量子力学 第四版 卷一 (曾谨言 著) 科学出版社第7章

第七章：粒子在电磁场中的运动

P367——7.1，7.2

证明在磁场B

中，带电粒子的速度算符的各分量，满足下述的对易关系：

[]

z

y x

c

q i v v B ?,2μ

= （1） []

x

z y

c

q i v v B ?,2μ

= （2） []y x z c

q i v v B ?

,2

μ

=

（3） [证明]根据正则方程组：

x x p H

x v ??== ? ，Φ+??

? ??-=q A c q p H 2

21? μ

?

?

? ??

-=x x x A c q p v

??1?μ 同理 ?

?

? ?

?-=y y y A c

q p v ??1?μ ()z y x p p p p ?,?,?? 是正则动量，不等于机械动量，将所得结果代入（1）的等号左方： []

?

?

????--=y y x x y x

A c q p A c q p v v

??,??1,2μ

]

[]

y

x

A A

c

q ?,?2

2

μ+ （4） []

0?,?=y x p p

又A ? []

z x y

y x B c y x i c v v 22

,μμ

=

???

??-??

=

（因A B ??=??）

其余二式依轮换对称写出。

P368证明在规范变换下

ψψρ*

= （1） [

]ψψμψψψψμ

*

*

*-

-=A c

q p p

j ??21 （2）

??? ?

?-=A c q p v ?μ （机械动量的平均值）都不变 （3） （证明）如课本证明，要规范变换下，若将体系的波函数作以下变换（P368 20式）

ψψc

iqf

e

→ （4）

则薛定谔方程形式不变，将（4）代入（1）式等号右方，设变换后几率密度：

ρ

ρψ

ψψψψψ

ρ='=?=???

?

?

????

? ?

?='*

*

-*

c

iqf

c iqf c iqf c iqf

e

e e e

又设变换后几率流密度是j '，将（4）代入（2）式右方，同时又代入

()t r f A A , ?+→

ψψψψμc

iqf

c iqf c

iqf

c

iqf

e

P e e

p e

j *

-

*

-?????

?-='21 （5） 注意到算符的对易关系

推广到三维：()

)(F )(F ,?r i

r p

??=? 6） 令c

iqf e

r

=)(F 则有：

c

iqf e

p -=e

p c

iqf （7）

=-e p c iqf

(8)

将（7）（5）式成为：

()()

j A c

q p p f A c

q f c q p e e f c q p e e

j c

iqf

c iqf c iqf c iqf =--=?+-????????? ???--??? ???+=*

***-*-ψψμψψψψμψψμψψψψμ2121 （9）

在证明第3式时，设变换后的v 是v ' 。写出右方平均值的显式，用（4）的波数变换，和)4('的矢势的变换式：

τ

ψψτψψτ

ψψτψψμd e f A e c

q d e p e d e f A c q p e d A c q p A c q p v c iqf

c iqf

c

iqf c iqf

c iqf

c

iqf

??? ???+-

=

??? ????? ???+-=

'??

? ??'-''=

???

??'-'='*

-

*-

*

-

*

???

???

????????????

前式第一个积分可重复用（7）式，得：

v d A c q p d f A c q d f c q p e

e

v c

iqf

c

iqf '

=??? ?

?-=??

? ???+-

??

? ???+=

'?????????**

*

-

μτψψτψψτψψμ ???

命题得证

P382——7.4 7.1——3.13 7.2——3.12

7.1）设带电粒子在互相垂直的均匀电场ε和均匀磁场B 中运动，求能级本征值和本征。 （参《导论》225P ）

解：以电场方向为x 轴，磁场方向为z 轴，则

)B ,0, （1）

)0,Bx （2）

满足关系 A ?

粒子的x q p x C qB z ε-???

?+???2

2

（3） 取守恒量完全集为()z y p p H ,,，它们的共同本征函数可写成

()()()

z

p y p i z y e

x z y x +=ψψ,, （4）

其中y P 和z P 为本征值，可取任意函数。

()z y x ,,ψ满足能量本证方程： ()()z y x E z y x H ,,,,ψψ=

因此()x ψ满足方程

()()()x E x x q x p x C qB p p u z y x ψψεψ=-???

?????+??? ??-+2

2

221 （5） 亦即，对于()x ψ来说，H 和F 式等价：

()

222

2

222

22

2122z y y p p u x p uC qB q x uC

B q x

u H ++??

? ??+-+

??

-

?ε

()

()2

22

02

222

02

222

22

21222z

y

p p

u

x uC

B q x x uC

B q x

u ++

-

-+

??

-

=

（6）

其中 ???? ??+=??? ??+=

u p B C qB uC p uC qB q B q uC

x y y ε

ε222

0 （7） 式（6）相当于一维谐振子能量算符

n E ?

?=n ?

?+= （8） 其中y P 和式（4）中 （9） ()ξn H

7.1）设带电粒子在互相垂直的均匀电场ε和均匀磁场B 中运动，求能级本征值和本征函数。 解：以电场方向为x 轴，磁场方向为z 轴，则

()0,0,εε=， ()B B ,0,0= （1）

去电磁场的标势和矢势为

x εφ-=， ()0,,0Bx A = （2）

满足关系 φε-?=， A B ??=

粒子的Hamiton 量为 x q p x C qB p p u H z y x ε-???

