简单几何体、组合体专题训练

简单几何体、组合体专题训练

1.圆柱的侧面展开图是长为12cm ，宽为8cm 的矩形，则这个圆柱的体积为 （ ）

A.288

π

cm 3 B.

192

π

cm 3 C.

288

π

cm 3或

192

π

cm 3 D.192π cm 3

2.把直径分别为6cm ，8cm ，10cm 的三个铜球先熔成一个大球，再将其削成一个最大的正方体，则这一正方体的体积为 .

3.轴截面是正方形的圆柱有一内接正四棱柱，已知圆柱的轴截面对角线长为

22cm ，则四棱柱的体积为（ ）

A.4cm 3

B.8 cm 3

C.2πcm 3

D.4πcm 3

4.棱长为a 的正方体中，连接相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为（ ）

A.33a

B.34a

C.36a

D.3

12

a

5.已知一个直棱柱底面是菱形，面积为S ，两对角面的面积分别为m ，n ，求直棱柱的体积.

6.如图，一个三棱柱形容器中盛有水，且侧棱18AA =.若侧面11AA B B 水平放置时，液面恰好过AC 、BC 、11AC 、11B C 的中点，当底面ABC 水平放置时，液面高为多少？

7.（全国1理16）一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上，已知正三棱柱的底面边长为2，则该三角形的斜边长为

__________。

8.一个容器形如倒置的等边圆锥，如图所示，当所盛水深是容器高的一半时，将容器倒转，那么水深是容器高的（ ）

A.31172+

B.3172

C.31172-

D.31

173

-

9.在全面积为2a π的圆锥中，当底面半径为何值时圆锥体积最大，最大体积是多少？

10.半径为r 的球放置于倒置的等边圆锥容器内，再将水注入容器内到水与球面相切为止，取出球后水面的高度是 .

11.直三棱柱111ABC A B C -的体积为V ，已知点P ，Q 分别为1AA ，1CC 上的点，而且满足1AP C Q =，则四棱锥B APQC -的体积是（ ）

A.12

V B.13

V C.14

V D.23

V 12.一个正三棱锥的底面边长为a ，且三条侧棱两两垂直，求棱锥的体积.

13.四面体ABCD 中，5AB CD ==，41BC AD ==，34BD AC ==，求这个四面体的体积.

14.正三棱锥S ABC -的侧面是边长为a 的正三角形，D 、E 分别是SA 、BC 的中点，求SDE ?绕直线SE 旋转一周所得到的旋转体的体积.

15.若棱锥的顶点为P ，P 在底面上的射影为O ，PO a =，现用平行于底面的平面去截这个棱锥，截面交PO 于点M ，并使截得的两部分侧面积相等，设OM b =，则a 、b 的关系是（ ）

A.(21)b a =-

B. (21)b a =+

C. 212b a -=

D. 212

b a +=

16.三棱台111ABC A B C -中，11:1:2AB A B =，则三棱锥1A ABC -，11B A B C -，111C A B C -的体积之比（ ）

A.1：1：1

B. 1：1：2

C. 1：2：4

D. 1：4：4

17.如果一个空间几何体的主视图与左视图均为全等的等边三角形，俯视图为一个半径为1的圆和圆心，那么这个几何体的体积为（ ）

A.

33π B. 23

3

π C. 3π D.3π

18.圆台上、下底面面积分别是π，4π，侧面积是6π，则这个圆台的体积是（ ）

A.

233π B.23π C.736π D.7

33

π

19.降水量是值水平地面上单位面积所降雨水的深度，用上口

直径为38cm ，底面直径为24cm ，深度为35cm 的圆台形容器（轴截面如图）来测量降水量，如果在一次降水中，此桶盛得的雨水正好是桶深的1

7

，则本次降雨的降水量是多少？

20.三棱台111ABC A B C -中，11:1:2A B AB =，D 是1C C 的中点，求截面1A BD 把棱台分成上、下两部分的体积比.

21.有一块扇形铁皮OAB ，60AOB ∠=?，72OA cm =，要剪下来一个圆环ABCD ，作圆台形容器的侧面，并且余下的扇形OCD 内剪下一块与其相切的圆形使它恰好作为圆台形容器的下底面（大底面）.试求： （1）AD 应去多长？（2）容器的容积.

