高考数学考纲解读与热点难点突破专题23分类讨论思想转化与化归思想教学案文含解析

分类讨论思想、转化与化归思想

【高考题型示例】

题型一、概念、定理分类整合

概念、定理分类整合即利用数学中的基本概念、定理对研究对象进行分类，如绝对值的定义、不等式的转化、等比数列{a n }的前n 项和公式等，然后分别对每类问题进行解决.解决此问题可以分解为三个步骤：分类转化、依次求解、汇总结论.汇总结论就是对分类讨论的结果进行整合.

例1.若一条直线过点(5，2)，且在x 轴，y 轴上截距相等，则这条直线的方程为( )

A.x ＋y －7＝0

B.2x －5y ＝0

C.x ＋y －7＝0或2x －5y ＝0

D.x ＋y ＋7＝0或2y －5x ＝0

答案 C

解析 设该直线在x 轴，y 轴上的截距均为a ，当a ＝0时，直线过原点，此时直线方程为y ＝25x ，即2x －5y ＝0；当a≠0时，设直线方程为x a ＋y a

＝1，求得a ＝7，则直线方程为x ＋y －7＝0. 例2. 已知S n 为数列{a n }的前n 项和，且S n ＝2a n －2，则S 5－S 4的值为( )

A.8

B.10

C.16

D.32

答案 D

解析 当n ＝1时，a 1＝S 1＝2a 1－2，解得a 1＝2.

因为S n ＝2a n －2，

当n≥2时，S n －1＝2a n －1－2，

两式相减得a n ＝2a n －2a n －1，即a n ＝2a n －1，

则数列{a n }为首项为2，公比为2的等比数列，

则S 5－S 4＝a 5＝25

＝32.

例3.已知集合A ＝??????－1，12，B ＝{x|mx －1＝0，m∈R}，若A∩B＝B ，则所有符合条件的实数m 组成的集合是( )

A.{0，－1，2}

B.????

??－12，0，1 C.{－1，2}

D.?

?????－1，0，12 答案 A

解析 因为A∩B＝B ，所以B ?A.若B 为?，则m ＝0；

若B≠?，则－m －1＝0或12m －1＝0，解得m ＝－1或2.综上，m∈{0，－1，2}.故选A. 例 4.设函数f(x)＝????? sin πx 2，－1

________.

答案 ??????

????－22，1

题型二、图形位置、形状分类整合 图形位置、形状分类整合是指由几何图形的不确定性而引起的分类讨论，这种方法适用于几何图形中点、线、面的位置关系的研究以及解析几何中直线与圆锥曲线的位置关系.

例5.已知正三棱柱的侧面展开图是边长分别为6和4的矩形，则它的体积为( )

A.833

B.4 3

C.239

D.43或833

答案 D 解析 当矩形长、宽分别为6和4时，体积V ＝2×3×12

×4＝4 3； 当长、宽分别为4和6时，体积V ＝43×233×12×6＝833

. 例6.已知变量x ，y 满足的不等式组????? x≥0，y≥2x，

kx －y ＋1≥0

表示的是一个直角三角形围成的平面区域，则实数

k 等于( )

A.－12

B.12

C.0

D.0或－12 答案 D 解析 不等式组????? x≥0，y≥2x，

kx －y ＋1≥0

表示的可行域如图阴影部分所示(含边界)，由图可知，若要使不等式组????? x≥0，y≥2x，

kx －y ＋1≥0

表示的平面区域是直角三角形，只有当直线y ＝kx ＋1与直线x ＝0或y ＝2x 垂直时才满

足.

结合图形可知斜率k 的值为0或－12

. 例7.设圆锥曲线C 的两个焦点分别为F 1，F 2，若曲线C 上存在点P 满足|PF 1|∶|F 1F 2|∶|PF 2|＝4∶3∶2，则曲线C 的离心率为________.

答案 12或32

解析 不妨设|PF 1|＝4t ，|F 1F 2|＝3t ，|PF 2|＝2t ，其中t>0.

若该曲线为椭圆，则有|PF 1|＋|PF 2|＝6t ＝2a ，

|F 1F 2|＝3t ＝2c ，e ＝c a ＝2c 2a ＝3t 6t ＝12

； 若该曲线为双曲线，则有|PF 1|－|PF 2|＝2t ＝2a ，

|F 1F 2|＝3t ＝2c ，e ＝c a ＝2c 2a ＝3t 2t ＝32

. 综上，曲线C 的离心率为12或32

. 例8.抛物线y 2＝4px(p>0)的焦点为F ，P 为其上的一点，O 为坐标原点，若△OPF 为等腰三角形，则这样的点P 的个数为________.

