人教版初一数学试题-下学期期末考试 解析版
七年级下学期期末考试数学试题
一．选择题（共10小题）
1．已知x＝2是关于x的一元一次方程mx+2＝0的解，则m的值为（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2
2．《侯马盟书》是山西博物馆藏得十大国宝之一，其中很多篆文具有较高的历史意义和研究价值，下面四个悬针篆文文字明显不是轴对称图形的是（）
A．B．C．D．
3．根据不等式的性质，下列变形正确的是（）
A．由a＞b得ac2＞bc2B．由ac2＞bc2得a＞b
C．由﹣a＞2得a＜2 D．由2x+1＞x得x＞1
4．我国古代数学著作《增删算法统宗》记载”绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托．折回索子却量竿，却比竿子短一托．“其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺．设绳索长x尺，竿长y尺，则符合题意的方程组是（）
A．B．
C．D．
5．如图，数轴上所示的解集用不等式表示正确的是（）
A．x＞﹣2 B．x≥﹣2 C．x＜﹣2 D．x≤﹣2
6．如图，在△ABC中，BC边上的高为（）
A．BF B．CF C．BD D．AE
7．已知等腰三角形两边a，b，满足|2a﹣3b+5|+（2a+3b﹣13）2＝0，则此等腰三角形的周长为（）
A．7或8 B．6或10 C．6或7 D．7或10
8．一次数学活动课上，小聪将一副含30°角的三角板的一条直角边和45°角的三角板的一条直角边重叠，则∠1的度数为（）
A．45°B．60°C．75°D．85°
9．如图所示，在△ABC中，已知点D、E、F分别为边BC、AD、CE的中点，且△ABC的面积是4cm2，则阴影部分面积等于（）
A．2cm2B．1cm2C．0.25cm2D．0.5cm2
10．如图是某广场用地板铺设的部分图案，中央是一块正六边形的地板砖，周围是正三角形和正方形的地板砖．从里向外的第1层包括6个正方形和6个正三角形，第2层包括6个正方形和18个正三角形，依此递推，第10层中含有正三角形个数是（）
A．102个B．114个C．126个D．138个
二．填空题（共5小题）
11．已知方程2x﹣y＝1，用含x的代数式表示y，得．
12．在△ABC中，如果∠A：∠B：∠C＝1：2：3，那么△ABC的形状是三角形．13．如图是由6个大小相同的立方体组成的几何体，在这个几何体的三视图①主视图、②左视图、③俯视图中，是中心对称图形的有．
14．如图，将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，得到△A′B′C，连结AA′，若∠1＝20°，则∠B＝度．
15．书店举行购书优惠活动：
①一次性购书不超过100元，不享受打折优惠；
②一次性购书超过100元但不超过200元一律打九折；
③一次性购书超过200元一律打七折．
小丽在这次活动中，两次购书总共付款229.4元，第二次购书原价是第一次购书原价的3倍，那么小丽这两次购书原价的总和是元．
三．解答题（共8小题）
16．（1）解方程：y﹣＝2﹣；
（2）解方程组：．
17．解不等式组：，并写出它所有的整数解．
18．如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位，△ABC的三个顶点都在格点上．
（1）在网格中画出△ABC向下平移3个单位得到的△A1B1C1；
（2）在网格中画出△ABC关于直线m对称的△A2B2C2；
（3）在直线m上画一点P，使得C1P+C2P的值最小．
19．“五一”黄金周，小梦一家计划从家B出发，到景点C旅游，由于BC之间是条湖，无法通过，如图所示只有B﹣A﹣C和B﹣P﹣C两条路线，哪一条比较近？为什么？（提示：延长BP交AC于点D）
20．数学课上，老师出了一道题，如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，∠B＝80°，∠C＝40°
（1）求∠DAE的度数；
