天津市大港区2021届新第四次高考模拟考试数学试卷含解析

天津市大港区2021届新第四次高考模拟考试数学试卷

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．如图所示程序框图，若判断框内为“4i <”，则输出S =（ ）

A ．2

B ．10

C ．34

D ．98

【答案】C 【解析】 【分析】

由题意，逐步分析循环中各变量的值的变化情况，即可得解. 【详解】

由题意运行程序可得：

4i <，122j =?=，0122s =+?=，112i =+=； 4i <，224j =?=，22410s =+?=，213i =+=； 4i <，428j =?=，103834s =+?=，314i =+=； 4i <不成立，此时输出34s =.

故选：C. 【点睛】

本题考查了程序框图，只需在理解程序框图的前提下细心计算即可，属于基础题. 2．函数2

sin 1x x

y x

+=

+的部分图象大致为（ ） A ．

B ．

C ．

D ．

【答案】B

图像分析采用排除法，利用奇偶性判断函数为奇函数，再利用特值确定函数的正负情况。 【详解】

22

sin()sin ()()11x x x x

f x f x x x

-+-+-=

=-=-++，故奇函数，四个图像均符合。 当(0,)x π∈时，sin 0x >，2

sin 01x x

y x +=>+，排除C 、D 当(,2)x ππ∈时，sin 0x <，2sin 01x x

y x +=

>+，排除A 。 故选B 。 【点睛】

图像分析采用排除法，一般可供判断的主要有：奇偶性、周期性、单调性、及特殊值。 3．已知正四面体A BCD -外接球的体积为86π，则这个四面体的表面积为（ ） A ．183 B ．163

C ．143

D ．123

【答案】B 【解析】 【分析】

设正四面体ABCD 的外接球的半径R ，将该正四面体放入一个正方体内，使得每条棱恰好为正方体的面对角线，根据正方体和正四面体的外接球为同一个球计算出正方体的棱长，从而得出正四面体的棱长，最后可求出正四面体的表面积． 【详解】

将正四面体ABCD 放在一个正方体内，设正方体的棱长为a ，如图所示，

设正四面体ABCD 的外接球的半径为R ，则3

4863

R ππ=，得6R =．因为正四面体ABCD 的外接球

3a=226R =2．而正四面体ABCD 的每条棱长均为正方体的面对角线长，所以，正四面体ABCD 2a=2224=，因此，这个正四面体的表面

积为2

34163a =

本题考查球的内接多面体，解决这类问题就是找出合适的模型将球体的半径与几何体的一些几何量联系起来，考查计算能力，属于中档题．

4．设集合1,2,6,2,2,4,26{}{}{|}A B C x R x ==-=∈-<<，则()A B C = ( )

A ．{}2

B ．{1,2,4}

C ．{1,2,4,6}

D ．{|15}x x ∈-≤≤R

【答案】B 【解析】 【分析】

直接进行集合的并集、交集的运算即可． 【详解】

解：{}2,1,2,4,6A B ?=-； ∴(){}1,2,4A B C ??=． 故选：B ． 【点睛】

本题主要考查集合描述法、列举法的定义，以及交集、并集的运算，是基础题.

5．已知点(3,0),(0,3)A B -，若点P 在曲线y =PAB △面积的最小值为（ ）

A ．6

B ．3

C ．92

D ．

92+【答案】B 【解析】 【分析】

求得直线AB 的方程，画出曲线表示的下半圆，结合图象可得P 位于(1,0)-，结合点到直线的距离公式和两点的距离公式，以及三角形的面积公式，可得所求最小值. 【详解】

解：曲线y =O 为圆心，1为半径的下半圆(包括两个端点)，如图， 直线AB 的方程为30x y -+=，

可得||AB =，由圆与直线的位置关系知P 在(1,0)-时，P 到直线AB 距离最短，即为

22

=， 则PAB △的面积的最小值为1

32232

??=. 故选：B.

