人教版初三数学上册配方法 (教案)

配方法 (教案)

教学目标：

1.掌握用配方法解一元二次方程．

2.掌握用配方法解一元二次方程的基本步骤．

3.熟练运用配方法解一元二次方程.

教学重难点：

1.凑配成完全平方的方法与技巧．

2.如何用配方法解二次项系数不是1的一元二次方程.

3.用配方法解一元二次方程的步骤.

教学过程：

1.一元二次方程的几种形式：

（1）完全的一元二次方程的一般形式是：ax2+bx=0(a≠0)

（2）不完全一元二次方程是：ax2=0，ax2+c=0（a≠0）

2.对于前两种不完全的一元二次方程ax2=0(a≠0)和ax2+c=0(a≠0)，我们已经学会了它们的解法．特别是结合换元法，我们还会解形如(x+m)2=n(n≥0)的方程．下面我们来看一道例题.

例：解方程：(x-3)2=4(让学生说出过程)．

解：方程两边开方，得 x-3=±2，移项，得x=3±2．

所以 x1=5，x2=1．(并代回原方程检验，是方程的根)

3.其实(x-3)2=4是一个完全的一元二次方程，我们把原方程展开、整理为一元二次方程.

(x-3)2=4，①

x2-6x+9=4，②

x2-6x+5=0．③

4.逆向思维：

我们把上述由方程①→方程②→方程③的变形逆转过来，可以发现，对于一个完全的一元二次方程，不妨试试把它转化为(x+m)2=n的形式．这个转化的关键是在方程左端构造出一个含未知数的一次式的完全平方式(x+m)2．

5.配方：

思考：在x2+2x上添加一个什么数，能成为一个完全平方(x+？)2

添加一项+1，即(x2+2x+1)=(x+1)2

又如：∵x2+4x= x2+2x?2 ∴添加2的平方，即x2+4x+22=(x+2)2

∵x2+6x= x2+2x?3 ∴添加3的平方，即x2+6x+32=(x+3)2

所以，总结以上规律：对于x2+px，再添上一次项系数一半的平方，就能配出一个含未

知数的一次式的完全平方式.

6. 用配方法解一元二次方程(先将左边化为(x±m)2形式)

例：解方程：x2-8x-9=0.

解：移项，得 x2-8x=9,

两边都加一次项系数一半的平方，x2-8x+42=9+42，

配方，得 (x-4)2=25，

解这个方程，得 x-4=±5，

移项，得x=4±5．

即x1=9，x2=-1．(检验，是原方程的根)

根据例题我们可以得出配方法的定义：

先把方程中的常数项移到方程右边，再把左边配成完全平方式，然后用直接开方法求出一元二次方程的根的解法叫做配方法.

例题解析：

例1：解方程：x2-8x-8=0．

分析：把方程左边配方成(x+m)2形式．

解：原方程移项，得x2-8x=8

方程左边配方添一次项系数一半的平方，方程右边也添加一次项系数一半的平方得

所以，

例2：解方程：x2-8x+18=0

解：移项，得x2-8x=-18

方程两边都加(-4)2，得

x2-8x+(-4)2=-18+(-4)2

(x-4)2=-2．

因为平方不能是负数，x-4不存在

所以x不存在，即原方程无解．

例3：解方程：x2+2mx+2=0,并指出m2取什么值时，这个方程有解．

分析：由例2可见，在方程左边配方后，方程右边式子的值决定了此方程是否有解，当方程右边式子的值是正数或零，此方程有解，当方程右边式子的值是负数，此方程无解．

解：移项，得x2+2mx=-2

配方，两边加m2

得x2+2mx+m2=m2-2

(x+m)2=m2-2

例5：解方程：3x2+2x-3=0．

分析：二次项系数不是1，需将二次项系数化为1.根据方程同解变形原理，在方程两边都除以同一个不为零的数，所得方程与原方程同解，原方程两边都除以3.

解：

配方法解ax2+bx+c=(a≠0)的基本步骤:

(1)将方程化为二次项系数为1的形式；

(2)移项，使方程左边只有二次项和一次项，右边只有常数项；

(3)在方程两边同时加上一次项系数的一半的平方，使方程左边配成一个完全平方式；

(4)配方后若方程右边是一个非负数，再通过开平方法求出方程的根．

注意：

方程经配方后，若左边是关于未知数的完全平方式，那么右边的常数应该是非负数时，方程才有意义.