2020届安徽省合肥六中高三下学期高考冲刺最后一卷数学(文)试题(解析版)

2020届安徽省合肥六中高三下学期高考冲刺最后一卷数学

（文）试题

一、单选题

1．已知复数134z i =+，21z i =+，则12z z ?=（ ）

A ．7i +

B ．7i -

C ．7i -+

D ．7--i

【答案】A

【解析】写出共轭复数2z ，然后由复数的乘法法则计算． 【详解】

()()21234133447z z i i i i i i ?=+-=-+-=+．

故选：A ． 【点睛】

本题考查复数的乘法运算，考查共轭复数的概念，属于基础题． 2．已知全集U =R ，集合{}24A x x =-<<，{}2B x x =≥，则(

)U

A B =（ ）

A ．()2,4

B ．()2,4-

C ．()2,2-

D ．(]2,2-

【答案】C

【解析】根据集合运算的定义计算． 【详解】

{}2U

B x x =<，∴(

)()2,2U

A B =-．

故选：C ． 【点睛】

本题考查集合的综合运算，属于基础题．

3．已知直线(:l y k x =+和圆()2

2:11C x y +-=相切，则实数k =（ ）

A ．0

B

C ．

3

或0 D 或0

【答案】D

【解析】由圆心到直线的距离等于半径求解． 【详解】

由

23111

k k -=+，得23

0k k -=，所以3k =或0；

故选：D ． 【点睛】

本题考查直线与圆的位置关系，由圆心到直线的距离与半径的大小关系可判断直线与圆的位置关系．

4．已知α为第三象限角，4tan 3α=

，则cos 4πα??

+= ???

（ ） A ．

2

10

B ．210-

C ．

72

10

D ．72

10

-

【答案】A

【解析】先由同角的三角函数的关系式求出cos α，sin α，再利用两角和的余弦公式可求cos 4πα??

+

???

的值. 【详解】

由已知得3cos 5α=-，4sin 5α=-，所以()22cos cos sin 4πααα??

+=-= ???， 故选：A. 【点睛】

本题考查同角的三角函数的基本关系式以及两角和的余弦，前者注意角的范围对函数值符号的影响，本题属于基础题.

5．已知函数()f x 的图象如图所示，则该函数的解析式可能是（ ）

A ．()ln x

x f x e = B ．()ln x

f x x e = C ．()ln x f x x

=

D ．()()1ln f x x x =-

【答案】D

【解析】用排除法，当01x <<时，函数值为正可排除A ，B ，C ．

【详解】

()0,1x ∈时，()0f x >，但,,A B C 中函数值均为负，故排除，只有D 选项满足．

故选：D ． 【点睛】

本题考查由函数图象选择函数解析式，可根据图象反应的函数性质判断，方法是排除法．如利用函数的单调性、奇偶性、对称性，特殊的函数值、函数值的正负、函数值的变化趋势等排除错误选项．

6．已知0.5

12a ??= ???

，2log 0.3b =，b c a =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．a b c << B ．c a b <<

C ．b a c <<

D ．a c b <<

【答案】C

【解析】由指数函数的性质可得

1

12

a <<，由对数函数的性质可得0

b <，化简1

20.3

b

c a -

==，由指数函数的性质可得

102

0.3

0.31->=，从而可得结果.

【详解】

∵0.5

12a ??= ???，2log 0.3b =，b c a =， ∴10.5

111112222a ??????

=<=<= ? ? ???????

，22log 0.3log 10b =<=， 12

12

212

1

20.5log 0.3

log 0.3102

1log 0.32

1

110.3

0.31

220.3

121c ?--

=????==>= ? ???

??

?? ??=

=?

，

∴b a c <<. 故选：C . 【点睛】

本题主要考查利用对数函数和指数函数的单调性比较大小，考查逻辑思维能力和运算求解能力，属于常考题.

