(完整版)六年级奥数-体育比赛中的数学问题
体育比赛中的数学问题
一．知识点总结
1.单循环赛：每两个队之间都要比赛一场，无主客场之分。
（通俗的说就是除了不和自己比赛，其他人都要比）
2.双循环赛：每两个队都要比赛一场，有主客场之分。
（每个队和同一个对手交换场地赛两次）
一共比赛场数=（人数-1）×人数
3.淘汰赛：每两个队用一场比赛定胜负，经过若干轮之后，最后决出冠军。
（每场比赛输者打包回家）
二．做题方法
1.点线图
2.列表法
3.极端性分析------根据个人比赛场数，猜个人最高分
根据得分，猜“战况”
三．例题分析
例题1：三年级四个班进行足球比赛，每两个班之间都要赛一场，每个班赛几场？一共要进行多少场比赛？
解析：除了不和自己赛，和其他班都要赛，所以每个班赛4-1=3场
一共进行的场数：3×4÷2=6场
学案1：每个学校都要赛一场，共赛了28场，那么有几个学校参加比赛？
解析：方法一：“老土方法”：1+2+3+4+……7=28
7+1=8个
方法二：（人数-1）×人数=28×2=56
7×8=56，所以为8人
例题2：20名羽毛球运动员参加单打比赛，淘汰赛，那么冠军一共要比赛多少场？
解析：第一轮：20÷2=10（场），10名胜利者进入下一轮比赛
第二轮：10÷2=5（场），5名胜利者进入下一轮比赛
第三轮：5÷2=2（场）....1人，3名胜利者进入下一轮比赛
第四轮：2÷2=1（场）胜利者和第三轮中剩下的一人进入下一轮比赛
第五轮：2÷2=1（场）
冠军一共参加了5场比赛。
决出冠军一共要比赛的场数：一场比赛淘汰一人，除了冠军不被淘汰
20-1=19场
例题3：规定投中一球得5分，投不进得2分，涛涛共投进6个球，得了16分，涛涛投中几个球？
解析：方法一：（鸡兔同笼）
6个球全投进得5×6=30分
少得了30-16=14分
有1个不进的球就少得5+2=7分，不但没得5分，反而倒扣2分
所以没进的个数14÷7=2个
进的个数6-2=4个
方法二：5×（） -2 ×（） = 16
根据个位数字特点猜数，5×（ 4 ） -2 ×（ 2 ） = 16 进了4个
学案2：规定投进一球得3分，投不进倒扣1分，如果大明得30分，且知他有6个球没进，他共进几个球？
解析：方法一：（鸡兔同笼）
假设6个没进的球也进，30+6×（3+1）=54分
共投54÷3=18个
方法二：3×（） -1 ×（ 6 ） = 30
（30+6）÷3=12个
12+6=18个
例题4：A,B,C,D,E,五位同学一起比赛象棋，单循环比赛，A已经赛了4盘，B已经赛了3
盘，C赛了2盘，D赛了1盘，此时E赛了几盘？
解析：利用点线图
所以E赛2盘
例题5：A,B,C,D,E,五位同学一起比赛乒乓球，单循环比赛，胜者得2分，负者不得分，比赛结果如下：
(1)A与E并列第一
(2)B是第三名
(3)C和D并列第四名
求B得分？
解析：根据个人比赛场数猜最高分
每人比赛4场，全胜得8分，有并列第一，就没有全胜，所以不可能得8分；有并列倒数第一，所以没有全败，没有0分；而每个人得分是个偶数，在0和8之间的偶数只有2,4,6，三个分数，三个名次，所以B得4分
学案3：四名同学单循环比赛，胜者得2分，负者得0分，平者各得1分。已知甲乙丙三人得分分别为3分，4分，4分，且丙无平局，甲有胜局，乙有平局，那么丁同学得分？
解析：共比赛场数3×4÷2=6场
每场比赛两人共得2分，6场比赛共得6×2=12分
所以丁得分12-2-4-4=1分
例题6：A,B,C,D,E,进行单循环比赛，每场比赛胜者得3分，负者得0分，平局各得1分，若A,B,C,D分别得分为1,4,7,8，问E最到得几分？最少得几分？
解析：根据得分猜“战况”
要想E得分最高，希望总分最高，在3,0,1赛制中，出现一场平局，总分少1分，所以希望平局的场数少，也就是B的战况为1胜，1平，2负；根据平的总场数是偶数，ABCD四人平的场数之和为5场，希望平的场数少，所以E为1平；胜的总场数等于负的总场数，所以E是2胜1负1平，得分为7分
要想E得分最低，希望总分最低，平局出现的越多越好，即B的战况是4平，ABCD平的场数之和为8平，此四人胜的场数之和恰好等于负的场数之和，所以E的战况为4平，得分为4分。
学案4：四个球队单循环比赛，有一个队没有输球但是倒数第一，有可能吗？
解析：有可能。虚线表示平局，箭头表示有胜负，箭头指向胜者
A得3分，B,C,D都得4分，所以A没输球但倒数第一。
例1 A、B、C、D、E五人参加乒乓球比赛，每两个人都要赛一盘，并且只赛一盘，规定胜者得2分，负者不得分，已知比赛结果如下：
（1）A与E并列第一名；
（2）B是第三名；
（3）C和D并列第四名；
求B的得分。
分析：共五名选手参加乒乓球比赛，每人都要赛4场，每场比赛不是得2分，就是得0分，所以每名选手的总分一定是0、2、4、6、8五数之一，四场都负得0分，四场都胜得8分，因此，B的得分比0分多，比8分少（他不是第一，也不是第四），只可能是2、4、6三数之一。同时不要忘记“两个并列第一，两个并列第四”这两个重要条件。
