北师大版九年级数学知识点汇总
北
师
大
版
九
年
级
数
学
,
知
识
点
汇
总
第一章特殊平行四边形
一、平行四边形
1、定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。
2、性质：（1）平行四边形的对边平行且相等。
（2）平行四边形的对角相等，邻角互补。
）
（3）平行四边形的对角线互相平分，两条对角线把平行四边形分成四个面积相等的三角形。
（4）平行四边形是中心对称图形。
3、判定：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形。
（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形。
（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形。
4、面积：S平行四边形=底ⅹ高
二、菱形
1、定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。
《
2、性质：（1）菱形具有平行四边形的所有性质。
（2）菱形的四条边都相等。
（3）菱形的对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角；两条对角线把菱形分成四个全等的直角三角形。
（4）菱形既是中心对称图形，又是轴对称图形（两条）。
3、判定：（1）有一组邻边相等的平行四边形是菱形。
（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
（3）四条边都相等的四边形是菱形。
4、面积：S菱形=底ⅹ高；S菱形=对角线乘积的一半
三、矩形
1、定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形。
、
2、性质：（1）矩形具有平行四边形的所有性质。
（2）矩形的四个角都是直角。
（3）矩形的对角线相等且互相平分，两条对角线把矩形分成四个面积相等的等腰三角形。
（4）推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
（5）矩形既是中心对称图形，又是轴对称图形（两条）。
3、判定：（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形。
（2）对角线相等的平行四边形是矩形。
（3）有三个角是直角的四边形是矩形。
4、面积：S矩形=底ⅹ高
四、正方形
|
1、定义：有一组邻边相等，且有一个角是直角的平行四边形是正方形。
2、性质：（1）正方形具有菱形和矩形的所有性质。 （2）正方形的四条边都相等，四个角都是直角。
（3）正方形的对角线互相垂直平分且相等，两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角
形。 （4）正方形既是中心对称图形，又是轴对称图形（四条）。 3、判定：（1）有一组邻边相等的矩形是正方形。
（2）对角线互相垂直的矩形是正方形。 正方形=菱形+矩形 （3）有一个角是直角的菱形是正方形。 （4）对角线相等的菱形是正方形。
4、面积：S 正方形=边长的平方；S 正方形=
】
五、中点四边形
1、定义：以四边形四条边的中点为顶点组成的四边形
2、中点四边形：一般四边形→平行四边形；平行四边形→平行四边形；菱形→矩形；矩形→菱形；
正方形→正方形。
第二章 一元二次方程
一、定义：我们把形如2(,,)ax bx c o a b c a o ++=≠为常数，的方程，称为一元二次方程。其中2ax ，
bx ，c 分别称为二次项，一次项和常数项，a ，b 分别称为二次项系数和一次项系数。 二、解一元二次方程的方法
1、配方法：移项→二次项系数化为1→配方（方程两边同时加上一次项系数一半的平方）→开平方（有正
负两个结果）→求解→写根。 2、公式法：化为一般形式（2ax bx c o ++=）→找出a ，b ，c （记得带上符号）→代入根的判别式
（2
4b ac -）→代入求根公式2b x a
-=（240b ac -≥）→求解→写根。
)
3、因式分解法：当一元二次方程的一边为0，另一边易于分解成两个一次因式的乘积时可用因式分解法。 （1）提公因式法：0ac bc +=→()0c a b += （2）公式法：①平方差公式：22()()a b a b a b -=+- ②完全平方公式：2222()a ab b a b ±+=±
（3）十字相乘法：2()()()x p q x pq x p x q +++=++
三、一元二次方程根的判别式：对于一元二次方程2()ax bx c o a o ++=≠
（1）当240b ac ->时，方程有两个不相等的实数根。 （2）当240b ac -=时，方程有两个相等的实数根。 （3）当240b ac -<时，方程没有实数根。
四、一元二次方程根与系数之间的关系（韦达定理）
.