（2）小红解完第（1）小题说，我只要知道∠B﹣∠C＝40°，即使不知道∠B、∠C的具体度数，也能推出∠DAE的度数小红的说法，对不对？如果你认为对，请推导出∠DAE 的度数：如果你认为不对，请说明理由．
21．科技改变世界．2017年底，快递分拣机器人从微博火到了朋友圈．据介绍，这些机器人不仅可以自动规划最优路线，将包裹准确地放入相应的路口，还会感应避让障碍物，自动归队取包裹，没电的时候还会自己找充电桩充电．某快递公司启用40台A种机器人、150台B种机器人分拣快递包裹，A、B两种机器人全部投入工作，1小时共可以分拣0.77万件包裹；若全部A种机器人工作1.5小时，全部B种机器人工作2小时，一共可以分
拣1.38万件包裹．
（1）求两种机器人每台每小时各分拣多少件包裹？
（2）为进一步提高效率，快递公司计划再购进A、B两种机器人共100台．若要保证新购进的这批机器人每小时的总分拣量不少于5500件，求至少应购进A种机器人多少台？22．已知：如图，E点是正方形ABCD的边AB上一点，AB＝4，DE＝6，△DAE逆时针旋转后能够与△DCF重合．
（1）旋转中心是．旋转角为度．
（2）请你判断△DFE的形状，并说明理由．
（3）求四边形DEBF的周长和面积．
23．阅读材料，并回答下列问题
如图1，以AB为轴，把△ABC翻折180°，可以变换到△ABD的位置；
如图2，把△ABC沿射线AC平移，可以变换到△DEF的位置．
像这样，其中的一个三角形是另一个三角形经翻折、平移等方法变换成的，这种只改变位置，不改变形状大小的图形变换，叫三角形的全等变换．
班里学习小组针对三角形的全等变换进行了探究和讨论
（1）请你写出一种全等变换的方法（除翻折、平移外），．
（2）如图2，前进小组把△ABC沿射线AC平移到△DEF，若平移的距离为2，且AC＝5，则DC＝．
（3）如图3，圆梦小组展开了探索活动，把△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在四边形BCDE内部点A′的位置，且得出一个结论：2∠A′＝∠1+∠2．请你对这个结论给出证明．（4）如图4，奋进小组则提出，如果把△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在四边形BCDE 外部点A′的位置，此时∠A′与∠1、∠2之间结论还成立吗？若成立，请给出证明，若不成立，写出正确结论并证明．
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．已知x＝2是关于x的一元一次方程mx+2＝0的解，则m的值为（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2
【分析】把x＝2代入方程计算，即可求出m的值．
【解答】解：把x＝2代入方程得：2m+2＝0，
解得：m＝﹣1，
2．《侯马盟书》是山西博物馆藏得十大国宝之一，其中很多篆文具有较高的历史意义和研究价值，下面四个悬针篆文文字明显不是轴对称图形的是（）
A．B．C．D．
【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，据此进行分析即可．
【解答】解：A、是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B、是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C、不是轴对称图形，故本选项符合题意；
D、是轴对称图形，故本选项不符合题意．
3．根据不等式的性质，下列变形正确的是（）
A．由a＞b得ac2＞bc2B．由ac2＞bc2得a＞b
C．由﹣a＞2得a＜2 D．由2x+1＞x得x＞1
【分析】根据不等式的性质，可得答案．
【解答】解；A、a＞b，c＝0时，ac2＝bc2，故A错误；
B、不等式的两边都乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变，故B正确；
C、不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变，右边没诚乘以﹣2，故
C错误；
