李庆扬-数值分析第五版第7章习题答案(0824)汇编
第7章复习与思考题
求f (X )= 0的零点就等价于求(x )的不动点，选择一个初始近似值X 0，将它代入X =「(X ) 的右端，可求得
X 1 h%X °)，如此反复迭代有 X k 1 二(X k ), k =0,1,2,..., (X)称为迭代函数，如果对任何
X 。? [a,b]，由x k 卜h%x k ),k =0,1,2,...得到的序列
〈X k 1有极限
则称迭代方程收敛，且X* =?(x*)为?(X )的不动点 故称
X k q 二(X k ), k =0,1,2,...为不动点迭代法。
5?什么是迭代法的收敛阶？如何衡量迭代法收敛的快慢？如何确定
X k 1 二「(X k )(k =0,1,2,...)的收敛阶
P219
设迭代过程X k 1'h%X k )收敛于 (X)的根X*，如果当k > 时，迭代误差
e k = x k - x *满足渐近关系式
—t C,C =const 式 0 e/
则称该迭代过程是 p 阶收敛的，特别点，当 p=1时称为线性收敛，P>1时称为超线性收敛， p=2时称为平方收敛。
以收敛阶的大小衡量收敛速度的快慢。
6?什么是求解f(x)=0的牛顿法？它是否总是收敛的？若 f(X*) =0，X*是单根，f 是光 滑，证明牛顿法是局部二阶收敛的。
牛顿法:
当| f (X k )卜J 时收敛。
7?什么是弦截法？试从收敛阶及每步迭代计算量与牛顿法比较其差别。 在牛顿法的基础上使用 2点的的斜率代替一点的倒数求法。就是弦截法。 收敛阶弦截法1.618小于牛顿法2 计算量弦截法 <牛顿法(减少了倒数的计算量)
8?什么是解方程的抛物线法？在求多项式全部零点中是否优于牛顿法？ P229
X
-
m
X k 1 =X k
f (X k ) f (X k )
设已知方程f （x） = 0的三个近似根，X k，X k^，X k^2，以这三点为节点构造二次插值多项式p
（x），并适当选取p2（x）的一个零点X k卅作为新近似根，这样确定的迭代过程称为抛物线
法。
抛物线法的收敛阶1.840大于弦截法1.618，小于牛顿法2
可用于所想是的实根和复根的求解。
9?什么是方程的重根？重根对牛顿法收敛阶有何影响？试给出具有二阶收敛的计算重根方
法。
10. 什么是求解n维非线性方程组的牛顿法？它每步迭代要调用多少次标量函数（计算偏导数与计算函数值相当）
11. 判断下列命题是否正确：
（1）非线性方程（或方程组）的解通常不唯一（正确）
（2）牛顿法是不动点迭代的一个特例（正确）
（3 ）不动点迭代法总是线性收敛的（错误）
（4）任何迭代法的收敛阶都不可能高于牛顿法（正确）
（5 ）求多项式p（x）的零点问题一定是病态的问题（错误）
（7）二分法与牛顿法一样都可推广到多维方程组求解（错误）
（8）牛顿法有可能不收敛（正确）
（9）不动点迭代法X k 1 =「（X k），其中八（x*），若|「（X*）卜：1则对任意处置x0迭代都收敛。（对）
（10）弦截法也是不动点迭代法的特例（正确）
习题
1、用二分法求方程x2_x-1=0的正根，要求误差::0.05。
［解］令 f(x)=x —X-1，则 f(0) = -1，f(2)=1，所以有根区间为 0,2 ； 又因为，所以有根区间为1,2 ；
f(1.5) =1.52 -1.5 -1 - -0.25，所以有根区间为 1.5,2 ；
f(1.75) M752 -1.75 -1 =5 ? 0，所以有根区间为 1.5,1.75 ；
16
1
f(1.625) =1.6252 -1.625 -1 0，所以有根区间为 1.5,1.625 ；
64 f(1_L) =(1_L)2 —1_L —1 =_旦 c0，所以有根区间为 V 9 ,1.625 i ；
16 16 16 256 < 16 丿
取 x 、1 (1 9
15) J 9 =1.59375 ,
2 16 8 32
1 9 1
这时它与精确解的距离:::(1.625 -1 9 ) = < 0.05。
2 16 32
2. 为求方程x 3 -X 2 -1 =0在X 。=1.5附近的一个根，设将方程改写成下列等价形 式，并建立相应的迭代公式： 1)
X=1
1/x 2，迭代公式 X k1 =1 1/x"；
2) x 3 =1 x 2，迭代公式 X k 1 =3
、1 ? X ：； 3) x 2 -——，迭代公式 X k 1 = 1/ ?： X k -1 ；
x T
试分析每种迭代公式的收敛性，并选取一种公式求出具有四位有效数字的近似 值。 ［解］1 )设?(x) =1 + $，则?(X )= ~~3，从而 I?(1.5)1 =|-了23 =盘 * 1，所以 迭代方法局部收敛。
2) 设(x) = 3 1 X 2，则：(x)二彳 x(1 x 2) 3，从而
3)
设④(x) ，则? "(X )= -^(x T) 2，从而I? "(1.5)1 =-
如―1
2
珥1.5)| = 2
2 2 — 一勺.5(1 +1.52) 3
3
O 1，所以迭代方法局部收敛。
1(0.5)_2 2
所以迭代方法发散。 3
J
4)
设「(X)= x 3
— 1，则:(x) x 2 (x 3 — 1) 2，从而
3 19 丄 9
4(1.5)|= 3".5(号)=住>1，所以迭代方法发散。
2 8 <38
3. 比较求e x ? 10x — 2 = 0的根到三位小数所需的计算量：
1)在区间0,1内用二分法；2 )用迭代法X k.1 =(2—e x k
)/10，取初值X 0 =0
7. 用下列方法求f (x) = x 3 -3x 「1 = 0在x 0 = 2附近的根。根的准确值 X *
=1.87938524…，要求计算结果准确到四位有效数字。
4 牛顿法
J 3
?
