2012年高考理数真题试卷(福建卷)及解析
○…………外…………○学○…………内…………○2012年高考理数真题试卷（福建卷）
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上
第I 卷（选择题）
一、选择题
﹣i ，则z 等于（ ） A.﹣1﹣I B.1﹣I C.﹣1+I D.1+i
2.等差数列{a n }中，a 1+a 5=10，a 4=7，则数列{a n }的公差为（ ） A.1 B.2 C.3 D.4
3.下列命题中，真命题是（ ） A.?x 0∈R， e x 0 ≤0 B.?x∈R，2x ＞x 2
C.a+b=0的充要条件是 a b
=﹣1 D.a ＞1，b ＞1是ab ＞1的充分条件 4.下列不等式一定成立的是（ ） A.lg （x 2+ 1
4 ）＞lgx （x ＞0） B.sinx+ 1sinx ≥2（x≠kx，k∈Z） C.x 2+1≥2|x|（x∈R） D.1
x 2+1＞1 （x∈R）
5.如图所示，在边长为1的正方形OABC 中任取一点P ，则点P 恰好取自阴影部分的概率为（ ）
A.1
4 B.15
答案第2页，总17页 C.1
6 D.1
7
6.设函数 D(x)={
1,x 为有理数0，x 为无理数
，则下列结论错误的是（ ）
A.D （x ）的值域为{0，1}
B.D （x ）是偶函数
C.D （x ）不是周期函数
D.D （x ）不是单调函数
7.已知双曲线 x 24 ﹣ y 2
b
2 =1
的右焦点与抛物线y 2=12x 的焦点重合，则该双曲线的焦点到其
渐近线的距离等于（ ） A.√5 B.4√2 C.3
D.5
8.函数f （x ）在[a ，b]上有定义，若对任意x 1 ， x 2∈[a，b]，有 f(
x 1+x 22
)≤1
2
[f(x 1)+f(x 2)]
则称f （x ）在[a ，b]上具有性质P ．设f （x ）在[1，3]上具有性质P ，现给出如下命题： ①f（x ）在[1，3]上的图象是连续不断的； ②f（x 2）在[1， √3 ]上具有性质P ；
③若f （x ）在x=2处取得最大值1，则f （x ）=1，x∈[1，3]； ④对任意x 1 ， x 2 ， x 3 ， x 4∈[1，3]，有 f(x 1+x 2+x 3+x 4
4
)≤14
[f （x 1）+f （x 2）+f （x 3）
+f （x 4）]
其中真命题的序号是（ ） A.①② B.①③ C.②④ D.③④
第II 卷（非选择题）
请点击修改第II 卷的文字说明
二、填空题（题型注释）
9.（a+x ）4的展开式中x 3的系数等于8，则实数a= ．
10.已知△ABC 得三边长成公比为 √2 的等比数列，则其最大角的余弦值为 11.数列{a n }的通项公式a n =ncos nπ
2 +1，前n 项和为S n ， 则S 2012=
…外…………○…………装…学校:___________姓名：…内…………○…………装…12.对于实数a 和b ，定义运算“*”：a*b= {
a 2
?ab,a ≤b
b 2
?ab,a >b
设f （x ）=（2x ﹣1）*（x ﹣1），且关于x 的方程为f （x ）=m （m∈R）恰有三个互不相等的实数根x 1 ， x 2 ， x 3 ， 则x 1x 2x 3的取值范围是 ．
三、解答题（题型注释）
13.受轿车在保修期内维修费等因素的影响，企业产生每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关，某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为2年，现从该厂已售（Ⅰ）从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，求首次出现故障发生在保修期内的概率； （Ⅱ）若该厂生产的轿车均能售出，记住生产一辆甲品牌轿车的利润为X 1 ， 生产一辆乙品牌轿车的利润为X 2 ， 分别求X 1 ， X 2的分布列；
（Ⅲ）该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当，由于资金限制，只能生产其中一种品牌轿车，若从经济效益的角度考虑，你认为应该产生哪种品牌的轿车？说明理由． 14.某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数． 1）sin 213°+cos 217°﹣s in13°cos17° 2）sin 215°+cos 215°﹣sin15°cos15° 3）sin 218°+cos 212°﹣sin18°cos12°
