高中物理-电磁感应中的“杆+导轨”模型练习
高中物理-电磁感应中的“杆＋导轨”模型练习
“杆＋导轨”模型是电磁感应问题高考命题的“基本道具”,也是高考的热点,考查的知识点多,题目的综合性强,物理情景变化空间大,是我们复习中的难点．“杆＋导轨”模型又分为“单杆”型和“双杆”型(“单杆”型为重点)；导轨放置方式可分为水平、竖直和倾斜；杆的运动状态可分为匀速、匀变速、非匀变速运动等．
考点一单杆水平式模型
1．如图,由某种粗细均匀的总电阻为3R的金属条制成的矩形线框abcd,固定在水平面内且处于方向竖直向下的匀强磁场B中．一接入电路电阻为R的导体棒PQ,在水平拉力作用下沿ab、dc以速度v匀速滑动,滑动过程PQ始终与ab垂直,且与线框接触良好,不计摩擦．在PQ从靠近ad处向bc滑动的过程中( ) A．PQ中电流先增大后减小
B．PQ两端电压先减小后增大
C．PQ上拉力的功率先减小后增大
D ．线框消耗的电功率先减小后增大
解析：选C.PQ 在运动过程中切割磁感线产生感应电动势,相当于电源,线框左右两端电阻并联,当PQ 运动到中间时并联电阻最大,流经PQ 的电流最小,因此在滑动过程中,PQ 中的电流先减小后增大,选项A 错误；由于外接电阻先增大后减小,因此PQ 两端的电压即路端电压先增大后减小,选项B 错误；
由能量守恒得拉力功率等于线框和导体棒的电功率,因此拉力功率为P ＝
E 2
R 总
＝
BLv 2
R 总
,由于电路总电阻先增大后减小,因此拉力功率先减小后增大,选项C
正确；矩形线框abcd 总电阻为3R ,当PQ 滑动到ab 中点时,线框并联总电阻最大,最大值为3
4R ,小于导体棒PQ 的电阻,所以滑动过程中线框消耗的电功率先增大后
减小,选项D 错误．
2．U 形光滑金属导轨水平放置,如图所示为俯视图,导轨右端接入电阻R ＝0.36 Ω,其他部分无电阻,导轨间距为L ＝0.6 m,界线MN 右侧有匀强磁场,磁感应强度为B ＝ 2 T ．导体棒ab 电阻为零,质量m ＝1 kg.导体棒与导轨始终垂直且接触良好,在距离界线MN 为d ＝0.5 m 处受恒力F ＝1 N 作用从静止开始向右运动,到达界线PQ 时恰好匀速,界线PQ 与MN 间距也为d .
(1)求匀速运动时的速度v 的大小；
(2)求导体棒在MN 和PQ 间运动过程中R 的发热量Q .
解析：(1)匀速时合力为零,所以F ＝F 安＝BIL ＝B 2L 2v
R
得v ＝
FR
B 2L 2
＝0.5 m/s (2)设导体棒从出发到匀速的过程安培力做功为W A ,根据动能定理有F ·2d ＋
W A ＝
1
2
mv2
得W A＝－
7
8
J
R的发热量即为导体棒克服安培力做的功, 即Q＝|W A|＝
7
8
J
答案：(1)0.5 m/s (2)
7
8
J
3．如图所示,一对足够长的平行光滑金属导轨固定在水平面上,两导轨间距为L,左端接一电源,其电动势为E、内阻为r,有一质量为m、长度也为L的金属棒置于导轨上,且与导轨垂直,金属棒的电阻为R,导轨电阻可忽略不计,整个装置处于磁感应强度为B,方向竖直向下的匀强磁场中．
(1)若闭合开关S的同时对金属棒施加水平向右恒力F,求棒即将运动时的加速度和运动过程中的最大速度；
(2)若开关S开始是断开的,现对静止的金属棒施加水平向右的恒力F,一段
时间后再闭合开关S；要使开关S闭合瞬间棒的加速度大小为F
m
,则F需作用多长
时间．
解析：(1)闭合开关S的瞬间回路电流I＝
E R＋r
金属棒所受安培力水平向右,其大小F A＝ILB
由牛顿第二定律得a＝F
A
＋F m
整理可得a＝
E
R＋r m
LB＋
F
m
金属棒向右运动的过程中,切割磁感线产生与电源正负极相反的感应电动势,回路中电流减小,安培力减小,金属棒做加速度逐渐减小的加速运动,匀速运动时速度最大,此时由平衡条件得F A′＝F
由安培力公式得F A′＝I′LB
由闭合电路欧姆定律得I′＝BLv
m
－E R＋r
联立求得v m＝F R＋r
B2L2
＋
E
BL
(2)设闭合开关S时金属棒的速度为v,
此时电流I″＝BLv－E R＋r
由牛顿第二定律得a″＝F－F
A
″
m
所以加速度a″＝F
m
－
BLv－E
R＋r m
LB
若加速度大小为F
m
,则
?