【点睛】

本题考查三角形面积最值，解题关键是掌握直线与圆的位置关系，确定半圆上的点到直线距离的最小值，这由数形结合思想易得．

6．执行下面的程序框图，如果输入1995m =，228n =，则计算机输出的数是（ ）

A ．58

B ．57

C ．56

D ．55

【答案】B 【解析】 【分析】

先明确该程序框图的功能是计算两个数的最大公约数，再利用辗转相除法计算即可. 【详解】

本程序框图的功能是计算m ，n 中的最大公约数，所以199********=?+，

228171157=?+，1713570=?+，故当输入1995m =，228n =，则计算机输出的数

是57. 故选：B. 【点睛】

本题考查程序框图的功能，做此类题一定要注意明确程序框图的功能是什么，本题是一道基础题.

7．在ABC 中，3AB =，2AC =，60BAC ∠=?，点D ，E 分别在线段AB ，CD 上，且2BD AD =，2CE ED =，则BE AB ?=（ ）． A ．3- B ．6-

C ．4

D ．9

【答案】B 【解析】 【分析】

根据题意，分析可得1AD =,由余弦定理求得DC 的值，由

()BE AB BD DE AB BD AB DE AB BD AB ?=+?=?+?=?可得结果.

【详解】

根据题意，3,2AB BD AD ==，则1AD = 在ADC 中，又2AC =,60BAC ∠=?

则2222cos 3DC AD AC AD DC BAC =+?∠=-

则DC =则CD AB ⊥

则()32cos1806BE AB BD DE AB BD AB DE AB BD AB ?=+?=?+?=?=??=- 故选：B 【点睛】

此题考查余弦定理和向量的数量积运算，掌握基本概念和公式即可解决，属于简单题目.

8． “中国剩余定理”又称“孙子定理”，最早可见于中国南北朝时期的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二.问物几何？现有这样一个相关的问题：将1到2020这2020个自然数中被5除余3且被7除余2的数按照从小到大的顺序排成一列，构成一个数列，则该数列各项之和为（ ） A ．56383 B ．57171

C ．59189

D ．61242

【答案】C 【解析】 【分析】

根据“被5除余3且被7除余2的正整数”，可得这些数构成等差数列，然后根据等差数列的前n 项和公式，可得结果. 【详解】

被5除余3且被7除余2的正整数构成首项为23， 公差为5735?=的等差数列，记数列{}n a

则()233513512n a n n =+-=- 令35122020n a n =-≤，解得25835

n ≤. 故该数列各项之和为5857

582335591892

??+?=. 故选：C. 【点睛】

本题考查等差数列的应用，属基础题。

9．已知函数()y f x =在R 上可导且()()f x f x '<恒成立，则下列不等式中一定成立的是（ ） A ．3(3)(0)f e f >、2018(2018)(0)f e f > B ．3(3)(0)f e f <、2018(2018)(0)f e f > C ．3(3)(0)f e f >、2018(2018)(0)f e f < D ．3(3)(0)f e f <、2018(2018)(0)f e f < 【答案】A 【解析】 【分析】 设()()

x f x g x e

=

，利用导数和题设条件，得到()0g x '>，得出函数()g x 在R 上单调递增， 得到()0(3)(2018)g g g <<，进而变形即可求解. 【详解】

由题意，设()()x f x g x e =，则()2()()()()()

x x x x

f x e f x e f x f x

g x e e '''--'==

， 又由()()f x f x '

<，所以()()()

0x

f x f x

g x e '-'=

>，即函数()g x 在R 上单调递增， 则()0(3)(2018)g g g <<，即032018

(0)(3)(2018)

(0)f f f f e e e =<<，

变形可得32018

(3)(0),(2018)(0)f e f f e f >>.

故选：A. 【点睛】

本题主要考查了利用导数研究函数的单调性及其应用，以及利用单调性比较大小，其中解答中根据题意合理构造新函数，利用新函数的单调性求解是解答的关键，着重考查了构造思想，以及推理与计算能力，属于中档试题.

