巧作辅助线构造全等三角形求解角度

巧作辅助线构造全等三角形求解角度

【例1】如图1-1，四边形ABCD中，△ABD为等边三角形，∠CAD=45°，∠BDC ＝30°，求∠ACB的度数。

此题看上去挺简单，但想不到思路就不容易做出来。

【解析】以AC为边向AC左侧作等边三角形ACF（如图1-1-1）。

则∠CDA=90°，∵∠CAD=45°，

∴∠ACD=45o，∴AD=DC；

∵△ACF为等边三角形，

∴∠BAF=60o-（60o-45o）=45o，

又∵AF=AC，AB=AD，

∴△AFB≌△ACD，

∴BF=CD，∵AD=CD，

∴BF=BA；

在△ABC和△FBC中：

BA=BF，AC=FC，BC=BC，

∴△ABC≌△FBC，

∴∠ACB=∠FCB=30o。

【例2】如图2-1，四边形ABCD中，∠ABC=∠ACB＝58°，∠CAD=48°，∠BDC＝30°，求∠ACB的度数。

【思路】依据【例1】的思路，构造等边三角形和全等三角形。

【解析】以AC为边向AC左侧作等边三角形ACF，在CD上取一点E，使得∠ADE=∠AED（如图2-1-1）。

则∠CDA=∠AED=88°，

∴AD=AE=AB；

∠DAE=4o，

∴∠CAE=48o-4 o=44 o，

∴∠ACE=44 o，

∴AE=CE；

∵△ACF为等边三角形，

∴∠BAF=60o-（64o-48o）=44o，

∴∠BAF=∠CAE，

又∵AF=AC，AB=AE，

∴△AFB≌△ACE，∴BF=CE，

∵AE=CE，∴BF=BA；

在△ABC和△FBC中：

BA=BF，AC=FC，BC=BC，

∴△ABC≌△FBC，

∴∠ACB=∠FCB=30o。

【猜想】通过以上两个例子我们发现，在等腰三角形ABD中，顶角∠BAD的四等分线AC与底边绕点D逆时针旋转30 o后的直线交于点C，所构成的∠ACB角度为30 o，那么对于顶角∠BAD小于60 o时，【猜想】是否成立呢？

【例3】如图3-1，四边形ABCD中，∠ABC=∠ACB＝64°，∠CAD=39°，∠BCD＝30°，求∠ACB的度数。

【解析】以AC为边向AC左侧作等边三角形ACF，在CD延长线上取一点E，使得∠ADE=∠AED（如图3-1-1）。

则∠CDA=94°，

∠ADE=∠AED =180o-94o=86°，

∴AD=AE=AB；

∠DAE=8o，∠CAE=39o+8o=47o，

∴∠ACE=180o-47o-86o=47o，

∴AE=CE；

∵△ACF为等边三角形，

∴∠BAF=60o-（52o-39o）=47o，

∴∠BAF=∠CAE，

又∵AF=AC，AB=AE，

∴△AFB≌△ACE，

∴BF=CE，∵AE=CE，

∴BF=BA；

在△ABC和△FBC中：

BA=BF，AC=FC，BC=BC，

∴△ABC≌△FBC，

∴∠ACB=∠FCB=30o。

所以当顶角∠BAD小于60o时，【猜想】看来仍然成立。

一般说来：

如图4-1，四边形ABCD中，∠BAC＝α，∠CAD=3α，∠BCD＝30°，则∠ACB=30。

当∠BAD=60o时，α=15o，正如【例1】的情况；

当∠BAD＞60o时，α＞15o，正如【例2】的情况。

此时∠CDA=30°+90o-2α=120o-2α，

∠AED=120o-2α，

∠DAE=180o-2（120o-2α）=4α-60o，

AD=AE=AB；

∠CAE=3α-（4α-60o）=60o-α，

∴∠ACE=（120o-2α）-（60o-α）=60o-α，

∴AE=CE；∠BAF=60o-α，

∴∠BAF=∠CAE，又∵AF=AC，AB=AE，

∴△AFB≌△ACE，∴BF=CE，

∵AE=CE，∴BF=BA；

∴△ABC≌△FBC，

∴∠ACB=∠FCB=30o；

当∠BAD＜60o时，α＜15o，正如【例3】的情况。此时∠CDA=30°+90o-2α=120o-2α，

∴∠ADE=180o-（120o-2α）=60o+2α，

∠AED=60o+2α，

∠DAE=180o-2（60o+2α）=60o -4α，

AD=AE=AB；

∠CAE=3α+（60o -4α）=60o-α，

∴∠ACE=180o-（60o-α）-（60o+2α）

=60o-α，

∴AE=CE；∠BAF=60o-α，

∴∠BAF=∠CAE，又∵AF=AC，AB=AE，

∴△AFB≌△ACE，

∴△ABC≌△FBC，

∴∠ACB=∠FCB=30o。

综上所述，【猜想】总是正确的。