程如下： 0),(11111 2121212=-==T T T T T U U U U U b U b U U U U 同理，U3表达式如下： 222231111 333U U U U b U U U U b b U T T T T --= 施密特正交化 在线性代数中,如果内积空间上得一组向量能够张成一个子空间,那么这一组向量就称为这个子空间得一个基。Gram－Schmidt正交化提供了一种方法,能够通过这一子空间上得一个基得出子空间得一个正交基,并可进一步求出对应得标准正交基。 这种正交化方法以J?rgen Pedersen Gram与Erhard Schmidt命名,然而比她们更早得拉普拉斯(Laplace)与柯西(Cauchy)已经发现了这一方法。在李群分解中,这种方法被推广为岩泽分解(Iwasawa deposition)。 在数值计算中,Gram－Schmidt正交化就是数值不稳定得,计算中累积得舍入误差会使最终结果得正交性变得很差。因此在实际应用中通常使用豪斯霍尔德变换或Givens旋转进行正交化。 记法 ?:维数为n得内积空间 ?:中得元素,可以就是向量、函数,等等 ?:与得内积 ?:、……张成得子空间 ?:在上得投影 基本思想 图1 v在V2上投影,构造V3上得正交基β Gram-Schmidt正交化得基本想法,就是利用投影原理在已有正交基得基础上构造一个新得正交基。 设。V k就是V n上得k维子空间,其标准正交基为,且v不在V k上。由投影原理知,v 与其在V k上得投影之差 就是正交于子空间V k得,亦即β正交于V k得正交基ηi。因此只要将β单位化,即 那么{η 1,、、、,η k+1 }就就是V k在v上扩展得子空间span{v,η 1 ,、、、,η k } 得标准正交基。 根据上述分析,对于向量组{v 1,、、、,v m }张成得空间V n,只要从其中一个向量(不 妨设为v 1)所张成得一维子空间span{v 1 }开始(注意到{v 1 }就就是span{v 1 }得正交 基),重复上述扩展构造正交基得过程,就能够得到V n得一组正交基。这就就是Gram-Schmidt正交化。 算法 首先需要确定扩展正交基得顺序,不妨设为。Gram-Schmidt正交化得过程如下: 这样就得到上得一组正交基,以及相应得标准正交基。 例 考察如下欧几里得空间R n中向量得集合,欧氏空间上内积得定义为 C语言实现矩阵的LU分解、施密特正交化、Givens分解、Householder分解 By Kim.Wang，UCAS #include 一、n 维向量的定义及运算 一、n 维向量的定义及运算二、向量空间 二、向量空间第一节向量空间 第二节向量的正交性 一、向量空间及其维数和基 一、向量空间及其维数和基 二、向量在基下的坐标 二、向量在基下的坐标 例1 设V 是一些n 维实向量的组成的非空集合，如果V 关 于向量的加法与数乘封闭(线性运算封闭)，即 (1) ?a , b ∈V , 有a +b ∈V . (2) ?a ∈V , k ∈R , 有k a ∈V . 则称V 是一个实向量空间. 一、向量空间及其维数和基 定义1全体n 维向量的集合{(x 1, x 2, …, x n )T | x i ∈R ,i=1, 2, …, n }是一个向量空间，记为R n . 特别的 n = 1 时全体实数R 是一个向量空间; n = 3 时全体三维向量{(x 1, x 2, x 3)T |x i ∈R ,i= 1, 2, 3 } 是一个向量 空间，记为R 3. n = 2 时全体平面中的向量{(x 1, x 2 )T | x i ∈R ,i=1, 2} 是一个向量空 间，记为R 2. 注：向量空间中必含有零向量。 例3 例2而W = {(a 1, a 2, …, a n )T |}01∑==n i i a 是一向量空间. }1|),,,{(1 21∑==…=n i i T n a a a a S 不是一向量空间, 因为它关于加法与数乘均不封闭，也不含零向量.仅含一个n 维零向量0=(0, 0, …, 0)T 的集合{0}构成一 个向量空间，称为零空间.除零空间之外的所有向量空间均称为非零空间。 设V 是一个向量空间，W V , W ≠?. 如果W 关于向量的加法与数乘也封闭，则称W 是V 的子空间. 定义2若W V ，并且V W , 则称两个向量空间相等，记为W=V. ??? #include 施密特正交化 在中，如果上的一组向量能够张成一个，那么这一组向量就称为这个子空间的一个基。Gram－Schmidt正交化提供了一种方法，能够通过这一子空间上的一个基得出子空间的一个，并可进一步求出对应的。 这种正交化方法以和命名，然而比他们更早的（Laplace）和（Cauchy）已经发现了这一方法。在李群分解中，这种方法被推广为（）。 在数值计算中，Gram－Schmidt正交化是的，计算中累积的舍入误差会使最终结果的正交性变得很差。因此在实际应用中通常使用或进行正交化。 记法 ?：为n的内积空间 ?