因式分解的常用方法(基本公式法,分拆法,配方法,换元法,待定系数法)

因式分解方法归纳总结

第一部分：方法介绍

初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法.本讲及下一讲在中学数学教材基础上，进一步着重换元法，待定系数法的介绍.

、提公因式法.：ma+mb=m(a+b)

、运用公式法.

(1) (a+b)(a -b) = a 2-b2 ---------- a 2-b2=(a+b)(a -b);

, 2 2, 2 2 , 2,2

(2) (a ± b) = a ± 2ab+b ----------------- a ± 2ab+b =(a ± b);

(3) (a+b)(a 2-ab+b2) =a 3+b3------ a 3+b3=(a+b)(a 2-ab+b2);

2 2、3

3 3 3 2 2、

(4) (a -b)(a +ab+b ) = a -b -------------- a -b =(a -b)(a +ab+b ).

F面再补充两个常用的公式：

(5) a 2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c) 2;

3,3 3 2,2 2

(6) a +b +c -3abc=(a+b+c)(a +b +c -ab-bc-ca);

例.已知a, b, c是ABC的三边，且a2 b2 c2则ABC的形状是()

(二)分组后能直接运用公式ab bc ca,

A.直角三角形B等腰三角形C等边三角形D等腰直角三角形解: a2 b2 c2 ab bc ca 2 2 2

2a 2b 2c 2ab 2bc 2ca

(a b)2 2 2

(b c) (c a)

三、，分组分解法

例 2、分解因式：2ax 10ay 5by

解法一：第、二项为一组；

第三、四项为一组。

解:原式=(2ax 10ay) (5by bx)

= 2a(x 5y) b(x 5y)

=(x 5y)(2a b)

bx

解法二：第一、四项为一组；第

二、三项为一组。

原式=(2ax bx) ( 10ay 5by) =x(2a b)

5y(2a b) =(2a b)(x 5y)

练习：分解因式1、a2 ab ac bc 2、xy x y 1

例3、分解因式：x2 y2 ax ay

分析：若将第一、三项分为一组，第二、四项分为一组，虽然可以提公因式，但提完后就能继续分解，所以只能另外分组。

解：原式= (x2

=(x

=(x

y2) (ax ay)

y)(x

y)(x

y) a(x y a) y)

例4、分解因式： 2 a 2ab b2 2 c

解：原式=

(a2

；2ab b2)

2 c =(a 2 2

b) c

=(a b c)(a b c)

练习：分解因式3、:x2 x 9y23y 2

4、x 2

y 2 z 2yz

综合练习：(1) 3 x 2 2

x y xy 3 y 2

(2) ax bx2bx ax a b

(3) x2 6xy 9y 216a28a 1 (4) a26ab 12b 9b24a

(5) a4 2a3 2 a 9 2

(6) 4a x 4a2>

y b2x b2y

2 (7) x 2xy xz 2

yz y 2

(8) a 2a b 2 , 2b 2ab 1

(9) y(y 2) (m 1)( m 1) (10) (a c)(a c) b(b 2 a) (11) a2 (b c) b2(a c) c2(a > b) 3

2abc (12)a b3 3 c 3abc

四、十字相乘法?

(一)二次项系数为1的二次三项式

2

直接利用公式x (p q)x pq (x p)(x q)进行分解。

特点：(1)二次项系数是1 ；

(2)常数项是两个数的乘积；

(3)—次项系数是常数项的两因数的和。

思考：十字相乘有什么基本规律？

例.已知O v a < 5，且a为整数，若2x2 3x a能用十字相乘法分解因式，求符合条件的a.

解析：凡是能十字相乘的二次三项式ax2+bx+c ,都要求b2 4ac >0而且是一个完全平方数。

于是9 8a为完全平方数，a 1

例8分解因式：a 2 8ab 128b 2

分析：将b 看成常数，把原多项式看成关于 a 的二次三项式，利用十字相

乘法进行分解。

1 1

-16b

8b+(-16b)= -8b~

解：a 2 8ab 128b 2=a 2

[8b ( 16b)]a 8b ( 16b)

=(a 8b)(a

16b)

练习 8 分解因式(1) x 2 3xy 2y 2(2) m 2 6mn 8n 2(3) a 2 ab 6b 2

五、换元法。

例 13、分解因式(1)2005x 2 (20052 1)x 2005

2

(2)(x 1)(x 2)(x 3)(x 6) x

2 2

解：(1 )设 2005= a ，则原式=ax (a 1)x a

=(ax 1)(x a) = (2005x 1)(x

2005)

(2)型如abcd e 的多项式，分解因式时可以把四个因式两两分组相乘。

(3) (x y)2

3(x y)

10

(4)(a b)2 4a 4b 3

(5) 2 2

x y 5x 2 y 6x 2

(6) m 2 4mn

4n 2 3m

6n 2

(7)

2 x 4xy 4y 2 2x 4

y

3( 8) 5(a b)2

23(a 2 b 2) 1 I0(a b)2

(9) 4x 2

4xy 6x 3y

2

y

10( 10) 2

12(x y) 11(x 2 y 2) 2(x

y)2

思考: 分解1 因式： 2

abcx

(a 2b 2

c 2 )x abc

1 7x 3

2

11xy 15y

综合练习10、( 1)8x 6

2

(2) 12x (四)二次项系数不为

1 例 9、2x

2 7xy

1

创

2 ”^-3y (-3y)+(-4y)= -7y

解:原式=(x 2y)(2x

练习9、分解因式：(1)

的齐次多项式

6y 2

3y)

