2020高中数学专项复习《数列》单元测试题(含答案)

3

n n 4 3

一、选择题

《数列》单元练习试题

1.

已知数列{a } 的通项公式a = n 2

- 3n - 4 （ n ∈N *），则a 等于（

）

（A ）1

（B ）2 （C ）3 （D ）0

2

. 一个等差数列的第 5 项等于 10，前 3 项的和等于 3，那么（ ） （A ）它的首项是- 2 ，公差是3 （C ）它的首项是- 3 ，公差是2

（B ）它的首项是2 ，公差是- 3 （D ）它的首项是3 ，公差是- 2

3.

设等比数列{a n } 的公比q = 2 ，前n 项和为S n ，则 S 4

a = （

）

（A ） 2

（B ） 4

（C ） 15

2

2

（D ） 17

2

4.

设数列{a n }是等差数列，且a 2 = -6 ， a 8 = 6 ， S n 是数列{a n }的前n 项和，则（ ）

（A ） S 4 < S 5

（B ） S 4 = S 5

（C ） S 6 < S 5 （D ） S 6 = S 5

5.

已知数列{a } 满足a = 0 ， a = a n -

3 （ n ∈N *），则a = （

）

n

（A ） 0

1

（B ） -

n +1

20

（C ） （D ） 3

2

6.

等差数列{a n }的前m 项和为 30，前2m 项和为 100，则它的前3m 项和为（ ）

（A ）130

（B ）170

（C ）210

（D ）260

7.

已知a 1 ， a 2 ，…， a 8 为各项都大于零的等比数列，公比q ≠ 1 ，则（ ）

（A ） a 1 + a 8 > a 4 + a 5

（C ） a 1 + a 8 = a 4 + a 5

（B ） a 1 + a 8 < a 4 + a 5

（D ） a 1 + a 8 和a 4 + a 5 的大小关系不能由已知条件确定

8.

若一个等差数列前 3 项的和为 34，最后 3 项的和为 146，且所有项的和为 390，则这个数列有（ ） （A ）13 项 （B ）12 项 （C ）11 项 （D ）10 项 9

. 设{a } 是由正数组成的等比数列，公比q = 2 ，且a ? a ? a ? ? a = 230 ，那么

n

a 3 ? a 6 ? a 9 ?

? a 30 等于（

）

1 2 3 30

（A ）210 （B ）220 （C ）216 （D ）215

10.

古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，比如：

3a n + 1

他们研究过图 1 中的 1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图 2 中的 1，4，9，16，…这样的数为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是（ ） （A ）289 （B ）1024 （C ）1225 （D ）1378

二、填空题

1.

． 已知等差数列{a n } 的公差 d ≠ 0 ， 且 a 1 ， a 3 ， a 9 成等比数列， 则

a 1 + a 3 + a 9 的值

a 2 + a 4 + a 10

是

．

12 ． 等比数列 {a n } 的公比 q > 0 ． 已知 a 2 = 1， a n +2 + a n +1 = 6a n ， 则 {a n } 的前 4 项和

S 4 = ?．

13. 在通常情况下，从地面到 10km 高空，高度每增加 1km ，气温就下降某一固定值．如果 1km

高度的气温是 8.5℃，5km 高度的气温是－17.5℃，那么 3km 高度的气温是 ℃．

14.

设a = 2 ， a = 2

， b

= ， n ∈N *，则数列{b }的通项公式b = ． 1 n +1 a n + 1

n n

15.

设等差数列{a n } 的前n 项和为S n ，则S 4 ， S 8 - S 4 ， S 12 - S 8 ， S 16 - S 12 成等差数列．类比

以上结论有：设等比数列{b }的前n 项积为T

，则T ，

，

， T

16 成等比数列．

三、解答题

n

n

4

T 12

16.

已知{a n } 是一个等差数列，且a 2 = 1， a 5 = -5 ． （Ⅰ）求{a n } 的通项a n ；

（Ⅱ）求{a n } 的前n 项和S n 的最大值．

a n

+ 2 a n -1 n

3

a

17.

等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 1 ， S 3 ， S 2 成等差数列．

（Ⅰ）求{a n }的公比q ；

（Ⅱ）若a 1 - a 3 = 3 ，求S n ．

18.

甲、乙两物体分别从相距 70m 的两处同时相向运动．甲第 1 分钟走 2m ，以后每分钟比前 1 分钟多走 1m ，乙每分钟走 5m ． （Ⅰ）甲、乙开始运动后几分钟相遇？

（Ⅱ）如果甲、乙到达对方起点后立即折返，甲继续每分钟比前 1 分钟多走 1m ，乙继续每分钟走 5m ，那么开始运动几分钟后第二次相遇？

19. 设数列{a n }满足a 1 + 3a 2 + 32 a + + 3n -1 a = n ， n ∈N *． 3

（Ⅰ）求数列{a n }的通项；

（Ⅱ）设b = n

，求数列{b }的前n 项和S ．

n n n

n

n

n n +1 n

20. 设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1 = 1 ， S n +1 = 4a n + 2 ．

（Ⅰ）设b n = a n +1 - 2a n ，证明数列{b n }是等比数列；

（Ⅱ）求数列{a n } 的通项公式．

21 ． 已知数列 {a n }中， a 1 = 2 ， a 2 = 3 ， 其前 n 项和 S n 满足 S n +1 + S n -1 = 2S n +1（ n ≥ 2 ，

n ∈ N * ）．

（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；

（Ⅱ）设b = 4n + (-1)

n -1

? 2a n （为非零整数， n ∈ N * ），试确定的值，使得对任 意n ∈ N * ，都有b > b 成立．

1

一、选择题

《数列》单元测试题 参考答案

1．D 2．A 3．C 4．B 5．B 6．C 7．A 8．A

9．B

10．C

二、填空题

13

11．

15 12．

13．－4.5

14． 2

n +1

15． T 8 ， T

12

16

2

三、解答题

?a 1 + d = 1 , T 4 T 8

?a 1 = 3 ,

16．（Ⅰ）设{a n } 的公差为 d ，则?a + 4d = -5 .