4）sin 2（﹣18°）+cos 248°﹣sin 2（﹣18°）cos48° 5）sin 2（﹣25°）+cos 255°﹣sin 2（﹣25°）cos55° （Ⅰ）试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；
（Ⅱ）根据（Ⅰ）的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论． 15.如图，在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中AA 1=AD=1，E 为CD 中点． （Ⅰ）求证：B 1E⊥AD 1；
（Ⅱ）在棱AA 1上是否存在一点P ，使得DP∥平面B 1AE ？若存在，求AP 的长；若不存在，说明理由．
（Ⅲ）若二面角A ﹣B 1E ﹣A 1的大小为30°，求AB 的长．
16.如图，椭圆E ： x 2
a 2+
y 2b
2
=1(a >b >0) 的左焦点为F 1 ， 右焦点为F 2 ， 离心率e= 1
2 ．过
F 1的直线交椭圆于A 、B 两点，且△ABF 2的周长为8． （Ⅰ）求椭圆E 的方程．
（Ⅱ）设动直线l ：y=kx+m 与椭圆E 有且只有一个公共点P ，且与直线x=4相交于点Q ．试
答案第4页，总17页
…………线…………○…………线…………○探究：在坐标平面内是否存在定点M ，使得以PQ 为直径的圆恒过点M ？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由．
17.（1）选修4﹣2：矩阵与变换 设曲线2x 2+2xy+y 2=1在矩阵A= (
a 0
b 1
) （a ＞0）对应的变换作用下得到的曲线为x 2+y 2=1． （Ⅰ）求实数a ，b 的值． （Ⅱ）求A 2的逆矩阵．
18.选修4﹣4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l 上两点M ，N
的极坐标分别为（2，0），（ 2√33,π
2 ），圆
C 的参数方程 {x =2+2cosθ
y =?√3+2sinθ
（θ为参数）．
（Ⅰ）设P 为线段MN 的中点，求直线OP 的平面直角坐标方程； （Ⅱ）判断直线l 与圆C 的位置关系．
19.已知函数f （x ）=m ﹣|x ﹣2|，m∈R，且f （x+2）≥0的解集为[﹣1，1]． （Ⅰ）求m 的值；
（Ⅱ）若a ，b ，c∈R，且 1
a +1
2b +1
3c =m ，求证：a+2b+3c≥9．
○…………装…………○………订………○…………线……学校:___________姓名：___________班级：________考号：_______
○…………装…………○………订………○…………线……参数答案
1.A
【解析】1.解：∵复数z 满足zi=1﹣i ， ∴z=
1?i i = (1?i)(?i)
?i 2
=﹣1﹣i ， 故选A ．
【考点精析】掌握复数的乘法与除法是解答本题的根本，需要知道设
则
；
．
2.B
【解析】2.解：设数列{a n }的公差为d ，则由a 1+a 5=10，a 4=7，可得2a 1+4d=10，a 1+3d=7，解得d=2， 故选B ．
【考点精析】解答此题的关键在于理解等差数列的通项公式（及其变式）的相关知识，掌握通项公式：
或
．
3.D
【解析】3.解：因为y=e x ＞0，x∈R 恒成立，所以A 不正确； 因为x=﹣5时2﹣5＜（﹣5）2 ， 所以?x∈R，2x ＞x 2不成立． a=b=0时a+b=0，但是 a
b 没有意义，所以C 不正确； a ＞1，b ＞1是ab ＞1的充分条件，显然正确． 故选D ．
【考点精析】通过灵活运用全称命题和特称命题，掌握全称命题：，，它的否定：，;全称命题的否定是特称命题；特称命题
：
，
，它
的否定：
，
;特称命题的否定是全称命题即可以解答此题．
4.C
【解析】4.解：A 选项不成立，当x= 1
2 时，不等式两边相等；
B 选项不成立，这是因为正弦值可以是负的，故不一定能得出sinx+ 1