弋32 - 17 丸.03578
0，
16
有根区间为
_1* 16,32 ； f(
-e 64 - 39 <0，有根区间为
32
一64,32
吧)
二 e 128 - 73 ::: 0，
64
有根区间为
□ 3 ；
_128'32
23
f(23^e--141 256 128 ：0, 有根区间为 _256,32 f(：2) 47 = e 512 277 256 有根区间为蠢5：； f( 93 1024) 93
1024
559 512 有根区间为 国］. _256,1024 '
5 弦截法，取x0=2“ =1.9
(3)抛物线法，取X0 =1必=3,x2 =2
f(X k)二X k [解]1 ) X k X k - v、
f (X k)x；_3x k_1 2x3+1
3xk-3「2x“2,
3x：-3 '
X i
3
2 2 1
3 22 -3
J7 =1.888889 ,
9
10555
5616「.87945，迭代停止。X k 1 二X k
f(X k)
2)
(X k
f (X k) - f (X k」)
x
k - 3x k - 1
-3x k _ 1) _ (x k」3x k J
_1严")
X k X kj(X k - X kj) - 1
2 2
X k X k X kj X k」-3
X i = 1.9, x21.9 2 (1.9 2) ■ 1
-2 2~
1.9 1.9 2 2 -3
15.82
8.41
1582
841
= 1.881094
X 3
1582
汉1.9沢(--- +1.9) +1
841 841
(1582)2 1582 1.9 . 1.92_3
841 841
2
9558143.42 841
1582
迭代停
止。
"158221582 1.9 841 0.61 8412J026542442=1.879411 546204321
3)X k 1 二X k _ f (X k)
.2 ，其中
灼士普—4f (X k)f[X k,X k』X k』
=f [ x k , x k 4] f [ x k , x k x k』(x k - x k 4 ) , X o =人X1 = 3,X2 = 2
f(X0)=-3 , f(X1)=17 , f(X2)=1 , f [ X0, X1 ]：
X1 —X0 17十—0 ,
3 -1
f[X2, X1]戸f(X2)- f (xj
X2 _X1
一仃吨,
2 -3
f[X o,X1,X2】
f [X1,X2]- f[X o,X1]
X2 _Xo 16
一
10 =6 , 0 =16+6(2-3)=10 , 2-1
10 102 -4 1 6 2
1
-1.9465745，下略。
10 、76
8.分别用二分法和牛顿法求x-tanx=0的最小正根。
解：0是函数的一个根，0?二时，x 单调递增，tanx 单调递减，趋于负无穷。
2
在此区间内，函数没有根。所以，最小正根大于 -.
2
当x 接近且大于二时，函数值为正，当x 接近且大于时，函数值为负。因此, 2 2
最小正根区间为(二,),选择x 仁2,函数值为-0.185<0,选择x2=4.6，函数 2 2 值为 4.260>0
按二分法计算，略，x * =4.493424。 按牛顿迭代法，其迭代公式为
f(&)
轨—ta nx/
X k 1 — Xk
Xk …
f (x k )
(1-ctanxk )，取初始值 x=4.6，得 x ^ 4.493424
9. 研究求/a 的牛顿公式X k1」(x k ? a ), X 。.0,证明对一切k =1,2,…，
2
X k
x k _ a 且序列x 1, x 2/是递减的。 证:
减的。
10. 对于f(x) =0的牛顿公式x k 厂x k - f(x k )/f (x k )，证明
r\
*
*
、 .