10．若a R ∈，则“3a =”是“()5

1x ax +的展开式中3x 项的系数为90”的（ ） A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

【解析】 【分析】

求得()5

1x ax +的二项展开式的通项为1

5C k

k

k a x

+??,令2k =时,可得3x 项的系数为90,即2

5290C =a ?,求

得a ,即可得出结果. 【详解】

若3a =则()()55

=113x ax x x ++二项展开式的通项为+1

5C 3k k k x ??,令13k +=,即2k =,则3x 项的系数

为2

52

C 3=90?,充分性成立;当()5

1x ax +的展开式中3x 项的系数为90,则有2

52

90C =a ?,从而3a =±,必要

性不成立. 故选:B. 【点睛】

本题考查二项式定理、充分条件、必要条件及充要条件的判断知识,考查考生的分析问题的能力和计算能力,难度较易.

11．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则“10a <”是“20210S <”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件

【答案】C 【解析】 【分析】

根据等比数列的前n 项和公式，判断出正确选项. 【详解】

由于数列{}n a 是等比数列，所以20212021111q S a q -=?-，由于

2021

101q q ->-，所以 1202100a S

故选：C 【点睛】

本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查等比数列前n 项和公式，属于基础题. 12．曲线24x y =在点()2,t 处的切线方程为（ ） A ．1y x =- B ．23y x =-

C ．3y x =-+

D ．25y x =-+

【答案】A 【解析】

将点代入解析式确定参数值，结合导数的几何意义求得切线斜率，即可由点斜式求的切线方程. 【详解】

曲线2

4x y =，即2

14

y x =

， 当2x =时，代入可得2

1124

t =?=，所以切点坐标为()2,1，

求得导函数可得1

2

y x '=

， 由导数几何意义可知1

212

k y ='=

?=， 由点斜式可得切线方程为12y x -=-，即1y x =-， 故选：A. 【点睛】

本题考查了导数的几何意义，在曲线上一点的切线方程求法，属于基础题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．在一底面半径和高都是2m 的圆柱形容器中盛满小麦，有一粒带麦锈病的种子混入了其中．现从中随机取出的32m 种子，则取出了带麦锈病种子的概率是_____． 【答案】14π

【解析】 【分析】

求解32m 占圆柱形容器的的总容积的比例求解即可. 【详解】

解：由题意可得：取出了带麦锈病种子的概率221

224ππ

==??．

故答案为：14π

． 【点睛】

本题主要考查了体积类的几何概型问题,属于基础题.

14． “北斗三号”卫星的运行轨道是以地心为一个焦点的椭圆.设地球半径为R,若其近地点?远地点离地面的距离大约分别是

2

3

R ,4R ,则“北斗三号”卫星运行轨道的离心率为__________. 【答案】12

【解析】 【分析】

画出图形，结合椭圆的定义和题设条件，求得,a c 的值，即可求得椭圆的离心率，得到答案.

如图所示，设椭圆的长半轴为a ，半焦距为c ，

因为地球半径为R,若其近地点?远地点离地面的距离大约分别是

2

3

R ,4R , 可得42

3a c R R

a c R R +=+??

?-=+??

，解得105,33a R c R ==， 所以椭圆的离心率为5

1

3102

3

R c e a R ==

=. 故答案为：1

2

.

【点睛】

本题主要考查了椭圆的离心率的求解，其中解答中熟记椭圆的几何性质，列出方程组，求得,a c 的值是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题. 15．()()6

121x x -+的展开式中2x 的系数为__________． 【答案】3 【解析】 【分析】

分别用1和()2x -进行分类讨论即可 【详解】

当第一个因式取1时，第二个因式应取含2x 的项，则对应系数为：22

66115C C ?==；

当第一个因式取2x -时，第二个因式应取含x 的项，则对应系数为：()1

6212C -?=-；

故()()6

121x x -+的展开式中2x 的系数为()21

6623C C +-=.

故答案为：3

本题考查二项式定理中具体项对应系数的求解，属于基础题

16．已知22a =，a 在

b ，则a 与b 的夹角为_________. 【答案】6

π 【解析】 【分析】

由向量投影的定义可求得两向量夹角的余弦值，从而得角的大小． 【详解】

a 在b

方向上的投影为6cos ,6,cos ,a a b a b <>=∴<>=

=

，即夹角为6π. 故答案为：6

π． 【点睛】

本题考查求向量的夹角，掌握向量投影的定义是解题关键．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．已知椭圆2

2:12x C y +=的右焦点为F ，直线2l x =：被称作为椭圆C 的一条准线，点P 在椭圆C 上(异

于椭圆左、右顶点)，过点P 作直线:m y kx t =+与椭圆C 相切，且与直线l 相交于点Q . （1）求证：PF QF ⊥.