?
?
?
?
?
F
m
－
BLv－E
R＋r m
LB＝
F
m
解得速度v1＝E
BL
,v2＝
E
BL
＋
2F R＋r
B2L2
未闭合开关S前金属棒的加速度一直为a0＝F m
解得恒力F作用时间
t 1＝
v
1
a
＝
mE
FBL
或t2＝
v
2
a
＝
mE
FBL
＋
2m R＋r
B2L2
答案：(1)
E
R＋r m
LB＋
F
m
F R＋r
B2L2
＋
E
BL
(2)mE
FBL
或
mE
FBL
＋
2m R＋r
B2L2
考点二单杆倾斜式模型
1.如图所示,平行金属导轨宽度为d,一部分轨道水平,左端接电阻R,倾斜部分与水平面成θ角,且置于垂直斜面向上的匀强磁场中,磁感应强度为B,现将一质量为m、长度也为d的导体棒从导轨顶端由静止释放,直至滑到水平部分(导体棒下滑到水平部分之前已经匀速,滑动过程中与导轨保持良好接触,重力加速度为g)．不计一切摩擦力,导体棒接入回路电阻为r,则整个下滑过程中( )
A．导体棒匀速运动时速度大小为mg R＋r sin θ
B2d2
B．匀速运动时导体棒两端电压为mg R＋r sin θ
Bd
C．导体棒下滑距离为s时,通过R的总电荷量为Bsd R
D．重力和安培力对导体棒所做的功大于导体棒获得的动能
解析：选 A.导体棒下滑过程中受到沿斜面向下重力的分力和沿斜面向上的
安培力,当匀速运动时,有mg sin θ＝BId,根据欧姆定律可得I＝
E
R＋r
,根据法拉
第电磁感应定律可得E＝Bdv,联立解得v＝mg R＋r
B2d2
sin θ,E＝
mg R＋r
Bd
sin
θ,故导体棒两端的电压为U＝
E
r＋R
R＝
mgR
Bd
sin θ,A正确,B错误．根据法拉第电
磁感应定律E＝ΔΦ
Δt
＝
BΔS
Δt
＝
Bds
Δt
,故q＝IΔt＝
E
R＋r
Δt＝
Bsd
R＋r
,根据动能定理可
得重力和安培力对导体棒所做的功等于导体棒获得的动能,C、D错误．2．如图所示,两根足够长平行金属导轨MN、PQ固定在倾角θ＝37°的绝缘斜面上,顶部接有一阻值R＝3 Ω的定值电阻,下端开口,轨道间距L＝1 m．整个装置处于磁感应强度B＝2 T的匀强磁场中,磁场方向垂直斜面向上．质量m＝1 kg 的金属棒ab置于导轨上,ab在导轨之间的电阻r＝1 Ω,电路中其余电阻不计．金属棒ab由静止释放后沿导轨运动时始终垂直于导轨,且与导轨接触良好．不计空气阻力影响．已知金属棒ab与导轨间动摩擦因数μ＝0.5,sin 37°＝0.6,cos 37°＝0.8,取g＝10 m/s2.