D、不等式的两边都加或都减同一个整式，不等号的方向不变，故D错误；
故选：B．
4．我国古代数学著作《增删算法统宗》记载”绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托．折回索子却量竿，却比竿子短一托．“其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺．设绳索长x尺，竿长y尺，则符合题意的方程组是（）
A．B．
C．D．
【分析】设索长为x尺，竿子长为y尺，根据“索比竿子长一托，折回索子却量竿，却比竿子短一托”，即可得出关于x、y的二元一次方程组．
【解答】解：设索长为x尺，竿子长为y尺，
根据题意得：．
5．如图，数轴上所示的解集用不等式表示正确的是（）
A．x＞﹣2 B．x≥﹣2 C．x＜﹣2 D．x≤﹣2
【分析】根据数轴上表示的解集写出不等式即可．
【解答】解：根据数轴上表示的解集得：x＜﹣2，
6．如图，在△ABC中，BC边上的高为（）
A．BF B．CF C．BD D．AE
【分析】根据三角形的高线的定义解答．
【解答】解：根据高的定义，AE为△ABC中BC边上的高．
故选：D．
7．已知等腰三角形两边a，b，满足|2a﹣3b+5|+（2a+3b﹣13）2＝0，则此等腰三角形的周长为（）
A．7或8 B．6或10 C．6或7 D．7或10
【分析】先根据非负数的性质求出a，b的值，再分两种情况确定第三边的长，从而得出三角形的周长．
【解答】解：∵|2a﹣3b+5|+（2a+3b﹣13）2＝0，
∴，
解得，
当a为底时，三角形的三边长为2，3，3，则周长为8；
当b为底时，三角形的三边长为2，2，3，则周长为7；
故选：A．
8．一次数学活动课上，小聪将一副含30°角的三角板的一条直角边和45°角的三角板的一条直角边重叠，则∠1的度数为（）
A．45°B．60°C．75°D．85°
【分析】根据平行线的判定求出AB∥EF，根据平行线的性质求出∠AOF，根据三角形的外角性质求出∠1即可．
【解答】解：
如图所示，
∵∠ABC＝∠DEF＝90°，
∴∠ABC+∠DEF＝180°，
∴AB∥EF，
∴∠AOF＝∠F＝45°，
∵∠A＝30°，
∴∠1＝∠A+∠AOF＝30°+45°＝75°，
故选：C．
9．如图所示，在△ABC中，已知点D、E、F分别为边BC、AD、CE的中点，且△ABC的面积是4cm2，则阴影部分面积等于（）
A．2cm2B．1cm2C．0.25cm2D．0.5cm2
【分析】如图，因为点F是CE的中点，所以△BEF的底是△BEC的底的一半，△BEF高等于△BEC的高；同理，D、E、分别是BC、AD的中点，△EBC与△ABC同底，△EBC的高是△ABC高的一半；利用三角形的等积变换可解答．
【解答】解：如图，点F是CE的中点，
∴△BEF的底是EF，△BEC的底是EC，即EF＝EC，高相等；
∴S△BEF＝S△BEC，
同理得，
S△EBC＝S△ABC，
∴S△BEF＝S△ABC，且S△ABC＝4，
∴S△BEF＝1，
即阴影部分的面积为1．
故选：B．
10．如图是某广场用地板铺设的部分图案，中央是一块正六边形的地板砖，周围是正三角形和正方形的地板砖．从里向外的第1层包括6个正方形和6个正三角形，第2层包括6个正方形和18个正三角形，依此递推，第10层中含有正三角形个数是（）
A．102个B．114个C．126个D．138个
【分析】观察三角形的规律，发现：三角形依次是6+12×（1﹣1），6+12×（2﹣1），…，6+12×（n﹣1）块．
【解答】解：根据题意分析可得：从里向外的第1层包括6个正三角形．
第2层包括18个正三角形．
此后，每层都比前一层多12个．
依此递推，第10层中含有正三角形个数是6+12×9＝114个．
故选：B．
二．填空题（共5小题）
11．已知方程2x﹣y＝1，用含x的代数式表示y，得y＝2x﹣1 ．
【分析】要把方程2x﹣y＝1，用含x的代数式表示y，就要把方程中含有y的项移到方程的左边，其它的项移到方程的右边，再进一步合并同类项、系数化为1即可．
【解答】解：移项，得﹣y＝1﹣2x，
系数化1，得y＝2x﹣1．
故填y＝2x﹣1．