15x 2

7xy 例 10、x 2 y 2 3xy 2

把xy 看作一个整体

1-1

1^^" -2

(-1)+(-2)= -3 解:原式= (xy 1)(xy 2)

2 2

x 6ax 8

4y 2

(2) a

2 2 2

原式=(x 7x 6)(x 5x 6) x 设x25x 6 A,则x27x 6 A 2x

?原式:=(A 2x )A x2= A 2 2 Ax x2

=(A x)2=(x 2 6x 6)2

练习13、分解因式（1)(x2xy y2)2 4xy(x2y 2)

(2)(x23x 2)(4x2 8x 3) 90

(3)(a21)2(a25)24( 2 a 3)2

例14、分解因式（1）2x4 x3 6x2 x

观察：此多项式的特点一一是关于x的降幕排列，每一项的次数依次少1, 并且系数成“轴对称”。这种多项式属于“等距离多项式”。

方法：提中间项的字母和它的次数，保留系数，然后再用换元法。

解:

原式=x2(2x2x 6 -

1

2

)=x22(x2

1

2

) (x -)6

x x x x 设x 1 t,则x2

1

2

t2 2

x x

?原

式

2

=x 2(t22) t 6 2 =x 2t2t 10

2

2t - 2 -

2 1

2

=x 5 t 2 = x 2x 5 x

x x

=x ' ?2x 2 5 x - x 1 2 = 2x25x 2 2 x 2x 1 x x

=(x 1)2(2x 1)(x 2)

(2) x 4 4x3x24x 1

解

:原式

2

=x (x24x

1 - \)-

2 =x 2 x

1

2

4 x丄1

x x x x

设x 1 y，则

x：

2 1

2

2

y 2

2

x x

2 2 2

???原式=x (y 4y 3)= x (y 1)(y 3)

= x2(x -

x 1)( x 1 2 2

3)= x2 x 1 x2 3x 1 x

练习14、（1）

6x47x336x27x 6 (2) 4 x 2x3x2 1 2(x x2)

2

对比左右两边相同项的系数可得

m n 1

3n 2m 13，解得

六、添项、拆项、配方法。 例15、分解因式（1） x 3 3x 2

4

解法 1 — 拆项。

解法2 - 添项。

原式 =x 3 1 3x 2 3

原式=x

3x 2 4x

4x 4 = (x 1)( x 2 x

1)

3(x 1)(x 1)

=x(

x 2 3x 4) (4x 4)

= (x 1)(x 2 x 1 : 3x 3)

=x(x 1)(x 4) 4( x 1)

= (x

1)( x 2 4x :4)

=(x 1)( x 2 4x 4)

= (x 1)(x 2)2

=(x

1)(x 2)2

(2) 9 x

x 6 x 3 3

解:

原式= (x 9 1) (x 6

1) (x 3

1)

=

(x 3 1)(x 6 x 3 1) (x 3 1)(x 3

1) (x 3 1)

= (x 3 1)( x 6 x 3

1 x 3

1 1)

= (x

1)(x 2

x 1)(x 6

2x 3

3)

练习 15

、 分解因式

(1) 3 x

9x 8

(2) (x 1)4

(x 2 1)2 (x 1)

4

(3) x 4

7x 2 1

(4) x 4

x 2

2 ax 1 a 2

(5) 4 x 4 y (x

y)4

(6) 2a 2b 2

2a 2 c 2 2b 2c 2

a 4

b 4

c 4

七、待定系数法。

例16、分解因式X xy 6y 2 x 13y 6

分析：原式的前3项x 2 xy 6y 2可以分为(x 3y)(x 2y)，则原多项式

必定可分为(x 3y m)(x 2y n)

解：设 x 2 xy 6y 2 x 13y 6 = (x 3y m)(x 2y n)

??? (x 3y m)(x 2y n) = x xy 6y (m n)x (3n 2m) y mn

2

xy 6y (m n)x (3n 2m) y mn

2

x xy

2 2

6y x 13y 6 = x

例17、(1)当m为何值时，多项式x2 y2 mx 5y 6能分解因式，并分解此多项式。

(2)如果x3 ax2 bx 8有两个因式为x 1和x 2，求a b的值。

(1)分析：前两项可以分解为(x y)(x y)，故此多项式分解的形式必

为(x y a)(x y b)

解：设x2 2

y mx 5y 6 =(x y a)(x y b)

则x2 2

y mx 5y 6 2 =x 2

y (a b)x (b a) y ab

a b m a 2 a 2

比较对应的系数可得： b a 5 ,解得： b 3或 b 3

ab 6 m 1 m 1

.?.当m 1时，原多

项页式可以分解；

当m 1时，原式= (x y 2)(x y 3)；当m 1时，原式=(x y 2)(x y 3)

(2)分析：x3ax2 bx 8是一个二次

式，

所以它

丿

应该分成三个一次式相

乘，

因此第三个因式必为形「如x c的一次二项

式。

解：设x 3 2 .

ax bx 8 = (x 1)(x 2)

( :x c)

则x 3 2 .

ax bx 8=x3(3 c )x2(2 3c)x 2 c

a 3 c a 7

.b 2 3c 解得 b 14 ,

2c 8 c 4

.a b =21

练习 17、(1):分解因式x2；3xy 10y2x 9y 2

(2)分解因式x2 3xy 2y25x 7y 6

(3)已知：x22xy 3y2 6x 14y p能分解成两个一次因式

之积，求常数p并且分解因式。

(4) k为何值时，x2 2xy ky2 3x 5y 2能分解成两个一次因式的乘积，并

分解此多项式。