sinx ≥2； C 选项是正确的，这是因为x 2+1≥2|x|（x∈R）?（|x|﹣1）2≥0； D 选项不正确，令x=0，则不等式左右两边都为1，不等式不成立． 综上，C 选项是正确的． 故选：C ． 5.C
答案第6页，总17页
【解析】5.解：根据题意，正方形OABC 的面积为1×1=1， 而阴影部分由函数y=x 与y= √x 围成，其面积为∫0
1
（ √x ﹣x ）dx=（ 23 x 32 ﹣ x 2
2 ）|01=
1
6
， 则正方形OABC 中任取一点P ，点P 取自阴影部分的概率为 16
1 = 1
6 ；
故选C ．
【考点精析】认真审题，首先需要了解几何概型(几何概型的特点：1）试验中所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个；2）每个基本事件出现的可能性相等)． 6.C
【解析】6.解：A 显然正确； ∵ D(?x)={
1,x 为有理数0，x 为无理数
=D （x ），
∴D（x ）是偶函数， B 正确； ∵D（x+1）= {
1,x 为有理数0，x 为无理数
=D （x ），
∴T=1为其一个周期， 故C 错误；
∵D（ √2 ）=0，D （2）=1，D （ √5）=0， 显然函数D （x ）不是单调函数， 故D 正确； 故选：C ． 7.A
【解析】7.解：抛物线y 2=12x 的焦点坐标为（3，0）
∵双曲线 x 24 ﹣ y 2
b
2 =1
的右焦点与抛物线y 2=12x 的焦点重合
∴4+b 2=9 ∴b 2=5
∴双曲线的一条渐近线方程为 y =
√52
x ，即 √5x ?2y =0
∴双曲线的焦点到其渐近线的距离等于 |3√5?0|
3
=√5
故选A ． 8.D
……○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
……○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…【解析】8.解：在①中，反例：f （x ）= {
(1
2
)x ,1≤x ≤3
2,x =3
在[1，3]上满足性质P ，
但f （x ）在[1，3]上不是连续函数，故①不成立；
在②中，反例：f （x ）=﹣x 在[1，3]上满足性质P ，但f （x 2）=﹣x 2在[1， √3 ]上不满足性质P ，
故②不成立；
在③中：在[1，3]上，f （2）=f （
x+(4?x)2 ）≤ 1
2
[f(x)+f(4?x)] ， ∴ ，
故f （x ）=1，
∴对任意的x 1 ， x 2∈[1，3]，f （x ）=1， 故③成立；
在④中，对任意x 1 ， x 2 ， x 3 ， x 4∈[1，3]， 有 f(
x 1+x 2+x 3+x 4
4
) = f(
12(x 1+x 2)+1
2
(x 3+x 4)2
)
≤ 1
2[f(
x 1+x 22)+f(x 3+x 4
2
)] ≤ 12[1
2(f(x 1)+f(x 2))+1
2(f(x 3)+f(x 4))] = 1
4 [f （x 1）+f （x 2）+f （x 3）+f （x 4）]， ∴ f(
x 1+x 2+x 3+x 4
4
)≤1
4
[f （x 1）+f （x 2）+f （x 3）+f （x 4）]，
故④成立．
故选D ．
【考点精析】本题主要考查了函数的最大(小)值与导数的相关知识点，需要掌握求函数
在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在
内的极值；（2） 将
函数
的各极值与端点处的函数值
，
比较，其中最大的是一个最大值，最小的
是最小值才能正确解答此题． 9.2
【解析】9.解：（a+x ）4的展开式的通项公式为 T r+1= C 4r
a 4﹣r x r ， 令r=3可得（a+x ）4的展开式中x 3的系数等于 C 43
×a=8，解得a=2， 所以答案是 2． 10.?√24
答案第8页，总17页
……装…………○…………订…………○…………线…………○※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※※※题※※
……装…………○…………订…………○…………线…………○【解析】10.解：根据题意设三角形的三边长分别为a ， √2 a ，2a ， ∵2a＞ √2 a ＞a ，∴2a 所对的角为最大角，设为θ，
则根据余弦定理得：cosθ= 2√2a)2
22√2a 2 = ?√2
4
．
所以答案是： ?