（2）若点P 在x 轴的上方，当PQF △的面积最小时，求直线m 的斜率k . 附：多项式因式分解公式：(

)(

)

6

2

2

42

4

351141t t t t t t -

--=+--

【答案】（1）证明见解析（2）【解析】 【分析】

（1）由2

212x y y kx t ?+=???=+?得()222

214220k x ktx t +++-=令0?=可得2221t k =+，进而得到

21,k P t t ??

- ???

，同理(2,2)Q k t +，利用数量积坐标计算FP FQ ?即可； （2）31

222PQF t S k t

?=+-，分0k ≥，k 0<两种情况讨论即可. 【详解】

（1）证明：点F 的坐标为(1

0)，.

联立方程2

212x y y kx t ?+=???=+?

，消去y 后整理为()222

214220k x ktx t +++-=

有(

)(

)

22

2

2

16421220k t k t ?=-+-=，可得2221t k =+，2222221kt kt k

x k t t

=-

=-=-+，

22221

2121k t t y t k k t

=-+==++.

可得点P 的坐标为21,k t t ??

-

???

. 当2x =时，可求得点Q 的坐标为(2,2)k t +，

21211,,k

k t FP t t t t +????=--=- ? ????

?，(1,2)FQ k t =+.

有220k t k t

FP FQ t t

++?=-

+=, 故有PF QF ⊥.

（2）若点P 在x 轴上方，因为2221t k =+，所以有1t ≥，

由（1）知222

2

222

(2)1(2)1(2)1||||(2)k t k t k t FP FQ k t t t t +++++=+===+；222221(2)1441(22)41

||||2222PQF

k t k kt t t kt t S FP FQ t t t

?+++++

-+++=?===

23

4131

2222t kt t k t t

+-==+-

①因为0k ≥时.

由（1）知k =3122PQF t S t ?=+

由函数

31

()(1)22t f t t t

=

+≥单调递增，可得此时(1)1PQF S f ?≥=. ②当k 0<时，由（

1）知

31

2

2PQF t k S t

?==-

令222313131()(1),

()22222t t g t t g t t t t '

+=-≥=+=由()()()()()2

2

2

2

2

2262

2

62222444423131183123512414141t t t t t t t t t t t t t t t t ++--??+----=-== ?---??

()()(

)()

442

2

22

2422

1(25)(25)1414(1)

41t t t t t t t t t t ????+-+--+--????=

=

--，故当

25t >+时， '()0g t >，此时函数()g t 单调递增：当125t ≤<+时，()0g t '＜，此时函数g()t 单

调递减，又由(1)1g =，故函数()g t 的最小值(25)1g +<，函数()g t 取最小值时

22125k +=+，可求得512

k +=-

. 由①②知，若点P 在x 轴上方，当PQF ?的面积最小时，直线m 的斜率为512

+-. 【点睛】

本题考查直线与椭圆的位置关系，涉及到分类讨论求函数的最值，考查学生的运算求解能力，是一道难题. 18．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，M 是PA 的中点，PD ⊥平面ABCD ，且

4PD CD ==，2AD =．

（1）求AP 与平面CMB 所成角的正弦． （2）求二面角M CB P --的余弦值．

【答案】 (1) 45

. (2)

310

【解析】

分析：（1）直接建立空间直角坐标系，然后求出面的法向量和已知线的向量，再结合向量的夹角公式求解即可；（2）先分别得出两个面的法向量，然后根据向量交角公式求解即可. 详解：

（1）∵ABCD 是矩形， ∴AD CD ⊥，

又∵PD ⊥平面ABCD ，

∴PD AD ⊥，PD CD ⊥，即PD ，AD ，CD 两两垂直，

∴以D 为原点，DA ，DC ，DP 分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图空间直角坐标系，

由4PD CD ==，2AD =，得()2,0,0A ，()2,4,0B ，()0,4,0C ，()0,0,0D ，()0,0,4P ，()1,0,2M ， 则()2,0,4AP =-，()2,0,0BC =-，()1,4,2MB =-， 设平面CMB 的一个法向量为()1111,,n x y z =，