7．如图，为测得河对岸铁塔AB 的高，先在河岸上选一点C ，使C 在铁塔底B 的正东方向上，测得点A 的仰角为60?，再由点C 沿北偏东30方向走10m 到位置D ，测得

45BDC ∠=?，则铁塔AB 的高为（ ）

A ．303+

B ．303-

C ．103

10+

D ．103

10【答案】A 【解析】

由正弦定理求得BC ，再在直角三角形中求得高AB ． 【详解】

BCD 中，45BDC ∠=?，15DBC ∠=?，10CD =，由正弦定理得sin sin BC CD

BDC DBC

=∠∠，所以)

10

31BC =，又Rt ABC 中，60ACB ∠=?，

tan 6030103AB BC =??=+

故选：A ． 【点睛】

本题考查解三角形的应用，认识方位角是解题基础，掌握正弦定理是解题关键． 8．执行如图所示的程序框图，若判断框中的条件是6n >，则输出的结果为（ ）

A ．72

B ．30

C ．42

D ．56

【答案】D

【解析】直接按照程序框图运行程序，当7n =时输出结果. 【详解】

执行如图所示的程序框图，

当1n =时，022,224,16s a =+==+=<，

2,246,426,26n s a ==+==+=<， 3,6+6=12,628,36n s a ===+=<， 4,12820,8210,46n s a ==+==+=<， 5,201030,10212,56n s a ==+==+=<， 6,301242,12214,66n s a ==+==+=≤， 7,421456,14216,76n s a ==+==+=>，

故输出的结果为56. 故选：D. 【点睛】

本题主要考查程序框图，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

9．某地2004年第一季度应聘和招聘人数排行榜前5个行业的情况列表如下：

若用同一行业中应聘人数和招聘人数的比值的大小来衡量该行业的就业情况，则根据表中数据，就业形势一定是（ ） A ．计算机行业好于化工行业 B ．建筑行业好于物流行业 C ．机械行业最紧张 D ．营销行业比贸易行业紧张

【答案】B

【解析】试题分析：就业形势的好坏，主要看招聘人数与应聘人数的比值，比值越大，就业形势越好，故选B ．

【考点】本题主要考查不等式的概念、不等式的性质．

点评：解答此类题目，首先要审清题意，明确就业形势的好坏，主要看招聘人数与应聘人数的比值．

10．设双曲线22

22:1(0,0)x y C a b a b

-=>>的左、右焦点分别为12F F 、，过1F 作倾斜角为

60?直线与y 轴和双曲线的右支交于A 、B 两点，若点A 平分线段1F B ，则该双曲线的

离心率是( ) A B ．2+

C ．2

D 1

【答案】B

【解析】双曲线22

221x y a b

-= (0,0)a b >> 的左焦点F 为(),0c -,直线l 的方程为

)

y x c =+，令0x =，则y =，即()

A ，因为A 平分线段1F

B ，根据

中点坐标公式可得 ()

B c ，代入双曲线方程，可得22

22121c c a b

-=，由于

()

1c e e a =>，则22

21211

e e e -=-，化简可得421410e e -+=，解得27e =±由

1e >，解得2e =+故选B.

【方法点晴】本题主要考查利用双曲线的简单性质求双曲线的离心率，属于中档题.求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.求离心率问题应先将 e 用有关的一些量表示出来，再利用其中的一些关系构造出关于e 的等式，从而求出e 的值.本题是利用点到直线的距离等于圆半径构造出关于e 的等式，最后解出e 的值.