√24
【考点精析】利用等比数列的基本性质和余弦定理的定义对题目进行判断即可得到答案，
需要熟知{a n}为等比数列，则下标成等差数列的对应项成等比数列;{an}既是等差数列又是等比数列== {a n}是各项不为零的常数列；余弦定理:
;
;
．
11.3018
【解析】11.解：因为cos nπ
2 =0，﹣1，0，1，0，﹣1，0，1…； ∴ncos nπ
2 =0，﹣2，0，4，0，﹣6，0，8…； ∴ncos nπ2 的每四项和为2；
∴数列{a n }的每四项和为：2+4=6． 而2012÷4=503； ∴S 2012=503×6=3018． 所以答案是：3018．
【考点精析】通过灵活运用数列的前n 项和，掌握数列{a n }的前n 项和s n 与通项a n 的关系
即可以解答此题．
12.(
1?√316
,0)
【解析】12.解：∵2x﹣1≤x﹣1时，有x≤0，
∴根据题意得f （x ）= {(2x ?1)2?(2x ?1)(x ?1),x ≤0
(x ?1)2?(2x ?1)(x ?1),x >0
即f （x ）= {2x 2?x,x ≤0
?x 2+x,x >0
画出函数的图象从图象上观察当关于x 的方程为f （x ）=m （m∈R）恰有三个互不相等的实数根时，m 的取值范围是（0， 1
4 ）， 当﹣x 2+x=m 时，有x 1x 2=m ，
当2x 2﹣x=m 时，由于直线与抛物线的交点在y 轴的左边，得到 x 3=
1?√1+8m
4
，
…………装…………○…………订…………○…………线…………○…校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
…………装…………○…………订…………○…………线…………○…∴x 1x 2x 3=m （ 1?√1+8m 4 ）= m?m √1+8m 4 ，m∈（0， 1
4
） 令y=
m?m √1+8m
4 ， 则 y ′=1
4(1?√1+8m ?√1+8m
) ，又 ?(m)=√1+8m +
√1+8m
在m∈（0， 1
4 ）上是
增函数，故有h （m ）＞h （0）=1
∴ y ′=1
4(1?√1+8m ?√1+8m
) ＜0在m∈（0， 1
4 ）上成立，
∴函数y=
m?m √1+8m 4 在这个区间（0， 1
4
）上是一个减函数， ∴函数的值域是（f （ 1
4 ），f （0）），即 (1?√316
,0)
所以答案是： (
1?√316
,0)
13.解：（I ）设“甲品牌轿车首次出现故障发生在保修期内”为事件A ，则P （A ）=
答案第10页，总17页
…○…………外…………○…………装…………○……………线…………○※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※…○…………内…………○…………装…………○……………线…………○（III ）由（II ）得E （X 1）=1× +2× +3× =2.86（万元 ）
E （X 2）=1.8× +2.9× =2.79（万元 ）
∵E（X 1）＞E （X 2）， ∴应生产甲品牌轿车．
【解析】13.（I ）根据保修期为2年，可知甲品牌轿车首次出现故障发生在保修期内的轿车数量为2+3，由此可求其概率；（II ）求出概率，可得X 1、X 2的分布列；（III ）由（II ），计算期为E （X 1）=1× 125
+2× 350
+3× 910
=2.86（万元 ），E （X 2）=1.8× 110
+2.9× 910
=2.79（万元 ），比较期望可得结论．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用离散型随机变量及其分布列的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握在射击、产品检验等例子中，对于随机变量X 可能取的值，我们可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量．离散型随机变量的分布列：一般的,设离散型随机变量X 可能取的值为x1,x2,.....,xi ,......,xn ，X 取每一个值 xi(i=1,2,......）的概率P(ξ=xi）＝Pi ，则称表为离散型随机变量X 的概率分布，简称分布列．