则110

BC n MB n ??=???=??，即111120420x x y z -=??+-=?，令11y =，得10x =，12z =， ∴()10,1,2n =， ∴111

4

cos ,5

255AP n AP n AP n ?=

=

=??，

故AP 与平面CMB 所成角的正弦值为45

． （2）由（1）可得()0,4,4PC =-，

设平面PBC 的一个法向量为()2222,,n x y z =，

则2200

BC n PC n ??=???=??，即22220440x y z -=??-=?，令21y =，得20x =，21z =， ∴()20,1,1n =， ∴12310

cos ,1052

n n =

=?， 故二面角M CB P --310

．

点睛：考查空间立体几何的线面角，二面角问题，一般直接建立坐标系，结合向量夹角公式求解即可，但要注意坐标的正确性，坐标错则结果必错，务必细心，属于中档题.

19．近年空气质量逐步恶化，雾霾天气现象出现增多，大气污染危害加重.大气污染可引起心悸.呼吸困难等心肺疾病.为了解某市心肺疾病是否与性别有关，在某医院随机的对入院50人进行了问卷调查得到了如下的列联表：

已知在全部50人中随机抽取1人，抽到患心肺疾病的人的概率为

5

.

（1）请将上面的列联表补充完整，并判断是否有99.5%的把握认为患心肺疾病与性别有关？请说明你的理由；

（2）已知在不患心肺疾病的5位男性中，有2位从事的是户外作业的工作.为了指导市民尽可能地减少因雾霾天气对身体的伤害，现从不患心肺疾病的5位男性中，选出3人进行问卷调查，求所选的3人中至少有一位从事的是户外作业的概率.

下面的临界值表供参考：

（参考公式

()

()()()()

2

2

n ad bc

K

a b c d a c b d

-

=

++++

，其中n a b c d

=+++）

【答案】（1）列联表见解析，有99.5%的把握认为患心肺疾病与性别有关，理由见解析；（2）

9 10

.

【解析】

【分析】

（1）结合题意完善列联表，计算出2

K的观测值，对照临界值表可得出结论；

（2）记不患心肺疾病的五位男性中从事户外作业的两人分别为A、B，其余三人分别为a、b、c，利用列举法列举出所有的基本事件，并确定事件“所选的3人中至少有一位从事的是户外作业”所包含的基本事件数，利用古典概型的概率公式可取得所求事件的概率.

【详解】

（1）由于在全部50人中随机抽取1人，抽到患心肺疾病的人的概率为3

5

，所以50人中患心肺疾病的人数

为30人，故可将列联表补充如下： 患心肺疾病

不患心肺疾病

合计

男 20 5

25

女 10 15

25 合计

30

20

50

()2

2502015510258.3337.879252530203

K ??-?==≈>???.

故有99.5%的把握认为患心肺疾病与性别有关；

（2）记不患心肺疾病的五位男性中从事户外作业的两人分别为A 、B ，其余三人分别为a 、b 、c .从中选取三人共有以下10种情形：

(),,A B a 、(),,A B b 、(),,A B c 、(),,A a b 、(),,A a c 、(),,A b c 、(),,B a b 、(),,B a c 、(),,B b c 、(),,a b c .

其中至少有一位从事的是户外作业的有9种情形，分别为：(),,A B a 、(),,A B b 、(),,A B c 、(),,A a b 、

(),,A a c 、(),,A b c 、(),,B a b 、(),,B a c 、(),,B b c ，

所以所选的3人中至少有一位从事的是户外作业的概率为910

P =. 【点睛】

本题考查利用独立性检验的基本思想解决实际问题，同时也考查了利用列举法求解古典概型的概率问题，考查计算能力，属于中等题.

20．已知抛物线()2

:20C y px p =>，直线1y x =-与C 交于A ，B 两点，且8AB =.

（1）求p 的值；

（2）如图，过原点O 的直线l 与抛物线C 交于点M ，与直线1x =-交于点H ，过点H 作y 轴的垂线交抛物线H 于点N ，证明：直线MN 过定点.