：中的元素，可以是向量、，等等 ?：与的 ?：、……张成的 ?：在上的 基本思想 图1v在V2上投影，构造V3上的正交基β Gram-Schmidt正交化的基本想法，是利用投影原理在已有正交基的基础上构造一个新的正交基。 设。V k是V n上的k维子空间，其标准正交基为，且v不在V k上。由投影原理知，v与其在V k上的投影之差 是正交于子空间V k的，亦即β正交于V k的正交基ηi。因此只要将β单位化，即 那么{η 1,...,η k+1 }就是V k在v上扩展的子空间span{v,η 1 ,...,η k }的标准正交 基。 根据上述分析，对于向量组{v 1,...,v m }张成的空间V n，只要从其中一个向量（不 妨设为v 1）所张成的一维子空间span{v 1 }开始（注意到{v 1 }就是span{v 1 }的正交 基），重复上述扩展构造正交基的过程，就能够得到V n的一组正交基。这就是Gram-Schmidt正交化。 算法 首先需要确定扩展正交基的顺序，不妨设为。Gram-Schmidt正交化的过程如下： 这样就得到上的一组正交基，以及相应的标准正交基。 例 考察如下R n中向量的，欧氏空间上内积的定义为 施密特正交化 Document serial number【KKGB-LBS98YT-BS8CB-BSUT-BST108】 施密特正交化 在中，如果上的一组向量能够张成一个，那么这一组向量就称为这个子空间的一个基。Gram－Schmidt正交化提供了一种方法，能够通过这一子空间上的一个基得出子空间的一个，并可进一步求出对应的。 这种正交化方法以和命名，然而比他们更早的（Laplace）和（Cauchy）已经发现了这一方法。在李群分解中，这种方法被推广为（）。 在数值计算中，Gram－Schmidt正交化是的，计算中累积的舍入误差会使最终结果的正交性变得很差。因此在实际应用中通常使用或进行正交化。 记法 ：为n的内积空间 ：中的元素，可以是向量、，等等 ：与的 ：、……张成的 ：在上的 基本思想 图1v在V2上投影，构造V3上的正交基β Gram-Schmidt正交化的基本想法，是利用投影原理在已有正交基的基础上构造一个新的正交基。 设。V k是V n上的k维子空间，其标准正交基为，且v 不在V k上。由投影原理知，v与其在V k上的投影之差 是正交于子空间V k的，亦即β正交于V k的正交基ηi。因此只要将β单位化，即 那么{η 1,...,η k+1 }就是V k在v上扩展的子空间span{v,η 1 ,...,η k }的标准正 交基。 根据上述分析，对于向量组{v 1,...,v m }张成的空间V n，只要从其中一个向量 （不妨设为v 1）所张成的一维子空间span{v 1 }开始（注意到{v 1 }就是span{v 1 } 的正交基），重复上述扩展构造正交基的过程，就能够得到V n的一组正交基。这就是Gram-Schmidt正交化。 算法 首先需要确定扩展正交基的顺序，不妨设为。Gram-Schmidt正交化的过程如下： 这样就得到上的一组正交基，以及相应的标准正交基。 例 考察如下R n中向量的，欧氏空间上内积的定义为 第五节振型向量正交性 对多自由度系统振动问题的分析与两自由度系统没有本质上的区别。只是由于自由度上的增多导致数学上计算变得复杂多了。因此，在研究多自由度系统振动问题时，应找出一种便于分析的方法，这就是模态分析法（振型叠加法）。为此，首先讨论有关耦合与解耦的方法。 一、耦合与解耦（教材6.7和6.8） 举例说明什么是耦合与解耦。 D y 如图所示是一刚性杆AD，用刚度分别为 1 k和 2 k的弹簧支承与A、D两端。 （1） 取质心C 点的垂直位移C y 和刚性杆绕C 点的转角θ为广义坐标。则刚性杆在振动中任一瞬时的受力如图所示。由几何关系，得 12112212D A C A C D C D A l y l y y y y l l l y y l y y l l θ θ θ+?=?=-+?? ?? ? =+-??=?+? 由牛顿运动定律，的系统的振动微分方程为 121122 C A D A D my k y k y J k y l k y l θ=--?? =-? （a ） 式中m 是刚性杆AD 的质量，J 是刚性杆AD 绕质心C 的转动惯量。整理式（a ），得 ()()()()12221122 221111220 C C C my k k y k l k l J k l k l y k l k l θθθ+++-=???+-++=?? （b ） 写成矩阵的形式 12221122221111220000C C y k k k l k l y m J k l k l k l k l θθ+-???????? ??+=??????????-+????? ????? （c ） 在上式中，质量矩阵是一个对角矩阵，反映在方程组中，就是两个微分方程的第一个方程仅包含一个广义坐标的二阶导数（加速度）C y ，第二个方程仅包含另一个广义坐标的二阶导数θ，这种加速度（惯性力）之间没有耦合的情况，称之为惯性解耦。 