14.解：选择（2），计算如下： sin 215°+cos 215°﹣sin15°cos15°=1﹣
sin30°=
，故 这个常数为
．
（Ⅱ）根据（Ⅰ）的计算结果，将该同学的发现推广，得到三角恒等式sin 2α+cos 2（30°﹣α）﹣sinαcos（30°﹣α）=
．
证明：（方法一）sin 2α+cos 2（30°﹣α）﹣sinαcos（30°﹣α）=sin 2α+
﹣sinα（cos30°cosα+sin30°sinα）
=sin 2α+
cos 2α+
sin 2α+
sinαcosα﹣ sinαcosα﹣ sin 2α=
sin 2α+ cos 2α= ．
（方法二）sin 2α+cos 2
（30°﹣α）﹣sinαcos （30°﹣α）= +
﹣sinα（cos30°cosα+sin30°sinα） =1﹣
+
（cos60°cos2α+sin60°sin2α）﹣
sin2α﹣ sin 2α
…………外…………○…………装…………○…………线…………○…学校:___________姓名：___________班级：________…………内…………○…………装…………○…………线…………○…=1﹣ + cos2α+ sin2α﹣ sin2α﹣ =1﹣ ﹣
+ = ．
【解析】14.（Ⅰ）选择（2），由sin 215°+cos 215°﹣sin15°cos15°=1﹣ 1
2 sin30°= 3
4 ，可得这个常数的值．
（Ⅱ）推广，得到三角恒等式sin 2α+cos 2（30°﹣α）﹣sinαcos（30°﹣α）= 3
4 ．证明方法一：直接利用两角差的余弦公式代入等式的左边，化简可得结果．
证明方法二：利用半角公式及两角差的余弦公式把要求的式子化为 1?cos2α2 + 1+cos(60°?2α)2
﹣sinα（cos30°cosα+sin30°sinα），即 1﹣ cos2α2 + 14 cos2α+ √3
4
sin2α ﹣ √3
4 sin2α﹣
1?cos2α
4
，化简可得结果 15.解：（I ）以A 为原点， ， ， 的方向为X 轴，Y 轴，Z 轴的正方向建立
空间直角坐标系，如图，
设AB=a ，则A （0，0，0），D （0，1，0），D 1（0，1，1），E （ ，1，0），B 1（a ，0，
1） 故
=（0，1，1），
=（﹣
，1，﹣1），
=（a ，0，1）， =
（ ，1，0）， ∵
?
=1﹣1=0
∴B 1E⊥AD 1；
（II ）假设在棱AA 1上存在一点P （0，0，t ），使得DP∥平面B 1AE ．此时 =（0，
﹣1，t ）．
又设平面B 1AE 的法向量 =（x ，y ，z ）．
∵ ⊥平面B 1AE ，∴ ⊥B 1A ， ⊥AE，得 ，取x=1，得平面B 1AE 的一个
答案第12页，总17页
………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※
………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○法向量 =（1，﹣ ，﹣a ）．
要使DP∥平面B 1AE ，只要 ⊥ ，即有 ? =0，有此得 ﹣at=0，解
得t= ，即P （0，0， ），
又DP ?平面B 1AE ，
∴存在点P ，满足DP∥平面B 1AE ，此时AP=
（III ）连接A 1D ，B 1C ，由长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1及AA 1=AD=1，得AD 1⊥A 1D ． ∵B 1C∥A 1D ，∴AD 1⊥B 1C ．
由（I ）知，B 1E⊥AD 1 ， 且B 1C∩B 1E=B 1 ． ∴AD 1⊥平面DCB 1A 1 ， ∴
是平面B 1A 1E 的一个法向量，此时
=（0，1，1）．
设 与 所成的角为θ，则cosθ= =
∵二面角A ﹣B 1E ﹣A 1的大小为30°，
∴|cosθ|=cos30°= ，即| |= ，解得a=2，即AB 的长为2