(1)求金属棒ab沿导轨向下运动的最大速度v m；
(2)求金属棒ab沿导轨向下运动过程中,电阻R上的最大电功率P R；
(3)若从金属棒ab开始运动至达到最大速度过程中,电阻R上产生的焦耳热总共为1.5 J,求流过电阻R的总电荷量q.
解析：(1)金属棒由静止释放后,沿斜面做变加速运动,加速度不断减小,当加速度为零时有最大速度v m.
由牛顿第二定律得mg sin θ－μmg cos θ－F安＝0
F
安＝BIL,I＝
BLv
m
R＋r
,解得v m＝2.0 m/s
(2)金属棒以最大速度v m匀速运动时,电阻R上的电功率最大,此时P R＝I2R,解得P R＝3 W
(3)设金属棒从开始运动至达到最大速度过程中,沿导轨下滑距离为x,由能
量守恒定律得
mgx sin θ＝μmgx cos θ＋Q
R ＋Q r＋
1
2
mv2
m
根据焦耳定律Q
R
Q
r
＝
R
r
,解得x＝2.0 m
根据q＝IΔt,I＝
E R＋r
E＝ΔΦ
Δt
＝
BLx
Δt
,解得q＝1.0 C
答案：(1)2 m/s (2)3 W (3)1.0 C
3．如图所示,两足够长的平行光滑的金属导轨MN、PQ相距L,导轨平面与水平面的夹角θ＝30°,导轨电阻不计,磁感应强度为B的匀强磁场垂直于导轨平面向上．长为L的金属棒垂直于MN、PQ放置在导轨上,且始终与导轨接触良好,金属棒的质量为m、电阻为R.两金属导轨的上端连接一个灯泡,灯泡的电阻也为R.现闭合开关K,给金属棒施加一个方向垂直于杆且平行于导轨平面向上的、大小为F＝2mg的恒力,使金属棒由静止开始运动,当金属棒达到最大速度时,灯泡恰能达到它的额定功率．重力加速度为g,求：
(1)金属棒能达到的最大速度v m；
(2)灯泡的额定功率P L；
(3)若金属棒上滑距离为s时速度恰达到最大,求金属棒由静止开始上滑2s 的过程中,金属棒上产生的电热Q1.
解析：(1)金属棒先做加速度逐渐减小的加速运动,当加速度为零时,金属棒达到最大速度,此后开始做匀速直线运动,设最大速度为v m,则速度达到最大时有
E＝BLv
m ,I＝
E
2R
,
F＝BIL＋mg sin θ,解得v
m ＝
3mgR
B2L2
,
(2)P L＝I2R,解得P L＝9m2g2R 4B2L2
.
(3)设整个电路放出的电热为Q,由能量守恒定律有
F·2s＝Q＋mg sin θ·2s＋1
2
mv2
m
,
由题意可知Q1＝Q
2
,解得Q1＝
3
2
mgs－
9m3g2R2
4B4L4
.
答案：(1)3mgR
B2L2
(2)
9m2g2R
4B2L2
(3)
3
2
mgs－
9m3g2R2
4B4L4
考点三双杆模型
1. 如图所示,两根足够长的平行金属导轨固定在倾角θ＝30°的斜面上,导轨电阻不计,间距L＝0.4 m．导轨所在空间被分成区域Ⅰ和Ⅱ,两区域的边界与斜面的交线为MN,Ⅰ中的匀强磁场方向垂直斜面向下,Ⅱ中的匀强磁场方向垂直斜面向上,两磁场的磁感应强度大小均为B＝0.5 T．在区域Ⅰ中,将质量m1＝0.1 kg,电阻R1＝0.1 Ω 的金属条ab放在导轨上,ab刚好不下滑．然后,在区域Ⅱ中将质量m2＝0.4 kg、电阻R2＝0.1 Ω的光滑导体棒cd置于导轨上,由静止开始下滑．cd在滑动过程中始终处于区域Ⅱ的磁场中,ab、cd始终与导轨垂直且两端与导轨保持良好接触,取g＝10 m/s
2.问：
(1)cd下滑的过程中,ab中的电流方向；
(2)ab刚要向上滑动时,cd的速度v多大；
(3)从cd开始下滑到ab刚要向上滑动的过程中,cd滑动的距离x＝3.8 m,此过程中ab上产生的热量Q是多少．
解析：(1)由右手定则可判断出cd中的电流方向为由d到c,则ab中电流方向为由a流向b.