11．历史上数列的发展，折射出许多有价值的数学思想方法，对时代的进步起了重要的作用，比如意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：即1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，….即()()121F F ==，

()()()12F n F n F n =-+-，(3n ≥，*n N ∈).此数列在现代物理及化学等领域有

着广泛的应用，若此数列被4整除后的余数构成一个新的数列{}n b ，又记数列{}n c 满

11c b =，22c b =，()

*13,n n n c b b n n N -=-≥∈，则2020c =（ ）

A ．1

B ．2-

C ．1-

D ．0

【答案】A

【解析】利用“兔子数列”的前几项除以4的余数得数列{}n b 的前几项（稍微多求几项），归纳出{}n b 的周期性，再根据{}n c 的定义得出{}n c 的前几项，归纳出{}n c 的性质，然后由这个规律可得2020c ． 【详解】

解：记“兔子数列”为{}n a ，则数列{}n a 每个数被4整除后的余数构成一个新的数列

{}n b 为1,1,2,3,1,0,1,1,2,3,1,0,，可得数列{}n b 构成一周期为6的数列，

由题意得数列{}n c 为1,1,1,1,2,1,1,0,1,1,2,1,1,0,1,1,2,1,

------，

观察数列{}n c 可知从该数列从第三项开始后面所有的数列构成一周期为6的数列，

202041c c ∴==，

故选：A ． 【点睛】

本题考查数列的递推关系，考查数列的周期性，解题时在数列通项公式不易求出时可利用归纳推理的方法得出结论．

12．不等式()22ln 40ax a x x a ->-->解集中有且仅含有两个整数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()ln3,2 B ．[)2ln3,2-

C ．(]0,2ln3-

D ．()0,2ln3-

【答案】C

【解析】设()2ln 4g x x x =--，()2h x ax a =-，通过导数判断()g x 的单调性，结合直线()2h x ax a =-恒过定点()2,0，得到两函数的图象，结合题意得不等式组

()()()()01133a h g h g ?>?

>??≤?

，解出即可. 【详解】

由题意可知，22ln 4ax a x x ->--， 设()2ln 4g x x x =--，()2h x ax a =-. 由()1212x g x x x

='-=-

. 可知()2ln 4g x x x =--在10,2?

? ???

上为减函数，在1,2??

+∞

???

上为增函数， ()2h x ax a =-的图象恒过点()2,0，在同一坐标系中作出()g x ，()h x 的图象如下，

若有且只有两个整数1x ，2x ，使得()10f x >，且()20f x >，则()()()()0

1133a h g h g ?>?

>??≤?

，

即022ln 3a a a >??

->-??≤-?

，解得02ln3a <≤-，故选C.

【点睛】

本题主要考查了不等式与函数图象的关系，利用导数判断函数单调性，考查了学生的计算能力，属于中档题．

二、填空题

13．已知曲线2

3ln 4

x y x =-的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为______．

【答案】3

【解析】首先求函数的导数，令1

2

y ，求切点的横坐标. 【详解】

因为23ln 4

x y x =-，()0x >，所以32x y x '

=-，

由题意知，

31

22

x x -=，解得3x =（负值舍去），所以切点的横坐标为3． 故答案为：3 【点睛】

本题考查函数的导数的求法，导数的几何意义，属于基础题型.

14．已知向量()2,1a =，()3,4b =，(),2c k =，若()

3a b c -//，则实数k =_________ 【答案】6-

【解析】由平面向量坐标运算法则得()33,1a b -=-，再由()

3a b c -//，列出方程求出k 的值. 【详解】 解：

向量()2,1a =，()3,4b =，(),2c k =，

∴()33,1a b -=-，

()3a b c -//，

∴

312

k =-. 解得：6k =-.

故答案为：6-. 【点睛】

本题考查平面向量坐标运算法则，向量平行的性质，考查运算求解能力，属于基础题. 15．已知ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足

()

sin 2b A a B =，4b =，点D 为边AB 上的一点，2CD =，锐角ACD △的

c =________.

【解析】用正弦定理化边为角后可求得B ，在ACD △内，由面积求得sin ACD ∠，从而可得cos ACD ∠，用余弦定理求得AD ，再用正弦定理得出sin A ，最后在ABC 中正弦定理求得BC ，用余弦定理求得AB ． 【详解】

()

sin 2b A a B =及正弦定理得，()

sin sin sin 2B A A B =，

∵ACD △是锐角三角形，∴sin 0A ≠，

2si sin n 23B B B π?

?∴=+= ??