12．在△ABC中，如果∠A：∠B：∠C＝1：2：3，那么△ABC的形状是直角三角形．【分析】根据三角形内角和定理列出方程，解方程即可．
【解答】解：设∠A、∠B、∠C的度数分别为x、2x、3x，
则x+2x+3x＝180°，
解得，x＝30°，
则2x＝60°，3x＝90°，
∴△ABC是直角三角形，
故答案为：直角．
13．如图是由6个大小相同的立方体组成的几何体，在这个几何体的三视图①主视图、②左视图、③俯视图中，是中心对称图形的有③俯视图．
【分析】根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．
【解答】解：从上边看是一个田字，
“田”字是中心对称图形，
主视图是1，2，1，不是中心对称图形，
左视图是1，2，1，不是中心对称图形，
故答案为：③俯视图
14．如图，将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，得到△A′B′C，连结AA′，若∠1＝20°，则∠B＝65 度．
【分析】先根据旋转的性质得到∠ACA′＝90°，CA＝CA′，∠B＝∠CB′A′，则可判断△CAA′为等腰直角三角形，所以∠CAA′＝45°，然后利用三角形外角性质计算出∠CB′A′，从而得到∠B的度数．
【解答】解：∵Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，得到△A′B′C，
∴∠ACA′＝90°，CA＝CA′，∠B＝∠CB′A′，
∴△CAA′为等腰直角三角形，
∴∠CAA′＝45°，
∵∠CB′A′＝∠B′AC+∠1＝45°+20°＝65°，
∴∠B＝65°．
故答案为65．
15．书店举行购书优惠活动：
①一次性购书不超过100元，不享受打折优惠；
②一次性购书超过100元但不超过200元一律打九折；
③一次性购书超过200元一律打七折．
小丽在这次活动中，两次购书总共付款229.4元，第二次购书原价是第一次购书原价的3倍，那么小丽这两次购书原价的总和是248或296 元．
【分析】设第一次购书的原价为x元，则第二次购书的原价为3x元．根据x的取值范围分段考虑，根据“付款金额＝第一次付款金额+第二次付款金额”即可列出关于x的一元一次方程，解方程即可得出结论．
【解答】解：设第一次购书的原价为x元，则第二次购书的原价为3x元，
依题意得：①当0＜x≤时，x+3x＝229.4，
解得：x＝57.35（舍去）；
②当＜x≤时，x+×3x＝229.4，
解得：x＝62，
此时两次购书原价总和为：4x＝4×62＝248；
③当＜x≤100时，x+×3x＝229.4，
解得：x＝74，
此时两次购书原价总和为：4x＝4×74＝296；
④当100＜x≤200时，x+×3x＝229.4，
解得：x≈76.47（舍去）；
⑤当x＞200时，x+×3x＝229.4，
解得：x≈81.93（舍去）．
综上可知：小丽这两次购书原价的总和是248或296元．
故答案为：248或296．
三．解答题（共8小题）
16．（1）解方程：y﹣＝2﹣；
（2）解方程组：．
【分析】（1）方程去分母，去括号，移项合并，把y系数化为1，即可求出解；
（2）方程组利用加减消元法求出解即可．
【解答】解：（1）去分母得：12y﹣6y+6＝24﹣2y﹣4，
移项合并得：8y＝14，
解得：y＝；
（2），
①×3+②得：5x＝25，
解得：x＝5，
把x＝5代入①得：y＝2，
则方程组的解为．
17．解不等式组：，并写出它所有的整数解．
【分析】先分别解两个不等式确定不等式组的解集，再找出其中的整数解．
【解答】解：，
解①得x＜2，
解②得x≥﹣1，
故不等式组的解集为﹣1≤x＜2，
故不等式组的整数解为﹣1，0，1．
18．如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位，△ABC的三个顶点都在格点上．
（1）在网格中画出△ABC向下平移3个单位得到的△A1B1C1；
（2）在网格中画出△ABC关于直线m对称的△A2B2C2；
（3）在直线m上画一点P，使得C1P+C2P的值最小．
【分析】（1）根据图形平移的性质画出△A1B1C1即可；