解得?

d = -2 . ? 1 ?

∴ a n = 3 + (n - 1) ? (-2) = -2n + 5 ．

（Ⅱ） S n = 3n +

n (n - 1) 2

? (-2) = -n 2 + 4n = -(n - 2)2

+ 4 ． ∴当 n = 2 时， S n 取得最大值 4． 17．（Ⅰ）

依题意，有 S 1 + S 2 = 2S 3 ，

∴ a + (a + a q ) = 2(a + a q + a q 2

) ，

1

1

1

1

1

1 由于 a 1 ≠ 0 ，故2q + q = 0 ， 2

1 又 q ≠ 0 ，从而 q = - ．

2 （Ⅱ）由已知，得 a - a (- 1 )2

= 3 ，故 a = 4 ，

1 1 2

1

从而 S 4 ?[1 - (- 1 )n

] = ?2 = 8 [1 - (- 1 )n ] ． 1 - (- )

3 2 2

18．（Ⅰ）设n 分钟后第 1 次相遇，依题意，有

n (n - 1)

2n +

+ 5n = 70 ， 2

整理，得 n 2

+ 13n - 140 = 0 ， 解得 n = 7 ， n = -20 （舍去）． 第 1 次相遇是在开始运动后 7 分钟． （Ⅱ）设n 分钟后第 2 次相遇，依题意，有

n

n n n 3

a 2n +

n (n - 1)

2

+ 5n = 3 ? 70 ， 整理，得 n 2

+ 13n - 420 = 0 ， 解得 n = 15 ， n = -28 （舍去）．

第 2 次相遇是在开始运动后 15 分钟．

19．（Ⅰ）∵ a 1 + 3a 2 + 32 a + + 3n -1

a = n ， ①

3

∴当 n ≥ 2 时， a 1 + 3a 2 + 3 a 3 + + 3n -2

a n -1 =

n - 1 ． ②

3

由①－②，得3n -1

a = 1 ， a = 1 ． 3 n

3n

1

在①中，令 n = 1，得 a 1 =

3

． 1 ∴ a n = 3 ， n ∈N ． *

（Ⅱ）∵ b = n

，∴ b = n ? 3n ，

n n

n

∴ S = 3 + 2

? 32 + 3 ? 33

+ + n ? 3n ，

③

∴ 3S = 32

+ 2 ? 33

+ 3 ? 34

+ 由④－③，得

2S = n ? 3n +1 - (3 + 32 + 33 +

+ n ? 3n +1 ． ④

+ 3n ) ，

即2S n = n ? 3

n +1

3(1 - 3n

) ， 1 - 3

∴ S n = (2n - 1)3n +1 4 +

3

．

4

20．（Ⅰ）由 a 1 = 1 ， S n +1 = 4a n + 2 ，有

a 1 + a 2 = 4a 1 + 2 ，∴ a 2 = 3a 1 + 2 = 5 ，∴

b 1 = a 2 - 2a 1 = 3 ．

∵ S n +1 = 4a n + 2 ，

①

∴ S n = 4a n -1 + 2 （ n ≥ 2 ），

②

由①－②，得 a n +1 = 4a n - 4a n -1 ，

∴ a n +1 - 2a n = 2(a n - 2a n -1 ) ，

∵ b n = a n +1 - 2a n ，∴ b n = 2b n -1 ，

n n

2 n -

n n +1 n 3 1 3 3 1 n n +1 n n n -1 n

∴数列{b n }是首项为3 ，公比为2 的等比数列．

（Ⅱ）由（Ⅰ），得b = a - 2a = 3

? 2n -1

，

∴

a n +1 - a n = ，

2n +1

∴数列 2n 4

a

1 3 是首项为

，公差为 的等差数列， {

2n

}

2 4

∴

a n = + (n - 1) ? = n - ，

2n 2 4 4 4

∴ a = (3n - 1) ? 2

n -2

．

21．（Ⅰ）由已知，得(S - S ) - (S - S ) =

1 （ n ≥

2 ， n ∈ N * ）， 即 a

- a = 1 （ n ≥ 2 ， n ∈ N * ），且 a - a = 1，

n +1

n

2

1

∴数列{a n }是以 a 1 = 2 为首项，1为公差的等差数列， ∴ a n = n +1．

（Ⅱ）∵ a = n +1，∴ b = 4n

+ (-1)

n -1

? 2n +1 ，要使b

> b 恒成立，

n

n

n +1

n

∴ b n +1 - b n = 4n +1 - 4n + (-1)n

? 2n +2 - (-1)n -1

? 2n +1 > 0 恒成立，

∴ 3? 4n - 3? (-1)n -1

2n +1 > 0 恒成立，

∴ (-1)

n -1

< 2n -1 恒成立．

（ⅰ）当 n 为奇数时，即< 2n -1 恒成立，

当且仅当 n = 1时， 2

n -1

有最小值为1，∴

< 1 ．

（ⅱ）当 n 为偶数时，即

> -2n -1 恒成立，

当且仅当 n = 2 时， -2n -1

有最大值-2 ，∴

> -2 ． ∴ -2 <

< 1，又为非零整数，则= -1 ．

综上所述，存在

= -1 ，使得对任意 n ∈ N * ，都有b

> b n ．

n +1