(2)开始放置ab刚好不下滑时,ab所受摩擦力为最大静摩擦力,设其为F max,有F max＝m1g sin θ①
设ab刚要上滑时,cd棒的感应电动势为E,由法拉第电磁感应定律有E＝BLv ②
设电路中的感应电流为I,由闭合电路欧姆定律有
I＝
E
R
1
＋R2
③
设ab所受安培力为F安,有F安＝BIL④
此时ab受到的最大静摩擦力方向沿斜面向下,由平衡条件有F安＝m1g sin θ＋F max⑤
综合①②③④⑤式,代入数据解得v＝5 m/s⑥
(3)设cd棒运动过程中在电路中产生的总热量为Q总,由能量守恒定律有
m 2gx sin θ＝Q
总
＋
1
2
m
2
v2⑦
又Q＝
R
1
R
1
＋R2
Q
总
⑧
解得Q＝1.3 J⑨
答案：(1)由a流向b(2)5 m/s (3)1.3 J
2．如图所示,两根足够长且平行的光滑金属导轨与水平面成53°角固定放
置,导轨间连接一阻值为6 Ω的电阻R,导轨电阻忽略不计．在两平行虚线m、n 间有一与导轨所在平面垂直、磁感应强度为B的匀强磁场．导体棒a的质量为
m a ＝0.4 kg,电阻R a ＝3 Ω；导体棒b 的质量为m b ＝0.1 kg,电阻R b ＝6 Ω；它们分别垂直导轨放置并始终与导轨接触良好．a 、b 从开始相距L 0＝0.5 m 处同时由静止开始释放,运动过程中它们都能匀速穿过磁场区域,当b 刚穿出磁场时,a 正好进入磁场(g 取10 m/s 2,不计a 、b 之间电流的相互作用)．求：
(1)当a 、b 分别穿越磁场的过程中,通过R 的电荷量之比； (2)在穿越磁场的过程中,a 、b 两导体棒匀速运动的速度大小之比； (3)磁场区域沿导轨方向的宽度d ； (4)在整个过程中产生的总焦耳热． 解析：(1)由法拉第电磁感应定律得E ＝
ΔΦ
Δt
, 平均电流I ＝
E R 总
,
通过导体棒的总电荷量q 总＝I Δt ＝
ΔΦ
R 总
.
在b 穿越磁场的过程中,b 是电源,a 与R 是外电路,电路的总电阻R 总1＝R b ＋
RR a
R ＋R a
＝8 Ω. 则通过R 的电荷量为q Rb ＝13q 总＝13·ΔΦ
R 总1.
同理,a 穿越磁场的过程中,R 总2＝R a ＋
RR b R ＋R b ＝6 Ω,通过R 的电荷量为q Ra ＝1
2
q 总＝1
2
·
ΔΦ
R 总2
.
解得q Ra ∶q Rb ＝2∶1.
(2)设b 在磁场中匀速运动的速度大小为v b ,则b 中的电流I b ＝
BLv b
R 总1
.由平衡条件得B 2L 2v b
R 总1
＝m b g sin 53°.
同理,a在磁场中匀速运动时有B2L2v
a
R
总2
＝m a g sin 53°.
联立可得v a∶v b＝3∶1.
(3)设a、b穿越磁场的过程中的速度分别为v a和v b.
由题意得v a＝v b＋gt sin 53°,d＝v b t,
因v2a－v2b＝2gL0sin 53°,解得d＝0.25 m.
(4)由F安a＝m a g sin 53°,故W a＝m a gd sin 53°＝0.8 J, 同理W b＝m b gd sin 53°＝0.2 J.
在整个过程中,电路中共产生焦耳热为
Q＝W
a
＋W b＝1 J.
答案：(1)2∶1 (2)3∶1 (3)0.25 m (4)1 J