*
R k =(X k -X k 」)/(X k 丄「X k R 收敛到- f (x )/(2 f (x ))，这里 x 为 f (x) =0 的根。
证:
2 R k =(& -X k4)/(X k4 -XkQ =-f (X kJ / f (X k4) -(-f(X2)/f (X k 』2
2
R 1 二区 1 -X k )/(X k -X k" _ -f (xj/f "(xj
「(-f(x 」/f D 2
显然，X k A 0， 又因为 X" - ja =l(X k +旦)—Ua =
(Xk
- '
_0，所以
X k
2X k
忑一 a k=1,2,
，又I -忑=抽
a
)-x X k
2X k
2
k
兰0，所以序列是递
R k 1 -R k
-f (xQ / f "(xQ (-f (x 」/ f (X 」)2
-f(X k4)/ f (X k 4
)
(-f (X k? / f (X k 』)2
、2
11. 用牛顿法（4.13）和求重根迭代法（4.14
）计算方程
f （
x“ sinx —2 的 一个近似根，准
确到10^，初始值X o 二二 2
牛顿法（4.13）, m=2
需要计算到 10出，取二=3.1415926。 x* =x ⑺=1.8955 求重根迭代法(4.14)
f (xQf (xQ
X k 1 二 X k -
2
[f (X k )]6 7 - f(X k )f (X k )
2
(sin x —0.5x )(2(sin x —0.5x cosx —0.5 ))
注：matlab 编程计算得出的结果。
12. 应用牛顿法于方程x 3 - a = 0 ,导出求立方根3 a 的迭代公式，并讨论其收敛 性。
3 X k _ a —X
k
3X k 2
= 2 2
7 sin x —0.5x cosx -0.5 訂 isin x —0.5x ] [ 2sin x cosx - 0.5「i
x
k 1 - x k - m
f(X k ) f (xQ
二 x k
sin X k
X k
sinx 「X
k < k 2
需要计算到10 "，取廡=3.1415926 x* =x (13) =1.8955。
X k 1 二 X k
f(X k ) f (X k )
3
X k a
=Xk _ --------------- 2-
3X k
2
2X k +三
X k
X k 1 _ Xk
f (X k )
f (X k )
-x
-X k
X k
3x
k
X k 1 _ Xk
3
a 一 x k 3X k
说明迭代数列递增。
X k 1 _ X k
3
二 a
3x
k
2 ：：
说明迭代数列递减。
因此，迭代公式X k 「X k — f （X k ）
3
.
_ Xk _a _1
2 3x
k 2X k
a
2 X k 丿
是收敛的。
COS X
13. 应用牛顿法于方程f(x) =1 一勒=°，导出求 石的迭代公式，并求 J15的
x
值。
x ° = 1° X 1 =10.6522 令 X 2 =10.7231 x 3 =10.7238 x 4 =10.7238
f(X k ) X k n —a
X k1
讥「f (兀厂忑一 nxL
(n -1)X k n a
n -1 a
X k n4 n nx k
= lim 一即严—— = lim
厂
k
—" 2n[n n ax ： -(n 1)x ：] k
—' 2[n n
a-(n 1)X k ]
(n -1) 「_1 -』
2[n n a -(n 1)n a] 2n a
f(x ^1
x n 0的迭代公式
14. 应用牛顿法于方程f(x) = x n —a=0和f(x)=1-$=0，分别导出求 需 的
x
<3ax k 2 -1 "
3ax
k - ix x k
I
2ax
k
‘
I
2a
丿
二 X k
=X k
X k
2aX k
3 X k 3
k … --- 2 2a _ f(X k )
f (X k )
X k
迭代公式，并求 lim (n a -
k _j ：:
f(x) =x n
a
= 0的迭代公式:
nx n -1 (n -1)
------- X k
n (需-xQ
n -4 nx
k
2
= lim 字…)
k
j-2(n a -X k )nx ：
(n-1)
%'a Xk 十
f (X k ) 1 -aX k _
X k 1 = Xk
X k
n 1
f (X k )
nax k 一
(n 1)aXk - -1
n 1 n ax k --
n 1
x k Xk … n na
l
n
厂(n
+1)ax k —Xk"
_
a - x k 1
na
na a
- (n 1)ax k
x
k
lim 2 = lim 2
二 lim
2-
k Y (V a — X k ) k Y (^a —X k )
j na(Ja —X k )
-(n+1)a+(n+1)x ： (n +1)(x ： -a)
(n +1)nx ：-
1 =lim lim
lim -----------------
k
Y -2na(2a _x k )
^^-2na (需一x k )
2na
n A
(n 1)a n n 1 二 2a \n a
16.用抛物线法求多项式 p （x ）=4x 4 -10x 3 1.25x 10 5x 1.5的两个零点，再利用
降阶求出全部零点。 17.非线性方程组 曲严2：0
）3x j X 2 ~'X 1 -d =0
点迭代法，使它能收敛到这个解，并计算精确到 10』（按* ：：）