22.已知高与直径之比为2：1的圆柱内接于球，且圆柱的体积为500π，则球的体积为（）

A.500

3π B. 2500

3

π C. 25003

3

π D. 12500

3

π

23.（06北京卷）已知,,

A B C三点在球心为O，半径为R的球面上，AC BC

⊥，且AB R

=那么,A B两点的球面距离为__________，球心到平面ABC的距离为

_________.

24.已知过球面上三点A、B、C的截面到球心的距离等于球半径的一半，且

6

AC BC

==，4

AB=，求球面面积与球的体积.

25.在棱长为1的正方体内，有两球相外切，并且又分别与正方体相内切. （1）求两球半径之和；

（2）球的半径是多少是，两球体积之和最小.

答 案

简单几何体的相关计算

1.【答案】C

【解析】分两种情况：①12为底面周长，则236

6

288

212,,()8()r r V cm πππ

π

π

=∴==?=

②8为底面周长，则2344192

28,,()12(r r V cm πππ

π

π

=∴==?=

）

2.【答案】1923

【解析】大球的体积33334

444

34563

3

3

3V ππππ

=?+?+?=

?，则大球半径为6，因此当正方体内接于球时，其体积最大，由球半径为6，则正方体的棱长a 应满足

23R a =，则43a =，故

3

3431923cm ).V ==正方体（）（

3.【答案】D

【解析】由已知，圆柱的高为2，底面半径为1；正四棱柱的高为2，地卖弄对角线为2，底面边长为2，

3

V 2224cm ∴=??=四棱柱

4.【答案】C

【解析】此八面体可以分成上、下两个全等的正四棱柱，下底边长为

2

2

a ，

高为2

a ，所以231212(

)3

226

a V a a =???= 5.【答案与解析】设直棱柱的底面对角线长为x 和y

，高为h ，则有：1

22xy s

mn xh m h s

yh n ?=??

=∴=??=??

；1

222

mn V sh s mns s ==?

=柱 6.【答案与解析】

解：设原三棱柱111ABC A B C -的底面积为S ，高为h

21,(

)4

CDE ABC

S CE DE AB S

AC ∴

==， 1

4

CDE

S

S ∴=

.∴当侧面11AA BB 水平放置时，无水的空间即111CDE C D E -为一小三棱柱. 此时水的体积为134

4

V Sh S h Sh =-?=水.当底面ABC 水平放置时。水占有的空间为一个

三棱柱，此时水的体积为'''333,,864

4

4

V Sh Sh Sh h h =∴=∴==?=水∴液面高为6

7.略 8.【答案】C

【解析】311812

V V ==3

容器水：：（）：，则倒置后，容器内空气所占部分为圆锥体，

体积占容积的78.高为容器高的337782

=，故水深是容器的3

7

12-.

9【答案与解析】设全面积为2a π的圆锥的底面半径为r ，高为h ，则

2222

r r r h a πππ++=，即

4

2212h a a r r

=

-,圆锥的体积

213V r h π=24224224111

()22.33

r a a r a r a r r ππ=-=-

当422

244a a r a ==时，V 取到最大值

2

12

2a π，即当2a r =时。取到最大值3212a π 10.【答案】315r

【解析】设球为取出时PC b =，球取出后，水面高PH x =，如图所示，因为

3,3AC r PC r ==，所以以AB 为底面直径的圆锥形容器的容积为

22311AC PC 3)3333V r r r πππ=?=?=圆锥（，34

3

V r π=球

球取出后水面下降到EF ，水的体积为

211

EH PH PH 33V ππ

=?=水（

?tan 30°）

而.V V V =-水圆锥球31

9PH x π=， 即33314393

x r r πππ=-.所以

315x r =，故球取出后水面的高为315r .

11.【答案】B 【解析】由1AP C Q =，知四边形ACQP 与11PQC A 全等，故11

12

3

B APQ

C B ACA C

V

V V --==

12.【答案与解析】

解法一：如图，O 是ABC 的中心，则PO 是正三棱锥的高

3,3

AB a AO a =∴=

在

Rt APO

中，

2222236(

)()236

PO PA AO a a a =-=-=

231

13623

34624

ABC

V S

PO a a a ∴=?=??=锥 解法二：三棱锥的三条侧棱两两垂直，AP ∴⊥平面PBC

AP ∴是三棱锥A PBC -的高.

2,2

AB a AP BP CP a

=∴===

31122223222224A PBC V a a a a -=????=3224

V a ∴=锥 13.【答案】如图将四面体ABCD 中补成长方体，设长宽高为x 、y 、z ，则有：

22222241 (1)

25 (2)34 (3)x y y z z x ?+=?+=??+=?