?，()0,B π∈，6B π∴=，

在ACD △内，1sin 2ACD

S

AC CD ACD =???∠，所以sin 4

ACD ∠=， 又ACD ∠是锐角，∴1

cos 4

ACD ∠=

， 由余弦定理可得，2

2

2

1

42242164

AD =+-???

=，4AC AD ==，

由正弦定理得2sin A =，sin A =

在ABC 内，

sin sin AC BC

B A

=，BC ∴= 由余弦定理，2222cos AC AB BC AB BC B =+-?

2161522AB AB =+-∴?，解得72

AB c +==．

． 【点睛】

本题考查正弦定理、余弦定理和三角形面积公式，由正弦定理进行边角转化求出B 是解题基础．

16．已知点,,,P A B C 均在表面积为81π的球面上,其中PA ⊥平面

ABC ,30,BAC AC ∠=,则三棱锥P ABC -的体积的最大值为__________．

【答案】

81

8

【解析】分析：先求出球的半径，再求出三棱锥P ABC -的体积的表达式，最后求函数的最大值.

详解：设球的半径为R,所以2

9814,.2

R R ππ=∴=

设AB=x,则AC =，由余弦定理得

22223,.BC x x x x BC x =+-?=∴= 设底面△ABC 的外接圆的半径为r,则0

2,.sin 30

x

r x r =

∴=

所以PA=所以三棱锥P ABC -的体积

1113226V x x =????=

=818

=≤.

当且仅当. 故答案为

818

点睛：（1）本题主要考查球的体积和几何体的外接球问题，考查基本不等式，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和空间想象能力.(2)三元基本不等式：

3

(

)3

a b c abc ++≤，当且仅当a=b=c>0时取等.(3)函数的思想是高中数学的重要思想，一般是先求出函数的表达式，再求函数的定义域，再求函数的最值.

三、解答题

根据以上抽样调查数据，回答下列问题：

（1）试估算该校高三年级学生获得成绩为B 的人数；

（2）若等级A ?B ?C ?D ?E 分别对应100分?90分?80分?70分?60分，学校要求平均分达90分以上为“考前心理稳定整体过关”，请问该校高三年级目前学生的“考前心理稳定整体”是否过关？

（3）为了解心理健康状态稳定学生的特点，现从D ?E 两种级别中，用分层抽样的方法抽取5个学生样本，再从中任意选取2位学生样本分析，求事件“至少1位学生来自D 级别”的概率.

【答案】（1）896；（2）该校高三年级目前学生的“考前心理稳定整体”已过关；（3）

910

. 【解析】（1）从条形图中可知这200人中，有112名学生成绩等级为B ，由此可计算频率即概率，作为总体概率可计算整个年级得B 人数； （2）利用频率计算均分后可得．

（3）求出D ?E 两种级别中所抽取的人数，编号后写出所有基本事件，并得出事件“至少1位学生来自D 级别”所含有的基本事件，计数后可得概率． 【详解】

（1）从条形图中可知这200人中，有112名学生成绩等级为B ，

所以可以估计该校学生获得成绩等级为B 的概率为，11214

20025= 则该校高三年级学生获得成绩为B 的人数约有14

160089625

?= （2）这200名学生成绩的平均分为

64112146410090807060200200200200200

?+?+?+?+?=91.3，因为91.390>，所以该校高三年级目前学生的“考前心理稳定整体”已过关.

（3）由题可知用分层抽样的方法抽取5个学生样本，其中D 级3个，E 级2个，

D 组3人编号为,,A B C ，

E 组2人编号为,a b ，则任取2人的基本事件为：,,,,,,,,,AB AC Aa Ab BC Ba Bb Ca Cb ab 共10个，其中事件“至少1位学生来自D 级

别”为F 含有的基本事件有,,,,,,,,AB AC Aa Ab BC Ba Bb Ca Cb 共9个，

()910

P F ∴=

. 【点睛】

本题考查条形图，考查用样本估计总体．考查分层抽样与古典概型，用列举法写出所有基本事件是计算古典概型概率的常用方法．

18．已知数列{}n a 是各项均为正数的等比数列，若11a =，2416a a =. （1）设2log n n b a =，求数列{}n b 的通项公式； （2）求数列{}n n a b 的前n 项和n S .