X 2 y 2 = 1 T 18.用牛顿法解方程组
2 y
2
取x （0）= 161.2 T
10
15. 证明迭代公式X k 十 忑绞十到 是计算“的三阶方法。假定初值X 0充分靠
3X k +a
近 x ，求 0m. ( a 2
_
X k 1)/0 a - X k )
X k (X k 3a) 3x ： +a C a -X k )3
iim #a(3X k +a) _Xk (X k +3a) k
匸
(、a - X k )3(3x ：
a)
&a-xQ 3
(禹-X k )3(3x ： +a)
=lim 2 J '3x k a
1 3(. a)
2 a
1 4a
在(0.4,0.7)T
附近有一个解，构造一个不动
X 一讨1
［解］1 )使用二分法，令f(x)二e x?10x —2，则
f(0H -1，f (1) =e 8，有根区间为0,11； f(0.5) =e0.5 3 0，有根区间为0,0.5〕；f(0.25^e0.250.5 0，有根区间为0,0.25〕；
f (0.125) =e0.125 -0.75 0，有根区间为0,0.125】；
1 - 13
陀八宀訂-。.5605 °有根区间为
李庆扬数值分析第五版习题复习资料清华大学出版社
第一章 绪论 1．设0x >,x 的相对误差为δ，求ln x 的误差。 解：近似值* x 的相对误差为* **** r e x x e x x δ-= = = 而ln x 的误差为()1 ln *ln *ln ** e x x x e x =-≈ 进而有(ln *)x εδ≈ 2．设x 的相对误差为2%，求n x 的相对误差。 解：设()n f x x =，则函数的条件数为'() | |() p xf x C f x = 又1 '()n f x nx -=Q , 1 ||n p x nx C n n -?∴== 又((*))(*)r p r x n C x εε≈?Q 且(*)r e x 为2 ((*))0.02n r x n ε∴≈ 3．下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差限不超过最后一位的半个单位，试指 出它们是几位有效数字：*1 1.1021x =,*20.031x =, *3385.6x =, *456.430x =,* 57 1.0.x =? 解：* 1 1.1021x =是五位有效数字； *20.031x =是二位有效数字； *3385.6x =是四位有效数字； *456.430x =是五位有效数字； *57 1.0.x =?是二位有效数字。 4．利用公式(2.3)求下列各近似值的误差限：(1) ***124x x x ++,(2) ***123x x x ,(3) **24/x x . 其中**** 1234,,,x x x x 均为第3题所给的数。 解：
*4 1* 3 2* 13* 3 4* 1 51()1021()1021()1021()1021()102 x x x x x εεεεε-----=?=?=?=?=? *** 124***1244333 (1)()()()() 1111010102221.0510x x x x x x εεεε----++=++=?+?+?=? *** 123*********123231132143 (2)() ()()() 111 1.10210.031100.031385.610 1.1021385.610222 0.215 x x x x x x x x x x x x εεεε---=++=???+???+???≈ ** 24**** 24422 *4 33 5 (3)(/) ()() 11 0.0311056.430102256.43056.430 10x x x x x x x εεε---+≈ ??+??= ?= 5计算球体积要使相对误差限为1，问度量半径R 时允许的相对误差限是多少？ 解：球体体积为343 V R π= 则何种函数的条件数为 2 3'4343 p R V R R C V R ππ===g g (*)(*)3(*)r p r r V C R R εεε∴≈=g 又(*)1r V ε=Q
最新数值分析课程第五版课后习题答案(李庆扬等)1
第一章 绪论（12） 1、设0>x ，x 的相对误差为δ，求x ln 的误差。 [解]设0*>x 为x 的近似值，则有相对误差为δε=)(*x r ，绝对误差为**)(x x δε=，从而x ln 的误差为δδεε=='=* ****1)()(ln )(ln x x x x x ， 相对误差为* * ** ln ln ) (ln )(ln x x x x r δ εε= = 。 2、设x 的相对误差为2%，求n x 的相对误差。 [解]设*x 为x 的近似值，则有相对误差为%2)(*=x r ε，绝对误差为**%2)(x x =ε，从而n x 的误差为n n x x n x n x x n x x x ** 1 *** %2%2) ()()()(ln * ?=='=-=εε， 相对误差为%2) () (ln )(ln *** n x x x n r == εε。 3、下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差不超过最后一位的半个单位，试指出它们是几位有效数字： 1021.1*1=x ，031.0*2=x ，6.385*3=x ，430.56*4=x ，0.17*5 ?=x 。 [解]1021.1*1 =x 有5位有效数字；0031.0* 2=x 有2位有效数字；6.385*3=x 有4位有效数字；430.56* 4 =x 有5位有效数字；0.17*5?=x 有2位有效数字。 4、利用公式（3.3）求下列各近似值的误差限，其中* 4*3*2*1,,,x x x x 均为第3题所给 的数。 （1）* 4*2*1x x x ++； [解]3 334* 4*2*11** *4*2*1*1005.1102 1 10211021)()()()()(----=?=?+?+?=++=? ??? ????=++∑x x x x x f x x x e n k k k εεεε； （2）* 3*2 *1x x x ；