?????+??? ??-

+=2

2

221 （3） 取守恒量完全集为()z y p p H ,,，它们的共同本征函数可写成

()()()

z

p y p i z y e

x z y x +=ψψ,, （4）

其中y P 和z P 为本征值，可取任意函数。

()z y x ,,ψ满足能量本证方程： ()()z y x E z y x H ,,,,ψψ=

因此()x ψ满足方程

(

p x C qB p p u z y x ψ???

?????+??? ??-

+2

2

221 （5） 亦即，对于()x ψ来说，H 和F 式等价：

2

2

222

22

22y p uC qB q x uC

B q x

u H ??

? ??+-+

??

-

?ε

()2

22

21z

y

p p

u

++

-

= （6）

其中 ???

?+u p B C y ε

（7） 式（6uC

B q =

ω

再加上两项函数，因此本题能级为

()

2

2202

2

2

21221z y p p u x uC B q n E ++-??? ?

?+=ω 2

2

2221221z y p u p B C B u C uC q B n +--??? ?

?+=εε （8） 其中y P 和z P 为任意实数， ,2,1,0=n

式（4）中 为以()x ψ为()0x x -变量的一维谐振子能量本征函数，即

()()()2

02

ξ

ξψψ-=-=e

H x x x n n （9） ()ξn H 为厄密多项式，()()00x x C

B q x x u -=-=

ωξ 。

7.1设带电粒子相互的均匀电场E 和均匀磁场B

中运动，求其能谱及波函数（取磁场方向为z 轴，

电场方向为x 轴方向）

[解] 为使能量本征方程能够求得，可以这样选择矢势，使

0=x A Bx A y = 0=z A

qx

H

z ε-=}?2

（1H

?,?[H

，z p ?守恒，ψ22

x

??整理，并约去同因式

)

(z z p y y p i e +后，得到X （x ）的本征方程 )()(]})(

2[

212{2

22

2

2

22

22

x EX x X p p x q e

qBp x c

B q x

z y y

=+++-+

??

-

μεμ

μ

)

()(]})(212[

)()(

22{2

2

22

2

2

2

22

x EX x X B

c

p p p qB

c

qB

cp x c qB

x

y z

y y =+

+

++-

-

+

??

-

μεμ

μ

μεμμμ

（3）

或者简写作

)()(})(2

2{02

022

22

x EX x X E x x x

=+-+

??

-

ωμμ

式中 2

0,qB

q Bq

cp

x c qB y

ε

μμ

ω+

≡

=

，22

20)(212B

c p p p E y z

y μεμ

μ

+

-

+=

方程式（3）明显的是一个沿x 方向振动的谐振子的定态薛定谔方程式，它的固有频率是ω，振动中心在0x x =一点上，同时具有能量本征值： 0E E -

其中0E 是有关于y 、z 方向的分能量，按一维谐振子理论，它的能级是 c

qB

n n E E μω )

21()2

1(0+

=+=- (4) 它的本征函数写作

([

)()

(212

0x H e

C x X n x x n =--

μωμω这个运动电荷的总能量E 是：

p p c

qB n E E z

y μ

μ 2)21(2

2

0-

+=+

+= （6）

7.2

02

)(r r V =

[解] 将本征函数表示成合流超几何级数，因而决定能量 令 =

A ? 2

(V 根据本章习题4中合 算符公式（2）再添上前述附加项：

)(?),(?}

2

2{})2

8(

2]11

1[

2{)(21)2(212]11[2?2

12

2

2

22

2

2

2

222

22

2

22

2220222

2

22

222

2

z H H z z

c

B q c B ic z c qB c B ic z H +=+

??

-

++

+??+

??

+

?+

??

-

=+++??+??+??+??+??-=?ρμωμρμωμ?

μ?

ρρ

ρρ

μρμωρμ?μρρ?ρρμ

（1）

哈氏算符的两面部分1?H 与?ρ,有关，第二部分)(?2

z H 与z 有关，这二者是对易，因此能量本征值

也分二部分，可以分别计算，也可有分离变量法将本征函数分为二部分：

)(),(),,(??ρ?ρψZ c z = （2） 得到：

Z

E Z z

Z

E C c

B q

C c B ic C

C

C

C

22

2

2

2

12

2

2

222

2

2

2

22

2

2

2)2

8(

2]11[

2=+

??-

=+

+??+??+

??+

??-μωμρμωμ?

μ?

ρ

ρ

ρ

ρμ

（3） （3）

式左方的哈氏算符),(?1?ρH 可以和?

??=i l z

?对易，因此),(?ρc 可以和这个算符的本征函数有共同因式可设

)(),(ρ?ρ?R e C im = （4）

22

d R d ρ

相当于第4题（5）

0]4)2[(

12

22

2

2

222

122

=-

-

+

++

R m

c B q E c

mBq d dR

d R d ρ

ρ

μ?

ρ?

'

)5(

'

)5(通过交换，得到合流超几何方程式（从略）以及能级公式

?

??

?

??

-+

++

=

??????-+++=

22

122221

22

2

2

2

2m m n k m m n c qB k E γμ

μ

μμ

(6)

式子的第一项是z 方向运动的能量，第二项代表与()?ρ,有关横向能量，它与 hc

qB 2=

γ

成正比，将（5）与')5(比较，令

2

2

22

2

2

022

2

2

ωμωμγ

γ

+??

?

??=+

=c qB

得到本题的能级如下：

?

?

????-+++??? ??+=2212212

0m m n k E

γμω（7）

这各能量公式的第一项是z 向运动的方程式的决定的一维谐振自的能级，在公式（7）中

,2,1,0,2,1,0,2,1,0±±===m h k