【答案】（1）2p =；（2）见解析 【解析】 【分析】

（1）联立直线和抛物线221

y px y x ?=?=-?，消去x 可得2220y py p --=，求出122y y p +=，122y y p =-，

再代入弦长公式计算即可. （2）由（1）可得2

4y x =，设2

001(

,)4

M y y ，计算直线OM 的方程为04y x y =，代入1x =-求出04H y y =-，

即可求出04N y y =-

，再代入抛物线方程24y x =，求出2

00

44(,)N y y -，最后计算直线MN 的斜率，求出直线MN 的方程，化简可得到恒过的定点. 【详解】

（1）由221

y px y x ?=?=-?，消去x 可得2

220y py p --=，

设()11,A x y ，()22,B x y ，则122y y p +=，122y y p =-.

AB ∴=

8==，

解得2p =或4p =-(舍去)，

2p ∴=.

（2）证明：由（1）可得2

4y x =，设2

001(,)4

M y y ， 所以直线OM 的方程为0

4

y x y =

， 当1x =-时，04H y y =-

，则0

4N H y y y ==-， 代入抛物线方程2

4y x =，可得20

4

N x y =

，20044(,)N y y ∴-， 所以直线MN 的斜率0002

20020

4

4444y y y

k y y y +

==--， 直线MN 的方程为2

0002041()44

y y y x y y -=

--，

整理可得()0

20414

y y x y =--，故直线MN 过定点()1,0.

【点睛】

本题第一问考查直线与抛物线相交的弦长问题，需熟记弦长公式.第二问考查直线方程和直线恒过定点问题，需有较强的计算能力，属于难题.

21．椭圆W ：22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点分别是1F ，2F

A ，

B .过1F 且垂直于x 轴的直线被椭圆W 截得的线段长为1.

（1）求椭圆W 的标准方程；

（2）经过点()1,0P 的直线与椭圆W 相交于不同的两点C 、D （不与点A 、B 重合），直线CB 与直线4x =相交于点M ，求证：A 、D 、M 三点共线.

【答案】（1）2

214

x y +=；

（2）见解析 【解析】 【分析】

（1）根据已知可得2

21b a

=，结合离心率和,,a b c 关系，即可求出椭圆W 的标准方程；

（2）CD 斜率不为零，设CD 的方程为1x my =+，与椭圆方程联立，消去x ，得到,C D 纵坐标关系，求出BC 方程，令4x =求出M 坐标，要证A 、D 、M 三点共线，只需证0AD AM k k -=，将AD AM k k -分子用,C D 纵坐标表示，即可证明结论. 【详解】

（1）由于2

2

2

c a b =-，将x c =-代入椭圆方程22221x y

a b

+=，

得2

b y a =±，由题意知221b a

=，即22a b =.

又c e a =

=

，所以2a =，1b =. 所以椭圆W 的方程为2

214

x y +=.

（2）解法一：

依题意直线CD 斜率不为0，设CD 的方程为1x my =+，

联立方程22

114

x my x y =+???+=??，消去x 得22

(4)230m y my ++-=，

由题意，得>0?恒成立，设11(,)C x y ，22(,)D x y ，

所以12224m y y m +=-

+，12

23

4

y y m =-+ 直线CB 的方程为11(2)2y y x x =

--.令4x =，得1

12(4,)2

y M x -. 又因为(2,0)A -，22(,)D x y ， 则直线AD ，AM 的斜率分别为222AD y k x =

+，1

13(2)

AM y k x =-，

所以21211221123(2)(2)

23(2)3(2)(2)

AD AM y y y x y x k k x x x x --+-=

-=+--+. 上式中的分子211221123(2)(2)3(1)()3y x y x y my y my +=--+--

121226623()04

m m

my y y y m -+=-+=

=+，

0AD AM k k ∴-=.所以A ，D ，M 三点共线.

解法二：

当直线CD 的斜率k 不存在时，由题意，得CD 的方程为1x =， 代入椭圆W

的方程，得C

，(1,D ， 直线CB

的方程为2)y x =-.