数值分析5 LU分解法
§3 LU 分解法 ——Gauss 消去法的变形 知识预备： 1矩阵的初等行变换、初等矩阵及其逆、乘积 2矩阵的乘法 3上三角矩阵的乘积、单位下三角矩阵的乘积 4单位下三角矩阵的逆、可逆的上三角矩阵的逆 一、Gauss 消去法的矩阵解释 Gauss 消去法实质上是将矩阵A 分解为两个三角矩阵相乘。 我们知道，矩阵的初等行变换实质就是左乘初等矩阵。 第一轮消元：相当于对A （1） 左乘矩阵L 1，即 )2()1(1A A L = 其中 ) 1(11 ) 1(1 1)2()2(2 )2(2)2(22 ) 1(1) 1(12)1(11) 2(131211,,1001 011a a l a a a a a a a A l l l L i i nn n n n n =?????? ??????? ?=????? ?? ?????????---= 第二轮消元：对应于 )3()2(2A A L = 一般地 1,,2,1) 1()(-==+n k A A L k k k (1) 其中
n k k i a a l l l L k kk k ik ik nk k k k ,,2,1,,10111)() (1 ++==??? ???? ?? ? ?? ??? ???? ?--=+整个消元过程为 U A A L L L L n n n 记)(1221=-- ????? ? ? ?? ?? ? ? ?=nn n n u u u u u u 22211211………（2） 从而 U L U L L L L U L L L L A n n n n ?===---------1 112121111221)( 其中L 是单位下三角矩阵，即 ,1,,1,,3,2,,11 11)() (21323121??? ? ??-===????? ?? ?????????=n j n i l l l l l l L j jj j ij a a ij n n …（3） 【注】消元过程等价于A 分解成LU 的过程 回代过程是解上三角方程组的过程。 二、矩阵的三角分解 1、若将A 分解成L ?U ，即A=L ?U ，其中L 为单位下三角矩阵,U 为非奇异上三角矩阵,则称之为对A 的Doolittle 分解。 当A 的顺序主子式都不为零时，消元运算可进行，从而A 存在唯一的Doolittle 分解。 证明：若有两种分解，A=L 1U 1，A=L 2U 2，则必有L 1=L 2，U 1=U 2。 因为L 1U 1=L 2U 2，而且L 1，L 2都是单位下三角矩阵，U 1,U 2都是可逆上三角矩阵,所以有 112112--=U U L L
LU矩阵分解实例
例：给定一4阶矩阵42158 7210 48366 8 4 9A ????? ?=?????? ，通过LU 分解求逆矩阵1A -。 解：算法过程为：1 1 1 1 ()A L U U L u l ----=?=?=?， 第一步：求LU 矩阵 设 0000 0102031011111213 202122222330 31 32 33330000000000 L U U U U L L U U U L U L L L U U L L L L U → ???? ?????????=↓ ????????????? ， 通过（4）~（7）式可逐步进行矩阵L 和U 中元素的计算，如下所示： 00112233000001010202030310203010203000 00 00 111110011212100213131003() 1,(U ) 4,2,1,5,(L )8462,1, 1.5, 4 4 4(U ) 7223,2210,10L L L L L U a U a U a U a a a a L L L U U U U a L U U a L U U a L U ============= === === ===-=-?==-=-?==-=计算的对角的第一行的第一列的第二行250, -?=