（1）+（2）+（3）得

2222()100x y z ++=即22250x y z ++= （4）

（4）分别减去（1）(2) (3)可得 5,4,3x y z ===

111

4()20323

ABVD V V xyz xyz =-??==四面体长方体

故这个四面体的体积是

20

14.【答案与解析】

解：如图，连接AE ，在正四面体中，AE SE =.DE SA ∴⊥ 又3

,2

AE SE a AS a ==

=222(

)22

AS DE AE a ∴=-= 过点D 作DF SE ⊥于点F 在Rt

SDE 中，66

DS DE DF a

SE ?=

= 当SDE 绕直线SE 旋转一周时得到两个圆锥，其体积

22211DF ()333V SF DF FE DF SF EF π

ππ=??+??=+旋转体223633()336236

DF SE a a a πππ=?=?=

即得到旋转体的体积是

3

336

a π 15.【答案】C 【解析】由平行椎体底面的截面性质知22PM PO

=

，所以222

OM PO -=,所以222

b a

-

=，所以

222

b a

-=

. 16.【答案】C

【解析】如图，设棱台的高为h ，S ABC S =，

则111

4A B C

S S =111

33

A ABC V S ABC h Sh -∴=

?= 111111

1

43

3

C A B C A B C V S

h Sh

-=?=

；17(42)33V h S S S Sh =++=台. 111111174333

B A B

C A ABC C A B C Sh V V V V Sh Sh ---∴=--=

--台∴体积比为1:2:4 17.【答案】A 【解析】由题知，该几何体是底面半径为1，高为

3的圆锥，故

2131333

V ππ

=??= 18.【答案】D

【解析】由题知，两半径为1,2r R ==，由6S π=侧，126,l ππ∴+?=（）则22() 3.h l R r =--=

1733(11222)33

V ππ∴=??+?+?=.

19.【答案与解析】作

BE CE

⊥于点E ，交

MN

于点

G

，则

17

BG BE =

.11355()77BG BE cm ∴=?=?= 作AH CD ⊥于点H ，交MN 于点P ，则四边形EHPG 为矩形24EH PG AB cm ∴=== 又四边形ABCD 为等腰梯形，∴MN=PG+2GN 又

11

()(3824)7()22

PG CD AB cm =

-=-=，11()7GN EC cm ∴==224226()PG GN cm ∴+=+=

∴

此次降水中雨水的体积为

221[()()()]32222

MN AB MN AB V BG π=++??22

15(13121312)3π=??++?32345()3cm =

降雨面的面积2

2()

361()2

CD S cm ππ==.

此次降雨的降水量为2345

3 2.2()22()361v h cm mm s π

==≈≈

答：本次降雨的降水量22mm 20.【答案】2:5 21.【答案与解析】

（1）如图，设圆台上、下底面半径分别为r 、R ，AD=x ，则OD 72x =-由题意得：

60272180602(72)180723R r x x R ππππ??=???

??=-?

?

-=???

12,6,36.R r x ∴===36AD cm ∴= （2）圆台的高为

2222()36(126)635

h x R r =--=--=

221

()

3V h R Rr r π∴=++=2216

35(121266)3

π??+?+350435()

cm π=，即容器的容积是

350435cm π

22.【答案】C

【解析】设圆柱的底面半径为r ，则高为4r ，球的直径为25r ，半径为5R r =

2344500V r r r πππ=?==圆柱，5,55r R ∴==，则334

425005

(55)333

V R πππ==?=

球

23.【答案】3

R π

；

32

R 24.【答案】由题意知，截面圆的圆心O ，一定在等腰ABC 边的中线CD ，设球半径为R ，则1

OO

2

R =

.设截面圆半径为r ，则11O C O A r ==，

6,4

AC BC AB ===，

22226242CD AC AD ∴=-=-=.222114O D O A AD r =-=-.

2442r r ∴+-=，

解之得9

2

4r =，在1Rt COO 中，2224

R R r -=即238148

R =

227,2R ∴=

即3

62

R = 227

44542

S R πππ∴==?

=球，344273

62763

3

2

2

V R πππ

==??=球

25.【答案与解析】

解：（1）如图，ABCD 为过球心的对角面，3AC =

.设两半径分别为R 、r .则有

3(3R r R r +++=）332

R r -∴+=

（2）设两球的体积之和为V ，则

332244

()()(33

V R r r R R Rr r ππ=+=+-+）

24

)[()3)]3R r R r Rr π

=

++-（224333(33)33[3()]3222R R π---=?-+

334

R -∴=

时，V

有最小值.