解因为五个人一共比赛（4×5÷2＝）10（场）。
所以十场球一共得分（2×10=）20（分）。
有两个并列第一，两个并列第四，决定了没有全胜的，也没有全败的，也就是没有得8分的，也没有得0分的，只有2分、4分、6分三种得分情况。因此，并列第一的一共得（6×2=）12（分）。
并列第四的一共得2×2＝4（分），
第三名得20－（12＋4）= 4（分）。
所以，B得4分。
例2 在一次射击练习中，甲、乙、丙三位战士各打了四发子弹，全部中靶，其命中情况如下：（1）每人四发子弹所命中的环数各不相同；
（2）每人四发子弹所命中的总环数均为17环；
（3）乙有两发命中的环数分别与甲其中两发一样，乙另两发命中的环数与丙其中两发一样；
（4）甲与丙只有一发环数相同；
（5）每人每发子弹的最好成绩不超过7环。
问甲与丙命中的相同环数是几？
分析条件这样多，一下子满足所有的条件有困难，我们把条件归类，逐条逐步去满足。
首先，我们找出符合条件（1）、（2）、（5）的所有情况：
其次，再从这些情况中去掉不符合条件（3）与条件（4）的，剩下的就是全部符合题目要求的答案。
解满足（1）、（2）、（5）的只有如下四种情况：
①1＋7＋3＋6＝17（环）；
②1＋7＋4＋5＝17（环）；
③2＋6＋4＋5＝17（环）；
④2＋7＋3＋5＝17（环）；
从上述四个式子中看出，①式与②式有数字1、7相同；②式与③式有数字4和5相同；②式既与①式有两个数字相同，又有另两个数字与③式相同，②式就是乙。①式和③式就是甲和丙。
①式和③式相同的数字是6，所以甲和丙相同的环数是6。
例3 一场足球赛，有A、B、C、D四队参加，每两队都赛一场。按规则，胜一场得2分，平1场得一分，负一场得0分，比赛结果，B队得5分，C队得3分，A队得1分。所有场次共进了9个球。B队进球最多，共进了4个球，C队共失了3个球，D队一个球也没有进。A队和C队的比分是2∶3。
问A队与B队的比分是多少？
解四个队每队都赛一场，共赛6场。每一场两队得分之和是2分，因此所有队在各场得分之和是
2×6＝12（分）。
D队的得分是12－5－3－1＝3（分）。
因为D队一球未进，至多与其他队打平，所以D队赛的三场，都是打平。
现在，把已知的比赛成绩用一张表格来表示：
每一队都赛三场，得5分一定是胜2场平1场，得1分是负2场平1场。C队以3∶2胜A队，它得3分，一定是胜、平、负各一场。
C队与A队比赛，C队进了3球，A队进了2球，这一场共进了5个球。B队进球数是4，因此，所有场次共进9个球已够数，C队和A队在其他场都没有进球。
B队与D队是0∶0打平，它进4个球，一定是与C队或A队比赛时进的，C队共失3球，与A 队比赛失2球，因此与B队比赛失（3-2=）1（球），比分是0∶1。B队与A队比赛进（4－1＝）3（球），比分是3∶0。
所以，A队与B队的比分是0∶3。
例4 A、B、C、D、E五位同学一起比赛象棋，每两人都要比赛一盘。到现在为止，A已经赛4盘，B赛3盘，C赛2盘，D赛一盘。问此时E同学赛了几盘？
分析可以把题目所给的条件用图表示出来，用5个点表示5位同学，如果两人进行了比赛，那么用线段连接起来。
解根据题意，A已经赛4盘，说明了A与B、C、D、E各赛一盘，A应与B、C、D、E点相连。
D赛1盘，是与A点相连的。
B赛3盘，是与A、C、E点相连的。
C赛2盘，是与A、B点相连的。
从图上E点的连线条数可知，E同学已赛过2盘。
想想练练
1.四年级三个班参加运动会，运动会上举行跳高、跳远和百米赛跑三项比赛，各取前三名。第一名得5分，第二名得3分，第三名得1分。已知一班进入前三名的人数最少，二班进入前三名的人数是一班的2倍，而且这两个班所得总分相等，并列年级组的第一名。三班得了多少分？
2.四个小朋友进行三项田径比赛。规定第一名得5分，第二名得3分，第3名得2分，第四名得1分。最后统计四个人的总分情况是：甲得10分，乙得12分，丙得4分，丁得7分。试求每人每项所得分数中的一种情况。
3.德国队、意大利队和荷兰队进行一次足球比赛，每一队与另外两队各赛一场。现在知道：
（1）意大利队总进球数是0，并且有一场打了平局；
（2）荷兰队总进球数是1，总失球数是2，并且它恰好胜了一场。
按规则，胜一场得2分，平一场得1分，负一场得0分。
那么德国队得了多少分？
4.A、B、C、D、E、F六个足球队进行比赛，每队都已赛过三场。
（1）A队三战得6分；
（2）B队三战都负；
（3）C队三战皆平；
（4）D、F两队进行过一场比赛，D队的三场比赛积分为1分。
比赛中凡是胜一场的都得了2分，平局的都得1分，负一场的得0分。
你知道E队的三场比赛都与哪个队进行的吗？比分如何？
5.一场足球赛（每队赛一场）尚未结束，小马虎把已赛过的成绩列成下面表格：
后来发现这张表中有两个数是错的，另外，还知道A已与E赛过；D已与B赛过；B没有打两场平局；进球最多的是B与E的一场比赛。
改正错误，并把这张表填全。