21212001113131300111 22222002211223232003211332323002311222 (L )11()(812)23115()(8 1.52)3 3 U 311202,615201,L 115()(4 1.512 3 L a L U U L a L U U U a L U L U U a L U L U L a L U L U U =-=?-?== -= ?-?= =--=-?-?==--=-?-?== --= ?-?- 的第二列（的第三行） （的第三列）33333003311332230) 1.25, U 59 1.550 1.2510.25; 3 U a L U L U L U ?==---=-?- ?-?=（的第四行） 经迭代计算，最后得到L 和U 矩阵为： 第二步：求L 和U 矩阵的逆u ，l 1 1 ,;u U l L --== （1）求U 矩阵的逆 1 1 0001020300010203111213 111213 2223222333334215000300000000210 0.25U U U U u u u u U U U u u u u U U u u U u --?? ????????????????===↑?? ???????????? ?? ?? 由式（9）可得矩阵U 的逆的各元素计算如下：
矩阵的LU分解
矩阵的LU 分解 一、题目 求一个4阶矩阵的LU 分解。（????? ???????=112 92 74 48 78 66 54 36 46 40 34 24 18 16 14 12 A ） 二、方法 Doolittle （杜里特尔）分解法 三、程序 jiangLU.M 的程序如下： function[L,U,flag]=jiangLU(A) [n,n]=size(A); L=eye(n);U=zeros(n);flag='OK'; for k=1:n for j=k:n z=0; for q=1:k-1 z=z+L(k,q)*U(q,j); end U(k,j)=A(k,j)-z; end if abs(U(k,k))
48 74 92 112 >> [L,U,flag]=jiangLU(A) L = 1 0 0 0 2 1 0 0 3 2 1 0 4 3 2 1 U = 12 14 16 18 0 6 8 10 0 0 2 4 0 0 0 2 flag = OK 五、拓展 1、矩阵分解成LU形式是有条件的，首先矩阵必须是非奇异的矩阵，其次矩阵的全部顺序主子式非零的时候才能完全保证矩阵可分解成LU且分解唯一。不然，会有如下情况出现：>> A=[1 2 3;2 4 1;4 6 7] A = 1 2 3 2 4 1 4 6 7 >> [L,U,flag]=jiangLU(A) L = 1 0 0 2 1 0 4 0 1 U = 1 2 3 0 0 -5 0 0 0 flag = failure 2、Doolittle分解法是不选主元的三角分解法，若U（k,k）绝对值很小时，按此分解法可能引起舍入误差的积累。可以通过交换矩阵A的行实现矩阵PA的LU分解（前提是A为非奇异的矩阵）。
LU分解和列主元消去法求解
实验二：插值法 专业班级：信息与计算科学112班 姓名：马晶 学号：2011014856 （1）实验目的： a.熟悉MA TLAB 编程，学会用MATLAB 实现用插值法求多项式；掌握用画图命令显示所得的多项式的图形，根据所得图形分析问题 b. 学习插值方法及程序设计算法，体会多项式插值法和三次样条插值法的不同，比较两种插值哪个更精确？ （2）实验题目： 1. 已知函数在下列各点的值为 x i 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 F(x i ) 0.98 0.92 0.81 0.64 0.38 试用4次牛顿插值多项式P 4(x)及三次样条函数S(x)(自然边界条件)对数据进行插值.用图给出{( x i,y i ), x i =0.2+0.08i,i=0,1,11,10}, P 4(x)及S(x). 2.在区间[-1,1]上分别取n=10﹑20用两组等距节点对龙格函数2 1()125f x x =+作多项式插值及三 次样条插值,分别画出插值函数及()f x 的图形. 3．下列数据点的插值 x 0 1 4 9 16 2 5 3 6 49 64 y 0 1 2 3 4 5 6 7 8 可以得到平方根函数的近似,在区间[0,64]上作图. (1)用这9个点作8次多项式插值 () 0010012010101()()[,]()[,,]()()[,,,]()n n n P x f x f x x x x f x x x x x x x f x x x x x x x -=+-+--+--L L L (2)用三次样条(第一边界条件)程序求().S x 从得到结果看在[0,64]上,哪个插值更精确;在区间[0,1]上,两种插值哪个更精确? （3）试验理论与理论基础： 1.多项式插值: 设在区间[a,b]上给定n+1个点 01n a x x x b ≤<<<≤L 上的函数值()(0,1,,),i i y f x i n ==L 求次数不超过n 的多项式,使(),0,1,,.i i y P x i n ==L 然后得到关于系数01,,,n a a a L 的n+1元线性方程组 010*********,, n n n n n n n n n a a x a x y a a x a x y a a x a x y ?+++=?+++=???? +++=?L L M L 该方程的系数矩阵为范德蒙德矩阵,通过带入数据可以直接得到唯一解,,,a a a L ,故可求得插值多项式
数值分析课程第五版课后习题答案(李庆扬等)1
数值分析课程第五版课后习题答案(李庆扬等)1