（2）根据轴对称的性质画出△ABC关于直线m对称的△A2B2C2即可；
（3）连接C1C2交直线m于点P，则点P即为所求点．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；
（2）如图，△A2B2C2即为所求；
（3）连接C1C2交直线m于点P，则点P即为所求点．
19．“五一”黄金周，小梦一家计划从家B出发，到景点C旅游，由于BC之间是条湖，无法通过，如图所示只有B﹣A﹣C和B﹣P﹣C两条路线，哪一条比较近？为什么？（提示：延长BP交AC于点D）
【分析】延长BP交AC于点D．依据三角形两边之和大于第三边，即可得出结论．
【解答】解：如图，延长BP交AC于点D．
∵△ABD中，AB+AD＞BD＝BP+PD，
△CDP中，PD+CD＞CP，
∴AB+AD+PD+CD＞BP+PD+CP，
即AB+AD+CD＞BP+CP，
∴AB+AC＞BP+CP，
∴B﹣P﹣C路线较近．
20．数学课上，老师出了一道题，如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，∠B＝80°，∠C＝40°
（1）求∠DAE的度数；
（2）小红解完第（1）小题说，我只要知道∠B﹣∠C＝40°，即使不知道∠B、∠C的具体度数，也能推出∠DAE的度数小红的说法，对不对？如果你认为对，请推导出∠DAE 的度数：如果你认为不对，请说明理由．
【分析】（1）根据角平分线的定义求出∠BAE，根据垂直定义求出∠ADB，根据三角形内角和定理求出∠BAC和∠BAD，即可求出答案；
（2）根据角平分线的定义求出∠BAE，根据垂直定义求出∠ADB，根据三角形内角和定理求出∠BAC和∠BAD，即可求出答案．
【解答】解：（1）∵∠B＝80°，∠C＝40°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝60°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠BAC＝30°，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∵∠B＝80°，
∴∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠ADB＝180°﹣80°﹣90°＝10°，
∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝30°﹣10°＝20°；
（2）对，
理由是：∵∠BAC+∠B+∠C＝180°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠BAC＝（180°﹣∠B﹣∠C）＝90°﹣（∠B+∠C），
∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∴∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠ADB＝180°﹣∠B﹣90°＝90°﹣∠B，
∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝90°﹣（∠B+∠C）﹣（90°﹣∠B）
＝∠B﹣∠C
＝（∠B﹣∠C），
∵∠B﹣∠C＝40°，
∴∠DAE＝20°，
所以小红的说法正确．
21．科技改变世界．2017年底，快递分拣机器人从微博火到了朋友圈．据介绍，这些机器人不仅可以自动规划最优路线，将包裹准确地放入相应的路口，还会感应避让障碍物，自动归队取包裹，没电的时候还会自己找充电桩充电．某快递公司启用40台A种机器人、150台B种机器人分拣快递包裹，A、B两种机器人全部投入工作，1小时共可以分拣0.77万件包裹；若全部A种机器人工作1.5小时，全部B种机器人工作2小时，一共可以分拣1.38万件包裹．
（1）求两种机器人每台每小时各分拣多少件包裹？
（2）为进一步提高效率，快递公司计划再购进A、B两种机器人共100台．若要保证新购进的这批机器人每小时的总分拣量不少于5500件，求至少应购进A种机器人多少台？