答案 4

解析 当|PO|＝|PF|时，点P 在线段OF 的中垂线上，此时，点P 的位置有两个；当|OP|＝|OF|时，点P 的位置也有两个；对|FO|＝|FP|的情形，点P 不存在.事实上，F(p ，0)，若设P(x ，y)，则|FO|＝p ，|FP|＝

x －p

2＋y 2， 若x －p 2＋y 2＝p ，则有x 2－2px ＋y 2

＝0，

又∵y2＝4px，∴x2＋2px＝0，解得x＝0或x＝－2p，

当x＝0时，不构成三角形.当x＝－2p(p>0)时，与点P在抛物线上矛盾.

∴符合要求的点P有4个.

题型三、含参问题分类整合

某些含有参数的问题，由于参数的取值不同会导致所得的结果不同，需对参数进行讨论，如含参数的方程、不等式、函数等. 解决这类问题要根据解决问题需要合理确定分类标准，讨论中做到不重不漏，结论整合要周全.

例9.已知实数a，x，a>0且a≠1，则“a x>1”的充要条件为( )

A.0

B.a>1，x>0

C.(a－1)x>0

D.x≠0

答案 C

解析由a x>1知，a x>a0，当01时，x>0.

故“a x>1”的充要条件为“(a－1)x>0”.

例10.若函数f(x)＝ax2＋4x－3在[0，2]上有最大值f(2)，则实数a的取值范围为( )

A.(－∞，－1]

B.[－1，＋∞)

C.(－∞，0)

D.(0，＋∞)

答案 B

例11.设函数f(x)＝x2－ax＋a＋3，g(x)＝ax－2a，若存在x0∈R，使得f(x0)<0和g(x0)<0同时成立，则实数a的取值范围为( )

A.(7，＋∞)

B.(－∞，－2)∪(6，＋∞)

C.(－∞，－2)

D.(－∞，－2)∪(7，＋∞)

答案 A

解析由f(x)＝x2－ax＋a＋3知，f(0)＝a＋3，f(1)＝4.又存在x0∈R，使得f(x0)<0，所以Δ＝a2－4(a＋

3)>0，解得a<－2或a>6.又g(x)＝ax －2a 的图象恒过点(2，0)，故当a>6时，作出函数f(x)和g(x)的图象如图1所示，当a<－2时，作出函数f(x)和g(x)的图象如图2所示.

由函数的图象知，当a>6时，若g(x 0)<0，则x 0<2，

∴要使f(x 0)<0，则需????? a>6，f 2<0，解得a>7.

当a<－2时，若g(x 0)<0，则x 0>2，此时函数f(x)＝x 2－ax ＋a ＋3的图象的对称轴x ＝a 2

<－1， 故函数f(x)在区间? ??

??a 2，＋∞上为增函数， 又f(1)＝4，∴f(x 0)<0不成立.

综上，实数a 的取值范围为(7，＋∞).

题型四、特殊与一般的转化

一般问题特殊化，使问题处理变得直接、简单，也可以通过一般问题的特殊情形找到一般思路；特殊问题一般化，可以使我们从宏观整体的高度把握问题的一般规律，从而达到成批处理问题的效果；对于某些选择题、填空题，可以把题中变化的量用特殊值代替，得到问题答案或者思路.

例1.据统计某超市两种蔬菜A ，B 连续n 天价格分别为a 1，a 2，a 3，…，a n 和b 1，b 2，b 3，…，b n ，令M ＝{m|a m

＜b m ，m ＝1，2，…，n}，若M 中元素个数大于34

n ，则称蔬菜A 在这n 天的价格低于蔬菜B 的价格，记作：A ＜B ，现有三种蔬菜A ，B ，C ，下列说法正确的是( )

A.若A ＜B ，B ＜C ，则A ＜C

B.若A ＜B ，B ＜C 同时不成立，则A ＜C 不成立

C.A ＜B ，B ＜A 可同时不成立

D.A ＜B ，B ＜A 可同时成立

答案 C

解析 特例法：例如蔬菜A 连续10天价格分别为1，2，3，4，…，10，蔬菜B 连续10天价格分别为10，9，…，1时，A ＜B ，B ＜A 同时不成立，故选C.

例2.过抛物线y ＝ax 2

(a>0)的焦点F ，作一直线交抛物线于P ，Q 两点.若线段PF 与FQ 的长度分别为p ，q ，

则1p ＋1q

等于( ) A.2a B.12a C.4a D.4a

答案 C

解析 抛物线y ＝ax 2(a>0)的标准方程为x 2＝1a y(a>0)，焦点F ? ??