第一章 绪论（12） 1、设0>x ，x 的相对误差为δ，求x ln 的误差。 [解]设0*>x 为x 的近似值，则有相对误差为δε=)(*x r ，绝对误差为**)(x x δε=，从而x ln 的误差为δδεε=='=* ****1)()(ln )(ln x x x x x ， 相对误差为* * ** ln ln ) (ln )(ln x x x x r δ εε= = 。 2、设x 的相对误差为2%，求n x 的相对误差。 [解]设*x 为x 的近似值，则有相对误差为%2)(*=x r ε，绝对误差为**%2)(x x =ε，从而n x 的误差为n n x x n x n x x n x x x ** 1 *** %2%2) ()()()(ln * ?=='=-=εε， 相对误差为%2) () (ln )(ln *** n x x x n r == εε。 3、下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差不超过最后一位的半个单位，试指出它们是几位有效数字： 1021.1*1=x ，031.0*2=x ，6.385*3=x ，430.56*4=x ，0.17*5 ?=x 。 [解]1021.1*1 =x 有5位有效数字；0031.0* 2=x 有2位有效数字；6.385*3=x 有4位有效数字；430.56* 4 =x 有5位有效数字；0.17*5?=x 有2位有效数字。 4、利用公式（3.3）求下列各近似值的误差限，其中* 4*3*2*1,,,x x x x 均为第3题所 给的数。 （1）* 4*2*1x x x ++； [解]3 334* 4*2*11** *4*2*1*1005.1102 1 10211021)()()()()(----=?=?+?+?=++=? ??? ????=++∑x x x x x f x x x e n k k k εεεε； （2）* 3*2 *1x x x ；
数值分析第五版_李庆扬
数值分析第五版_李庆扬 一、课程基本信息 课程中文名称： 数值分析 课程英文名称： Numerical Analysis 课程类别： 专业基础课 开课学期： 秋 适用专业： 信息与计算科学；应用数学 总学时： 86学时（其中理论课56学时，上机实习30学时） 总学分： 5（理论课3学分；上机实习2学分） 预修课程（编号）： 数学分析，高等代数，常微分方程 课程简介： 本课程是大学本科信息与计算科学和应用数学专业的一门基础课，也是工科研究生的必修课。本课程的主要内容是研究各种数学问题的数值计算方法的设计、计算误差分析以及有关理论和具体实现的一门数学课程。是应用数学的重要分支之一。 建议教材： 《计算方法》（二版）（邓建中、刘之行），西安，西安交通大学出版社，2001 参考书： [1]数值分析学习指导，关治编，出版社：清华大学出版社，出版时间：2008年； [2]数值分析，何汉林，梅家斌，科学出版社，2007年； [3]《数值计算引论》白峰杉高等教育出版社 2005年 [4]《数值分析》（第五版）李庆扬易大义等清华大学出版社 2008年 [5]Numerical Analysis，R.Kress，世界图书出版公司2003 6、数值分析学习辅导习题解析，李宏、徐长发编，华中科技大学出版社，2001年。 二、理论课程教育目标 通过本课程的教学使学生能了解现代科学计算中常用的数值计算方法及其基本理论，系统掌握数值分析的基本概念和分析问题、解决问题的基本方法，为运用数值分析的理论知识并为掌握更复杂的现代计算方法打好。 三、理论教学内容与要求（含学时） 第一章：计算方法的一般概念（4学时） 本章教学内容： 理解计算方法的意义、研究内容与方法，理解并掌握误差的概念（包括误差的来源、绝对误差、相对误差），掌握有效数字及舍入误差对计算的影响。 第二章：解线性方程组的直接法（8学时）
数值分析高斯顺序消去法、列主元消去法LU分解法
数值分析实验报告 （1） 学院：信息学院 班级：计算机0903班 姓名：王明强 学号：20092954
课题一 A.问题提出 给定下列几个不同类型的线性方程组，请用适当的方法求解 线性方程组1、设线性方程组 ?? ??????????????????? ??? ??? ?????--------------------------1368 2438 100 41202 9 13 726422123417911101610352431205362177586832337616244911315120130123122400 1 0563568000 0121 324?? ??? ???? ???? ???????????????????1098765432 1x x x x x x x x x x =???? ??????? ????? ????????????????-2119381346323125 x *= ( 1, -1, 0, 1, 2, 0, 3, 1, -1, 2 )T 2、设对称正定阵系数阵线方程组 ??????????????????????????----------------------1924336002141103520411144334 3104221812334161206538114140231212200420424?????????????? ????????????87654321x x x x x x x x = ??? ??? ??? ?????? ??? ?? ? ?????---4515229232060 x * = ( 1, -1, 0, 2, 1, -1, 0, 2 )T 3、三对角形线性方程组
李庆扬数值分析第五版习题答案清华大学出版社.