【解析】15.（Ⅰ）由题意及所给的图形，可以A 为原点， AB →
， AD →
， AA 1→
的方向为X 轴，Y 轴，Z 轴的正方向建立空间直角坐标系，设AB=a ，给出图形中各点的坐标，可求出
…………外…………○…………装…………○…………订…………○…学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
…………内…………○…………装…………○…………订…………○…向量 AD 1→ 与 B 1E →
的坐标，验证其数量积为0即可证出两线段垂直．（II ）由题意，可先假设在棱AA 1上存在一点P （0，0，t ），使得DP∥平面B 1AE ，求出平面B 1AE 法向量，可法向量与直线DP 的方向向量内积为0，由此方程解出t 的值，若能解出，则说明存在，若不存在符合条件的t 的值，说明不存在这样的点P 满足题意．（III ）由题设条件，可求面夹二面角的两个平面的法向量，利用两平面的夹角为30°建立关于a 的方程，解出a 的值即可得出AB 的长
【考点精析】掌握空间中直线与直线之间的位置关系和直线与平面平行的判定是解答本题的根本，需要知道相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点；平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；简记为：线线平行，则线面平行． 16.解：（Ⅰ）∵过F 1的直线交椭圆于A 、B 两点，且△ABF 2的周长为8． ∴4a=8，∴a=2 ∵e= ，∴c=1 ∴b 2=a 2﹣c 2=3 ∴椭圆E 的方程为
．
（Ⅱ）由 ，消元可得（4k 2+3）x 2+8kmx+4m 2﹣12=0
∵动直线l ：y=kx+m 与椭圆E 有且只有一个公共点P （x 0 ， y 0） ∴m≠0，△=0，∴（8km ）2﹣4×（4k 2+3）×（4m 2﹣12）=0 ∴4k 2﹣m 2+3=0① 此时x 0=
=
，y 0=
，即P （
，
）
由 得Q （4，4k+m ） 取k=0，m= ，此时P （0，
），Q （4，
），以PQ 为直径的圆为（x ﹣2）2+
（y ﹣
）2=4，交x 轴于点M 1（1，0）或M 2（3，0）
取k=- ，m=2，此时P （1， ），Q （4，0），以PQ 为直径的圆为（x ﹣ ）2+（y
﹣ ）2= ，交x 轴于点M 3（1，0）或M 4（4，0）
故若满足条件的点M 存在，只能是M （1，0），证明如下
答案第14页，总17页
…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※
…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○∵
∴
故以PQ 为直径的圆恒过x 轴上的定点M （1，0） 方法二：
假设平面内存在定点M 满足条件，因为对于任意以PQ 为直径的圆恒过定点M ，所以当PQ 平行于x 轴时，圆也过定点M ，即此时P 点坐标为（0，
）或（0，﹣
），由图形
对称性知两个圆在x 轴上过相同的交点，即点M 必在x 轴上．设M （x 1 ， 0），则
?
=0对满足①式的m ，k 恒成立．
因为 =（ ﹣x 1 ， ），
=（4﹣x 1 ， 4k+m ），由 ? =0得﹣ + ﹣4x 1+x 12+ +3=0，
整理得（4x 1﹣4） +x 12﹣4x 1+3=0．②
由于②式对满足①式的m ，k 恒成立，所以 ，解得x 1=1．
故存在定点M （1，0），使得以PQ 为直径的圆恒过点M ．
【解析】16.（Ⅰ）根据过F 1的直线交椭圆于A 、B 两点，且△ABF 2的周长为8，可得4a=8，即a=2，利用
e= 1
2 ，b 2=a 2﹣c 2=3，即可求得椭圆
E 的方程．（Ⅱ）由 {y =kx +m
x 24
+y 23
=1
，消
元可得（4k 2+3）x 2+8kmx+4m 2﹣12=0，利用动直线l ：y=kx+m 与椭圆E 有且只有一个公共点P （x 0 ， y 0），可得m≠0，△=0，进而可得P （ ?