??0，14a . 过焦点F 作直线垂直于y 轴，则|PF|＝|QF|＝12a ，∴1p ＋1q

＝4a. 例3.已知函数f(x)＝(a －3)x －ax 3

在[－1，1]上的最小值为－3，则实数a 的取值范围是( )

A.(－∞，－1]

B.[12，＋∞)

C.[－1，12]

D.????

??－32，12 答案 D

解析 当a ＝0时，函数f(x)＝－3x ，x∈[－1，1]，显然满足条件，故排除A ，B ；

当a ＝－32时，函数f(x)＝32x 3－92

x ， f′(x)＝92x 2－92＝92

(x 2－1)， 当－1≤x≤1时，f′(x)≤0，所以f(x)在[－1，1]上为减函数，

所以f(x)min ＝f(1)＝32－92

＝－3，满足条件，故排除C. 综上，选D.

例4.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ，b ，c 成等差数列，则cos A ＋cos C 1＋cos Acos C

＝________. 答案 45

解析 令a ＝b ＝c ，则△ABC 为等边三角形，且cos A ＝cos C ＝12

， 代入所求式子，得cos A ＋cos C 1＋cos Acos C ＝12＋121＋12×12

＝45. 五、命题的等价转化

将题目已知条件或结论进行转化，使深奥的问题浅显化、繁杂的问题简单化，让题目得以解决.一般包括数与形的转化，正与反的转化，常量与变量的转化，图形形体及位置的转化.

例5.由命题“存在x 0∈R，使－m≤0”是假命题，得m 的取值范围是(－∞，a)，则实数a 的值是( )

A.(－∞，1)

B.(－∞，2)

0|1|e x -

C.1

D.2

答案 C

解析 命题“存在x 0∈R，使－m≤0”是假命题，

可知它的否定形式“任意x∈R，e |x －1|－m>0”是真命题，

可得m 的取值范围是(－∞，1)，而(－∞，a)与(－∞，1)为同一区间，故a ＝1.

例6.如图所示，已知三棱锥P －ABC ，PA ＝BC ＝234，PB ＝AC ＝10，PC ＝AB ＝241，则三棱锥P －ABC 的体积为( )

A.40

B.80

C.160

D.240

答案 C

解析 因为三棱锥P －ABC 的三组对棱两两相等，则可将此三棱锥放在一个特定的长方体中(如图所示)，把三棱锥P －ABC 补成一个长方体AEBG －FPDC ，

可知三棱锥P －ABC 的各棱分别是此长方体的面对角线.

不妨令PE ＝x ，EB ＝y ，EA ＝z ，

则由已知，可得????? x 2＋y 2＝100，x 2＋z 2＝136，

y 2＋z 2＝164，解得????? x ＝6，y ＝8，z ＝10.

从而知V P －ABC ＝V AEBG －FPDC －V P －AEB －V C －ABG －V B －PDC －V A －FPC ＝V AEBG －FPDC －4V P －AEB ＝6×8×10－4×16

×6×8×10＝160. 例7.对于满足0≤p≤4的所有实数p ，使不等式x 2

＋px>4x ＋p －3成立的x 的取值范围是________________. 答案 (－∞，－1)∪(3，＋∞)

解析 设f(p)＝(x －1)p ＋x 2－4x ＋3，

则当x ＝1时，f(p)＝0，所以x≠1. 0|1|e x

-

f(p)在[0，4]上恒为正等价于?

???? f 0>0，f 4>0， 即????? x －3x －1>0，x 2－1>0，解得x>3或x<－1.

例8.如果实数x ，y 满足等式(x －2)2＋y 2＝1，那么y ＋3x －1

的取值范围是________. 答案 ????

??43，＋∞ 解析 设k ＝y ＋3x －1

，则y 表示点P(1，－3)和圆(x －2)2＋y 2＝1上的点的连线的斜率(如图).从图中可知，当过P 的直线与圆相切时斜率取最值，此时对应的直线斜率分别为k PB 和k PA ，其中k PB 不存在.由圆心C(2，0)

到直线y ＝kx －(k ＋3)的距离|2k －k ＋3|k 2＋1＝r ＝1，解得k ＝43，所以y ＋3x －1的取值范围是????

??43，＋∞.

题型六、 函数、方程、不等式之间的转化

函数、方程与不等式就像“一胞三兄弟”，解决方程、不等式的问题需要函数的帮助，解决函数的问题需要方程、不等式的协作.

例9.已知函数f(x)＝lg ? ??

??x ＋a x －2，若对任意x∈[2，＋∞)，恒有f(x)>0，则实数a 的取值范围是________. 答案 (2，＋∞)

解析 根据题意，得x ＋a x

－2>1在[2，＋∞)上恒成立，即a>－x 2＋3x 在[2，＋∞)上恒成立， 又当x ＝2时，(－x 2

＋3x)max ＝2，所以a>2.