第一章 绪论 1设x 0,x 的相对误差为 ，求In x 的误差 进而有(In x*) 2.设x 的相对误差为2%，求x n 的相对误差。 xf '(x) 解：设f(x) x n ，则函数的条件数为 C p | | f(x) n 1 x nx n 1 又Q f '(x) nx , C p | | n n 又Q r ((x*) n) C p r (x*) 且 e r (x*)为 2 r ((x*)n ) 0.02 n 3?下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差限不超过最后一位的半个单位，试指 出它们是几位有效数字： x ； 1.1021,x 2 0.031 , x 3 385.6, x 4 56.430,x ； 7 1.0. 解：x * 1.1021是五位有效数字； x 2 0.031是二位有效数字； X 3 385.6是四位有效数字； x 4 56.430是五位有效数字； x ； 7 1.0.是二位有效数字。 4.利用公式(2.3)求下列各近似值的误差限： ⑴X ； X ； X ；,(2) x ；x ；x ；,(3) X ；/X 4. 其中x ；,x 2,x 3,x 4均为第3题所给的数。 解: 解：近似值x *的相对误差为 e* x* x x* x* 而In x 的误差为e In x* In x* Inx 1 x* e*
* 1 4 (X 1) 2 10 * 1 ,亠 3 (X 2) 2 10 * 1 1 (X 3) 2 10 * 1 ,亠 3 (X 4) 2 10 * 1 1 (X 5) 10 2 (2) (x ；x ；x ；) * * * X 1X 2 (X 3) 0.215 ⑶(X ；/X ；) * I * * * X 2I (X 4) X 4 (X 2) n & 4 3 解：球体体积为V - R 3 则何种函数的条件数为 C P r (V*) C p g r (R*) 3 r (R*) (1) (X 1 * (X 1) 1 10 2 1.05 10 X 2 X 4) * (X 2) 4 1 2 3 10 (X 4) 3 1.1021 0.031 101 1 0.031 385.6 - 104 1.1021 385.6 10 0.031 1 3 1 3 10 3 56.430 10 3 2 2 10 5 56.430 56.430 5计算球体积要使相对误差限为 X 2X 3 * * * X 1X 3 (x 2) 1，问度量半径R 时允许的相对误差限是多少? Rg/' V
列主元消去法和LU分解法(C语言)
(1)列主元素消去法求解线性方程： #include 李庆扬数值分析第五版习题答案清华大学出版 社 Document serial number【UU89WT-UU98YT-UU8CB-UUUT-UUT108】 第一章 绪论 1．设0x >,x 的相对误差为δ，求ln x 的误差。 解：近似值*x 的相对误差为*****r e x x e x x δ-= = = 而ln x 的误差为()1 ln *ln *ln ** e x x x e x =-≈ 进而有(ln *)x εδ≈ 2．设x 的相对误差为2%，求n x 的相对误差。 解：设()n f x x =，则函数的条件数为'() | |() p xf x C f x = 又1 '()n f x nx -=, 1 ||n p x nx C n n -?∴== 又((*))(*)r p r x n C x εε≈? 且(*)r e x 为2 ((*))0.02n r x n ε∴≈ 3．下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差限不超过最后一位 的半个单位，试指出它们是几位有效数字：*1 1.1021x =,* 20.031x =, *3385.6x =, *456.430x =,* 57 1.0.x =? 解：*1 1.1021x =是五位有效数字； *20.031x =是二位有效数字； *3385.6x =是四位有效数字； *456.430x =是五位有效数字； *57 1.0.x =?是二位有效数字。 4．利用公式求下列各近似值的误差限：(1) ***124x x x ++,(2) *** 123x x x ,(3) ** 24/x x . 其中****1234,,,x x x x 均为第3题所给的数。 解： *4 1* 3 2* 13* 3 4* 1 51()1021()1021()1021()1021()102 x x x x x εεεεε-----=?=?=?=?=? *** 124***1244333 (1)()()()() 1111010102221.0510x x x x x x εεεε----++=++=?+?+?=? *** 123*********123231132143 (2)() ()()() 111 1.10210.031100.031385.610 1.1021385.610222 0.215 x x x x x x x x x x x x εεεε---=++=???+???+???≈ ** 24**** 24422 * 4 33 5 (3)(/) ()() 11 0.0311056.430102256.43056.430 10x x x x x x x εεε---+≈ ??+??= ?= 5计算球体积要使相对误差限为1，问度量半径R 时允许的相对误差限是多少 解：球体体积为343 V R π= 则何种函数的条件数为李庆扬数值分析第五版习题答案清华大学出版社