8ln(
a .
点评：问题（2）涉及的式子看似复杂，难以下手，一旦使不等式问题函数化，问题就变得简单多了。再借用导数判断出新函数的单调性，即可求出在给定区间的最值，问题即迎刃而解。 二 .与极值点的个数有关
求解策略：按方程)(x f '=0的根的个数分情况谈论。
例5已知1->b ,0>c ,函数)(x f =b x + 的图象与函数)(x g =c bx x ++2
的图象相切， (Ⅰ)求b 与c 的关系式（用c 表示b ）；
(Ⅱ)设函数)(x F =)()(x g x f 在(-∞,+∞)内有极值点，求c 的取值范围.
解析：(Ⅰ)∵)(x f 与)(x g 的图象相切，∴切线的斜率相等，即)(x f '=)(x g '即12=+b x ，故2
1b x -=
，
切点的纵坐标为)2
1(
b f -=)2
1(
b g -，解得
c b 4)1(2
=+，又∵1->b ,0>c ，
∴c b 21=+，即c b 21+-=.
(Ⅱ) ∵)(x F =)()(x g x f =bc x c b bx x ++++)(22
2
3
，
∴)(x F '=c b bx x +++22
43，令)(x F '=0，即
c b bx x +++2
243=0 (这是二次方程，可通过判别式判断根的个数，进而判断极值点的情况)
Δ=)(12162
2
c b b +-=)3(42
c b -
① 若Δ=0，)(x F '=0有一个实根0x ，则)(x F '=2
)
(30x x -，)(x F '的变化如下：
故x =0x 不是)(x F 的极值点；
②若Δ＞0，)(x F '=0有两个不同的实根1x 、2x ，不妨设1x ＜2x ，则)(x F '=)(31x x -)(2x x -，)
(x F '
故1x x
=、2x x =分别为函数)(x F 的极大值点和极小值点.
综合①②，当Δ＞0，)(x F '=0在(-∞,+∞)内有极值点.
由Δ=)3(42
c b -＞0，即2
b ＞
c 3，又由(Ⅰ) c b 21+-=， 得，2
)21(c
+-＞c 3解得， 3470-<c .
故c 的取值范围是（0，347-）∪（347+，+∞）.
点评：解决Ⅰ要明了切线与导数之间的关系；
解决Ⅱ借助了一元二次方程的判别式，更要结合导数与极值之间的关系. 三 .与集合之间的关系相联系
例6设t ≠0，点)0,(t P 是函数ax x x f +=3
)(与)(x g =c bx +2
的图象的一个公共点.两函数的图象在点P 处有相同的切线，(Ⅰ)用t 表示a ，b ，c ；
(Ⅱ)若函数y =)()(x g x f -在(-1,3)上单调递减，求t 的取值范围.
解析：(Ⅰ) P 为切点，切线相同，此问与例5大同小异。
把P 点代入两函数解析式，有???==++00
2
3c bt at t ，又t ≠0，故???=-=ab
c t a 2，
又在点P 处切线相同，故)()(x g x f '='，即bt a t
232
=+，
将2t a -=代入，得b =t ，从而，c =3
x -，即??
???-==-=32
t c t b t a .
(Ⅱ) 由(Ⅰ)x t x x f 2
3
)(-=，)(x g =3
2t tx -， ∴y =)()(x g x f -=3
2
2
3
t x t tx x +--，
∴y '=2
2
23t tx x --=))(3(t x t x -+， 函数y =)()(x g x f -单调递减，即y '＜0，
由y '=))(3(t x t x -+＜0，当t ＞0时，3t -
＜x ＜t ；t ＜0时，t ＜x ＜3
t -. 故函数y 的单调区间，当t ＞0时，为),3
(t t
-
；当t ＜0时，为)3,(t
t -.
故要使函数y 在(-1,3)上单调递减，须满足(-1,3) ?),3
(t t -
或(-1,3) ?)3,(t
t -，即
?????≥-≤->3130t t t 或????