4k m
， 3
m ），由 {
y =kx +m
x =4
得Q （4，
4k+m ），取k=0，m= √3 ；k=- 1
2 ，m=2，猜想满足条件的点M 存在，只能是M （1，0），再进行证明即可．
【考点精析】本题主要考查了椭圆的标准方程的相关知识点，需要掌握椭圆标准方程焦点在x 轴：
，焦点在y 轴：
才能正确解答此题．
○…………外…………○…………装…○…………订…………○…………线…………○…学校:___________姓名：_班级：___________考号：___________
○…………内…………○…………装…○…………订…………○…………线…………○…17.解：（Ⅰ）设曲线2x 2+2xy+y 2=1上的点（x ，y ）在矩阵A= （a ＞0）对应的变
换作用下得到点（x′，y′）
则 = ，∴
∵x′2+y′2=1
∴（ax ）2+（bx+y ）2=1 ∴（a 2+b 2）x 2+2bxy+y 2=1 ∵2x 2+2xy+y 2=1 ∴a 2+b 2=2，2b=2 ∴a=1，b=1
∴A=（ ）
（Ⅱ）A 2=（ ）（ ）=（ ）， =1
∴A 2的逆矩阵为
【解析】17.（Ⅰ）确定点在矩阵A= (
a 0
b 1
) （a ＞0）对应的变换作用下得到点坐标之间的关系，利用变换前后的方程，即可求得矩阵A ；（Ⅱ）先计算A 2的值，求出行列式的值，即可得到A 2的逆矩阵．
18.解：（Ⅰ）M ，N 的极坐标分别为（2，0），（
），
所以M 、N 的直角坐标分别为：M （2，0），N （0， ），P 为线段MN 的中点（1， ），
直线OP 的平面直角坐标方程y= x ；
（Ⅱ）圆C 的参数方程
（θ为参数）．它的直角坐标方程为：（x ﹣2）
2
+（y+ ）2=4，
圆的圆心坐标为（2，﹣
），半径为2，
直线l 上两点M ，N 的极坐标分别为（2，0），（
），
答案第16页，总17页
……○…………装…………○…………订…………○…………线…………○※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※
……○…………装…………○…………订…………○…………线…………○方程为y=﹣ （x ﹣2）=﹣ （x ﹣2），即 x+3y ﹣2 =0．
圆心到直线的距离为： = = ＜2，
所以，直线l 与圆C 相交．
【解析】18.（Ⅰ）设P 为线段MN 的中点，求直线OP 的平面直角坐标方程；（Ⅱ）求出圆的圆心与半径，判断圆心与直线的距离与半径的关系，即可判断直线l 与圆C 的位置关系． 【考点精析】本题主要考查了圆的参数方程的相关知识点，需要掌握圆
的参数方程可表示为才能正确解答此题．
19.解：（Ⅰ）函数f （x ）=m ﹣|x ﹣2|，m∈R，故 f （x+2）=m ﹣|x|，由题意可得m ﹣|x|≥0的解集为[﹣1，1]，
即|x|≤m 的解集为[﹣1，1]，故m=1． （Ⅱ）由a ，b ，c∈R，且
=m=1，
∴a+2b+3c=（a+2b+3c ）（ ）
=1+ + + +1+ + + +1
=3+ + + + + + ≥3+6=9，当且仅当 = = = =
= =1时，等号成立．
所以a+2b+3c≥9
【解析】19.（Ⅰ）由条件可得 f （x+2）=m ﹣|x|，故有m ﹣|x|≥0的解集为[﹣1，1]，即|x|≤m 的解集为[﹣1，1]，故m=1．（Ⅱ）根据a+2b+3c=（a+2b+3c ）（ 1
a +1
2b +1
3c ）=1+
2b a + 3c a + a 2b +1+ 3c 2b + a 3c + 2b 3c
+1，利用基本不等式证明它大于或等于9．
【考点精析】本题主要考查了不等式的证明的相关知识点，需要掌握不等式证明的几种常用方法:常用方法有：比较法（作差，作商法）、综合法、分析法；其它方法有：换元法、反证法、放缩法、构造法，函数单调性法，数学归纳法等才能正确解答此题．