则(4,M

，(6,AM =

，(3,AD =， 所以2AM AD =，即A ，D ，M 三点共线. 当直线CD 的斜率k 存在时，

设CD 的方程为(1)(0)y k x k =-≠，11(,)C x y ，22(,)D x y ，

联立方程2

2

(1), 1,4

y k x x y =-???+=??消去y ，得2222(41)8440k x k x k +-+-=. 由题意，得>0?恒成立，故2

122841k x x k +=+，2

122

4441

k x x k -=+. 直线CB 的方程为11(2)2y y x x =

--.令4x =，得1

12(4,)2

y M x -.

又因为(2,0)A -，22(,)D x y ， 则直线AD ，AM 的斜率分别为222AD y k x =

+，1

13(2)

AM y k x =-， 所以21211221123(2)(2)

23(2)3(2)(2)

AD AM y y y x y x k k x x x x --+-=

-=+--+. 上式中的分子211221123(2)(2)3(1)(2)(1)(2)y x y x k x x k x x --+=----+

121225()8kx x k x x k =-++22

224482584141

k k k k k k k -=?-?+++0=

所以0AD AM k k -=. 所以A ，D ，M 三点共线. 【点睛】

本题考查椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系，要熟练掌握根与系数关系，设而不求方法解决相交弦问题，考查计算求解能力，属于中档题. 22．已知函数()e

e x

x f x ax -=++，a R ∈.

（1）讨论()f x 的单调性；

（2）若()f x 存在两个极值点1x ，2x ，证明：()()()(

)12

122e e

x

x f x f x a -<--.

【答案】（1）见解析；（2）见解析 【解析】 【分析】

（1）求得()f x 的导函数()'

f

x ，对a 分成2,2a a ≤>两种情况，讨论()f x 的单调性.

（2）由（1）判断出a 的取值范围，根据韦达定理求得12,x x 的关系式，利用差比较法，计算

()()()()()

12111212e e e e 2x x x x f x f x a a x -----=-+，通过构造函数()()e e 20t t g t t t -=-+>，利用

导数证得()0g t <，由此证得(

)

1

11e e 20x x a x --+<，进而证得不等式()()()()

12

122e e x x

f x f x a -<--成立. 【详解】

（1）()()2

e e 1e e e

x

x x x

x

a f x a --+=--+=-

'.

当2a ≤时，()0f x '≤，此时()f x 在R 上单调递减；

当2a >时，由()0f x '=

解得x =

或x =，

∵e x y =是增函数，∴此时()f x

在,ln

2a ?-∞ ???和ln 2a ??++∞ ? ???单调递减，在ln 22a a ?-+ ???

单调递增.

（2）由（1）知2a >.12e e 1x x ?=，120x x +=，12x x =-， 不妨设12x x >，∴1>0x ，()()()(

)12

122e e

x

x f x f x a ---- ()()()()

(

)

11221111121e e e e 2e e e e 2x x x x x x x x ax ax a a x ----=-+--+---=-+，

令()()e e 20t

t

g t t t -=-+>，

∴()1e e 2e 220e t t t t

g t -?

?=--+=-+

+≤-= ?

?

'?

， ∴()g t 在()0,∞+上是减函数，()()00g t g <=， ∴(

)

1

11e

e 20x x a x --+<，即()()()()

12122e e x x f x f x a -<--.

【点睛】

本小题主要考查利用导数研究函数的单调区间，考查利用导数证明不等式，考查分类讨论的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.

23．在直角坐标系xOy 中，已知点()1,0P ，若以线段PQ 为直径的圆与y 轴相切. （1）求点Q 的轨迹C 的方程；

（2）若C 上存在两动点A B ，（A ，B 在x 轴异侧）满足32?=OA OB ，且PAB △的周长为22AB +，求AB 的值.

【答案】（1）2

4y x =；（2）48AB =

【解析】 【分析】

（1）设(),Q x y 1

22

+=?

x ，化简后可得轨迹C 的方程. （2）设直线:AB x my n =+，联立直线方程和抛物线方程后利用韦达定理化简32?=OA OB 并求得8n =，结合焦半径公式及弦长公式可求m 的值及AB 的长. 【详解】

（1）设(),Q x y ，则圆心的坐标为1,22x y +??

???

，

因为以线段PQ 为直径的圆与y 轴相切，