【答案】(1)1n b n =- (2) ()222n

n S n =-+

【解析】【详解】试题分析：（1）先根据等比数列的基本量求出等比数列{}n a 通项公式,代入2log n n b a =得数列{}n b 的通项公式（2）根据错位相减法求和: 利用错位相减法求和时，注意相减时项的符号变化，中间部分利用等比数列求和时注意项数，最后要除以

1q -

试题解析：（Ⅰ）由数列{}n a 是各项均为正数的等比数列

112412216

n n a q a a a -=?∴==??=?且即： 2log ,1n n n b a b n =∴=-又

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知()1

12n n n a b n -?=-?

则 ()0

1

2

102122212n n S n -=?+?+?+

+-?① ()123202122212n

n S n =?+?+?+

+-?②

①-②

()()()231222212

221212

222

n n

n n n

n S n n n --=+++

+--?-=--?-=--

()222n n S n ∴=-+

点睛：用错位相减法求和应注意的问题(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“n S ”与“n qS ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“n n S qS -”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.

19．如图,在以,,,,,A B C D E F 为顶点的五面体中,底面ABCD 是矩形, EF BC <.

(1)证明: EF 平面ABCD ;

(2)在中国古代数学经典著作《九章算术》中,称图中所示的五面体ABCDEF 为“刍甍”(chú

méng),书中将刍甍ABCDEF 的体积求法表述为: 术曰:倍下袤,上袤从之,以广乘之,又以高乘之,六而一.其意思是:若刍甍ABCDEF 的“下袤” BC 的长为a ,“上袤” EF 的长为b ,“广” AB 的长为c ,“高”即“点

F 到平面ABCD 的距离”为h ,则刍甍ABCDEF 的体积V 的计算公式为:

()1

26

V a b ch =

+,证明该体积公式. 【答案】(1)见解析;(2)见解析.

【解析】分析：（1）先证明BC EF ，再证明EF 平面ABCD .(2)利用割补法证明

F ABGH CDE GHF V V V --=+=

()1

26

a b ch +. 详解：（1）证明：

ABCD 是矩形，BC AD ∴，

又

AD ?平面ADEF ，BC ?平面ADEF

BC ∴平面ADEF ，

又

BC ?平面BCEF ，平面ADEF ?平面BCEF EF =

BC EF ∴

又

BC ?平面ABCD ，EF ?平面ABCD ，

EF ∴平面ABCD .

（2）解：设,G H 分别是棱,BC AD 上的点，且满足GC HD EF ==， 链接,,FG FH GH .由第（1）问的证明知，GC HD EF ， 所以四边形GCEF 和GCDH 为平行四边形.

,GF CE GH CD ∴，

又CD CE C ?=，∴平面GHF CDE ，

∴多面体CDE GHF -为三棱柱.

因此，刍甍ABCDEF 可别分割成四棱锥F ABGH -和三棱柱CDE GHF -. 由题意知，矩形ABGH 中，

BG BC CG BC =-= ,EF a b AB c -=-=

∴矩形ABGH 的面积()ABGH S a b c =-，

又四棱锥F ABGH -的高，即“点F 到平面ABCD 的距离”为h ，

∴四棱锥F ABGH -的体积()11

33

F ABGH ABGH V S h a b ch -=

=-； 三棱柱CDE GHF -的体积可以看成是以矩形GCDH 为底,以点F 到平面

ABCD 的距离h 为高的四棱柱体积的一半.

又矩形GCDH 的面积ABGH S bc =

∴三棱柱CDE GHF -的体积11

22

CDE GHF GCDH V S h bch -=

= 刍甍ABCDEF 的体积：

F ABGH CDE GHF V V V --=+=

()11

32

a b ch bch ch -+= ()1

23

26a b b a b ch -??+=+

???.