如果方程2()ax bx c o a o ++=≠有两个实数根1x ，2x ，那么12b x x a +=-
，12c x x a
= 五、应用一元二次方程（1、几何面积问题；2、销售问题）
审题→寻找数量关系和等量关系→设未知数（直接假设和间接假设）→列一元二次方程→解方程→
检验→作答。
第三章 概率的进一步认识
一、列表法和化树状图法
…
1、列表法：当一次实验涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，为了不重不漏地列出所有可能
的结果，通常采用列表法。 2、画树状图法：当一次实验涉及3个或更多因素时，列表就不方便，为了不重不漏地列出所有可能的结
果，通常采用画树状图法。
二、频率估计概率：一般的，在大量重复实验时，如果事件A 发成的频率
m
n
稳定于某个常数P ，那么事件A 发生的概率()P A P
=
}
[
第四章 图形的相似
一、成比例线段
1、定义：四条线段,,,a b c d 中，如果a 与b 的比等于c 与d 的比，即
a c
b d
=，那么这四条线段,,,a b c d 叫做成比例线段，简称比例线段。
2、性质：（1）基本性质：如果
a c
b d
=，那么ad bc =； 如果ad bc =()
,,,0a b c d 都不等于，那么
a c
b d
= ！
（2）等比性质：如果
()==
0a c m
b d n b d
n
=+++≠，那么
a c m a
b d n b
+++=+++
（3）合比性质：如果
a c
b d =，那么a b
c
d b d ++=，a b c d
b d
--=
二、平行线分线段成比例
1、定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
2、推论：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例
三、相似多边形
1、定义：各角分别相等，各边成比例的两个多边形叫做相似多边形。相似多边形对应边的比叫做相似比
2、性质：相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方
四、相似三角形
1、定义：三角分别相等，三边成比例的两个三角形叫做相似三角形
%
2、判定：（1）两角分别相等的两个三角形相似
（2）两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 （3）三边成比例的两个三角形相似
3、性质：（1）相似三角形的对应角相等，对应边成比例
（2）相似三角形对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比都等于相似比 （3）相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方
五、黄金分割：点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ()AC BC >，如果
AC BC
AB AC
=
，那么称线段AB 被点C 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比，
即:0.618:1AC AB ≈
六、位似图形
1、定义：一般的，如果两个相似多边形任意一组对应顶点P ,'P 所在的直线都经过同一点O ，且有
'OP =()0k OP k ?≠，那么这样的两个多边形叫做位似多边形，点O 叫做位似中心 2、性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比
…
3、画图步骤：（1）尺规作图法：① 确定位似中心；②确定原图形中的关键点关于中心的对应点；③描出
新图形 （2）坐标法：在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横坐标、纵坐标都乘于同
一个数()0k k ≠，所对应的图形与原图形位似，位似中心是坐标原点，它 们的相似比为k
|
.
第五章投影与视图
一、投影：物体在光线的照射下，会在地面或其他平面上留下它的影子，这就是投影现象，影子所在的平
面叫做投影面
1、中心投影：由同一点（点光源）发出的光线形成的投影叫做中心投影。如物体在灯泡发出的光照射下
形成的影子就是中心投影
2、平行投影：由平行光线形成的投影叫做平行投影。如物体在太阳光的照射下形成的影子（简称日影）
就是平行投影。若平行光线与投影面垂直，则这种投影称为正投影
二、三视图
1、视图：用正投影的方法绘制的物体在投影面上的图形，称为物体的视图
2、三视图概念：（1）主视图：从正面得到的视图叫做主视图，反映物体的长和高
（2）左视图：从左面得到的视图叫做左视图，反映物体的长和宽
（3）俯视图：从上面得到的视图叫做俯视图，反映物体的高和宽
）
3、三视图特点：（1）主视图和俯视图的长对正
（2）主视图和左视图的高平齐
（3）左视图和俯视图的宽相等
.
第六章 反比例函数
一、定义：一般的，形如()0k
y k k x
=
≠为常数，的函数，叫做反比例函数。其中x 是自变量，y 是函数。
#
自变量x 的取值范围是不等于0的一切实数
二、表达式：1、k
y x
=； 2、1y kx -=； 3、xy k = 三、图象与性质
1、图象：由两条曲线组成（双曲线）
2、性质：
如图，在反比例函数k
y x
=
上任取一点(),P x y ，过这一点分别作x 轴，y 轴 函数
k 图象 所在象限 增减性 —
k y x
=
()0k k ≠为常数，
0k >
第一、 三象限 (),x y 同号 在同一象限内，y
随x 的增大而减小
0k <
第二、 { 第三、 四象限
(),x y 异号
在同一象限内，y 随x 的增大而增大
k 越大，函数图象越远离坐标原点
的垂线PE ，PF 与坐标轴围成的矩形PEOF 的面积S xy k == 4、对称性：（1）中心对称，对称中心是坐标原点 （2）轴对称：对称轴为直线y x =和直线y x =-
{
第七章 直角三角形的边角关系
一、锐角三角函数
在Rt ABC ?中，90C ?∠=，则A ∠的三角函数为
三角函数 30°
45°
60°
αsin |
2
1
2
2 2
3 αcos
23 2
2
21
αtan
3
3
1
[
3
三、解直角三角形
1、直角三角形的边角关系：（1）两锐角关系：90A B ∠+∠=?
（2）三边关系：222a b c +=（勾股定理）
（3）边角关系：sin cos a A B c ==
，cos sin b A B c
== tan a A b =
，tan b
B a
= 定 义 *
表达式
取值范围 关 系
正弦 斜边的对边A A ∠=sin c a
A =
sin 1sin 0< — B A sin cos = 1cos sin 22=+A A 余弦 斜边的邻边 A A ∠= cos c b A =