???≥--≤<3
3
10
t t t ，解得，t ≥3或t ≤-9.故t 的范围是(-∞，-9]∪[3，+∞）. 点评：Ⅱ题看题意似与例1相似，其实不然。本题y '的表达式中含tx 、2
t 和2
x ，不能把x 全部移到另一边构造新的二次函数，故利用了集合之间的包含关系确定边界点的范围，从而得出结果。04年高考浙江文就已经考过了此
类题.
四、已知函数单调性，求参数的取值范围 类型1．参数放在函数表达式上
例１．设函数R a ax x a x x f ∈+++-=其中86)1(32)(23．
的取值范围
求上为增函数在若的值求常数处得极值在若a x f a x x f ,)0,()()2(.
,3)()1(-∞=
略解：（１）由的极值点为时经检验知解得)(3,3.30)3('x f x a a f ==== （２）方法１：)1)((66)1(66)(2'--=++-=x a x a x a x x f
.)0,()(,0.10,)0,()(,),1(),,()(,1.
),()(,0)1(6)(,1.
,),(),1,()(,12上递增在时综上所述则上递增在要保证上递增在时当上递增在恒成立时当符合条件上递增在时当-∞≥<≤-∞+∞-∞<+∞-∞≥-==+∞-∞>x f a a x f a x f a x f x x f a a x f a
方法２：
'()(,0)()0(,0)(1)(1)(,0)0,10.0
f x f x x x x a x x x x x a a -∞≥∈-∞-≥-∈-∞<∴-<∴≤≥Q 因为在上递增,所以在上恒成立即在上恒成立从而
方法３．
'2'()66(1)6(,0]11000
220(0)0f x x a x a a a a f =-++-∞++??≥
?≥?????≤≥??
保证在上最小值大于或等于零故有或 可解得
解题方法总结：求)('x f 后，若能因式分解则先因式分解，讨论)('x f =0两根的大小判断函数)(x f 的单调性，若不能因式分解可利用函数单调性的充要条件转化为恒成立问题. 基础训练：
.
)().2(;)().1(1,1)1(32)(.123的极值讨论的单调区间求其中设函数x f x f a x a x x f ≥+--=
类型2．参数放在区间边界上
例２．已知函数)(,0)(23x f y x d cx bx ax x f ==+++=曲线处取得极值在过原点和点ｐ(-1,2),若曲线
)(x f y =在点P 处的切线与直线ο452的夹角为x y =且切线的倾斜角为钝角.
(1) 求)(x f 的表达式
(2) 若)(x f 在区间[2m-1,m+1]上递增,求m 的取值范围.
略解 (1)233)(x x x f +=
]
2,2
1
[]3,(1
2101212121),0()2,(]1,12[)0,2(,),0(),2,()()2(363)()2(2'Y --∞∈??
?->+≥-???->+-≤++∞--∞+--+∞--∞+=+=m m m m m m m m m x f x x x x x f 解得或所以的一个子区间
或是从而只要保证上递减在上递增在可知 总结:先判断函数的单调性,再保证问题中的区间是函数单调递增(递减)区间的一个子区间即可. 基础训练：
.,]1,[)(,73)(.223的取值范围求上单调递增在若已知函数a a a x f x x x f +-+=
五．已知不等式在某区间上恒成立，求参数的取值范围 类型１．参数放在不等式上
例3.已知时都取得极值与在13
2
)(23=-=+++=x x c bx ax x x f
(1) 求ａ、ｂ的值及函数)(x f 的单调区间．
(2) 若对2)(],2,1[c x f x <-∈不等式恒成立，求ｃ的取值范围．
略解：(1)2,2
1
-=-=b a
2122)2(]2,1[)(,2)2(,2
1
)1(2
3
)1(,2722)32(132023,23)().2(222'>-<+>+=-+=+=-+-=+=-=-==----=c c c ，c c f x f c f c f c
f c f x x x x x x x f 或解得从而上的最大值为在所以且或得由
总结:区间给定情况下,转化为求函数在给定区间上的最值. 基础训练：
__________)(]2,1[,522
)(.32
3
的取值范围是则实数都有若对任意已知函数m m x f x x x x x f >-∈+--=
类型2．参数放在区间上
例４．已知三次函数d cx x ax x f ++-=235)(图象上点(1,8)处的切线经过点(3,0),并且)(x f 在x=3处有极值.