∴刍甍ABCDEF 体积公式得证.

点睛：（1）本题主要考查空间位置关系的证明和空间体积的计算，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和空间想象转化能力.(2) 求几何体的面积和体积的方法,方法一：对于规则的几何体一般用公式法.方法二：对于非规则的几何体一般用割补法.方法三：对于某些三棱锥有时可以利用转换的方法.注意理解掌握并灵活运用.本题利用的就是割补法求几何体的体积.

20．如图，已知椭圆()22

22:10x y a b a b

Γ+=>>的左焦点为F ，右顶点为A ，上顶点

为B .

（1）若椭圆Γ的离心率为

1

2，线段AF 中点22M ?? ? ???

，求BM 的值； （2）若ABF 外接圆的圆心在直线y x =-上，ABF 外接圆的半径为3，求椭圆Γ的方程.

【答案】（126

；（2）221126x y +=.

【解析】（1）先根据离心率得2a c =，再根据线段AF 中点22M ?? ? ???

得222a c -=，解方程得2c =

28a =，26b =，故得(6B ，在用两点间距离求解即可；

（2）由与三角形外接圆圆心是各边中垂线的交点，故写出AF 的中垂线方程为：

2a c x -=

，再根据圆心在直线y x =-上得圆心坐标,22a c a c C --??

- ???

，其在AB 的中垂线方程为：22b a a y x b ??

-=- ???

，代入化简得b c =，再根据外接圆半径列式求解即可. 【详解】

（1）因为椭圆()22

2210x y a b a b

+=>>的离心率为12，所以12c a =，则2a c =.

因为线段AF 中点M 的横坐标为

22

，所以222a c -=

. 所以2c =

则28a =，2226b a c =-=.上顶点为B 的坐标为：()

0,6B

所以26

2

BM =

（2）因为(),0A a ，(),0F c -， 所以线段AF 的中垂线方程为：2

a c

x -=

. 又因为ABF 外接圆的圆心C 在直线y x =-上， 所以,22a c a c C --??

-

???

. 因为(),0A a ，()0,B b ，所以线段AB 的中垂线方程为：22b a a y x b ??

-

=- ???

. 由C 在线段AB 的中垂线上，得2222a c b a a c a b --??

-

-=- ???

， 整理得，()2

b a

c b ac -+=，即()()0b c a b -+=. 因为0a b +>，所以b c =.

ABF 外接圆的半径22

222

2

9222a c a c a c R CA a --+????==-+=

= ? ?????

2

12a ∴=，2

6b =，所求椭圆方程：22

1126

x y +

= 【点睛】

本题考查椭圆方程的求解，考查数学运算能力，是中档题. 21．已知函数()ln 1f x x x ax =++，a R ∈.

（1）如果关于x 的不等式()0f x ≥在0x >恒成立，求实数a 的取值范围；

（2）当1≥x 时，证明：

()

()21sin 11ln x

x x e x x e

≤≤----. 【答案】（1）[)1,-+∞；（2）证明见解析.

【解析】（1）分离参数可得1ln a x x -≤+，只需min 1ln a x x ??-≤+ ??

?，

令()1

ln F x x x =+，利用导数求出()F x 的最小值即可.

（2）由（1），当1a =-时，有ln 1x x x ≥-，即1

ln x x x -≥

.要证()1ln x e x x e

-≤，可证，1≥x ，即证

1x e e x ≤，1≥x .()11x

e x x e x

--≤，构造函数()()1x

G x e ex x =-≥，利用导数可证出()()10G x G ≥=，从而证出左边；构造函数

()()()2ln 1sin 11H x x x x x =-++-≥，利用导数证明函数的单调性，进而可得()()10H x H <=，从而证出右边.

【详解】

（1）由()0f x ≥，得()ln 100x x ax x ++≥>.