【分析】（1）A种机器人每台每小时分拣x件包裹，B种机器人每台每小时分拣y件包裹，根据题意列方程组即可得到结论；
（2）设应购进A种机器人a台，购进B种机器人（100﹣a）台，由题意得，根据题意两不等式即可得到结论．
【解答】解：（1）A种机器人每台每小时拣x件包裹，B种机器人每台每小时分拣y件包裹，
由题意得，，
解得，，
答：A种机器人每台每小时分拣80件包裹，B种机器人每台每小时分拣30件包裹；
（2）设应购进A种机器人a台，购进B种机器人（100﹣a）台，
由题意得，80a+30（100﹣a）≥5500，
解得：a≥50，
答：至少应购进A种机器人50台．
22．已知：如图，E点是正方形ABCD的边AB上一点，AB＝4，DE＝6，△DAE逆时针旋转后能够与△DCF重合．
（1）旋转中心是D．旋转角为90 度．
（2）请你判断△DFE的形状，并说明理由．
（3）求四边形DEBF的周长和面积．
【分析】（1）确定旋转中心及旋转的角度，首先确定哪是对应点，即可确定旋转中心以及旋转角；
（2）根据旋转的性质，可以得到旋转前后的两个图形全等，以及旋转角的定义即可作出判断；
（3）根据△DAE≌△DCF，可以得到：AE＝CF，DE＝DF，则四边形DEBF的周长就是正方形的三边的和与DE的和．
【解答】解：（1）旋转中心是点D．旋转角为90度．
（2）根据旋转的性质可得：△DAE≌△DCF，则DE＝DF，∠EDF＝∠ADC＝90°，
则△DFE的形状是等腰直角三角形．
（3）四边形DEBF的周长是BE+BC+CF+DF+DE＝AB+BC+DE+DF＝20；
面积等于正方形ABCD的面积＝16．
23．阅读材料，并回答下列问题
如图1，以AB为轴，把△ABC翻折180°，可以变换到△ABD的位置；
如图2，把△ABC沿射线AC平移，可以变换到△DEF的位置．
像这样，其中的一个三角形是另一个三角形经翻折、平移等方法变换成的，这种只改变位置，不改变形状大小的图形变换，叫三角形的全等变换．
班里学习小组针对三角形的全等变换进行了探究和讨论
（1）请你写出一种全等变换的方法（除翻折、平移外），旋转．
（2）如图2，前进小组把△ABC沿射线AC平移到△DEF，若平移的距离为2，且AC＝5，则DC＝ 3 ．
（3）如图3，圆梦小组展开了探索活动，把△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在四边形BCDE内部点A′的位置，且得出一个结论：2∠A′＝∠1+∠2．请你对这个结论给出证明．（4）如图4，奋进小组则提出，如果把△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在四边形BCDE 外部点A′的位置，此时∠A′与∠1、∠2之间结论还成立吗？若成立，请给出证明，若不成立，写出正确结论并证明．
【分析】（1）根据三种全等变换翻折、平移、旋转的定义可知判断；
（2）根据平移的距离的定义可知AD＝2，则DC＝AC﹣AD；
（3）根据轴对称及三角形内角和定理得出；
（4）根据轴对称及三角形内角和定理得出；
【解答】解：（1）旋转；
故答案为：旋转
（2）∵AD＝2，
∴DC＝AC﹣AD＝5﹣2＝3；
故答案为：3
（3）∵把△ADE沿DE翻折，得到△A'DE，
∴△ADE≌△A'DE，
∴∠ADE＝∠A'DE，∠AED＝∠A'ED，
在△DEA'中，∠A'＝180°﹣（∠A'DE+∠A'ED）；
由平角定义知，∠2＝180°﹣∠A'DA＝180°﹣2∠A'DE，
∠1＝180°﹣∠A'EA＝180°﹣2∠A'ED，
∴∠1+∠2＝180°﹣2∠A'DE+180°﹣2∠A'ED＝2（180°﹣∠A'ED﹣∠A'DE）
∴2∠A′＝∠1+∠2．
（4）∠2﹣∠1＝2∠A'，
理由如下：
∵把△ADE沿DE翻折，得到△A'DE，
∴△ADE≌△A'DE，
∴∠ADE＝∠A'DE，∠AED＝∠A'ED，
在△DEA'中，∠A'＝180°﹣（∠A'DE+∠A'ED），
由平角定义知，∠2＝180°﹣∠A'DA＝180°﹣2∠A'DE，∠1＝2∠A'ED﹣180°
∴∠2﹣∠1＝（180°﹣2∠A'DE）﹣（2∠A'ED﹣180°）＝180°﹣（∠A'DE+∠A'ED），∴∠2﹣∠1＝2∠A'．