（１） 求)(x f 的解析式.
（２） 当),0(m x ∈时, )(x f >0恒成立,求实数m 的取值范围.
分析:(1)935)(23++-=x x x x f
]
3,0(),0(0)(]3,0(),0(0)(30)3()(,)(,0)()3,3
1
(9
)0()()(,0)()3
1
,0(3,310)()
3)(13(3103)().2(''21‘2'的取值范围为所以内恒成立在时当且仅当内不恒成立在时所以当所以单调递减时当所以单调递增时当得由m m x f m ，m x f m f x f x f x f x f x f ，x f x f x x x x f x x x x x f >∈>>=><∈=>>∈===--=+-=基础训练：
.___________24.434的取值范围是则实数都成立对任意实数若不等式a ，x a x x -≥-
六．知函数图象的交点情况，求参数的取值范围． 例5.已知函数1,13)(23=-=-+=x x x bx ax x f 在处取得极值 (1) 求函数)(x f 的解析式.
(2) 若过点)2)(,1(-≠m m A 可作曲线y=)(x f 的三条切线,求实数m 的取值范围. 略解(1)求得x x x f 3)(3-=
(2)设切点为33)(),3,(2'03
0-=-x x f x x x M 因为 0
200'20300020300200302
066)(332)(,0332)1)(33(3),1)(33(x x x g m x x x g x A m x x x x m x x M x x m y -=++-=**
=++---=----=-则设有三个不同的实数根
的方程所以关于可作曲线的三条切线因为过点即所以又切线过点所以切线方程为)
2,3(2
30
)1(0)0(1,0)(,)1,0(,),1(),0,()(1
00)(00000000'---<<-???<>*==+∞-∞===的取值范围是所求的实数解得条件是有三个不同实根的充要的方程所以关于的极值点为故函数上单调递减在上单调递增在所以或得由m m g g x x x x g x g x x x g 总结:从函数的极值符号及单调性来保证函数图象与x 轴交点个数. 基础训练：
轴仅有一个交点
与曲线在什么范围内取值时当的极值
求函数为实数设x x f y a x f a x x x x f a )(,)2()()1()(,.523=+--=
七. 开放型的问题，求参数的取值范围。 例６．已知,)(2c x x f +=且)1()]([2+=x f x f f 。 （1）设)]([)(x f f x g =，求)(x g 的解析式。
（2）设)()()(x f x g x λ?-=，试问：是否存在R ∈λ，使)(x ?在（1,-∞-）上是单调递减函数，且在
（0,1-）上是单调递增函数；若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由。 分析：（1）易求c=1,22)(24++=x x x g
（2）)()()(x f x g x λ?-=＝)2()2(24λλ-+-+x x ，∴)]2(2[2)(2λ?-+='x x x
由题意)(x ?在（1,-∞-）上是单调递减函数，且在（0,1-）上是单调递增函数知，0)1(=-?是极小值，∴由0)1(=-'?得4=λ
当4=λ，)0,1(-∈x 时，,0)(>'x ?∴)(x ?是单调递增函数；
)1,(--∞∈x 时，,0)(<'x ?∴)(x ?是单调递减函数。所以存在4=λ，使原命题成立。
在文科数学中,涉及到高次函数问题一般可用导数知识解决,只要把导数的几何意义,用导数求函数的极值及最值,用导数求函数单调性等这些基础知识搞清弄懂,那么,利用导数求参数的取值范围这个问题即可迎刃而解.