整理，得1

ln a x x -≤+恒成立，即min 1ln a x x ??-≤+ ??

?.

令()1ln F x x x =+

.则()22111

x F x x x x

='-=-. ∴函数()F x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增. ∴函数()1

ln F x x x

=+

最小值为()11F =. 1a ∴-≤，即1a ≥-.

a ∴的取值范围是[)1,-+∞

（2）由（1），当1a =-时，有ln 1x x x ≥-，即1

ln x x x

-≥

. 要证

()1ln x

e x x e -≤，

即证1≥x 时

()11x

e x x e x

--≤

即1

x e e x ≤，. 构造函数()()1x

G x e ex x =-≥.

则()x

G x e e '=-.

当1≥x 时，()0G x '≥.()G x ∴在[

)1,+∞上单调递增. ()()10G x G ∴≥=在[)1,+∞上成立，即x e ex >，证得

1x e e x

<. ∴当[)1,x ∈+∞时，

()1ln x

e x x e -≤成立.

构造函数()()()2

ln 1sin 11H x x x x x =-++-≥.

则()()()

()()22112112cos 1x x x x H x x x x x x

-+--+-=-+-≥=

' 当1x >时，()0H x '<，()H x ∴在[

)1,+∞上单调递减.

()()10H x H ∴<=，即()()2ln 1sin 101x x x x -++-≤≥

∴当[)1,x ∈+∞时，()2ln 1sin 1x x x ≤---成立.

综上，当[)1,x ∈+∞时，有()()21ln 1sin 1x

e x x x x e

-≤≤---.

【点睛】

本题考查了利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数证明不等式，属于难题.

22．在直角坐标坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为221

21x t y t ?=-?=-?

(t 为参数)，以直角

坐标系的原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l 的极坐标方程为()2sin cos m ρθθ-=. （1）求曲线C 的普通方程；

（2）若直线l 与曲线C 有且仅有唯一的公共点，且l 与坐标轴交于,A B 两点，求以AB 为直径的圆的直角坐标方程.

【答案】（1）()()2

121y x +=+；（2）22

1152416x y ????++-= ? ??

???.

【解析】（1）采用代入消元法消去t 即可整理得到所求普通方程；

（2）将l 极坐标方程化为普通方程，利用直线与曲线有且仅有唯一的公共点可联立令

0?=，从而求得m ，进而求得,A B 坐标，根据,A B 坐标确定圆心坐标和半径，进而

得到所求圆的方程. 【详解】

（1）由21y t =-得：12y t +=，则2

2121212y x t +??=-=- ???

，整理得：()

()2

121y x +=+，

故曲线C 的普通方程为()()2

121y x +=+. （2）由()2sin cos m ρθθ-=得：2y x m -=，

联立()()2

1212y x y x m

?+=+??-=??得：22210y y m -+-=， l 与曲线C 有且仅有唯一的公共点，()44210m ∴?=--=，解得：1m =，

l ∴的方程为

21y x -=，l ∴与坐标轴交点为10,2??

???

与()1,0-， 不妨假设10,

2A ?? ???，则()1,0B -，线段AB 的中点为11,24??

- ???

，

AB ∴==

∴以AB

为直径的圆的半径4

r =， ∴以AB 为直径的圆的直角坐标方程为：2

2

1152416x y ????++-= ? ?

?

???. 【点睛】

本题考查极坐标与参数方程的知识的综合应用问题，涉及到参数方程化普通方程、极坐标方程化直角坐标方程、圆的方程的求解等知识，属于常考题型. 23．已知()12f x x x a =-++，a R ∈. （1）当1a =时，求不等式()3f x >的解集； （2）若函数()f x 的最小值为3，求实数a 的值.

【答案】（1）{1x x <-∣或1}x >；（2）8a =-或4.

【解析】（1）代入1a =，分段讨论打开绝对值解不等式即可.(2)利用基本不等式性质

1122

a a

x x -++

≥+进行求解即可. 【详解】

（1）当1a =时，()121f x x x =-++，