刚度矩阵是非对角矩阵，反映在 第一讲 Ⅰ 授课题目： §5.1 预备知识：向量的内积 Ⅱ 教学目的与要求： 1.了解向量的内积及正交向量组的概念； 1.了解把线性无关的向量组正交规范化的施密特(Smidt)方法； 2.了解正交矩阵概念及性质。 Ⅲ 教学重点与难点： 重点：正交向量组及正交矩阵 难点：施密特正交化方法 Ⅳ 讲授内容： 一、向量的内积 前面曾介绍过向量的线性运算，但在许多实际问题中，还需要考虑向量的长度等方面的度量性质.在此，作为解析几何中向量的数量积的推广，引进向量的内积运算. 定义1 设有n 维向量 ??????? ??=n x x x x 21，?????? ? ??=n y y y y 21， 令 []n x y x y x y x +++= 2211,， []y x ,称为向量x 与y 的内积. 内积是向量的一种运算，用矩阵记号表示，当x 与y 都是列向量时，有 []y x y x T =,. 内积具有下列性质（其中z y x ,,为n 维向量，λ为实数）： ① [][]x y y x ,,=； ② [][]y x y x ,,λλ=； ③ [][][]z x y x z y x ,,,+=+. 例1 设有两个四维向量??????? ??-=5121α，???? ?? ? ??--=56 03β.求[]βα,及[]αα,. 解 []3425603,-=--+-=βα []3125141,=+++=αα n 维向量的内积是数量积的一种推广，但n 维向量没有3维向量那样直观的长度和夹 角的概念，因此只能按数量积的直角坐标计算公式来推广.并且反过来，利用内积来定义 n 维向量的长度和夹角： 定义2 令x = []2 2221,n x x x x x ++= ，则x 称为n 维向量x 的长度（或范数）. 向量的长度具有下列性质： ① 非负性 当0≠x 时，0>x ，当0=x 时，0=x ； ② 齐次性 x x λλ=； ③ 三角不等式 y x y x +≤+. 向量的内积满足施瓦兹不等式 [][][]y y x x y x ,,,2 ?≤ 由此可得 [] 1 ,≤y x y x （当0y ≠x 时） 于是有下面的定义： 当0≠x ，0≠y 时， [] y ,arccos x y x =θ 称为n 维向量的夹角. 二、正交向量组 当[]0,=y x 时，称向量x 与y 正交.显然，若0=x ，则x 与任意向量都正交. 两两正交的非零向量组称为正交向量组. 定理 1 若n 维向量r ααα ,,21是一组两两正交的非零向量组，则r ααα ,,21线性无关. 证明 设有r λλλ ,,21使 02211=+++r r αλαλαλ ， 施密特正交化 SANY标准化小组 #QS8QHH-HHGX8Q8-GNHHJ8-HHMHGN# 施密特正交化 在中，如果上的一组向量能够张成一个，那么这一组向量就称为这个子空间的一个基。Gram－Schmidt正交化提供了一种方法，能够通过这一子空间上的一个基得出子空间的一个，并可进一步求出对应的。 这种正交化方法以和命名，然而比他们更早的（Laplace）和（Cauchy）已经发现了这一方法。在李群分解中，这种方法被推广为（）。 在数值计算中，Gram－Schmidt正交化是的，计算中累积的舍入误差会使最终结果的正交性变得很差。因此在实际应用中通常使用或进行正交化。 记法 ：为n的内积空间 ：中的元素，可以是向量、，等等 ：与的 ：、……张成的 ：在上的 基本思想 图1v在V2上投影，构造V3上的正交基β Gram-Schmidt正交化的基本想法，是利用投影原理在已有正交基的基础上构造一个新的正交基。 设。V k是V n上的k维子空间，其标准正交基为，且v 不在V k上。由投影原理知，v与其在V k上的投影之差 是正交于子空间V k的，亦即β正交于V k的正交基ηi。因此只要将β单位化，即 那么{η 1,...,η k+1 }就是V k在v上扩展的子空间span{v,η 1 ,...,η k }的标准正 交基。 根据上述分析，对于向量组{v 1,...,v m }张成的空间V n，只要从其中一个向量 （不妨设为v 1）所张成的一维子空间span{v 1 }开始（注意到{v 1 }就是span{v 1 } 的正交基），重复上述扩展构造正交基的过程，就能够得到V n的一组正交基。这就是Gram-Schmidt正交化。 算法 首先需要确定扩展正交基的顺序，不妨设为。Gram-Schmidt正交化的过程如下： 这样就得到上的一组正交基，以及相应的标准正交基。 例 考察如下R n中向量的，欧氏空间上内积的定义为向量正交化
施密特正交化方法
施密特正交化)
C语言实现矩阵的LU分解、施密特正交化、Givens分解、Householder分解
线性代数第六章向量空间及向量的正交性讲义
施密特正交化求标准正交基
施密特正交化)
施密特正交化
第五节振型向量正交性
第一讲正交向量组及施密特正交法
施密特正交化